Jordan gradings on exceptional simple Lie algebras
Alberto Elduque
给出了例外单李代数的自同构群的若当子群诱导的所有分次的模型。
Models of all the gradings on the exceptional simple Lie algebras induced by Jordan subgroups of their groups of automorphisms are provided.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Group gradings on the Lie and Jordan superalgebras $Q(n)$
我们分类的经典单李和约旦超代数$Q(n)$，$n \geq 2$，在一个代数闭域的特征不同于$2$（和不划分$n+1$在李的情况下）的任意阿贝尔群的分级：精细分级等价和$G$ -分级，对于一个固定的组$G$，同构。
Group gradings on the Jordan algebra of upper triangular matrices
设G是任意群，K是特征不同于2的域。对K上n阶上三角形矩阵的Jordan代数上的G-分次进行了分类。事实证明，有，直到一个分次同构，两个家庭的分次：基本分次（类似于在结合的情况下），和所谓的镜像类型（MT）分次。此外，我们证明了这个代数上的G-分次是唯一确定的，直到一个分次同构，由分次恒等式，他们满足。
Fine gradings on simple exceptional Jordan pairs and triple systems
在基域代数闭且特征不同于$2$的假设下，给出了bi-Cayley型和Albert型Jordan对和三元系上的阿贝尔群的细群分次的等价分类.计算相关的外尔群。我们还确定，对于每一个细分次的bi-Cayley和Albert对，诱导分次的特殊单李代数的Tits-Kantor-Koecher建设。
Group gradings on the Lie and Jordan algebras of block-triangular matrices
本文将特征$0$代数闭域上的零迹上块三角形矩阵李代数上的任意群$G$划分为同构类.证明了这样一个分次的支集总是生成$G$的一个阿贝尔子群。假设$G$是阿贝尔的，我们的技术也可以得到分类的$G$ -分级上块三角形矩阵作为一个结合代数，在任何代数闭域。这些分级最初由A. Valenti和M. Zaicev在2012年（假设特征$0$和$G$有限阿贝尔）和分类到同构由A. Borges et al.，2018年。最后，仍然假设$G$是阿贝尔的，我们分类的$G$ -分次上块三角形矩阵作为约旦代数，在一个代数闭域的特征$0$。事实证明，在这些假设下，Jordan情况等价于Lie情况。
Fine gradings on exceptional simple Lie superalgebras
在特征为0的代数闭域上的单例外经典李超代数上等价地确定了细阿贝尔群群分次。
2-graded polynomial identities for the Jordan algebra of the symmetric matrices of order two
域$K$上的二阶对称矩阵的若当代数有二阶循环群$\mathbb{Z}_2$的两个自然分次。当基域为无穷大且特征不等于2时，我们给出了这两种分次的分次多项式恒等式。我们展示了这两种情况下这些身份的基础。在一种情况下，我们进行了一系列的计算，以减少问题的处理与关联，而在另一种情况下，采用的方法和结果从不变理论。此外，我们将后者的分次推广到$B_n$上的$\mathbb{Z}_2$ -分次，$B_n$是维数为$n$（$n=1$，2，\dots，$\infty$）的向量空间中对称双线性型的Jordan代数。我们称之为\textsl{scalar}分级，因为它的偶数部分仅由标量组成。作为副产品，我们得到了$B_n$的$\mathbb{Z}_2$ -分次恒等式的有限基。事实上，最后一个结果描述了对$(B_n, V_n)$的弱Jordan多项式恒等式。
Gradings on the exceptional Lie algebras $F_4$ and $G_2$ revisited
所有阿贝尔群的分次都可以在特征不为2的代数闭域上的下列代数上分类：$G_2$型单李代数（特征不为3），例外单Jordan代数，以及$F_4$型单李代数。
Group gradings on exceptional simple Lie superalgebras
本文在特征0代数闭域上同构分类了例外单李超代数$G(3)$、$F(4)$、$D(2,1;α)$及$A(1,1)$上的任意群分次，核心方法是将Elduque等的新方法应用于已知的精细分次等价分类。
Simple decompositions of the exceptional Jordan algebra
本文给出了特征不为2的代数闭域$Φ$上的单例外Jordan代数的一些结果。也就是说，一个例子的简单分解的$H(O_3)$到类型$H(Q_3)$的两个子代数的和，它表明，这种分解是唯一可能的简单的子代数的类型。
Leibniz algebras and their connection to Jordan pair disystems
本文研究莱布尼茨代数与约旦对双系的关联，给出约旦对双系的Tits-Kantor-Koecher构造，引入其同伦与莱布尼茨代数的阿贝尔内理想，扩展了约旦dialgebras的相关构造。
Graded contractions of the $\mathbb{Z}_2^3$-gradings on the exceptional Lie algebras coming from octonions
本研究对源自八元数的例外李代数（不含$\mathfrak{g}_2$）上的$\mathbb{Z}_2^3$分次做分次收缩，得到860个不同维数的非同构分次李代数，证明其均为通用型，以广义优美集为分类工具，通过多种结构特征区分所得代数。
Gradings on symmetric composition algebras
对任意域上对称复合代数的群分次进行了分类。本文还讨论了这一结果在例外单李代数分次上的应用。
On Kac's Jordan superalgebra
证明了10维例外Kac的Jordan超代数的自同构的群概型同构于SL 2的两个副本的直积的半直积.这是用来重新审视，扩展和简化，已知的结果分类的扭曲形式，这个超代数和它的分级。
Classification of three-dimensional Jordan superalgebras
本文对特征差为2的代数闭域上的维数不超过3的Jordan超代数进行了分类。我们获得这种分类的主要动机来自于给出一个确定例外Jordan超代数的最小维数的问题的答案。我们的策略，以提供一个下界为这个维度是确定的小尺寸的约旦超代数的完整列表，并验证哪些是特殊的或例外的。
Fine gradings on the simple Lie algebras of type $E$
本文给出了例外李代数$\mathfrak{e}_6$、$\mathfrak{e}_7$和$\mathfrak{e}_8$的一些精细分等。这份清单试图做到详尽无遗。
Fine gradings on $\mathfrak{e}_6$
零特征的代数闭域上的例外李代数$\frak e_6$有14个细分次.我们提供他们的描述和证明，他们都是。
Gradings on the Albert Algebra and on $f_4$
研究了特征为零的代数闭域上的Albert代数和单例外李代数$\frak{f}_4$的群分次。阿尔伯特代数有八个非环非等价的等级（其中三个是好的），$\frak{f}_4$有九个（其中三个也是好的）。
A $\mathbb{Z}_4^3$-grading on a 56-dimensional simple structurable algebra and related fine gradings on the simple Lie algebras of type E
我们描述了在特征不同于2和3的代数闭域上的Brown代数（一个维数为56，斜维数为1的简单可结构代数）上的某种$\mathbb{Z}_4^3$ -分次的两种构造.我们还展示了这种分级如何引起几个有趣的精细分级异常简单李代数的类型E6，E7和E8。
Fine Gradings on the exceptional Lie algebra $\mathfrak d_4$
我们描述了李代数$\mathfrak d_4$上的所有细群分次，直到等价为止。这个问题等价于求$\mathfrak d_4$的自同构群的极大交换可对角化子群。我们用两种不同的观点证明了有十四个。第一种方法是计算的：我们得到一个完整的描述，通过使用一个特定的实现的Dynkin图的$\mathfrak d_4$和一些代数群的东西的自同构群的分级。第二种方法，更定性，强调一些代数方面，如triality，它主要致力于涉及三阶外自同构的分级。
Gelfand-Kirillov dimension and Jordan algebras
设A是被有限阿贝尔群G分次的结合代数，若分别用GKdim_k（A）和GKdim^G_k（A）表示其k元相对自由代数和相对自由G-分次代数的Gelfand-Kirillov维数，则GKdim_k（A）\leq GKdim^G_k（A）.我们显示了一个反例以前的结果为约旦代数（因此非结合）。特别地，存在$Z_2$ -分次在$UJ_n$上，$n\times n$上三角形矩阵的Jordan代数，n等于2或3，使得前面的不等式不成立.
Special and exceptional Jordan dialgebras
本文研究了Jordan双代数类。我们开发了一种方法，减少问题的双代数的情况下，普通代数。它表明，直接推广的经典科恩的，Shirshov的，和麦克唐纳定理不适用于双代数。然而，我们证明这些声明的双代数类似物。另外，我们还研究了在所有特殊Jordan代数中成立的多线性特殊恒等式和在所有Jordan代数中不成立的多线性特殊恒等式。我们发现了普通代数和双代数的特殊恒等式之间的自然对应。
Exceptional Periodicity and Magic Star Algebras. II : Gradings and HT-Algebras
我们继续研究例外周期和幻星代数，它们提供了例外李代数的有限维推广的非李的可数无限链。我们分析了等级代数结构中产生的魔术星投影，以及埃尔米特部分的秩-3温伯格的矩阵代数（我们称之为HT-代数），发生在每个顶点的魔术星。
Jordan algebras, exceptional groups, and higher composition laws
我们考虑一个完整版本的Freudenthal建设有关约旦代数和特殊的代数群。我们展示了这个结构是如何与M.Bhargava在数论中的高等组成定律相关的。我们提出了一种算法的方法来研究轨道空间的群体基础较高的组成法律。使用这种方法，我们发现了两个新的例子共享类似的属性的空间，并指出几个例子的空间，这种组合法可能会被引入。
Group gradings on classical Lie superalgebras
本文在特征零代数闭域上对非例外经典单李超代数的群分次进行了同构分类，通过研究满足降链条件的分次单结合超代数，实现了对有限维单结合超代数阿贝尔群分次的分类。
$\mathbb{Z}_2$-graded polynomial identities for the Jordan algebra of $2\times 2$ upper triangular matrices
设$K$是特征$(K)\neq 2$的域（有限或无限），$UT_n=UT_n(K)$是$K$上的$n\times n$上三角矩阵代数.如果$\cdot $是$UT_n$上的通常乘积，那么对于新乘积$a\circ b=(1/2)(a\cdot b +b\cdot a)$，我们有$UT_n$是Jordan代数，记为$UJ_n=UJ_n(K)$。本文刻画了$UJ_2$的所有$\mathbb{Z}_2$ -分次多项式恒等式的集合，其中$UJ_2$具有任何非平凡的$\mathbb{Z}_2$ -分次.此外，我们还描述了相应的相对自由的$\mathbb{Z}_2$ -分次代数的线性基。
From the Albert algebra to Kac's ten-dimensional Jordan superalgebra via tensor categories in characteristic 5
本研究在特征5域下通过张量范畴半单化，由Albert代数与5阶自同构得到Kac十维Jordan超代数，解释了相关奇特结果，还得到特征5特有李超代数el(5;5)并给出超代数构造的一般方法。
The Exceptional Jordan Eigenvalue Problem
讨论了与量子力学的Jordan公式有关的3 × 3八元数厄米矩阵的本征值问题。与我们以前的工作中考虑的特征值问题相比，所有的特征值都是实的，并且求解通常的特征方程。我们给出了相应的本征矩阵的初等构造，并进一步推测了其在粒子物理中的可能应用。
Fine gradings and gradings by root systems on simple Lie algebras
给定特征为零的代数闭域上的有限维单李代数上的细交换群分次，其泛分次群为$G$，证明了自由群$G/\tor(G)$的诱导分次是根系的分次（不一定是约化的）.给出了例外单李代数上细分次分类的一些结果。
Gradings on tensor products of composition algebras and on the Smirnov algebra
本文给出了特征不等于2的域上的Cayley代数$\mathcal{C}$和Hurwitz代数的张量积上的群分次的分类，直至等价和直至同构。我们还证明了$\mathcal{C}^{\otimes n}$和$\mathcal{C}^n$的自同构群方案是同构的。另一方面，我们证明了Smirnov代数（由Cayley代数$\mathcal{C}$构造的$35$维单例外可结构代数）与$\mathcal{C}$的自同构群概型是同构的.这是用来获得分类，直到等价和同构，组分级的Smirnov代数。
Gradings on $o(8,\mathbb C)$
这是例外李代数$o(8,\mathbb C)$上所有细群分次的矩阵描述。有十四个。
Images of multilinear graded polynomials on upper triangular matrix algebras
本文研究了多重线性分次多项式在上三角形矩阵UT_n的分次代数上的象。对于正整数q \leq n，我们在UT_n上赋予一个特殊的初等Z_q-分级对这些图像进行分类.从而得到UT_n上的多线性分次多项式在自然Z_n分次下的象。我们应用这种分类，以给出一个新的条件，多线性多项式的分次身份，以便获得无迹矩阵在其图像上的全矩阵代数。我们还描述了分次代数UT_2和UT_3上的多重线性多项式对任意分次的象。最后，我们证明了分次Jordan代数UJ_2和赋自然初等Z_3-分次的UJ_3的一个类似结果。
Special and exceptional mock-Lie algebras
我们观察到几个事实，并对满足雅可比恒等式的交换代数作了一些说明。核心问题是这些代数中的哪一个允许一个忠实的表示（即，在李的说法，满足Ado定理，或者，在约旦的说法，是特殊的）。
Tits construction of the exceptional simple Lie algebras
利用Jordan超代数或复合超代数，将特殊单李代数的经典Tits结构在两个方向上进行了推广.这些扩展在这里进行了审查。结果是发现了一些新的单模李超代数。
Exceptional symmetric domains
利用Albert代数和例外Jordan三元系给出了例外有界对称域的表示.第一章是Cayley-Graves代数，第二章是例外Jordan三元系。在第三章中，我们给出了两个例外的有界对称域的几何描述，它们的边界以及它们的紧化。
S4-symmetry on the Tits construction of exceptional Lie algebras and superalgebras
经典的Tits构造提供了例外单李代数的一个有单位元的复合代数和一个三次单Jordan代数的模型。给出了4次对称群在此结构上的几个作用.通过这些行动，由山雀建设提供的模型是相关的例外李代数的模型从两种不同类型的结构化代数。讨论了例外李超代数的一些模型。
The Magic of Being Exceptional
本文从单李代数例外序列中“幻星”嵌入的Jordan代数解释出发，利用秩3 Jordan代数的自旋因子嵌入及其对Jordan代数李对称性的影响，从另一个角度探讨了“例外周期”（EP）及其“幻星”结构的起源.我们还强调了一些特殊的类的Vinberg的秩3（被称为例外）的T-代数，出现在提示的“魔术之星”投影的EP（广义，有限维，例外）代数的属性。
Okubo algebras and Exceptional Periodicity: tetracode gradings, root-lattice obstructions and Clifford cones
该研究探讨Okubo代数的结构扩展至例外周期性代数，分析其分次、根格阻碍等性质，确定相关代数的自同构群，给出EP tip的Clifford模实现及超引力相关的齐次标量流形。
On the minimal modules for exceptional Lie algebras: Jordan blocks and stabilisers
本文研究了G_2、F_4、E_6和E_7型例外代数群的极小诱导模，列出了幂零元在其上作用的Jordan块，并确定了向量中心化子与一维子空间稳定子何时光滑。
Gradings on modules over Lie algebras of E types
对于特征为零的代数闭域上的$E_6$型或$E_7$型的例外单李代数$\mathcal{L}$上的任意交换群$G$的分次，我们计算了有限维单模的分次Brauer不变量，从而完成了有限维李代数的分次Brauer不变量的计算.这产生了$G$ -分级简单$\mathcal{L}$ -模块的分类，以及$\mathcal{L}$ -模块允许与$\mathcal{L}$上给定的$G$ -分级兼容的$G$ -分级的充要条件。
From cubic norm pairs to $G_2$- and $F_4$-graded groups and Lie algebras
本文提出了一种从立方范数对构造 $G_2$ 和 $F_4$ 分级李代数及群的方法，并揭示了其结构特性。
Deformation of the Okubic Albert algebra and its relation to the Okubic affine and projective planes
给出了Elduque引入的Okubic Albert代数的一个变形，它的秩1幂等元与Okubic射影平面上的点是双单对应的，从而将Jordan，Von Neumann，Wigner发现的八元数射影平面与秩3例外Jordan代数之间的对应推广到Okubic代数上.
Octonions, E6, and Particle Physics
1934年，乔丹等人给出了量子力学合理理论的一个必要代数条件，即乔丹恒等式。满足这个条件的所有代数，除了一个以外，都可以用复数或四元数上的埃尔米特矩阵来描述。剩余的例外Jordan代数可以用八元数上的3 × 3埃尔米特矩阵来描述。本文首先回顾了八元数和例外Jordan代数的性质，包括我们以前在八元数Jordan本征值问题上的工作。然后，我们研究了李群E6的一个特定的实非紧形式，它保留了例外乔丹代数中的行列式。最后，我们描述了E6中一个可能的破坏性场景：首先选择一个八元数方向是特殊的，然后选择一个3x3矩阵中的2x2子矩阵是特殊的。只有这两种选择，我们才能以自然的方式描述轻子的许多性质。我们进一步推测夸克可能以类似的方式编码。
Lie tori of type B_2 and graded-simple Jordan structures covered by a triangle
本文将具有阿贝尔群A的第二相容分次的B_2-分次李代数分为两类：（a）A无挠的分次单李代数李代数和（b）除A-分次李代数李代数。我们的结果描述了一类仿射反射李代数的无中心核，因此特别适用于广义仿射李代数的无中心核，即所谓的李环面，我们恢复了Allison-Gao和Faulkner的结果.我们的分类（b）推广了Benkart-Yoshii的一个最近结果。这两种分类都是三角形覆盖的Jordan代数的新描述的结果，三角形通过Tits-Kantor-Koecher构造对应于这些李代数。Jordan代数的分类是由分次三角化Jordan三元系的结果得到的。在未分次情形下，推广了McClammon和第一作者的工作，以及Osclam-McClammon-容量-2-定理.
Differential calculus on Jordan algebra and Jordan modules
考虑到粒子物理学的应用，我们发展了关于约旦代数的微分学和关于若尔当模的联系理论。特别是，我们专注于微分学的例外约旦代数和自由若尔当模的联络理论提供了一个完整的表征。
Hom-Lie superalgebra structures on exceptional simple Lie superalgebras of vector fields
研究了向量场的例外单李超代数上的Hom-Lie超代数结构。利用Z-分次结构和传递性，证明了例外单李超代数上只存在平凡Hom-Lie超代数结构.我们的证明是通过研究Hom-Lie超代数在其第0和第-1 Z-分支上的结构得到的。
On Jordan algebras that are factors of Matsuo algebras
本研究刻画了对应Matsuo代数含非平凡Jordan代数因子的有限连通3-对合群，证明特征0域上存在无穷多非Matsuo代数因子的Jordan型1/2本原轴代数，并以例外Jordan代数为例验证。
Exceptional quantum geometry and particle physics
基于色群$SU(3)$单模性对夸克-轻子对称性的解释和3代的存在性，我们提出了一个论证，表明对应于27维例外实Jordan代数（Euclidean Albert代数）的“有限量子空间”与粒子理论中内部空间的描述有关。特别地，对应于例外代数的3个非对角八元数元素的三重性与标准模型的3代相关联，而八元数作为复四维空间$\mathbb C\oplus\mathbb C^3$的表示与夸克-轻子对称性相关联（一个复体用于轻子，3用于相应的夸克）。更一般地说，有人认为，在粒子物理学中，时空上的实函数代数被时空上的函数代数所取代，而时空上的函数代数的值在有限维欧几里德约当代数中，它在相应的几乎经典的量子时空上扮演着“实函数代数”的角色。这导致我们研究若尔当模理论，并发展约当代数上的微分学（即引入适当的微分形式概念）。给出了若尔当模上联络的相应定义.
Cohomological invariants of odd degree Jordan algebras
本文确定了Aut（J）-扭子在模2系数的Galois上同调中的所有可能的上同调不变量（基域的特征不为2），其中J是奇数次n ≥ 3的分裂中心单Jordan代数.这已经做了正交和例外型J，我们将这些结果推广到酉和辛型。我们将使用我们的结果来计算一些群的本质维数，例如我们证明ed（PSp（2n））=n+1，其中n是奇数。
Exceptional (Z/2Z) x (Z/2Z)-symmetric spaces
（Z/2 Z）x（Z/2 Z）-对称空间的概念是经典对称空间的推广，其中群Z/2 Z被（Z/2 Z）x（Z/2 Z）代替。本文给出了（Z/2 Z）x（Z/2 Z）-对称空间G/K的一个分类，其中G是例外的紧李群或Spin（8），补充了Bahturin和Goze最近的结果.我们的结果等价于特殊单李代数e6，e7，e8，f4，g2和so（8）上的（Z/2 Z）x（Z/2 Z）-分次的分类.
Structurable algebras and groups of type E_6 and E_7
众所周知，每一个F_4型代数群都是例外Jordan代数的自同构群，并且直到等距，所有具有平凡Tits代数的^1E_6型群都是这种Jordan代数的范数形式的等距群。本文描述了E_6型群与E_7型群之间的一种类似关系，并利用它给出了E_7型群的齐次投射簇与平凡Tits代数的显式描述。这里考虑的关系的基本代数结构是一种56维可结构代数，它是从例外Jordan代数构造的代数的形式。
$|3|-$gradings of complex simple Lie algebras
本文研究复单李代数的 $|3|-$ 阶化结构，完全确定可能的约化代数 $\mathfrak{n}_0$，并证明其负部中唯一出现的三阶自由幂零李代数来自例外李代数 $\mathfrak{g}_2$ 的通常 $|3|-$ 阶化。
Exceptional quantum geometry and particle physics II
我们继续在[13]中进行的研究，研究厄米特$3\times 3$八元数矩阵的特殊Jordan代数$J^8_3$对于描述3代标准模型基本费米子内部空间的相关性。根据[30]的建议，（适当地证明在这里），厄米$2\times 2$八子矩阵的Jordan代数$J^8_2$是相关的描述的内部空间的基本费米子的一代，我们表明，基于相同的原则和相同的框架，在[13]，有一种方法来描述3代的内部空间，它避免了引入新的基本费米子，并且在电弱对称性方面没有问题。
Graded contractions of g2
本文对复数域上例外李代数$\mathfrak{g}_2$的精细$\mathbb{Z}_2^3$-阶化的阶化收缩进行了等价与强等价分类，并发现了一族多为可解的14维李代数。
The Magic Star of Exceptional Periodicity
本文提出一条周期性无限链，将 e8、例外 Jordan 代数和八元数推广为无限族，并证明它们分别对应于一类三次 Vinberg T-代数和“魔星”代数。
An Exceptional 7-dimensional Real Algebra: Octonions, $G_2$, and the Fano Plane
研究一种7维非结合代数，通过八元数叉积将1882年Hüseyin Tevfik Pasha引入的双线性乘法从三维扩展到七维，该代数具有单位元、简单且非结合，其自同构群为U(3)。
Magic Star and Exceptional Periodicity: an approach to Quantum Gravity
我们给出了例外结构的有限推广的周期无限链，包括例外李代数$\mathbf{e_8}$，例外Jordan代数（和对）和八元数.我们还将讨论时空的性质，并指出这些代数结构如何激发一种超越当前基础物理学知识的新方法。
Generalized conformal realizations of Kac-Moody algebras
给出了一个构造，它将一个正整数n标记的卡茨-穆迪代数的无穷序列与一个Jordan代数相关联.对于n=1，这简化为众所周知的Kantor-Koecher-Tits构造。我们的推广利用了不同的广义约旦三元系之间的一个新的关系，连同他们已知的连接约旦和李代数。应用于除代数R，C，H，O上的Hermitian 3 × 3矩阵的Jordan代数，给出了n=2的例外李代数f4，e6，e7，e8.此外，我们得到了它们的无限维扩展n大于或等于3。在2x2矩阵的情况下，所得到的李代数的形式为so（p+n，q+n），并且伴随的非线性实现推广了签名为（p，q）的时空中的共形变换。
Exceptional Lie Algebras at the very Foundations of Space and Time
在描述我们最近对特殊李代数和约当代数的研究结果时，我们将试图激发对时空性质的批判性讨论，并指出这些代数结构如何能够激发一种新的方式，超越现有的基础物理学知识。
Exceptional sequences in the derived category of a gentle algebra
利用温柔代数的对应关系和标记曲面的剖分，研究了温柔代数$\mathsf{A}$的完备导出范畴$\mathsf{K^b(A)}$中的满例外序列.我们证明了$\mathsf{K^b(A)}$中的完全例外序列存在的充要条件是相关的标记表面没有穿孔，并且在边界上至少有两个标记点。此外，利用曲面割的归纳法，我们证明了例外序列何时可以完备为完全例外序列。如果亏格为零，则我们证明了辫群的作用与分次移位一起作用于$\mathsf{K^b(A)}$中的完全例外序列是传递的。对于曲面的情况下，更高的亏格，我们减少了问题的传递性的问题，存在的某些序列对例外对象。最后，我们利用Koszul对偶性解释了由相伴的对称群中最长元诱导的完全例外序列的对偶性。
$\mathbb{Z}_2^3$-grading of the Lie algebra $G_2$ and related color algebras
本文构造了例外李代数 $G_2$ 的 $\mathbb{Z}_2^3$-分次基并给出交换子闭式表达，进而得到三个 $G_2$ 型分次色代数，同时研究了与 Cartan-Weyl 基相容的 $\mathbb{Z}_2^2$-分次及其色代数。
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