发表机构
Harish-Chandra Research Institute; Homi Bhabha National Institute; School of Mathematical Sciences, National Institute of Science Education and Research（Harish-Chandra 研究所; 霍米·巴哈国家研究所; 国家科学教育与研究学院数学科学学院）
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本文证明无限域上光滑射影曲线半稳定向量丛（固定行列式）及辛向量丛模栈的 $\mathbb{A}^1$-连通性，条件依赖于有理点存在，并推广至拟抛物情形。
AI 中文摘要
在这篇注记中，我们证明：在无限域 $k$ 上的几何不可约光滑射影曲线上，具有固定行列式的半稳定向量丛的模栈是 $\mathbb{A}^1$-连通的，当且仅当该模栈具有一个 $k$-有理点。为此，我们使用 Langton 在族层面上对向量丛进行的初等修改。此外，我们还证明了：在无限域 $k$ 上，亏格 $g \ge 2$ 的光滑射影曲线 $C$（满足 $C(k)\neq \emptyset$）上，取值于固定线丛 $L$ 的辛向量丛模栈是 $\mathbb{A}^1$-连通的。作为应用，我们推导出取值于固定线丛的拟抛物辛向量丛模栈的 $\mathbb{A}^1$-连通性。
英文摘要
In this note, we show that over a geometrically irreducible smooth projective curve over an infinite field $k$, the moduli stack of semistable vector bundles of fixed determinant is $\mathbb{A}^1$-connected if and only if the moduli stack admits a $k$-rational point. For this we use Langton's elementary modifications for vector bundles at the level of families. In addition, we prove the $\mathbb{A}^1$-connectedness of the moduli stack of symplectic bundles with forms valued in a fixed line bundle $L$ on a smooth projective curve of genus $g \ge 2$ over an infinite field $k$ with $C(k)\neq \emptyset$. As an application, we deduce the $\mathbb{A}^1$-connectedness of moduli stack of quasi-parabolic symplectic vector bundles with forms valued in a fixed line bundle.
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