On the limit of large girth graph sequences
Gabor Elek
我们证明了任何对合不变的概率测度的最大度在最多d的树的空间中出现的局部极限收敛的大围长图序列。这回答了Bollobas和Riordan的一个问题。
We prove that any involution-invariant probability measure on the space of trees with maximum degrees at most d arises as the local limit of a convergent large girth graph sequence. This answers a question of Bollobas and Riordan.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Abelian Girth and Girth
我们证明了一个图的阿贝尔围长至少是它的围长的三倍。本文证明了正则图的交换围长的一个类似的Moore界，其中图的度是固定的，顶点数是大的。我们的结论是，人们可以尝试改善固定度和许多顶点的图的摩尔界试图改善其类似的阿贝尔围长。
Girth-regular graphs
本文引入围长正则图的概念，它是一个$k$ -正则图，对于它存在一个非降序列$(a_1, a_2, \dots, a_k)$（称为签名），对于图的每一个顶点$u$，给出具有端点$u$的边所处的围长圈数.围长正则性概括了图论中对称性的两个非常不同的方面：顶点传递性和距离正则性.对于一般围长-正则图，我们给出了签名极值的一些结果。然后，我们专注于立方的情况下，并提供了一个特征的立方围长正则图的围长高达$5$。
Non-Hamiltonian 3-Regular Graphs with Arbitrary Girth
众所周知，存在围长任意大的3-正则图。给出了三种构造方法，利用前者在不减小围长的情况下生成非Hamilton 3-正则图，从而证明了具有任意大围长的图也是存在的。所得到的图可以是1-，2-或3-边连接的，这取决于所选择的结构。从建设产生（天真）上界的最小的非哈密顿3-正则图的大小与特定的围长。几个例子给出了最小的这样的图形的各种选择的围长和连通性。
Extremal results regarding $K_6$-minors in graphs of girth at least 5
证明了围长为$\geq 6$的6-连通图都有$K_6$ -子式，从而解决了围长为$ \geq 6$的图的Jorgensen猜想.放松围长的假设，证明了每一个长为$\geq 3 1/5 n-8$和围长为$\geq 5$的6-连通$n$ -顶点图都包含一个$K_6$ -子图.
On the 4-girth-thickness of the line graph of the complete graph
图$G$的$g$ -围长-厚度$θ(g,G)$是围长至少为$g$且其联为$G$的平面子图的最小数量。本文给出了当$n$为偶数时，完全图$L(K_n)$的线图的$4$ -围长-厚度$θ(4,L(K_n))$.给出了$L(K_n)$中围长至少为$4$且可嵌入到射影平面上的并为$L(K_n)$的子图的最少个数.
The 4-Regular Edge-Transitive Graphs of Girth 4
本文给出了围长为4的四正则边传递图的一个刻划。这个类由四个无限族和四个例外图组成。
Graphs with equal girth and circumference
我们证明了图的围长等于图的周长的所有简单有限图的形式。我们应用这一点来证明在这样一个图的边数上的一个界。
The 4-girth-thickness of the complete multipartite graph
图$G$的$g$ -围长-厚度$θ(g,G)$是围长至少为$g$且其并为$G$的平面子图的最小数目。本文计算了完全$m$ -部图$G$的$4$ -围长-厚度$θ(4,G)$，当图的每一部分的顶点数为偶数时.
Online coloring graphs with high girth and high oddgirth
本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.
Domination number of cubic graphs with large girth
证明了围长不小于g的n-顶点三次图的控制数不超过0.299871n + O（n/g）<3n/10 + O（n/g）.
On strongly regular signed graphs of higher girth
研究高围长的强正则带号图，证明围长为4的二分图由加权矩阵设计和对称块设计分类，围长为5的易于描述，围长更高的不存在，围长为4的非二分图未解决。
On the odd girth and the circular chromatic number of generalized Petersen graphs
一类简单图如${\cal G}$称为{ \it奇围长闭}，如果对任意正整数$g$，存在一个图$G \in {\cal G}$，使得$G$的奇围长大于或等于$g$ .一个奇围长闭图类${\cal G}$称为{ \it奇五边形}，如果存在一个依赖于${\cal G}$的正整数$g^*$，使得任何一个其奇围长大于$g^*$的图$G \in {\cal G}$都与五圈同态（即是$C_{_{5}}$ -可着色的）.在这篇文章中，我们发现，寻找广义Petersen图的奇围长可以转化为一个整数规划问题，并使用此，我们显式地计算奇围长这样的图，表明类是奇围长封闭的。同时，在证明广义Petersen图是奇五边形图的基础上，我们研究了这类图的圆色数。
Uniqueness of graph square roots of girth six
证明了如果两个围长至少为6的图有同构平方，则这两个图同构。这是Ross和Harary关于树的结果和Farzad等人关于围长至少为7的图的结果的最佳可能的推广。本文还对图的高次幂重构问题作了一点讨论。
Box and segment intersection graphs with large girth and chromatic number
证明了$\mathbb{R}^3$中存在轴对齐盒的交图和$\mathbb{R}^3$中直线的交图，它们具有任意大的围长和色数.
Tight factorizations of girth-$g$-regular graphs
研究围长、正则度和色指数相等的围长正则图，确定每个1-因子均与所有围长圈相交的1-因子分解，并探讨其在哈密顿可分解性、三维几何及优化问题中的应用。
On the girth and connectivity of cubic graphs with a unique longest cycle
该研究证明存在无穷多族围长为5的2-连通非哈密顿三次图，且这类图都包含唯一最长环，为三次图的结构性质研究提供了新结论。
The 4-girth-thickness of the complete graph
本文定义图$G$的$4$ -围长-厚度$θ(4,G)$为围长至少为$4$且其并为$G$的平面子图的最小数目.我们得到了任意完全图$K_n$的$4$ -围长-厚度，得到了$n\not=6,10$和$θ(4,K_6)=3$的$θ(4,K_n)=\left\lceil \frac{n+2}{4}\right\rceil$.
Fractional colorings of cubic graphs with large girth
我们证明了每一个围长足够大的（次）立方n-顶点图的分数色数至多为2.2978，这意味着它包含一个大小至少为0.4352 n的独立集.我们的独立数的界对随机三次图是有效的，并且改进了现有的大围长三次图最大割的下界。
Cycles in graphs of fixed girth with large size
考虑一类具有固定围长和较大尺寸的图。当图的阶趋于无穷大时，我们给出了任意定长偶圈个数的最优渐近下界。
On high-girth expander graphs with localized eigenvectors
本文的主要目的是构造具有一般度的局部特征向量的高围长正则扩张图，这是受到Alon，Ganguly和Srivastava最近工作的启发（出现在Israel J. Math.）。
The size of bipartite graphs with girth eight
Reiman提出了周长为6的二部图的二次不等式。我们得到了周长为8的对应不等式，一个三次不等式。它是最佳的，因为它承认的代数结构的广义四边形的情况下平等。这使得我们能够得到平衡二部图的最优估计e ~ v^（4/3）。我们还得到了非常不平衡图的最优估计。
On vertex-girth-regular graphs: (Non-)existence, bounds and enumeration
本文研究了顶点围长正则图的基本性质，给出了参数需满足的存在关系、无限族构造及顶点数下界，并计算了小围长最小三次和四次图的阶数。
Geometric constructions of small regular graphs with girth 7
该研究利用广义四边形的关联图进行几何构造，得到围长为7的三类正则图无限族，部分图达到目前已知最小阶数。
There is no square-complementary graph of girth 6
一个图是{ \it square-complementary}（简称{ \it squco}），如果它的平方和补图是同构的。证明了不存在周长$6$的平方图，从而回答了Milani \vc等人[Discrete Math.，2014年，出现]，并留下$g = 5$作为$g$的唯一可能值，其中围长$g$的squco图的存在是未知的。
The girths of the cubic Pancake graphs
Pancake图$P_n, n\geqslant 2$是对称群$\mathrm{Sym}_n$上由前缀反转生成的Cayley图。在对称群上有六个基数为3的前缀反转生成集，它们给出连通的Cayley图，称为三次Pancake图。本文研究了三次Pancake图的围长。证明了所考虑的三次Pancake图的围长不超过12。
Circular edge-colorings of cubic graphs with girth six
证明了围长至少为6的（次）三次图的圆色指数至多为7/2。
The girth, odd girth, distance function, and diameter of generalized Johnson graphs
本文针对广义Johnson图$J(v,k,i)$，推导出其围长、奇围长、距离函数和直径的精确公式，为理解该图族的结构特性提供了理论基础。
Graphs of large girth
本文是一篇关于大围长图的综述，分为两部分：第一部分探讨与Moore bound相关的代数与极值图论，第二部分从大色数与大围长图构造出发讨论girth Ramsey theorem，两部分可独立阅读。
A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems
在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。
The 6-girth-thickness of the complete graph
图$G$的$g$ -围长-厚度$θ(g,G)$是围长至少为$g$且其并为$G$的平面子图的最小数目。在本文中，我们确定了几乎所有情况下的完全图$K_n$的$6$ -围长-厚度$θ(6,K_n)$。同时，我们还利用计算机计算了$θ(4,K_n)$的缺失值。
3-regular matchstick graphs with given girth
我们考虑3-正则平面火柴棒图，即那些具有平面嵌入使得所有边长相等的图，给定围长g。对于围长为3的图，已知存在这样的图当且仅当顶点数n是大于或等于8的偶数。在这里，我们证明了这样的图存在围长g=4当且仅当n是偶数，至少20。我们提供了一个例子，围长g=5，由180个顶点组成。
Uniform Star-factors of Graphs with Girth Three
图$G$的{ \it星因子}是$G$的一个生成子图，使得它的每个分支都是星。最近，Hartnell和Rall研究了一类满足成员图的每个星因子具有相同边数的图族$\mathscr{U}$.当周长至少为5时，他们确定了家族$\mathscr{U}$。本文研究围长为3的图族，确定了这类图族的所有成员。
On minimizing the Wiener index of unicyclic graphs with fixed girth and given degree sequence
针对固定围长与给定度序列的单圈图，研究依据质心位置提出三类 Wiener 指数最小化候选结构。
Graphs with bounded tree-width and large odd-girth are almost bipartite
证明了对于每个$k$和每个$\varepsilon>0$，存在$g$使得每个树宽最多为$k$且奇围长至少为$g$的图的圆色数最多为$2+\varepsilon$。
On cubic vertex-transitive graphs of given girth
针对立方点传递图的可区分代价研究空白，本文证明有两个边轨道且围长为5的该类图可区分代价为2，且不存在围长为6的无限3-弧传递立方图。
Families of Small Regular Graphs of Girth 5
本文对${\cal C}$型椭圆半平面的Levi图$B_q$进行约化和归并运算，得到了周长为5且顶点数比已知顶点数少的正则图$(q+3)$--对$q=13,17,19$和对任意素数$q \ge 23$.我们也用同样的方法从$B_{11}$中得到了一个围长为5的236个顶点的13-正则图。
The Wiener Index of Unicyclic Graphs with Girth and the Matching Number
本文研究了单圈图的Wiener指数随图的操作而变化的规律。这些结果被用来提出一个尖锐的下界的Wiener指数的顺序$n$周长和匹配数$β\ge \frac{3g}{2}$的单圈图。此外，我们还刻画了所有达到下界的极图。
On the Minimum Edge-Density of 4-Critical Graphs of Girth Five
证明了：如果G是围长至少为5的4-临界图，则|E（G）|>=（5| V（G）|+2）/3。作为推论，周长至少为5的图嵌入克莱因瓶或环面是3-可着色的。这是Thomas和Walls，以及Mrsassen的结果。证明使用新的潜在的技术开发的Kostochka和Yancey谁证明了4-临界图满足：|E（G）|>=（5| V（G）|-2）/3.
Graphs with girth at least 5 with orders between 20 and 32
本文证明了围长为5，阶数为20 <=v <= 32的极图的一些性质.在每种情况下，我们确定可能的最小和最大程度，并在某些情况下证明存在（非平凡）嵌入式恒星。这些证明允许易处理的搜索和识别的所有非同构的情况下。
New families of small regular graphs of girth 5
在本文中，我们感兴趣的{ \it{Cage Problem} }，包括在给定的周长$g$和最低阶的正则图的建设。我们专注于周长$g=5$，其中笼只知道度$k \le 7$。我们使用Funk [Note di Matematica. 29 suppl.1，（2009）91 - 114]和Abreu等人[Discrete Math.312（2012），2832 - 2842]，以获得迄今已知的最佳上界。介绍中给出的表格显示了我们的结果所获得的改进。
Ricci-flat graphs with girth at least five
如果一个图的所有边的Ricci曲率为零，则称该图为Ricci平坦图。在这里，我们使用[Lin-Lu-Yau，Tohoku Math.，2011]，其是[Ollivier，J. Funct.数学，2009年]。本文将围长至少为5的Ricci-平坦连通图分类为：无限路、圈$C_n$（$n\geq 6$）、十二面体图、Petersen图和半十二面体图。我们还利用简单李代数的根系构造了许多围长为3或4的Ricci平坦图。
Counting independent sets in cubic graphs of given girth
本文证明了围长至少为5的三次图的独立多项式（和独立集总数）的一个紧上界。该界限是通过Heawood图，Fano平面的点/线关联图的工会来实现的。我们还给出了无三角形三次图的独立集总数的一个紧下界。这个界限是通过Petersen图的并集来实现的。我们猜想，事实上所有的摩尔图是极值的缩放数量的独立集的正则图的给定的最小围长，最大化这个数量，如果他们的围长是偶数和最小化，如果奇数。希伍德图和彼得森图是这个猜想的例子，还有完全图、完全二部图和圈。
Recolouring planar graphs of girth at least five
对于正整数$k$，图$G$的$k$ -邻接图以$G$的所有真$k$ -着色为顶点集，且两个$k$ -着色相邻，如果它们的颜色相差恰好一个顶点. Dyer等人关于有界退化图的一个结果表明：可平面图的$7$ -连通图、无三角形可平面图的$5$ -连通图和围长至少为6的$4$ -连通图可平面图是连通的.另一方面，存在$6$ -邻接图不连通的可平面图，$4$ -邻接图不连通的无三角形可平面图，以及任意围长的可平面图的$3$ -邻接图不连通的图.本文的主要结果是通过放电方法的一个新的应用，证明了围长为5的每个可平面图的$4$ -连通图是连通的.这就完成了给定围长的可平面图的邻接图的连通性的分类。我们还证明了关于可平面图的邻接图的直径的一些定理。
High-girth cubic graphs are homomorphic to the Clebsch graph
我们给出了一个（计算机辅助）证明，每个图的最大度为3，围长至少为17的边缘可能是5色的（可能不正确），使每个颜色类的补充是二分的。等价地，每一个这样的图承认一个同态的Clebsch图。Hopkins、Staton、Bondy和Locke证明了每一个围长至少为4的（次）三次图都有一个至少包含4/5条边的边割。这样的边割的存在性直接来自于上面描述的5-边着色的存在性，所以我们的定理可以被看作是他们结果的着色扩展（在更强的围长假设下）。每个与长度为5的圈同态的图都有上述的5-边染色;因此我们的定理也可以被看作是Nesetril的五角大楼问题的一个弱版本（该问题询问是否每个足够高围长的立方图都与C_5同态）。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
A non-existence result for vertex-girth-regular graphs
本文证明了对于k≥3和ε≤(k-1)/2，不存在vgr(n,k,5, [k(k-1)^2/2]-ε)图，填补了圈长为5时的非存在性空白。
On the Realizability of Edge-Girth Sequences
研究简单连通图边围长序列的可实现性，证明其满足递归准则，还确定了可实现序列的最大直径\(d^*_S\)，常数序列有对应公式，一般序列有递归算法及直径达到的图的构造。
Small graphs and hypergraphs of given degree and girth
寻找最小可能周长$g$的$d$ -正则图有很长的历史，通常被称为笼问题。这个问题有一个自然扩张到超图，在这里我们可以要求在给定（Berge）围长$g$的$d$ -正则、$r$ -一致超图中顶点数最少。我们表明，这两个问题实际上是非常密切相关的。通过扩展凯莱图的想法超图的上下文中，我们发现已知的最小超图的各种参数集。由于从图论的笼问题的密切联系，我们能够使用这些技术，找到新的记录最小的三次图的围长23，24，28，29，30，31和32。
Fractional total colourings of graphs of high girth
Reed证明了对于任意的图δ>0和δ，存在g使得最大度δ且围长至少为g的图的分数色数至多为δ +1+ δ。我们证明了对Delta=3和甚至Delta>=4的猜想在以下更强的形式：对于每个Delta值，存在g使得任何最大度Delta且围长至少为g的图的分数全色数色数等于Delta+1.
On extremal (almost) edge-girth-regular graphs
该研究聚焦边围长正则图（egr-图）的极值问题，证明有限平面关联图衍生的部分图为三元组$(k,g,λ)$的极值egr-图，并给出egr-图阶数的新下界。
Hypohamiltonian planar cubic graphs with girth five
如果一个图不是哈密尔顿图，但如果去掉任何一个顶点，它就变成哈密尔顿图，则称它是次哈密尔顿图。从1981年Jassen构造平面三次图开始，人们发现了许多次哈密尔顿平面三次图。然而，到目前为止发现的所有例子都有4个周期。在这篇笔记中，我们提出了第一个例子，亚哈密尔顿平面三次图的循环连通度为5，从而围长为5。通过计算机搜索，我们证明了这类图的最小成员是三个有76个顶点的图。
Nonexistence of certain edge-girth-regular graphs
本文证明了围长为 7 或 8 的两类 3-正则边围长正则图不存在，证实了 Goedgebeur 和 Jooken 的猜想，并解决了若干其他未决情形。
A construction of small (q-1)-regular graphs of girth 8
本文构造了一个新的无限族$(q-1)$ -正则图，它的围长为$8$，阶为$2q(q-1)^2$，对所有的素数幂$q\ge 16$，当$q-1$不是素数幂或素数幂加1时，它是迄今为止已知的最小的.
On edge-girth-regular graphs: lower bounds and new families
本文利用广义四边形和椭圆二次曲面铅笔构造新的边围长正则图族，并借助邻接矩阵特征值性质改进极值边围长正则图的阶下界。
3 List Coloring Graphs of Girth at least Five on Surfaces
Grotzsch证明了每个无三角形的可平面图都是3-可着色的。Rassen证明了围长至少为5的可平面图是3-可选图。对于其它曲面，Kassen证明了在任意固定曲面中，围长至少为5的4-临界图只有200个。这意味着一个线性时间的算法，以确定3-着色的围长至少为5的任何固定的表面上的图。Dvorak，Kral和Thomas通过证明围长至少为5的4-临界图的顶点数在其亏格中是线性的，加强了Dvorassen的结果。他们用这个结果证明了哈维尔猜想，即一个三角形两两相距足够远的可平面图是3-可着色的。关于列表染色，Dvorak证明了一个可平面图，如果它的圈数不超过4，则它是3-可选的。本文推广了这些结果。首先，我们证明了围长至少为5的3-列表着色图的线性等周界。许多新的结果，然后遵循理论的双曲族的图开发的波斯特尔和托马斯。特别地，在任意固定曲面上，围长至少为5的4-链表-临界图只有1000个，而且4-链表-临界图的顶点数在其亏格中是线性的.这提供了上述结果的独立证明，同时将Dvorak的结果推广到具有大边宽度的曲面上的图，并产生类似的结果，表明周长至少为5且交叉点成对相距很远的图是3-choosable的。最后，我们推广到曲面上，证明了围长至少为5的可平面图有指数级多个不同的3-列表染色。具体地说，我们证明了每个围长至少为5且具有3-列表着色的图都具有$2^{Ω(n)-O(g)}$不同的3-…
Minimizing Laplacian spectral radius of unicyclic graphs with fixed girth
在本文中，我们考虑以下问题：在所有的简单连通单圈图类的$n$顶点与周长$g$（$n,g$是固定的），哪一个图最小化的拉普拉斯谱半径？我们证明了图$U_{n,g}$（定义在第1节）唯一地最小化拉普拉斯谱半径时，$g$是偶数的$n\geq 2g-1$和$g$是奇数的$n\geq 3g-1$.
A 3-regular matchstick graph of girth 5 consisting of 54 vertices
在2010年，证明了围长为5的3-正则火柴棒图必须至少由30个顶点组成。已知最小的例子由180个顶点组成。本文构造了一个由54个顶点组成的例子，并证明了它的几何正确性。
b-coloring graphs with large girth
一个图的b-染色是它的顶点的染色，使得每个颜色类都包含一个顶点，该顶点在所有其他类中都有一个邻居。一个图的b-色数是使得该图具有k种颜色的b-染色的最大整数k。我们展示了如何在多项式时间内计算围长至少为9的图的b-色数。这改进了欧文和曼洛夫关于树木的开创性结果。
Erratum for Ricci-flat graphs with girth at least five
这个勘误将纠正Lin-Lu-Yau，Comm. Anal. Geom.，2014年，这错过了三重图。
Families of small regular graphs of girth 7
第一个已知的笼族是由$q$阶广义多边形的关联图产生的，$q$是素数幂。特别是，$(q+1,6)$ -笼已获得从顺序$q$的射影平面。此外，还构造了围长为5的小正则图的无限族，并对$\mathbb{F}_q$进行了代数运算。本文通过引入一些组合运算，从$(q+1,8)$ --由$q$，$q$为素幂的广义四边形产生的笼中构造围长为7的新的小正则图无限族.
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