Some applications of the Stieltjes constants
Donal F. Connon
本文介绍Stieltjes常数的一些应用，包括对数伽玛函数的Binet公式的新的推导和与Barnes多重Γ函数有关的一些积分的计算。
In this paper we present some applications of the Stieltjes constants including, for example, new derivations of Binet's formulae for the log gamma function and the evaluation of some integrals related to the Barnes multiple gamma functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some integrals involving the Stieltjes constants
本文发展了一些新的含Stieltjes常数的积分。
Some integrals and series involving the Stieltjes constants
除此之外，我们提出了一个傅里叶级数涉及广义Stieltjes常数。
Some integrals involving the Stieltjes constants:Part II
本文发展了一些新的含Stieltjes常数的积分。
A recurrence relation for the Li/Keiper constants in terms of the Stieltjes constants
本文导出了Li/Keiper常数与Stieltjes常数的递推关系。此外，我们还报告了一个公式的Stieltjes常数的高阶导数的黎曼ζ函数。一个公式的Stieltjes常数的（指数）完整的贝尔多项式包含的eta常数作为参数也来自。
We present a new representation of the Stieltjes constants in the form of a limit of a Fourier series.
The difference between two Stieltjes constants
斯蒂尔捷斯常数是赫维茨zeta函数的洛朗展开式的系数，令人惊讶的是，人们对它们知之甚少。本文导出了两个Stieltjes常数之差的一些关系式以及其它各种关系式。
A Ramanujan enigma involving the first Stieltjes constant
我们提供了一个严格的制定条目17（五）在拉马努金的笔记本电脑，并显示如何这涉及到第一Stieltjes常数。包括一个新的命题4.5，以显示与Candelpergher在2017年提出的一些分析的密切关系。
Generalized Stieltjes constants and integrals involving the log-log function: Kummer's Theorem in action
在本文中，我们回顾Kummer的傅里叶级数展开的1-周期函数，符合对数的Γ函数在单位间隔$(0,1)$，我们使用它来寻找封闭形式的一些数字系列有关的广义Stieltjes常数，和一些积分涉及的功能$x\mapsto \ln \ln(1/x)$。
An asymptotic expansion for the Stieltjes constants
Stieltjes常数$γ_n$出现在黎曼ζ函数$ζ(s)$关于单极点$s=1$的Laurent展开式中的系数中。基于Knessel和Coffey [Math. Comput. { \bf 80}（2011）379- 386]。本文还给出了这种展开式的一种截断形式，并给出了显式系数。数值结果表明，我们的扩展实现的精度。
A formula connecting the Bernoulli numbers with the Stieltjes constants
我们表明，最近推导出的公式科菲Stieltjes常数的伯努利数在数学上是等价的布里格斯和Chowla早期表示。
The rate of convergence of some Riemann-Stieltjes sums
给出了某些最优下Riemann-Stieltjes和向积分的收敛速率.
Determination of the Stieltjes constants at rational arguments
Stieltjes常数引起了相当大的关注，在最近几年和一些作者，包括本，已考虑各种方式，这些常数可能会被评估。本文的主要目的是强调一个事实，即Deninger实际上早在1984年就确定了第一个广义Stieltjes常数，所有更高的常数（在理性论点）原则上由Chakraborty，Kanemitsu和Kuzumaki在2009年确定。Musser在他2011年的论文中得到了类似的结果。作者的上述文件只是提到常数的洛朗系数，这就解释了为什么各种电子搜索进行了作者的Stieltjes常数没有很容易突出这些特定的来源。在本文中，作者采用了一个略有不同的论点，以获得一个更简单的表达式，最初由Chakraborty等人在2009年得出的结果。
Stieltjes analytic functions and higher order linear differential equations
本文建立 Stieltjes 解析函数理论，通过定义 Stieltjes 单项式、多项式及无穷级数研究其与高阶 Stieltjes 微分的关系，并用于求解常系数高阶线性齐次 Stieltjes 微分方程。
In this work, we define the notions of Wronskian and simplified Wronskian for Stieltjes derivatives and study some of their properties in a similar manner to the context of time scales or the usual derivative. Later, we use these tools to investigate second order linear differential equations with Stieltjes derivatives to find linearly independent solutions, as well as to derive the variation of parameters method for problems with $g$-continuous coefficients. This theory is later illustrated with some examples such as the study of the one-dimensional linear Helmholtz equation with piecewise-co…
On the approximation properties of Stieltjes polynomials
本文研究Stieltjes微积分中g-多项式的逼近性质，证明当求导子g仅有有限个间断点时，g-多项式空间在一致g-连续函数空间中稠密，从而建立Weierstrass型逼近定理，并指出一般情形下闭包刻画仍是开放问题。
This work revolves around the study of differentiability in the Stieltjes sense of a product of functions. A formula for the first order derivative has been obtained in the past, which is similar to the usual one with some extra terms in its expression. The aim of this paper is to take this behavior into account to study under which conditions we can guarantee the existence of higher order derivatives, while obtaining some other interesting results for the Stieltjes derivative along the way. We also investigate the regularity of the product of two functions.
Integration of Delta Continuous Stieltjes Variational in the Plane
本文讨论了平面上推广的δ连续Stieltjes变分积分。特别地，本文给出了它的一些基本性质，并将平面上δ连续的Stieltjes变分积分看作是定义在实直线上的同类积分的推广形式[4]。定义在实直线上和平面上的δ连续Stieltjes变分积分的极大差异与它们的原函数有关。其中，如果$F$是定义在实直线上的δ连续Stieltjes变分可积$f$的原函数，则$F$是点函数。同时，在平面中，函数$F$被视为区间函数。因此，为了研究δ连续Stieltjes变分在平面上的积分的性质，通常需要以前出现的一些想法（见1。[4]中所没有的。
Existence and uniqueness of solution for Stieltjes differential equations with several derivators
本文研究各方程含不同 Stieltjes 导数的微分方程组，在 Osgood 与 Montel-Tonelli 条件下证明解的唯一性和存在性，并给出相关 Lebesgue–Stieltjes 积分性质及伪度量拓扑刻画。
Associated Stieltjes-Carlitz polynomials and a generalization of Heun's differential equation.
生成函数的Stieltjes-Carlitz多项式是一个解决方案Heun的微分方程和使用这种关系Carlitz是第一个得到确切的封闭形式的一些Heun职能。同样，相关的Stieltjes-Carlitz多项式导致一个新的微分方程，我们称之为相关Heun。由于与正交多项式的联系，我们能够推导出两个积分关系连接相关Heun函数与不同的参数，并展示了一组相关Heun函数，推广Carlitz的。作者利用其中的一部分结果导出了Stieltjes-Carlitz多项式的正交性测度的斯蒂尔切斯变换，在此给出了这一结果的一个新的推导.
Computing Stieltjes constants using complex integration
本文提出一种高效算法，通过复积分计算Stieltjes常数，实现任意精度计算并保证误差界，首次以低复杂度计算高阶项。
Some transcendental equations on the Stieltjes cone
本文研究了一类复域上属于Stieltjes锥的函数的超越方程。在一定条件下，每一个超越方程在沿负实轴截成的复平面中无解或至多有解。唯一的解是实值的，正的，有一个解析界。特殊情况包括包含指数、双曲线、幂律、对数和特殊函数的超越方程。该方法为证明某些特殊函数在沿负实轴切割的复平面的某些扇区内不存在零点提供了一种简单的方法。
Stieltjes functions of finite order and hyperbolic monotonicity
引入了一类有限型Stieltjes函数.这些连续导数满足Widder条件，直到某个有穷级，并且不一定光滑。我们表明，这样的功能有一个独特的整表示，沿着一些通用的内核，这是一个截断的洛朗级数近似的标准Stieltjes内核。然后，我们得到一个二对一的对应关系，通过对数导数，这些功能和一个子类的双曲单调函数的有限型。这一对应关系推广了第一作者较早获得的两个斯蒂尔切斯变换的HCM函数的表示。
Generalized Stieltjes transforms: basic aspects
本文综述了广义Stieltjes函数的基本性质，包括一些新的性质。引入了正合Stieltjes序的概念，给出了正合性的一个判别准则、简单的充分条件和一些典型的例子.本文包括附录，定义了半轴上测度的左侧Riemann-Liouville和右侧Kober-Erdelyi分数次积分，并给出了它们的反演公式。
Variations of Stieltjes-Wigert and q-Laguerre polynomials and their recurrence coefficients
我们看看Stieltjes-Wigert权函数的一些扩展。首先，我们将变量x替换为Askey在1989年给出的权函数族中的x^2，并且我们证明了相应的正交多项式的递推系数可以用q-离散Painlevé III方程的解来表示。接下来我们考虑q-Laguerre或广义Stieltjes-Wigert权函数的二次变换，并推导出正交多项式的递推系数的递推方程。这些结果与q-离散Painlevé V方程有关。最后，我们还考虑了小q-Laguerre权的二次变换，并证明了正交多项式的递推系数也与q-离散Painlevé V有关。
Dating back to Euler, in classical analysis and number theory, the Hurwitz zeta function $$ ζ(z,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^{z}}, $$ the Riemann zeta function $ζ(z)$, the generalized Stieltjes constants $γ_k(q)$, the Euler constant $γ$, Euler's gamma function $Γ(q)$ and the digamma function $ψ(q)$ have many close connections on their definitions and properties. There are also many integrals, series or infinite product representations of them along the history. In this note, we try to provide a parallel story for the alternating Hurwitz zeta function (also known as the Hurwitz-type Eul…
On some Rajchman measures and a solution to Salem's problem revisited
利用Fourier变换和傅里叶-斯蒂尔切斯变换的可积性质，构造了一类Rajchman测度.此外，我们表明，闵可夫斯基的问号功能？(x)是一个奇异的单调函数，属于这些类之一。这种情况导致我们对R提出的问题的严格证明。Salem（Trans. Amer. Math. Soc. 53（3）（1943），p. 439）关于这个函数的Fourier-Stieltjes系数是否在无穷远处为零的问题，其肯定解最近由作者在[13]中宣布。此外，我们推广了这个问题，证明了任何阶的傅里叶-斯蒂尔切斯变换的衍生物的措施？(x)也趋于零。
Continued fraction expansions of Herglotz-Nevanlinna functions and generalized indefinite strings of Stieltjes type
本研究借助Herglotz-Nevanlinna函数的连分数展开结果，刻画Stieltjes型广义不定弦的谱数据，并通过显式公式求解其逆谱问题。
On some Rajchman measures and equivalent Salem's problem
利用Fourier变换和傅里叶-斯蒂尔切斯变换的可积性质，构造了一类Rajchman测度.特别地，我们陈述了一个问题，并证明了它等价于R提出的已知且尚未解决的问题。Salem（Trans. Amer. Math. Soc. 53（3）（1943），p. 439）是否Fourier-Stieltjes系数的闵可夫斯基的问号函数消失在无穷大。
On the affirmative solution to Salem's problem
验证Minkowski问号函数的Fourier-Stieltjes系数在无穷远处是否为零的Salem问题最近得到了肯定的解决。本文利用经典分析和特殊函数的方法，解决了一个关于傅里叶-斯蒂尔切斯变换的线性组合在无穷远处的性质的Salem型问题。此外，作为Salem问题的结果，导出了Minkowski问号函数的幂$m\in \mathbb{N}$的Fourier-Stieltjes系数在无穷远处的渐近关系。
In this paper we prove pointwise and distributional Fourier transform inversion theorems for functions on the real line that are locally of bounded variation, while in a neighbourhood of infinity are Lebesgue integrable or have polynomial growth. We also allow the Fourier transform to exist in the principal value sense. A function is called regulated if it has a left limit and a right limit at each point. The main inversion theorem is obtained by solving the differential equation $df(t)-iωf(t)=g(t)$ for a regulated function $f$, where $ω$ is a complex number with positive imaginary part. This …
Plancherel-Rotach Asymptotics for Stieltjes-Wigert Orthogonal Polynomials with Complex Scaling
本文研究了复尺度下Stieltjes-Wigert正交多项式的Plancherel-Rotach型渐近性。渐近性的主项包含垂直线$\Re(s)=2$上的缩放参数的Ramanujan函数$A_{q}(z)$，而渐近性的主项涉及条带$0<\Re(s)<2$中的缩放参数的θ函数。在后一种情况下，标度参数的数论性质完全决定了误差项的阶数。$ $这些渐近公式可以为一些新的随机矩阵模型提供一些启示，也为特殊函数和数论之间增加了一条新的纽带。
Harnack Extension for Abstract Perron-Stiletjes Integral and Its Application in LSRSS Property
本文给出了关于巴拿赫空间的双线性三元组的连续性的一些定义，并由此进一步给出了抽象Perron-Stieltjes积分的一些性质。此外，我们扩展了该积分的Harnack扩张和Cauchy性质的概念，并将其应用于研究预先引入的抽象Perron-Stieltjes积分和LSRSS性质之间的联系。
Some relations involving the higher derivatives of the Riemann zeta function
证明了黎曼ζ函数的高阶导数可以用包含双Γ函数的积分表示。还示出了Stieltjes常数的相关积分。我们还提出了一个公式的衍生物的黎曼ζ函数完全在条款的Lehmer常数。
Regulated functions. *-integral
本书系统介绍函数论与 Stieltjes 积分理论，重点阐述有界变差函数、受控函数及 $\sigma$-连续函数，并引入 *-积分以对有界变差函数积分 $\sigma$-连续函数，其极限定理更便利，并讨论相关应用。
First order non-homogeneous q-difference equation for Stieltjes function characterizing q-orthogonal polynomials
本文利用Stieltjes函数的一个差分性质，即该函数解一阶非齐次q-差分方程，给出了某些经典q-正交多项式的一个特征.求出了上述q-差分方程（用超几何级数表示）在几种典型情况下的解，即q-Charlier，q-Kravchuk，q-Meixner和q-Hahn.
Young's functional with Lebesgue-Stieltjes integrals
对于非减实函数$f$和$g$，我们考虑泛函$ T(f,g ; I,J)=\int_{I} f(x)\di g(x) + \int_J g(x)\di f(x)$，其中$I$和$J$是具有$J\subseteq I$的区间。在具有$I=[a,t]$、$J=[a,s]$、$s\leq t$和$g(x)=x$的特定情况下，这简化为经典杨氏不等式中的表达式。本文研究了Lebesgue-Stieltjes积分的一些性质，给出了变元积分的一个新的简单证明。此外，我们制定了一个版本的杨氏不等式关于任意正有限测度的实数线，包括一个纯离散的情况下，并讨论了有关的应用程序的中位数的概率分布和求和公式，涉及值的函数和它的逆整数。
New proofs of the duplication and multiplication formulae for the gamma and the Barnes double gamma functions
利用Hurwitz zeta函数给出了Gamma函数和Barnes双Γ函数的二重公式的新证明.本文还给出了Γ函数的高斯乘法定理和双Γ函数的高斯乘法定理的简明推导。本文还提到了与Stieltjes常数的一些联系。
Scaled Asymptotics For Some $q$-Series As $q$ Approaching Unit
本文研究了一类$q$ -级数如$q\to1$的Plancherel-Rotach型渐近性。这些$q$ -级数推广了Ramanujan函数$A_{q}(z)$、Jackson的$q$ -Bessel函数$J_ν^{(2)}$（z;q）、Ismail-Masson正交多项式（$q^{-1}$ -Hermite多项式）$h_{n}(x|q)$、Stieltjes-Wigert正交多项式$S_{n}(x;q)$、$q$ -Laguerre正交多项式$L_{n}^{(α)}(x;q)$和合流基本超几何级数。
Integral representation of some functions related to the Gamma function
证明了函数Phi（x）=[Gamma（x+1）]^{1/x}（1+1/x）^x/x和log Phi（x）是斯蒂尔切斯变换.
Integral representations and properties of some functions involving the logarithmic function
利用复变函数论中的柯西积分公式，建立了涉及对数函数的几个复变函数的主分支的整表示，得到了这些函数是算子单调函数、完全Bernstein函数、Stieltjes函数等性质，验证了一个关于涉及对数函数的函数完全单调的猜想。
Integrals and Series Representations of $q$-Polynomials and Functions: Part II Schur Polynomials and the Rogers-Ramanujan Identities
给出了Ramanujan函数$A_q$和Stieltjes-Wigert多项式的几个展开式和恒等式.我们的恒等式的特殊值给出了$m$ -罗杰斯-拉马努金类型恒等式的斯莱特列表上的一些项目的版本。我们还研究了基本超几何函数理论中某些变换的双边扩张。
Nielsen's beta function and some infinitely divisible distributions
我们证明了大量特殊函数，特别是尼尔森的β函数，是2阶广义斯蒂尔吉斯函数，因此是对数完全单调的。这包括形式为$xf(x)$的函数的拉普拉斯变换，其中$f$本身是周期函数的伸缩和平移之和的拉普拉斯变换。我们的方法也适用于Gamma函数的比率，并在渐近展开的双Γ函数的Barnes。
Scaled Asymptotics For Some $q$-Series
在这项工作中，我们调查的渐近欧拉的$q$ -指数$E_{q}(z)$，$q$ -Γ函数$Γ_{q}(z)$，Ramanujan的功能$A_{q}(z)$，杰克逊的$q$ -贝塞尔函数$J_ν^{(2)}$（z;q）的第二类，Stieltjes-Wigert正交多项式$S_{n}(x;q)$和$q$ -Laguerre多项式$L_{n}^{(α)}(x;q)$作为$q$接近1。
Some new iterated hardy-type inequalities: The case $θ= 1$
本文刻画了Hardy型不等式\begin{equation*} \left\|\left\|\int_s^{\infty}h(z)dz\right\|_{p,u,(0,t)}\right\|_{q,w,\infty}\leq c \,\|h\|_{1,v,\infty} \end{equation*}的有效性，其中$0<p< \infty$，$0<q\leq +\infty$，$u$，$w$和$v$是$(0,\infty)$上的权函数.指出该刻画可用于单调函数锥上Hardy型算子和广义Stieltjes算子加权Lebesgue空间有界性的新刻画.
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