约化词中生成元的可重复模式与最大重数
Repeatable patterns and the maximum multiplicity of a generator in a reduced word
AI总结：
本文将最长排列约化词中简单换位的最大重数问题转化为单调弱分离路径问题，证明其对充分大的 $n$ 呈线性加周期项形式，并引入可重复模式计算斜率常数 $c_k$ 的界与精确值。
摘要：
我们研究最长排列 $w_0=n\\:n-1\\:\cdots\\:2\\:1$ 的约化词中简单换位 $s_k=(k\\:k+1)$ 的最大重数 $\mathcal{M}(k,n)$，该问题与此前关于排序网络和“$k$-集”问题的大量工作密切相关。在用单调弱分离路径重新解释该问题后，我们证明：对于固定的 $k$ 和充分大的 $n$，最优密度由在精确定义下具有周期性的路径实现，因此对于某个周期函数 $p_k$ 和常数 $c_k$，有 $\mathcal{M}(k,n)=c_k n+p_k(n)$。事实上，我们证明 $c_k$ 总是有理数，并利用我们引入的“可重复模式”计算了该量的若干界和精确值。
英文摘要：
We study the maximum multiplicity $\mathcal{M}(k,n)$ of a simple transposition $s_k=(k \: k+1)$ in a reduced word for the longest permutation $w_0=n \: n-1 \: \cdots \: 2 \: 1$, a problem closely related to much previous work on sorting networks and on the "$k$-set" problem. After reinterpreting the problem in terms of monotone weakly separated paths, we show that, for fixed $k$ and sufficiently large $n$, the optimal density is realized by paths which are periodic in a precise sense, so that \[ \mathcal{M}(k,n)=c_k n + p_k(n) \] for a periodic function $p_k$ and constant $c_k$. In fact we show that $c_k$ is always rational, and compute several bounds and exact values for this quantity with "repeatable patterns", which we introduce.
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