Wenger 图的边围长正则性
The edge-girth-regularity of Wenger graphs
AI总结：
本文证明 Wenger 图与线性化 Wenger 图为边围长正则图并确定其参数，据此推出围长环数、广义 Turán 数下界及奇数 q 下的极值渐近结论。
摘要：
设 $n\ge 1$ 为整数，$\mathbb{F}_q$ 是具有 $q$ 个元素、特征为 $p$ 的有限域。本文证明了 Wenger 图 $W_n(q)$ 和线性化 Wenger 图 $L_m(q)$ 是边围长正则 $(v,k,g,\lambda)$-图，并完全确定了图 $W_n(q)$ 与 $L_m(q)$ 的参数 $\lambda$。这里，边围长正则图 $egr(v,k,g,\lambda)$ 是指阶为 $v$、围长为 $g$ 的 $k$-正则图，且任意一条边都包含在 $\lambda$ 个不同的 $g$-环中。作为直接推论，我们得到了图 $W_n(q)$ 的围长环数量，以及广义 Turán 数 $ex(n,C_{6},\mathscr{C}_{5})$ 和 $ex(n,C_{8},\mathscr{C}_{7})$ 的下界，其中 $C_k$ 是长度为 $k$ 的环，而 $\mathscr{C}_k=\{C_3,C_4,\dots,C_k\}$。此外，当 $q$ 为奇数时，存在一族 $egr(2q^3,q,8,(q-1)^3(q-2))$-图；并且对于奇数 $q$，图 $W_2(q)$ 的阶与极值 $egr(v,q,8,(q-1)^3(q-2))$-图具有相同的渐近阶。
英文摘要：
Let $n\ge 1$ be an integer and $\mathbb{F}_q$ be a finite field of characteristic $p$ with $q$ elements. In this paper, it is proved that the Wenger graph $W_n(q)$ and linearized Wenger graph $L_m(q)$ are edge-girth-regular $(v,k,g,λ)$-graphs, and the parameter $λ$ of graphs $W_n(q)$ and $L_m(q)$ is completely determined. Here, an edge-girth-regular graph $egr(v,k,g,λ)$ means a $k$-regular graph of order $v$ and girth $g$ satisfying that any edge is contained in $λ$ distinct $g$-cycles. As a direct corollary, we obtain the number of girth cycles of graph $W_n(q)$, and the lower bounds on the generalized Turán numbers $ex(n, C_{6}, \mathscr{C}_{5})$ and $ex(n, C_{8}, \mathscr{C}_{7})$, where $C_k$ is the cycle of length $k$ and $\mathscr{C}_k = \{C_3, C_4, \dots , C_k\}$.Moreover, there exist a family of $egr(2q^3,q,8,(q-1)^3(q-2))$-graphs for $q$ odd, and the order of graph $W_2(q)$ and extremal $egr(v,q,8,(q-1)^3(q-2))$-graph have same asymptotic order for $q$ odd.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
