Algebraic Surfaces and their Moduli Spaces: Real, Differentiable and Symplectic Structures
Fabrizio Catanese
文章调查发表和尚未发表的结果约模空间的代数曲面。
The article surveys published and not yet published results about moduli spaces of algebraic surfaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Singular symplectic moduli spaces
在K3或阿贝尔曲面上的半稳定层的模空间关于一般的充分因子被证明是局部阶乘的，除了K3或阿贝尔曲面的对称乘积和O 'Grady发现的一类模空间。因此，由于不属于这些例外情况的奇异模空间在余维$\geq4$中具有奇异性，因此它们不允许射影辛分解。
Some remarks on moduli spaces of lattice polarized holomorphic symplectic manifolds
构造了$K$ -一般格极化不可约全纯辛流形的拟投射模空间。此外，我们还研究了它们的Besthet-Borel紧化，并研究了一维边界分量与镜像流形上的有理Lagrange纤维化的等价类之间的关系。
The symplectic structure on the moduli space of line bundles on a noncommutative Azumaya surface
本文证明了K3-曲面上Azumaya代数上秩为1的无扭模的模空间是等价于K3-曲面上点的Hilbert格式的不可约辛簇变形。
Symplectic structure on a moduli space of sheaves on the cubic fourfold
构造了一个10维的三次4重扭层辛模空间。它参数化了三次4重超平面截面上的稳定秩2向量丛，这些超平面截面是由Serre构造的正规椭圆五次线得到的。自然投影到对偶投影5-空间参数化超平面部分是拉格朗日纤维化。在模空间上的Yoneda对诱导出的辛结构与拟辛结构密切相关（并且在理论上是相等的）。
On the moduli spaces of parabolic symplectic orthogonal bundles on curves
证明了平滑曲线上抛物辛/正交丛的模空间是整体F正则型的.其结果是，所有高的上同调θ线丛消失。在证明过程中，我们提出了一种估计余维的方法，并考虑了抛物型$G$丛的无限格拉斯曼数。
Moduli Spaces of Sheaves on K3 Surfaces and Symplectic Stacks
我们将K3曲面上半稳定层的模空间看作是一个整体商栈，并利用Quot格式计算其余切复形。有关事实的经典和减少Atiyah类进行审查。我们还定义了一个辛栈的概念，并表明，它包括所有的半稳定层上的K3表面的模栈。
Symplectic moduli space of 1-dimensional sheaves on Poisson surfaces
本文研究 Poisson 射影曲面上一维层的模空间，证明其光滑轨迹上的 Poisson 结构源于自然辛结构的约化。
Equivariant categories of symplectic surfaces and fixed loci of Bridgeland moduli spaces
给定有限群$G$在光滑射影簇$X$的导出范畴上的作用，我们将$G$ -作用在$D^b(\mathrm{Coh}(X))$中稳定对象的模空间上的不动轨迹与等变范畴$D^b(\mathrm{Coh}(X))_G$中稳定对象的模空间联系起来.作为应用，我们得到了辛作用在辛曲面的导出范畴上的等变范畴等价于曲面的导出范畴的一个判别准则。这推广了导出的McKay对应，并产生了一个一般的框架，用于描述固定轨迹的辛群作用在模空间上的辛曲面上的稳定对象。
Moduli spaces of polarized irreducible symplectic manifolds are not necessarily connected
我们证明了固定极化型的$K3^{[n]}$型极化不可约辛流形的模空间并不总是连通的。这可以作为Eyal Markman对$K3^{[n]}$型极化平行输运算子的特征化的结果导出。
Automorphisms of moduli spaces of symplectic bundle
设X是亏格至少为3的不可约光滑复射影曲线。将一个线丛L固定在X上。设M_{Sp}（L）是X上辛丛（E，ExE -> L）的模空间，其辛形式取值于L.证明了M_{Sp}（L）的自同构群是由E到ExM的自同构和X的自同构诱导的自同构生成的，其中M是2-挠线丛.
Simplicity of tangent bundles on the moduli spaces of symplectic and orthogonal bundles over a curve
与Hecke曲线相关的各种最小有理切线被J. M.Hwang [8]证明了曲线上向量丛模的切丛的简单性。本文利用辛和正交Hecke曲线的切映射证明了辛和正交丛的一个类似结果。特别是，我们显示的非退化的相关品种的最小合理的切线，这意味着简单的模空间上的辛和正交丛的曲线上的切丛。我们还表明，对于足够大的亏格，切映射是一个嵌入一般辛或正交丛。
Irreducible symplectic varieties from moduli spaces of sheaves on K3 and Abelian surfaces
证明了射影K3曲面上层的模空间是不可约辛簇，阿贝尔曲面上层的模空间的Albanese映射的纤维也是不可约辛簇.
O'Grady spaces and symplectic resolution of moduli spaces of Higgs bundles
我们在这里描述了一个退化的辛desingularization的模空间的拓扑平凡的$GL(2,\mathbb{C})$和$SL(2,\mathbb{C})$ -希格斯丛在超椭圆曲线，到O '格雷迪的10和6维例外的例子，不可约的全纯辛流形。本文的大部分内容是对Donagi-Ein-Lazarsfeld、de Cataldo-Maulik-Shen和Felissetti-Mauri关于这些退化的工作的综述，尽管在某些情况下我们提供了前几篇文章中缺少的细节。
Relative Log-Symplectic structure on a semi-stable degeneration of moduli of Higgs bundles
在最近的一篇论文\cite{3}中，构造了曲线上Higgs丛的模空间的半稳定退化.在本文中，我们表明，有一个相对的对数辛形式的退化，其限制的一般纤维是古典辛形式发现的Hitchin。我们计算泊松秩在每一点上，并描述辛叶理上的封闭纤维。我们还表明，闭纤维，这是一个品种与正规交叉奇点，获得一个代数完全可积系统的结构。
Minimal rational curves on the moduli spaces of symplectic and orthogonal bundles
设$C$是亏格$g$的代数曲线，$L$是$C$上的线丛.设$\mathcal{MS}_C(n,L)$和$\mathcal{MO}_C(n,L)$分别是秩为$n$的$C$上的$L$值辛丛和正交丛的模空间.我们在这些模空间上构造了有理曲线，推广了向量丛的模空间上的Hecke曲线.作为主要结果，我们证明了这些Hecke型曲线在通过模空间的一般点的有理曲线中具有最小度。作为它的副产品，我们证明了非交换的Torelli定理，并计算了模空间的自同构群。
Symplectic structures on moduli spaces of framed sheaves on surfaces
我们提供的Atiyah类和Kodaira-Spencer地图的情况下，框架层的概念的概括。此外，我们构造了曲面上框架层的模空间上的闭二形式。作为应用，我们在某些双有理直纹曲面上的框架层的模空间上定义了一个辛结构。
Connected components of moduli spaces of irreducible holomorphic symplectic manifolds of Kummer type
与$K3$曲面上点的Hilbert格式等价的极化（极化类型固定）不可约全纯辛流形变形的模空间一般不连通，A.阿波斯托洛夫数了数它们的组成部分。我们扩展Apostolov的结果的情况下，流形变形相当于广义库默尔品种。
Moduli of rank 4 symplectic bundles over a curve of genus 2
设X是亏格为2的光滑不可约复射影曲线。X上秩为4的半稳定辛向量丛的模空间M_2是一个维数为10的簇。在综合了X上秩为2的奇次向量丛的一些结果之后，我们利用一族5维射影空间构造了M_2的一般有限覆盖，并给出了一些应用。
A stratification on the moduli spaces of symplectic and orthogonal bundles over a curve
曲线上秩为$2n$的辛或正交丛$V$有一个不变式$t(V)$，它度量秩为$n$的迷向子丛的最大度。这个不变的$t$定义了辛和正交丛的模空间上的分层。我们研究这个分层有关的另一个割线品种在某些扩展空间。给出了$t(V)$上的一个精确上界，它推广了直纹曲面的Nagata界和向量丛的Hirschowitz界，并研究了模空间上的分层结构.特别地，我们计算每个层的维度。我们给出了一个几何解释的最大拉格朗日子丛的一般辛丛，当这是有限的。我们还观察到一些有趣的功能，正交束不出现辛束，基本上是由于更丰富的拓扑结构的模空间在正交的情况下。
Non-symplectic automorphisms of K3 surfaces with one-dimensional moduli space
当$φ(n)=8$或$10$为纯非辛自同构$σ$时，K3曲面$X$的模空间是一维的。本文对这类模空间的最大维不可约分支的非常一般的成员$(X,σ)$进行了分类，并给出了明确的方程。特别是，我们表明，有一个独特的一维组件$n=20,22, 24$，三个不可约组件$n=15$和两个组件在其余的情况下。
Symplectic structures on moduli spaces of sheaves via the Atiyah class
当S上的一个全纯2-形式诱导出某个基S上层的模空间上的一个全纯2-形式时，有几种情形是已知的。此外，2-形式在基上的闭性意味着模空间上的闭性，这提供了模空间上的辛结构（Mukai，Kobayashi，O 'Grady，Tyurin，Huybrechts-Lehn）。一个平行的理论被发展为双向量场和泊松结构（Bottacin）。然而，在没有全纯形式的基上存在层的辛模空间。一个著名的例子（Beauville-Donagi）是三次四重Y上的直线族，它可以被认为是参数化Y中直线结构层的模空间。本文利用层的Atiyah类给出了层的模空间上的闭2-形式的一般构造，并证明了这种构造提供了两个例子中的辛结构：第一个是Y上的直线族，第二个是支撑在Y的超平面截面上的层的模空间，这些层是这些超平面截面的Pfronian表示的上核。
Moduli of symplectic instanton vector bundles of higher rank on projective space $\mathbb{P}^3$
射影空间$\mathbb{P}^3$上的辛瞬子向量丛构成秩为2的数学瞬子的自然推广。利用$r\ge2$和第二类$n\ge r,\ n\equiv r({\rm mod}2)$研究了$\mathbb{P}^3$上秩- $2r$辛瞬子向量丛的模空间$I_{n,r}$.我们给出了一个明确的建设不可约的组成部分$I^*_{n,r}$这个空间的每个这样的值$n$，并表明$I^*_{n,r}$具有预期的尺寸$4n(r+1)-r(2r+1)$。
Symplectic desingularization of moduli space of sheaves on a K3 surface
设$X$是具有一般极化$\cO_X(1)$的射影K3曲面，$M_c=M(2,0,c)$是秩为2的$X$上的半稳定无挠层的模空间，其Chern类为$c_1=0$和$c_2=c$ .当$c=2n\ge 4$是偶数时，$M_c$是奇异投射簇。我们表明，有没有辛去奇异的$M_{2n}$，如果$\frac{n a_n}{2n-3}$是不是一个整数，其中$a_n$是希尔伯特计划的欧拉数$X^{[n]}$的$n$点在$X$。
Torelli theorem for the moduli space of symplectic parabolic Higgs bundles
设$(X,D)$和$(X',D')$是两个亏格为$g \geq 4$的紧致黎曼曲面，其特征点集为$D \subset X$和$D' \subset X'$ .固定一个具有平凡抛物结构的抛物线丛$L$。设$\mathcal{N}_{\textnormal{Sp}}(2m,α,L)$和$\mathcal{N}'_{\textnormal{Sp}}(2m,α,L)$分别是$X$和$X'$上稳定的辛抛物Higgs丛的模空间，其秩为$2m$，抛物结构为固定的$α$，辛形式取值于$L$ .证明了如果$\mathcal{N}_{\textnormal{Sp}}(2m,α,L)$同构于$\mathcal{N}'_{\textnormal{Sp}}(2m,α,L)$，则$X$和发送$D$到$D'$的$X'$之间存在同构.
Anti-symplectic involutions on moduli spaces of sheaves on K3 surfaces via auto-equivalences
本文利用K3曲面上由球面丛诱导的导出范畴自等价构造了稳定层模空间上的新反辛对合，并统一推广了Beauville对合、Markman-O'Grady反射及Beri-Manivel构造等经典例子。
Semiprojectivity and very stability in moduli of symplectic and orthogonal parabolic Higgs bundles
本文研究了辛和正交抛物Higgs包模空间的半射影性与非常稳定性，证明了稳定辛抛物包的非常稳定性条件，并讨论了其在正交情况下的应用。
Brauer group of moduli of parabolic symplectic bundles
研究抛物辛稳定束模空间的光滑部分的 Brauer 组，通过计算辛形式值域为 $L(D)$ 的情况下的 Brauer 组。
Some moduli stacks of symplectic bundles on a curve are rational
设C是域k上亏格至少为2的光滑射影曲线。给定C上的线丛L，我们考虑C上的秩为2n的向量丛E的模栈，赋予无处退化的辛形式$b: E \otimes E \to L$直到纯量。我们证明了当n和L的次数都是奇数且C中有一个k-有理点和一个平方非平凡的0次线丛时，这个栈是BG_m乘以仿射空间A^s的双有理栈.由此可见，在这种情况下，相应的粗模方案是有理的。
Moduli spaces on Kuznetsov components are Irreducible Symplectic Varieties
本文研究立方四胞体Kuznetsov分支中具非本原非OG10型Mukai向量的Bridgeland半稳定对象模空间，证明其为具因子终端奇点的射影不可约辛簇，形变类由m和v₀²唯一确定，推广并拓展了此前相关模空间的研究结果。
KSBA compactification of the moduli space of K3 surfaces with purely non-symplectic automorphism of order four
我们描述了K3曲面的五维模空间的KSBA稳定对的紧化，其中K3曲面具有四阶纯非辛自同构和$U(2)\oplus D_4^{\oplus2}$晶格极化。这些K3曲面可以实现为沿特定$(4,4)$曲线分支的$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$的双重覆盖的最小分辨率。我们证明了，直到有限群作用，这种稳定的对紧化同构于Kirwan的部分去奇异的GIT商$(\mathbb{P}^1)^8//\mathrm{SL}_2$与对称线性化。
Virtual moduli cycles and Gromov-Witten invariants of general symplectic manifolds
我们构造了一般辛流形的Gromov-Witten不变量。
Symplectic leaves of meromorphic Hitchin systems
本文重新研究了Bottacin和Markman独立发现的亚纯Higgs丛模空间的Poisson结构的辛叶，通过限制Hitchin映射的部分紧化构造了代数完全可积系统，并证明了该紧化由ξ-抛物Higgs丛模空间实现，同时提供了辛叶闭包正规化的辛解消。
Desingularized moduli spaces of sheaves on a K3, II
在预印本alg-geom/9708009中，我们构造了$K3$上秩为2的无挠半稳定层的模空间的（10维）辛去奇异化，其中平凡行列式和第二陈类等于4。本文证明了这种去奇异化的每一个变形都是一个新的不可约辛簇。更精确地说，我们证明了去奇异化是不可约辛的，它的第二个贝蒂数至少是24。
A smooth but non-symplectic moduli of sheaves on a hyperkähler variety
该数学研究针对n>1的广义Kummer簇上的稳定向量丛，证明了含0次线丛相关 tautological 丛的模空间连通分支同构于对偶阿贝尔曲面的单点爆破，给出首个具非平凡典范丛的光滑模分支显式例。
Finite-dimensional construction of self-duality and related moduli spaces over a closed Riemann surface as stratified holomorphic symplectic spaces
本文通过有限维全纯辛约简，在闭黎曼曲面上构建自对偶性及相关模空间的分层全纯辛结构。
P=W conjectures for character varieties with symplectic resolution
本文建立了具有结构群$\mathrm{GL}_n$和$\mathrm{SL}_n$的特征标簇的P=W和PI=WI结构，它们允许辛分解，即亏格1和任意秩，亏格2和秩2.我们制定的P=W猜想决议，并证明它的辛决议。我们利用Higgs丛的Dolbeault模空间的双有理和拟泰勒修正的拓扑。为此，我们证明了辅助结果的独立利益，如建设的相对紧化的霍奇模空间约简代数群，和射影的紧化的德拉姆模空间。特别是，我们详细研究了Dolbeault模空间，它是O 'Grady 6型奇异不可约全纯辛簇的特殊化。模空间。
On the essential dimension of symplectic vector bundles over curves
该研究针对特征零域上亏格≥2的光滑几何连通射影曲线，借助辛丛模叠的通用gerbe周期为2的特性，精确计算出辛丛模叠的本质维数，弥补了向量丛情形下无法精确计算的相关问题。
Degenerations of shifted symplectic moduli stacks of sheaves
本文通过推广 Brav--Dyckerhoff 的构造，证明了 Calabi--Yau 族上凝聚层的导出模叠具有相对平移辛结构，并识别其为伪完美对象模的子叠，为枚举几何提供了潜在应用。
Symplectic resolutions for Higgs moduli spaces
本文研究亏格为$g$的紧致Riemann曲面$X$上的次数为$0$、秩为$n$的Higgs丛的奇异模空间的代数辛几何.特别地，我们证明了这样的模空间在Beauville [Bea00]意义下是辛奇点，并且允许射影辛归结当且仅当$g=1$或$(g, n)=(2,2)$ .这些结果是Bellamy和Schedler [BS 16]通过所谓的等奇异性定理的最新论文的应用。
$\mathbb{A}^1$-connectedness of moduli of semistable bundles and symplectic bundles on a curve
本文证明无限域上光滑射影曲线半稳定向量丛（固定行列式）及辛向量丛模栈的 $\mathbb{A}^1$-连通性，条件依赖于有理点存在，并推广至拟抛物情形。
Moduli spaces of irreducible symplectic manifolds
研究了极化不可约辛流形的模空间。通过与20维正交型局部对称流形的比较，我们证明，如果d至少为12，则变形等效于K3曲面的2次Hilbert格式的2d极化（分裂型）辛流形的模空间是一般型的。
The cluster symplectic double and moduli spaces of local systems
我们证明了一个猜想的福克和Goncharov提供了一个双有理等价的集群品种称为集群辛双和一定的模空间的局部系统与表面。
On moduli spaces of symplectic forms
证明了对于任意n，存在允许n个辛形式元组的单连通四流形，其第一陈类在积分上同调中具有两两不同的整除性。因此，在这样的流形上的辛形式模同态的模空间至少有n个连通分支。
Symplectic resolutions of moduli spaces of $G$-Higgs bundles
研究紧致黎曼曲面上$G$-希格斯丛模空间的辛奇点，当$G$半单时研究其辛分解。
Brill--Noether loci on moduli spaces of symplectic bundles over curves
辛Brill-Noether轨迹${\mathcal S}_{2n, K}^k$与曲线$C$参数化稳定秩$2n$束在$C$至少有$k$部分，并携带一个非退化反对称双线性形式的值在典范丛。这是一个对称的行列式簇，其切空间由对称的Petri映射定义。我们得到了上界的尺寸${\mathcal S}_{2n, K}^k$的各个组件。我们显示了几个${\mathcal S}_{2n, K}^k$的非空性，并在大多数情况下，也存在一个组件，这是一般顺利和预期的尺寸。作为应用，对于$n$和$k$的某些值，我们展示了标准Brill-Noether轨迹$B^k_{2n, 2n(g-1)}$在属$g \ge 122$的任何曲线上的多余维数的分量。对于协调系统的模空间，我们也得到了类似的结果。
On the period of Li, Pertusi and Zhao's symplectic variety
本文将OG10型层模空间的经典结果推广至三次超曲面Kuznetsov分量上的Bridgeland半稳定对象模空间，确定了此类簇的周期，并据此分析其与K3曲面层模空间双有理等价的条件。
Intersection theoretic properties on the moduli space of genus 0 stable maps to a semipositive symplectic 4-manifold
我们刻画了亏格为0的稳定映射到4维半正辛流形的模空间上的横截性、非横截性，当GW（[点]，. [点]）是枚举的。特别地，我们证明了相交理论的性质依赖于稳定映射上临界点的存在。
Shifted symplectic rigidification
本文研究了Calabi-Yau簇上sheaves模空间的偏移辛导出增强结构，并证明了非正移位辛导出Artin堆上任何Bℤ_m作用是哈密顿的，同时构造了辛刚性化函子。
Generators of the cohomology ring of moduli spaces of sheaves on symplectic surfaces
设M是K3或Abel曲面S上稳定层的模空间。我们用一个泛层的陈类来表示M的平方中的对角线类。从而得到了M的上同调环的生成元.当S是K ~ 3，M是子格式长度为n的Hilbert格式时，在稳定上同调环中，这组生成元足够小，使得它们之间没有任何关系.当S是黎曼曲面的余切丛时，我们恢复了T的结果。Hausel和M. Thaddeus：Higgs丛的模空间的上同调环由泛类生成。
Moduli spaces of polarised symplectic O'Grady varieties and Borcherds products
研究了O 'Grady的十维不可约辛流形的模空间。这些模空间是21维模簇的覆盖，即厄米对称域被适当的算术群所覆盖。这种情况的有趣和新的方面是，所讨论的群严格大于稳定的正交群。这使得它不同于K3和K3^[n]的情况，它们分别是19维和20维。
Symplectic automorphisms and the Picard group of a K3 surface
研究了有限群G在K3曲面上的辛作用. K3曲面的Picard群有一个由G.我们展示了如何计算这个子格的秩和判别式。然后，我们描述了模空间的K3曲面与辛G-作用，推广的结果Nikulin在阿贝尔的情况下。我们使用我们的模空间来发展分类群G的所有可能的辛作用的技术。
Equivariant Cohomology of the Moduli Space of Genus Three Curves with Symplectic Level Two Structure via Point Counts
利用有限域上的点计数方法，对具有辛二阶结构的亏格为三的曲线的模空间进行了上同调计算。特别是，我们确定的上同调群的四次轨迹表示的对称群的七个元素。
On moduli spaces of vector bundles on $K3^{[n]}$-type IHS manifolds
研究$K3^{[n]}$型不可约辛流形上模向量丛的模空间，在数值条件下证明其连通分支仍为$K3^{[n]}$型辛流形，且万有族诱导与原流形的导出等价。
Framed symplectic sheaves on surfaces
光滑射影曲面$X$上的框架辛层是一个无挠层$E$，它是一个除子$D\subseteq X$上的平凡化层和一个满足某些附加条件的态射$Λ^{2}E\rightarrow\mathcal{O}_{X}$。构造了曲面上框架辛层的模空间，并对$X=\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{2}$进行了详细的研究。在这种情况下，模空间是不可约的，并允许一个ADHM型描述和一个双有理真映入到框架辛理想瞬子空间中。
On moduli spaces of sheaves on K3 or abelian surfaces
我们研究了射影K3和阿贝尔曲面上的一维和二维层的模空间，这些层关于非一般的充分因子是半稳定的，并且关于辛可解性是半稳定的。我们可以排除这样一些新的例子：在K3曲面上一维半稳定层的模空间的分量上，以及在K3曲面上二维层的许多模空间的分量上，特别是在秩为2的层的分量上，双有理地存在投影不可约辛流形。
On the moduli space of holomorphic G-connections on a compact Riemann surface
设$X$是亏格至少为2的紧致连通Riemann曲面，$G$是连通约化复仿射代数群.黎曼-希尔伯特对应产生一个biholomorphism之间的模空间${\mathcal M}_X(G)$ parametrizing全纯$G$-连接$X$和$G$ -字符品种$${\mathcal R}(G):= \text{Hom}(π_1(X, x_0), G)/\!\!/G\, .$$虽然${\mathcal R}(G)$是已知的仿射，我们表明，${\mathcal M}_X(G)$是不仿射。方案${\mathcal R}(G)$具有Goldman构造的代数辛形式。我们在${\mathcal M}_X(G)$上构造了一个代数辛形式，它具有Riemann-Hilbert对应拉回到Goldman辛形式的性质，因此，尽管Riemann-Hilbert对应是非代数的，但它对Goldman辛形式的拉回仍然是代数的.
Lie algebras of symplectic derivations and cycles on the moduli spaces
本文考虑自由结合代数上的导子组成的李代数，这些导子由闭定向曲面的第一个同调群生成，它们杀死了辛类。我们找到了这个李代数的第一个非平凡阿贝尔化，并通过Kontsevich定理讨论了它与曲线模空间的不稳定上同调类的关系。
Holomorphic pre-symplectic form on the nested Hilbert scheme $\mbox{Hilb}^{3,4}(\mathbb{C}^2)$
我们认为前hyperkähler结构的模空间上的框架标志层$\mathcal{F}(1,3,1)$的射影平面$\mathbb{P}^2$通过适应的ADHM建设框架层。然后，我们研究了模空间中全纯准辛形式的退化点，并对其进行了分类。
Differentiable and deformation type of algebraic surfaces, real and symplectic structures
讲座1：投影和凯勒流形，恩里克分类，施工技术。讲座2：一般类型的曲面及其典范模型。变形等价和奇异性。第三讲：变形与复同态，一般类型曲面的规范辛结构。第四讲：无理束、轨道基本群和与乘积同构的曲面。第五讲：Lefschetz铅笔，辫子和映射类群，以及ABC曲面的类同态。结语：一般型曲面的变形、自同构和自同构型。
Equivariant Moduli Theory on $ K3 $ Surfaces
本文研究有限群辛作用下$K3$曲面上层的等变模空间，利用Gieseker与Bridgeland模空间的联系及导出McKay对应，证明其为与点的Hilbert概形形变等价的不可约辛流形。
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