A remarkable sequence of integers
Victor H. Moll, Dante Manna
本文综述了四次定积分计算中出现的系数序列的性质。这些性质是分析，组合和数论性质。
A survey of properties of a sequence of coefficients appearing in the evaluation of a quartic definite integral is presented. These properties are of analytical, combinatorial and number-theoretical nature.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A remarkable sequence related to $π$ and $\sqrt{2}$
我们证明了在On-Line Encyclopedia of Sequences中定义条目A086377的五种方法确实导致相同的整数序列。
Tree morphisms, transducers, and integer sequences
换能器整数序列的概念被认为是通过一系列的例子。根据定义，转换器整数序列是在适当的解释下，由有限自动机编码树态射（词的长度和前缀保持变换）产生的整数序列。变换器整数序列与自相似群和半群的概念以及自动序列的概念有关。
A note about invariant polynomial transformations of integer sequences
利用经典的不变量理论方法，给出了一个求整数序列的不变多项式变换的算法。
On the Gap-sum and Gap-product Sequences of Integer Sequences
在本文中，我们探讨了与合适的整数序列相关联的两类序列：间隙和序列和间隙积序列。这些是不在原始序列中的连续数的和与积。我们给出了封闭的形式，在原始序列，并在Horadam序列的情况下，我们发现的间隙和序列的生成函数。对于某些初等序列，我们指出了缺口积序列是由Fuss-Catalan-Raney数给出的。
Integer Sequences and Output Arrays
第一作者最近在OEIS中引入了一个现在编号为A355519的整数序列。这个数列是从计数括号竞赛中产生的;它的研究唤起了对加泰罗尼亚三角形（OEIS中的数列A009766）和相关加泰罗尼亚数（OEIS中的数列A000108）的分析。因此，我们介绍了一个一般的建设，这些序列放在同一个立足点，并提出了许多新的整数序列。我们提供了执行这种构造的代码和一个很长的示例列表。该构造确定从输入序列到输出序列的函数。一些结果输出序列在OEIS中，而另一些则不在。
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
本文简要介绍了On-LineEncyclopediaofSequences（OEIS）。OEIS是一个包含近90，000个整数序列的数据库，按字典顺序排列。序列的条目列出了初始术语（50到100个，如果有的话）、描述、公式、生成序列的程序、参考文献、相关网页的链接和其他信息。
Non-recursive expressions for even-index Bernoulli numbers: A remarkable sequence of determinants
伯努利数通常用其较低的指数来表示（递归）。本文给出了偶数指数Bernoulli数的显式公式。这些公式包含了一系列显著的行列式。这些决定因素的价值为可变尺寸的调查。
My Favorite Integer Sequences
本文简要介绍了作者的数据库的整数序列，现在超过35岁，连同一些最有趣的序列表中的选择。提到了许多尚未解决的问题。
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Diatomic Sequence
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制带符号数字表示是整数的另一种表示，在高效计算、编码理论和密码学中有很多用途。我们在这里链接这两个想法，表明$i$位二进制符号数表示的整数$n$与$n<2^i$是$(2^i-n)^\text{th}$元素斯特恩的双原子序列。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数整数。
Long regularly-spaced and convex sequences in dense sets of integers
设A是在有限区间内稠密的整数集.我们建立了A和A-A的最长正则凸子集的上界和下界。
"A Handbook of Integer Sequences" Fifty Years Later
直到1973年，还没有整数序列的数据库。有人遇到序列1，2，4，9，21，51，127，...没有办法发现它自1870年以来一直在研究（今天这些被称为Motzkin数，并形成数据库中的条目A001006）。1973年，随着《生物序列手册》的出版，一切都改变了，该手册列出了2372个条目。这份报告描述了数据库从“手册”到目前形式的“在线序列百科全书”（或OEIS）的50年演变，其中包含360，000个条目，每天接受100万次访问，并被引用10，000次，通常带有评论说“多亏了OEIS”。
Effective formulas for linear recurrence sequences of integers
提出了计数组合学中有效公式的一个新定义。我们概述的事实证明，每一个线性递归序列的整数有这样一个公式。它从一个下界得出，该下界可以从Skolem-Mahler-Lech定理和子空间定理推导出来。我们将在本扩展摘要的完整版本中详细介绍P. Corvaja的这一推论。
How long can $k$-Göbel sequences remain integers?
受漫画启发，研究$k$-Göbel序列的整数性，证明对任意$k\geq2$，前19项（$n\leq18$）均为整数。
The characteristic sequence of the integers that are the sum of two squares is not morphic
本研究针对Tahay提出的两平方和整数的0-1特征序列是否为态射序列的问题，给出了否定答案，补充了该序列非自动性之外的非态射性结论。
Remarkable relations between the central binomial series, Eulerian polynomials, and poly-Bernoulli numbers
负整数处的中心二项级数表示为某两个多项式值的线性组合。我们证明了其中一个多项式是二元欧拉多项式的特殊值，另一个多项式与多伯努利数的反对角和有关。作为应用，我们证明了Stephan在2004年的观察。
A characterization of Büchi's integer sequences of length 3
本文给出了整数上长度为3的广义Büchi序列（其平方序列具有常数二次差$(a)$，对某个固定整数$a$）的一个新的刻画，并给出了攻击Büchi n方问题的一个策略.长度为3的整数Büchi序列的已知特征实际上是有理数上的特征，加上一些保持整数序列的整除性准则。
On arithmetic sums of Cantor-type sequences of integers
本文研究类似经典 Cantor 集的整数集及其和集结构，重点分析 B={⌊p^nα⌋} 的子集和 FS(B)，证明 p=2 时其自和覆盖自然数集，并给出 p>2 时的结构定理。
Exponent Lifting Property of Integer Sequences
本文研究了具有指数提升性质的整数序列，指数提升性质是Fibonacci或Lucas序列中常见的一个性质。
The Hofstadter consecutive-sum sequence omits infinitely many positive integers
研究Hofstadter连续求和序列的渐进行为，证明序列下界与上界，证明序列排除无限多个正整数，解决OEIS A005243猜想。
Integer solutions of a sequence of decomposable form inequalities
本文证明了可分解形式不等式的整数解的有限性。我们还研究了可分解形式不等式序列的整数解的个数。
On sequences of integers with small prime factors
本文证明了最大素因子缓慢增长的整数序列中，相邻项的差趋于无穷大。
On Integer Sequences Associated To Two Distinct Sums
本文证明了存在长度至少为3（7除外）的整数序列，使得对于位置$i\equiv 1\pmod{4}$（分别为位置$j\equiv 3\pmod{4}$）上的每个整数，从左到右计数，该整数与相邻整数之和为常数$x$（分别为$y$）与$x\ne y$ .
Sequences of odd numbers, even numbers and integer squares: gaps in frequency distributions of unit's digits of minor totals
本文考虑了几个整数序列的次和中单位数的出现。这些序列包括偶数序列、奇数序列和$p = 2$上的Faulhaber多项式。应用差分表可以预测哪些数字可以作为序列的次总计中的单元数字出现。某些数字的缺失（频率分布中的“间隙”）通常取决于所应用的编号系统。然而，在奇数“整数的情况下，在从3到10的基数的所有编号系统下都可以找到间隙。
Multimodal sequences and their generating functions
本文定义整数多模态序列（单峰序列的推广），研究其生成函数，证明等和序列的双射，并揭示其在单位根处变为有限级数的性质。
Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
Integers representable as differences of linear recurrence sequences
设$\{U_n\}_{n \geqslant 0}$和$\{G_m\}_{m \geqslant 0}$是定义在整数上的两个线性递归序列。当$x$趋于无穷大时，我们建立了$[-x, x]$范围内的整数个数$c$的渐近公式，它可以表示为差$ U_n - G_m$.特别地，这样的整数的密度是$0$。
Representations of integers as sums of primes from a Beatty sequence
研究了由固定的Beatty序列$B_{α,β}$表示整数为素数和的问题，其中$α>1$是无理的有限型.
On a sequence of polynomials with hypothetically integer coefficients
第一作者介绍了一个递归定义的多项式序列（\cite{8}，序列A174531）。本文的主要结果之一是证明了其系数的完整性。
Polynomially growing integer sequences all whose terms are composite
本文刻画使序列 $\lfloor n^t/d\rfloor$ 仅含有限多个素数的正整数参数对 $(t,d)$。
Integers representable as differences of linear recurrence sequences
设$\{U_n\}_{n \geq 0}$和$\{V_m\}_{m \geq 0}$是两个线性递归序列。我们建立了$[-x, x]$范围内的整数个数$c$的一个渐近公式，它可以表示为差$ U_n - V_m$。特别地，这样的整数的密度是$0$。
A universal sequence of integers generating balanced Steinhaus figures modulo an odd number
在本文中，我们部分地解决了一个公开的问题，由于J. C. Molluzzo在1976年提出了一个正整数$n$模的平衡Steinhaus三角形的存在性，即包含$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有元素的Steinhaus三角形具有相同的重数。对于每一个奇数$n$，通过线性元胞自动机生成杨辉三角形模$n$，在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中建立一个轨道，其中包含无穷多个平衡Steinhaus三角形.在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中，这个轨道是从一个称为通用序列的整数序列中得到的。证明了在$n$是奇素数幂的情况下，对于至少$2/3$的容许大小，存在平衡的Steinhaus三角形.其他平衡的斯坦豪斯图形，如斯坦豪斯三角形、广义杨辉三角形、帕斯卡三角形或菱形，也出现在通用序列模$n$奇数的轨道上。我们证明了平衡广义杨辉三角形的存在性至少$2/3$的容许大小，在$n$是一个奇素数的权力的情况下，和平衡菱形的存在性的所有容许的大小，在$n$是一个平方免费的奇数。
Remarkable and Reversible Prime Number Patterns
将素数多重态分类和模式推广到负整数。研究了从素数到单素数幂的推广。给出了等距的素数七元组。它还表明，每一类广义孪生素数的分类包含一个正的分数的所有素数对。
Integer Sequences which Are Closed with Respect to Multiplication and whose Sumset does not Intersect the Sequence
研究具有乘法封闭且和集不与自身相交性质的递增整数序列，判断其是否为极大序列，确定了三个族中序列是否为极大的。
A Note On The Spectral Norms of The Circulant Matrices Connected Integer Number Sequences
本文计算了与整数序列有关的矩阵的谱范数，并给出了Fibonacci数、Lucas数、Pell数和Perrin数的例子。
On the $P_1$ property of sequences of positive integers
众所周知，对于任何具有整数系数的非常数多项式$P$，序列$(P(n))_{ n\in \mathbb N}$具有这样的性质，即存在无限多个素数来划分该序列的至少一项。当然，有一个基于孙子剩余定理的证明。本文给出了揭示序列这一性质的两个分析准则的证明。
On certain positive integer sequences
本文综述了初等数论的最新结果。特别注意的结构和渐近性质的某些家庭的正整数。
Integer Sequences of the Form a^n + b^n
在本文中，我们找到了所有的整数序列的形式a^n + b^n，其中a和b是复数，n是一个非负整数。证明了当p和q为整数时，二次方程z^2 -pz-q = 0的根与形式为a^n + b^n的整数序列之间存在对应.此外，我们将证明不存在形式为a^n-b ^n的整数序列。最后，我们利用a和b的特殊值得到了一系列涉及Lucas数和斐波那契数的公式。
Binary Signed-Digit Integers, the Stern Diatomic Sequence and Stern Polynomials
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制符号位（BSD）表示在高效计算、编码理论和其它应用中得到广泛应用。我们链接这两个对象，表明整数$n<2^i$的$i$位二进制符号数字表示的数量是斯特恩的双原子序列中的$(2^i-n)^\text{th}$元素。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数位整数，反之亦然。本文讨论的这种关系的应用包括BSD表示的权重分布定理，将这些表示与Stern多项式联系起来，整数的最佳BSD表示的数量及其汉明权重的递归，源于Stern多项式的首项系数和次数的简单递归，以及具有最大数量的此类表示的所有整数的识别。
The Ulam Sequence of the Integer Polynomial Ring
乌拉姆序列U（1，n）定义为从整数1，n开始的序列，使得n > 1，并且使得每个后续项都是可以以一种方式写成不同的先前项之和的最小整数。这一系列的序列是值得注意的是作为几个显着的刚性结构的主题。我们引入一个类似的概念内的多项式环Z[X]的乌拉姆序列，并使用它既给新的，建设性的证明旧的结果，以及产生一个新的猜想，这意味着许多其他现有的代数。
On other two representations of the C-recursive integer sequences by terms in modular arithmetic
本文研究了C-递归整数序列的模算术表示，提出了两种新表示形式：对取余运算结果做除法，以及两个取余运算的复合，扩展了已有工作中仅使用除法后取余的表示方法。
Integers represented by binary recursive sequences
本文研究满足二元递归关系的整数序列所表示的整数，针对非退化序列，仅用两个初始值给出零项最高指标与项绝对值增长阶的界，部分界在常数因子意义下最优。
Integers represented by Lucas sequences
该研究刻画可由 Lucas 序列第 n 项表示的整数集合，给出其大小的精确上下界，并提出独立于序列参数的项增长阶界。
On sequences of positive integers having no $p$ terms in arithmetic progression
本文利用拓扑思想证明，假设Erd“（o）s关于等差数列中不含$p$项的正整数子集的猜想（A. P.），必须存在A中没有$p$项的正整数的子集$M_p$。P.具有这样的性质，即在所有这样的子集中，$M_p$使其元素的倒数之和最大化。
Pseudometrics and preorders on sets of integer sequences induced by arithmetic functions functions
本文探讨了由算术函数诱导的整数序列集合上的伪度量和预序，分析了其在整数集上的应用及扩展方法。
Permanents, Determinants, Weighted Isobaric Polynomials and Integer Sequences
本文构造了两类Hessenberg矩阵，它们的性质是：每个加权等压多项式都是其中一类矩阵的行列式，而另一类矩阵的积和式.每个线性常返的整数序列都可以用一类线性常返的WIPs序列表示。WIP是在基本对称多项式基础上写出的对称多项式。其中有广义Fibonacci多项式和广义Lucas多项式，它们已经具有这些广泛的表示性质。讨论的整数序列包括第二类切比雪夫多项式、第一类和第二类斯特林数、卡塔兰数和三角数，以及所有乘法算术函数或加法算术函数的序列。
A conjecture about numerators of Bernoulli numbers related to Integer Sequence A092291
本文证明了Roland Bacher关于除Bernoulli数$B_n/n$和$B_n/n(n-1)$分子的一个猜想是错误的。我们给出一些反例。最后，我们将结果推广到一般情况。
A note on polynomial sequences modulo integers
研究了模整数多项式序列$λ(P)=(\lfloor P(k) \rfloor )_{k\geq 1}$的均匀分布，其中$P(x)$是实系数多项式.在非线性情形下，证明了$λ(P)$在$\mathbb{Z}$中均匀分布的充要条件是$P(x)$至少有一个非常数项的无理系数.在偶数次情形下，我们证明了一个更强的结果：$λ(P)$与所有同余类模所有整数相交当且仅当$P(x)$至少有一个非常数项的无理系数.
Convolutive sequences, I: Through the lens of integer partition functions
本文研究了满足特定卷积性质的序列，通过组合学方法和生成函数操作，探讨了整数划分函数与eta积的关系，并给出了相关序列的实例。
On integer values of the generating functions for sequences given by the Pell's equations
D. S. Hong和P.Pongsriiam分别给出了斐波那契数的母函数的一个充要条件。Lucas数）为整数值，对于有理数。换句话说，他们的结果涉及到从Pell方程$5x^{2}-y^{2}=\pm4$的整数解得到的序列的生成函数的整数值。如果我们把这个佩尔方程换成另一种类型的佩尔方程，他们的结果会有什么变化？这是一个自然而有趣的问题。本文对Pell方程$x^{2}-my^{2}=\pm1 \ (m\text{ is a non-square natural number})$给出的序列的生成函数给出了类似的结果。
On a Conjecture on the Representation of Positive Integers as the Sum of Three Terms of the Sequence $\left\lfloor \frac{n^2}{a} \right\rfloor$
本文证明了Farhi关于正整数表示为序列$ \left\lfloor\frac{n^2}{a}\right\rfloor$的三项之和的猜想的几种情形。这是通过推广Farhi在他的原始论文中使用的方法来完成的。
Gaps and the exponent of convergence of an integer sequence
蒂博尔·沙拉特教授在布拉迪斯拉发夸美纽斯大学的一次研讨会上要求研究整数序列A={a_1<a_2<. <a_n<...}关于它的收敛指数A的收敛指数与它的上指数密度一致。本文考虑Šalát教授问题的一个推广，研究了比值序列a_m/ a_{m+1}和序列（a_{m+1} -a_m）/a_m对A的上、下指数密度的影响.
On a curious integer sequence
本文研究了由$a_0 = 0$，$a_n = \frac{n}{2} a_{n - 1} + (n - 1)!$（$\forall n \geq 1$）定义的递归数列.虽然${(a_n)}_n$是由具有$2$的乘方幂的有理数构成是直接的，但${(a_n)}_n$实际上是一个整数序列并不是平凡的。本文通过用Genocchi数和第一类Stirling数表示$a_n$来证明这一事实。我们从我们的主要结果得出几个推论，我们结束了一些意见和开放的问题。
Uniform distribution of $αn$ modulo one for a family of integer sequences
本文证明了对于素数、殆素数、无平方因子数等特定整数序列族，序列 $(αn)$ 在任意无理数 $α$ 下模 1 均匀分布，并在 $α$ 具有有限无理性测度时给出了偏差估计。
Divisibility Properties of Integer Sequences
非零整数序列$f = (f_1, f_2, \dots)$是“binomid”，如果每个$f$ -binomid系数$\left[\! \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\! \right]_f$是整数。这些项是广义二项式系数：\[ \left[\! \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\! \right]_f \ = \ \frac{ f_nf_{n-1}\cdots f_{n-k+1} }{ f_kf_{k-1}\cdots f_1 }. \]令$Δ(f)$是以这些数字为元素的无限三角形。当$I = (1, 2, 3, \dots)$时，则$Δ(I)$是帕斯卡三角形，因此$I$是二项式。令人惊讶的是，帕斯卡三角形的每一行和每一列也是二项式。对于任何$f$，$Δ(f)$的每一行和每一列都生成它自己的三角形，所有这些三角形组合在一起形成“二项式金字塔”$\mathbb{BP}(f)$。如果$\mathbb{BP}(f)$的所有条目都是整数，则序列$f$是“每个级别的binomid”。我们证明了几个熟悉的序列，包括卢卡斯序列的财产。特别地，$I = (1, 2, 3, \dots )$、斐波那契数序列和$(2^n - 1)_{n \ge 1}$在每个水平上都是二项式。
Integer sequences from elliptic curves
本研究揭示椭圆曲线上整数点可对应汉克尔变换为Somos-4序列的整数序列，其汉克尔行列式可求点的倍数点坐标，并反向推测对应连分式生成函数的形式。
On the distribution of the sequence of integers $d(n^2)$
本文在强黎曼假设下研究 $d(n^2)$ 的分布，通过提取更多主项，给出了和式 $\textstyle\sum_{n\leq x}d(n^2)$ 的具有改进误差项的精细渐近公式。
Integer sequences counting periodic points
提出了数论与动力系统之间的对话。一个组合装置给出了一列非负整数对动力系统中的周期点计数的充要条件。本文将其应用于研究具有周期点的线性递归序列。研究了整数序列的$p$ -部分本身计数周期点的方法.梅森序列提供了一个例子，伯努利数的乘法器提供了另一个例子。该方法给出了许多经典同余的动力学解释，如矩阵的Euler-Fermat，并建议伯努利数满足的经典Kummer同余。
Polynomial parametrizations of length $4$ Büchi sequences
Büchi问题问是否存在一个正整数$M$，使得任何至少为$M$整数的序列$(x_n)$，其二阶平方差是常数序列$(2)$，满足某些$x\in\Z$的$x_n^2=(x+n)^2$。对Büchi问题的肯定回答意味着没有算法来决定$\Z$上的任意二次对角型系统是否可以表示任意给定的整数向量。本文明确地给出了非平凡长度的$4$ Büchi序列的多项式参数化的无限族.反过来，这些参数化给出了一个显式的无限曲线族（我们怀疑它是超椭圆的），具有以下性质：这些曲线之一上的任何整点都会给出一个长度为$5$的非平凡的Büchi整数序列（不知道是否存在这样的序列）。
A recursion for divisor function over divisors belonging to a prescribed finite sequence of positive integers and a solution of the Lahiri problem for divisor function $σ_x(n)$
对于有限的正整数序列$A=\{a_j\}_{j=1}^{k},$，我们证明了除数函数$σ_{x}^{(A)}(n)=\sum_{d|n,\enskip d\in A}d^x.$的一个递归式。作为推论，我们给出了D. B. Lahiri [3]：在$x=1.$的情况下，找到类似于经典五边形递归的除数函数$σ_x(n)$的恒等式
Weak type $(1, 1)$ estimates for maximal functions along $1$-regular sequences of integers
我们证明了$f \in \ell^1(\mathbb{Z})$的平均值\[ \mathcal{A}_N f(x) = \frac{1}{\# \mathbf{B}_N} \sum_{n \in \mathbf{B}_N} f(x + n) \]的逐点收敛性，其中$\mathbf{B}_N = \mathbf{B} \cap [1, N]$和$\mathbf{B}$是$1$ -正则整数序列，例如$\mathbf{B} = \{\lfloor n \log n \rfloor : n \in \mathbb{N}\}$。
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