A construction of small (q-1)-regular graphs of girth 8
M. Abreu, G. Araujo-Pardo, C. Balbuena, D. Labbate
本文构造了一个新的无限族$(q-1)$ -正则图，它的围长为$8$，阶为$2q(q-1)^2$，对所有的素数幂$q\ge 16$，当$q-1$不是素数幂或素数幂加1时，它是迄今为止已知的最小的.
In this note we construct a new infinite family of $(q-1)$-regular graphs of girth $8$ and order $2q(q-1)^2$ for all prime powers $q\ge 16$, which are the smallest known so far whenever $q-1$ is not a prime power or a prime power plus one itself.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Girth-regular graphs
本文引入围长正则图的概念，它是一个$k$ -正则图，对于它存在一个非降序列$(a_1, a_2, \dots, a_k)$（称为签名），对于图的每一个顶点$u$，给出具有端点$u$的边所处的围长圈数.围长正则性概括了图论中对称性的两个非常不同的方面：顶点传递性和距离正则性.对于一般围长-正则图，我们给出了签名极值的一些结果。然后，我们专注于立方的情况下，并提供了一个特征的立方围长正则图的围长高达$5$。
Non-Hamiltonian 3-Regular Graphs with Arbitrary Girth
众所周知，存在围长任意大的3-正则图。给出了三种构造方法，利用前者在不减小围长的情况下生成非Hamilton 3-正则图，从而证明了具有任意大围长的图也是存在的。所得到的图可以是1-，2-或3-边连接的，这取决于所选择的结构。从建设产生（天真）上界的最小的非哈密顿3-正则图的大小与特定的围长。几个例子给出了最小的这样的图形的各种选择的围长和连通性。
Tight factorizations of girth-$g$-regular graphs
研究围长、正则度和色指数相等的围长正则图，确定每个1-因子均与所有围长圈相交的1-因子分解，并探讨其在哈密顿可分解性、三维几何及优化问题中的应用。
The 4-Regular Edge-Transitive Graphs of Girth 4
本文给出了围长为4的四正则边传递图的一个刻划。这个类由四个无限族和四个例外图组成。
Geometric constructions of small regular graphs with girth 7
该研究利用广义四边形的关联图进行几何构造，得到围长为7的三类正则图无限族，部分图达到目前已知最小阶数。
On strongly regular signed graphs of higher girth
研究高围长的强正则带号图，证明围长为4的二分图由加权矩阵设计和对称块设计分类，围长为5的易于描述，围长更高的不存在，围长为4的非二分图未解决。
On vertex-girth-regular graphs: (Non-)existence, bounds and enumeration
本文研究了顶点围长正则图的基本性质，给出了参数需满足的存在关系、无限族构造及顶点数下界，并计算了小围长最小三次和四次图的阶数。
Families of Small Regular Graphs of Girth 5
本文对${\cal C}$型椭圆半平面的Levi图$B_q$进行约化和归并运算，得到了周长为5且顶点数比已知顶点数少的正则图$(q+3)$--对$q=13,17,19$和对任意素数$q \ge 23$.我们也用同样的方法从$B_{11}$中得到了一个围长为5的236个顶点的13-正则图。
New families of small regular graphs of girth 5
在本文中，我们感兴趣的{ \it{Cage Problem} }，包括在给定的周长$g$和最低阶的正则图的建设。我们专注于周长$g=5$，其中笼只知道度$k \le 7$。我们使用Funk [Note di Matematica. 29 suppl.1，（2009）91 - 114]和Abreu等人[Discrete Math.312（2012），2832 - 2842]，以获得迄今已知的最佳上界。介绍中给出的表格显示了我们的结果所获得的改进。
3-regular matchstick graphs with given girth
我们考虑3-正则平面火柴棒图，即那些具有平面嵌入使得所有边长相等的图，给定围长g。对于围长为3的图，已知存在这样的图当且仅当顶点数n是大于或等于8的偶数。在这里，我们证明了这样的图存在围长g=4当且仅当n是偶数，至少20。我们提供了一个例子，围长g=5，由180个顶点组成。
A 3-regular matchstick graph of girth 5 consisting of 54 vertices
在2010年，证明了围长为5的3-正则火柴棒图必须至少由30个顶点组成。已知最小的例子由180个顶点组成。本文构造了一个由54个顶点组成的例子，并证明了它的几何正确性。
Nonexistence of certain edge-girth-regular graphs
本文证明了围长为 7 或 8 的两类 3-正则边围长正则图不存在，证实了 Goedgebeur 和 Jooken 的猜想，并解决了若干其他未决情形。
Larger matchings and independent sets in regular uniform hypergraphs of high girth
本文分析了两种算法，分别用于在大围长的 $k$-一致 $d$-正则超图上生成匹配和独立集，从而获得了此类超图中最大匹配或独立集大小的新下界。
On edge-girth-regular graphs: lower bounds and new families
本文利用广义四边形和椭圆二次曲面铅笔构造新的边围长正则图族，并借助邻接矩阵特征值性质改进极值边围长正则图的阶下界。
Families of small regular graphs of girth 7
第一个已知的笼族是由$q$阶广义多边形的关联图产生的，$q$是素数幂。特别是，$(q+1,6)$ -笼已获得从顺序$q$的射影平面。此外，还构造了围长为5的小正则图的无限族，并对$\mathbb{F}_q$进行了代数运算。本文通过引入一些组合运算，从$(q+1,8)$ --由$q$，$q$为素幂的广义四边形产生的笼中构造围长为7的新的小正则图无限族.
A non-existence result for vertex-girth-regular graphs
本文证明了对于k≥3和ε≤(k-1)/2，不存在vgr(n,k,5, [k(k-1)^2/2]-ε)图，填补了圈长为5时的非存在性空白。
We describe a new random greedy algorithm for generating regular graphs of high girth: Let $k\geq 3$ and $c \in (0,1)$ be fixed. Let $n \in \mathbb{N}$ be even and set $g = c \log_{k-1} (n)$. Begin with a Hamilton cycle $G$ on $n$ vertices. As long as the smallest degree $δ(G)<k$, choose, uniformly at random, two vertices $u,v \in V(G)$ of degree $δ(G)$ whose distance is at least $g-1$. If there are no such vertex pairs, abort. Otherwise, add the edge $uv$ to $E(G)$. We show that with high probability this algorithm yields a $k$-regular graph with girth at least $g$. Our analysis also implies …
An edge-girth-regular graph $egr(v,k,g,λ)$, is a $k$-regular graph of order $v$, girth $g$ and with the property that each of its edges is contained in exactly $λ$ distinct $g$-cycles. An $egr(v,k,g,λ)$ is called extremal for the triple $(k,g,λ)$ if $v$ is the smallest order of any $egr(v,k,g,λ)$. In this paper, we introduce two families of edge-girth-regular graphs. The first one is a family of extremal $egr(2q^2,q,6,(q-1)^2(q-2))$ for any prime power $q\geq 3$ and, the second one is a family of $egr(q(q^2+1),q,5,λ)$ for $λ\geq q-1$ and $q\geq 8$ an odd power of $2$. In particular, if $q=8$ w…
On extremal (almost) edge-girth-regular graphs
该研究聚焦边围长正则图（egr-图）的极值问题，证明有限平面关联图衍生的部分图为三元组$(k,g,λ)$的极值egr-图，并给出egr-图阶数的新下界。
Induced forests in regular graphs with large girth
图G的诱导森林是图G的非圈诱导子图。本论文致力于分析一个简单的随机算法，在一个正则图的诱导森林的增长。它输出的森林的期望大小提供了G的导出森林中顶点的最大数目的下界。当围长较大且度至少为4时，我们的界与随机正则图的渐近几乎必然成立的最佳界一致。这导致了随机情况下的另一种证明。
On regular hypergraphs of high girth
利用Berge给出的超图圈的定义，给出了至多有$n$顶点的$r$ -一致、$d$ -正则超图的最大可能围长的下界.这些与平凡的上界的不同之处在于一个绝对常数因子（即，因子在$3/2+o(1)$和$2 +o(1)$之间）。我们还定义了一个随机$r$ -均匀的“凯莱”超图的$S_n$具有围长$Ω(n^{1/3})$的概率很高，相比之下，随机定期$r$ -均匀超图，其中有常数围长的正概率。
Local algorithms, regular graphs of large girth, and random regular graphs
我们介绍了一般类的算法，并提供了一些一般的结果，这些算法适用于大围长的正则图时，分析有用。因此，我们可以将随机正则图的一些结果转化为具有足够大围长的所有正则图的（确定性）结果。这是一种不常见的结果转移方向，通常是从确定性设置到随机设置。特别是，这种方法使，第一次，实现相当于随机正则图上获得的结果，由一类强大的算法，其中包含优先行动。作为例子，我们得到了大围长$r$ -正则图的最大独立集、最小控制集、最大和最小二分法、最大$k$ -独立集、最小$k$ -控制集以及最小连通和弱连通控制集的大小的新的上界或下界.
An explicit formula for obtaining $(q+1,8)$-cages and others small regular graphs of girth 8
设$q$是素幂，在射影四维空间$P(4, q)$中构造了非退化二次曲面的关联图的$(q+1,8)$ -笼.本文的第一个贡献是这些图的建设，在另一种方式通过一个明确的公式，使用图形术语。此外，通过从$(q+1,8)$笼中移除某些特定的完美控制集，我们得到了围长为8的$k$ -正则图（对于$k= q-1$和$k=q$），它具有迄今为止已知的最少的顶点数.
A classification of $Q$-polynomial distance-regular graphs with girth $6$
本文分类了围长达到上界 $6$ 的 $Q$-多项式距离正则图，证明其同构于奇图或广义六边形。
Regular graphs of large girth and arbitrary degree
对于任意整数d > 9，我们构造了d+1-正则图的无限族{G_n}_n，它们的围长大于log_d |G_n|，并且当d足够大时，它们的围长大于1，33 log_d |G_n| .这些图是PGL_2（q）上的Cayley图，它们是一组特殊的d+1生成元，生成元的选择与整数四元数的算术有关。这些图受到Lubotzky-Philips-Sarnak和Margulis的Ramanujan图的启发，当d为素数时，它们与这些图重合。当d不等于一个奇素数的幂时，这改进了Imrich在1984年的先前构造，在那里他得到了d+1-正则图的无限族{I_n}_n，实现为SL_2（q）上的Cayley图，并且显示围长> 0，48 log_d |I_n|。当d等于2的幂时，这改进了Morgenstern在1994年的一个构造，其中某些2^k+1-正则图的族{M_n}_n被证明具有围长> 2/3 log_d |M_n|。
In this paper, we consider a randomized greedy algorithm for independent sets in $r$-uniform $d$-regular hypergraphs $G$ on $n$ vertices with girth $g$. By analyzing the expected size of the independent sets generated by this algorithm, we show that $α(G)\geq (f(d,r)-ε(g,d,r))n$, where $ε(g,d,r)$ converges to $0$ as $g\rightarrow\infty$ for fixed $d$ and $r$, and $f(d,r)$ is determined by a differential equation. This extends earlier results of Gamarnik and Goldberg for graphs. We also prove that when applying this algorithm to uniform linear hypergraphs with bounded degree, the size of the in…
Abelian Girth and Girth
我们证明了一个图的阿贝尔围长至少是它的围长的三倍。本文证明了正则图的交换围长的一个类似的Moore界，其中图的度是固定的，顶点数是大的。我们的结论是，人们可以尝试改善固定度和许多顶点的图的摩尔界试图改善其类似的阿贝尔围长。
A short proof of the odd-girth theorem
最近，人们证明了具有不同特征值和奇围长$2d+1$的连通图$Γ$是距离正则的。这个结果的证明是基于谱过剩定理。在本说明中，我们提出了一个替代和更直接的证明，它不依赖于谱过剩定理，但在一个已知的表征的距离正则图的predistance多项式的程度$d$。
The main purpose of this paper is to construct high-girth regular expander graphs with localized eigenvectors for general degrees, which is inspired by a recent work due to Alon, Ganguly and Srivastava (to appear in Israel J. Math.).
The search for the smallest possible $d$-regular graph of girth $g$ has a long history, and is usually known as the cage problem. This problem has a natural extension to hypergraphs, where we may ask for the smallest number of vertices in a $d$-regular, $r$-uniform hypergraph of given (Berge) girth $g$. We show that these two problems are in fact very closely linked. By extending the ideas of Cayley graphs to the hypergraph context, we find smallest known hypergraphs for various parameter sets. Because of the close link to the cage problem from graph theory, we are able to use these techniques…
Asymptotic bounds on total domination in regular graphs
我们发现了随机正则图和具有大围长的正则图的最小全控制集的大小的新的上界。这些界限是通过使用Hoppen和Wormald [Local algorithms，大围长的正则图和随机正则图]的方法分析局部算法而获得的。Combinatorica 38（3）（2018），619-664]。
Total coloring of regular graphs of girth = degree + 1
本文研究围长等于度数加1的正则图的高效全染色，构造了围长为4的三次图的高效全染色并提出四种基本运算猜想，同时给出若干非高效全染色实例及对3-路和3-星划分的应用。
Weakly distance-regular digraphs of valency three, I
Suzuki（2004）[7]对稀疏弱距离正则有向图进行了分类，并提出了对3度弱距离正则有向图进行分类的方案。第三作者（2004）[9]在交换性的假设下对围长为2的情况进行了分类。在本文中，我们继续了这个项目，并对围长大于2的有向图和两类弧进行了分类。
The edge-girth-regularity of Wenger graphs
本文证明 Wenger 图与线性化 Wenger 图为边围长正则图并确定其参数，据此推出围长环数、广义 Turán 数下界及奇数 q 下的极值渐近结论。
Some Spectral and Quasi-Spectral Characterizations of Distance-Regular Graphs
本文考虑图的预交数的概念。这些数由图的邻接矩阵的谱决定，推广了距离正则图的相交数。利用预交数给出了距离正则性的一些新的谱和拟谱刻画，特别是对于大围长和大奇围长的图。
Independent sets and cuts in large-girth regular graphs
我们提出了一个局部算法，在大围长3-正则图上产生一个独立的期望大小$0.44533n$集，在大围长4-正则图上产生一个独立的期望大小$0.40407n$集。在大围长3-正则图上，我们还构造了一个$1.34105n$边的割（或平分或二部子图）。这些分别减小了从$0.0178$到$0.01$、从$0.0242$到$0.0123$和从$0.0724$到$0.0616$的最佳已知上限和下限之间的间隙。我们使用的是局部算法，因此，该方法还提供了$1 / 0.44533 \approx 2.24554$和$1 / 0.40407 \approx 2.4748$的分数着色数和分数边着色数$1.5 / 1.34105 \approx 1.1185$的上界。我们的算法是Hoppen和Wormald介绍的技术的应用。
Detour-saturated graphs of small girths
图G的迂回路是图G中的最长路。G的迂回阶是G的迂回中的顶点数。一个图被称为迂回饱和的，如果添加任何边严格增加迂回顺序。低气压Beineke，J.E. Dunbar和M.弗里克在2005年提出了以下三个问题。(1)围长为4的迂回饱和图的最小阶是多少？(2)设Pr是Petersen图的一个顶点分裂成三片叶子而得到的图。Pr是最小的无三角形的弯路饱和图吗？(3)是否存在围长大于5的迂回饱和图？我们回答这些问题。
On the Girth of Graph Lifts
本文研究了图提升的圈长问题，提出了新的函数n(H,g)并证明了其与经典界的关系，同时探讨了度分布相关的推广问题。
Invariant Gaussian processes and independent sets on regular graphs of large girth
证明了每个围长足够大的3-正则n-顶点单图都包含一个大小至少为0.4361 n的独立集。(The最好的界限是0.4352n。事实上，计算机模拟表明，我们的方法提供的界限约为0.438n。我们的方法使用d-正则树上的不变高斯过程，该过程对于某个特征值λ在每个顶点处满足特征向量方程。我们表明，这样的过程可以近似由独立同分布。因素提供了$|λ| \leq 2\sqrt{d-1}$ .然后，我们使用这些近似为$λ= -2\sqrt{d-1}$，以产生因子i.i.d.正则树上的独立集
Exhaustive generation of edge-girth-regular graphs
本文研究边-围长正则图的最小阶数$n(k,g,λ)$，提出线性时间计数算法和穷举生成算法，通过大规模计算得到多个新的极值图并改进上下界，同时否证了相关猜想。
In 2015, Dankelmann and Bau proved that for every bridgeless graph $G$ of order $n$ and minimum degree $δ$ there is an orientation of diameter at most $11\frac{n}{δ+1}+9$. In 2016, Surmacs reduced this bound to $7\frac{n}{δ+1}.$ In this paper, we consider the girth of a graph $g$ and show that for any $\varepsilon>0$ there is a bound of the form $(2g+\varepsilon)\frac{n}{h(δ,g)}+O(1)$, where $h(δ,g)$ is a polynomial. Letting $g=3$ and $\varepsilon<1$ gives an inprovement on the result by Surmacs.
The 4-girth-thickness of the complete multipartite graph
图$G$的$g$ -围长-厚度$θ(g,G)$是围长至少为$g$且其并为$G$的平面子图的最小数目。本文计算了完全$m$ -部图$G$的$4$ -围长-厚度$θ(4,G)$，当图的每一部分的顶点数为偶数时.
On large girth regular graphs and random processes on trees
本文研究了定义在正则树$T_d$上的各类随机过程，这些随机过程在$T_d$的自同构群下是不变的.其中最重要的是i.i.d.因子。过程（随机局部算法），分支马尔可夫链和一个新的类，我们称之为典型的过程。利用过程的Glauber动力学，给出了分支马尔可夫链是独立同分布因子的一个充分条件。典型过程的定义方式，他们创建一个随机$d$正则图和遍历论之间的对应原则，$T_d$。利用这一对应原理，结合典型过程的熵不等式，我们证明了随机$d$ -正则图的一族组合命题。
For integer $k\geq2$ and prime power $q$, the algebraic bipartite graph $D(k,q)$ proposed by Lazebnik and Ustimenko (1995) is meaningful not only in extremal graph theory but also in coding theory and cryptography. This graph is $q$-regular, edge-transitive and of girth at least $k+4$. For its exact girth $g=g(D(k,q))$, Füredi et al. (1995) conjectured $g=k+5$ for odd $k$ and $q\geq4$. This conjecture was shown to be valid in 2016 when $(k+5)/2$ is the product of an arbitrary factor of $q-1$ and an arbitrary power of the characteristic of $\mathbb{F}_q$. In this paper, we determine all the gir…
Counting independent sets in cubic graphs of given girth
本文证明了围长至少为5的三次图的独立多项式（和独立集总数）的一个紧上界。该界限是通过Heawood图，Fano平面的点/线关联图的工会来实现的。我们还给出了无三角形三次图的独立集总数的一个紧下界。这个界限是通过Petersen图的并集来实现的。我们猜想，事实上所有的摩尔图是极值的缩放数量的独立集的正则图的给定的最小围长，最大化这个数量，如果他们的围长是偶数和最小化，如果奇数。希伍德图和彼得森图是这个猜想的例子，还有完全图、完全二部图和圈。
Ramanujan graphs of very large girth based on octonions
本文给出了Lubotzky，Phillips和Sarnak在他们的著名文章“Ramanujan graphs”中对图的构造的一个推广。新的方法是使用八元数代数而不是四元数。一个关键的工具是现有的结果的唯一因子分解的整数八元数。用这种方法得到的图族不仅具有同样的谱性质，使它们成为良好的扩张器，而且具有更大的围长，从而创造了正则图的新记录。
By Hall's marriage theorem, we study lower bounds of the Lin-Lu-Yau curvature of amply regular graphs with girth $3$ or $4$ under different parameter restrictions. As a consequence, we show that each conference graph has positive Lin-Lu-Yau curvature. Our approach also provides a geometric proof of a classical diameter estimate for amply regular graphs in the case of girth $4$ and some special cases of girth $3$.
Cubic vertex-transitive graphs of girth six
本文完整分类了围长为6的有限简单三次点传递图，证明除Desargues图外，它们均可由环面六边形平铺、闭双曲曲面弧传递三角剖分的截断或6-正则图的弧传递二面体方案截断得到。
Ramanujan Graphs with Small Girth
我们构造了一类围长为1的（q+1）-正则Ramanujan图X_n.给出了覆盖图X_{n+1} --> X_n，使得所有图的最小公共覆盖是泛覆盖树。
Girth six cubic graphs have Petersen minors
本文证明了任何不含长度小于6的圈的3-正则图都有一个子图同构于Petersen图的一个剖分。
Ricci-flat cubic graphs with girth five
本文分类了所有围长至少为5的连通简单3-正则Ricci平坦图，证明仅有Petersen图、Triplex和十二面体图，并更正了Lin-Lu-Yau在2014年遗漏Triplex的分类。
Graphs with large girth and free groups
我们使用Margulis的构造和格计数参数来构建$\mathrm{SL}_{2}\left(\mathbb{F}_{p}\right),\;p\to\infty$上的凯莱图，这些图是对于某个绝对常数C具有围长$\geq\frac{2}{3}\frac{\ln\left(n\right)}{\ln\left(d-1\right)+\ln\left(C\right)}$的d-正则图。
Regular and biregular planar cages
研究了正则和双正则可平面图的笼问题。$(k,g)$ -图是围长为$g$的$k$ -正则图. $(k,g)$ -笼是最小阶的$(k,g)$ -图。我们不难断定，平面正笼就是柏拉图立体。$(\{r,m\};g)$ -图是围长$g$的图，其顶点具有度$r$和$m.$。$(\{r,m\};g)$ -笼是最小阶的$(\{r,m\};g)$ -图。在这种情况下，我们确定三元组的值$(\{r,m\};g)$，存在平面$(\{r,m\};g)$ -图，对于所有这些值，我们构建的例子。此外，对于许多三联体$(\{r,m\};g)$，我们构建了$(\{r,m\};g)$ -笼。
A new series of dense graphs of high girth
令$k\ge 1$是奇数，$t=\lfloor {{k+2}\over 4}\rfloor$，$q$是素数幂。我们构造了一个二部的、$q$ -正则的、边传递的图$C\!D(k,q)$，它的阶为$v \le 2q^{k-t+1}$，围长为$g \ge k+5$ .如果$e$是$C\!D(k,q)$的边数，则$e =Ω(v^{1+ {1\over {k-t+1}}})$。这些图提供了最好的已知的渐近下界的最大数量的边缘图的顺序$v$和周长至少$g$，$ g\ge 5$，$g \not= 11,12$。对于$g\ge 24$，这表示对Margulis和Lubotzky、Phillips、Sarnak建立的边界的轻微改进;对于$5\le g\le 23$、$g\not= 11,12$，它改进或绑定了现有边界。
Attainable bounds for algebraic connectivity and maximally-connected regular graphs
本文利用直径与围长给出正则图代数连通度的可达上界，刻画围长界的 Moore 图等号情形，并通过随机算法与穷举搜索发现多种达到直径界的正则图。
Lower bounding the MaxCut of high girth 3-regular graphs using the QAOA
本文通过QAOA算法为高环长3正则图的MaxCut问题提供了新的下界，并展示了其在寻找最大割方面的高效性。
We offer a new, gradual approach to the largest girth problem for cubic graphs. It is easily observed that the largest possible girth of all $n$-vertex cubic graphs is attained by a $2$-connected graph $G=(V,E)$. By Petersen's graph theorem, $E$ is the disjoint union of a $2$-factor and a perfect matching $M$. We refer to the edges of $M$ as chords and classify the cycles in $G$ by their number of chords. We define $γ_k(n)$ to be the largest integer $g$ such that every cubic $n$-vertex graph with a given perfect matching $M$ has a cycle of length at most $g$ with at most $k$ chords. Here we de…
Cubic vertex-transitive graphs of girth seven
本文通过图的签名对围长为7的三次点传递图进行完整分类，并证明若每条边包含在相同数量的7-圈中，则该图也是弧传递的。
Semicubic cages and small graphs of even girth from voltage graphs
本文针对偶围长小阶半立方图的构造问题，采用粘合立方笼的推广方法与基于$\boldsymbol{\rm Z}_{m}$电压图的核心技术，构造了多族不同偶围长的半立方图，部分实例达到已知最优界。
Given a graph $H$, a graph $G$ is called $H$-critical if $G$ does not admit a homomorphism to $H$, but any proper subgraph of $G$ does. Observe that $K_{k-1}$-critical graphs are the standard $k$-(colour)-critical graphs. We consider questions of extremal nature previously studied for $k$-critical graphs and generalize them to $H$-critical graphs. After complete graphs, the next natural case to consider for $H$ is that of the odd-cycles. Thus, given integers $\ell$ and $k$, $\ell\geq k$, we ask: what is the smallest order of a $C_{2\ell +1}$-critical graph of odd-girth at least $2k+1$? Denotin…
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