Gradings on $o(8,\mathbb C)$
C. Draper, A. Viruel
这是例外李代数$o(8,\mathbb C)$上所有细群分次的矩阵描述。有十四个。
This is a matricial description of all the fine group gradings on the exceptional Lie algebra $o(8,\mathbb C)$. There are fourteen.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Fine Gradings of Low-Rank Complex Lie Algebras and of Their Real Forms
在这篇评论文章中，我们处理的主题，精细分级的李代数。这个概念不仅对研究代数的结构性质很重要，而且在此之上，精细分次通常被用作研究代数的分次压缩或变形的起点。一个基本的问题解决的工作是术语之间的关系“分级”和“组分级”。虽然这些条款最初声称符合简单李代数，后来发现，证明这一主张是不正确的。因此，关于精细分级和MAD组之间一一对应的关键陈述必须进行修改，并重新制定精细组分级。然而，仍然有一个假设，即“分次”和“群分次”这两个术语在简单复李代数中是一致的。我们使用MAD-群作为寻找复李代数$A_3 \cong D_3$、$B_2 \cong C_2$和$D_2$的精细群分次的主要工具。此外，我们还开发了其他的方法来寻找细（组）分级。它们对于复代数的实形式特别有用，在这方面它们提供了比MAD-群更丰富的结果。系统地使用了三个李代数的$4\times 4$矩阵的忠实表示：$A_3 = sl(4,\mathbb C)$，$C_2 = sp(4,\mathbb C)$，$D_2 = o(4,\mathbb C)$。内含物$sl(4,\mathbb C)\supset sp(4,\mathbb C)$和$sl(4,\mathbb C) \supset o(4,\mathbb C)$在我们的介绍中是很重要的，因为它们允许采用的方法之一，大大简化了计算时，发现精细群分级的子代数$sp(4,\mathb…
Automorphisms of the fine grading of sl(n,C) associated with the generalized Pauli matrices
本文考虑广义Pauli矩阵群$Π_n$对$sl(n,\mathbb{C})$的分次.分次将李代数分解为$n^2-1$一维子空间。本文证明了$sl(n,\mathbb{C})$在$Π_n$中的分次分解的正规化子是群$SL(2, \mathbb{Z}_n)$，其中$\mathbb{Z}_n$是$n$阶的循环群.作为一个例子，我们认为$sl(3,\mathbb{C})$分级为$Π_3$和所有的收缩保持该分级。我们发现，一组48个二次方程的分级参数分裂成两个轨道的正规化的分级$Π_3$。
On representations of Lie algebras compatible with a grading
本文推广了现有的与李代数分次有关的李代数表示理论。定义了与给定分级相容的表示的概念，并将其应用于与其$\mathbb{Z}_2$分级相关的$sl(n,\mathbb{C})$的有限维表示。对于$sl(n,\mathbb{C})$的表示理论，Gel'fand-Tseitlin方法被证明是非常有效的。
$\mathbb{Z}_2^3$-grading of the Lie algebra $G_2$ and related color algebras
本文构造了例外李代数 $G_2$ 的 $\mathbb{Z}_2^3$-分次基并给出交换子闭式表达，进而得到三个 $G_2$ 型分次色代数，同时研究了与 Cartan-Weyl 基相容的 $\mathbb{Z}_2^2$-分次及其色代数。
Lax operator algebras and gradings on semi-simple Lie algebras
对具有$\mathbb Z$ -分次的$\mathbb C$上的任意半单李代数和具有标记点的任意紧Riemann曲面构造了一个Lax算子代数.在此基础上，给出了Lax算子代数的几乎分次结构的处理和中心扩张的分类.建立了基于Tyurin参数的早期方法的关系。
Inequivalent quantizations from gradings and ${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ parabosons
介绍了由${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ -分次代数诱导的仿统计量.它容纳了四种粒子：普通玻色子和三种类型的paraboson，它们属于不同的类型时相互反交换（到目前为止，文献中只考虑了由${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ -分次超代数诱导的parastatistics和产生parafermion）。它示出了如何检测${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ -分级的量子模型中的多粒子部门的parabosons。通过测量某些给定本征态上的某些选定的观测量，发现了与普通玻色子组成的系统的不同之处。多粒子态的构造是通过适当的编织张量积来完成的。应用${\mathbb Z}_2$ -和${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ -分次，得到了$4\times 4$矩阵振子的$9$不等价的多粒子Hilbert空间. ${\mathbb Z}_2\times {\mathbb Z}_2$ -分次抛物Hilbert空间就是其中之一。
Contractions from Grading
我们注意到，在物理学中出现的大量代数的压缩可以通过在父代数上确定适当的$\mathbb{Z}_m$ -分级（及其推广）来纯代数地理解。这包括各种类型的平坦空间/有限维和无限维（A）dS代数的卡罗尔极限，以及伽利略和伽利略共形代数。我们的观察可以被认为是为arXiv：1312.2941的格拉斯曼方法提供了一个自然背景。我们还介绍了一个相关的概念，我们称之为部分分级，自然出现在这种情况下。
Graded contractions on the orthogonal Lie algebras of dimensions 7 and 8
本文对7维和8维正交李代数上的特定非环面 $\mathbb{Z}_2^3$-分级收缩进行了分类，推广了 $\mathfrak g_2$ 上的相关结果，并产生了维度为21和28的两个大型李代数族。
A Novel Generalisation of Supersymmetry: Quantum $\mathbb{Z}_2^2$-Oscillators and their `superisation'
我们提出了一个非常简单的玩具模型的$\mathbb{Z}_2^2$ -超对称量子系统，并显示，通过克莱因的建设，如何理解系统作为一个$N=2$超对称系统与额外的$\mathbb{Z}_2^2$ -分级。也就是说，通过标准玻色子/费米子规则来定义对易/反对易规则，但是系统仍然具有需要考虑的底层$\mathbb{Z}_2^2$分级。
On the construction of polynomial Poisson algebras: a novel grading approach
本文提出了一种新的分级方法，用于构造多项式泊松代数，通过分析三个与复简单李代数 sl(3,C) 相关的约简链，展示了该方法在简化 Lie-Poisson 括号推导和正交多项式研究中的应用。
Generalization of Superalgebras to Color Superalgebras and Their Representations
对于给定的李超代数，给出了色超代数的两种构造方法。其中之一是基于Clifford代数的色超代数性质。该方法适用于任何李超代数，并得到了$ {\mathbb Z}_2^{\otimes N} $分次的色超代数.另一种是以玻色子和费米子算符的超代数为例进行讨论。将玻色子算符作为“第二”费米子扇区处理，得到了一个${\mathbb Z}_2 \otimes {\mathbb Z}_2$阶色超代数.给出了玻色-费米子系统色超代数的矢量场表示。
On a $\mathbb{Z}_2^n$-Graded Version of Supersymmetry
我们扩展了超闵可夫斯基时空的概念，包括$\mathbb{Z}_2^n$ -分级（马约拉纳）旋量坐标。我们选择的分级导致旋量坐标是幂零的，但他们之间的交换。我们采用的数学框架是最近发展的$\mathbb{Z}_2^n$ -流形的局部环空间。我们提出的形式类似于$\mathcal{N}$ -扩展超空间（在存在中心荷的情况下），但由于所采用的分级的奇异性质而具有一些微妙的差异。
Ladder operators, Fock-spaces, irreducibility and group gradings for the Relative Parabose Set algebra
研究了相对抛物集（\textsc{Rpbs}）代数在单抛物自由度和单仿费米子自由度下的类Fock表示.它表明，有一个无限的家庭（参数化的值的正整数$p$）的无限维，非等价的，不可约表示。对于其中的每一个，显式表达式计算的发电机的行动，他们被证明是梯子运营商（创建湮灭运营商）指定的福克空间。证明了这些inf. dim. Fock-空间中的每一个在整个代数的作用下都是不可约的，或者说是\textsc{Rpbs}代数上的单模。最后，对代数$P_{BF}^{(1,1)}$和Fock-空间引入了$(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2})$ -分次，证明了所构造的表示是$(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2})$ -分次的，$P_{BF}^{(1,1)}$ -模的，并简要讨论了我们的方法与文献中类似工作的关系.
Refining the grading of irreducible Lie colour algebra representations
本文将 loop module 构造应用于 Lie 色代数，通过对分级群 Jordan--Hölder 分解中的单群迭代应用该构造，建立了有限维分级不可约 Lie 色代数表示等价类与 Lie 超代数表示间的双射，并通过两个例子验证了其适用性。
On rationality of $\mathbb{C}$-graded vertex algebras and applications to Weyl vertex algebras under conformal flow
利用一类$\mathbb{C}$-分次顶点代数$V$的朱代数，证明了如果$V$是可分次$Ω$-生成的，并且满足适当的分次条件，则$V$是有理数的，即具有半单表示论，具有一维零级朱代数.这里$Ω$表示$V$中通过降低分级的实部而被消除的向量。将所得结果应用于由$μ\in \mathbb{C}$参数化共形元$ω_μ$的秩为1的Weyl顶点代数族，证明了对于$μ$的某些非整数值，这些非整数分次的顶点代数是有理数的，具有一维零级朱代数.此外，我们将这个结果推广到适当的任意秩的$\mathbb{C}$-分次Weyl顶点代数.
Analytic Conformal Blocks of $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras I: Propagation and Dual Fusion Products
本文是系列论文的第一篇，针对不一定有理的$C_2$-共有限顶点算子代数，通过推广共形块的传播，证明了对偶融合积的存在性。
$ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ generalizations of ${\cal N} = 1$ superconformal Galilei algebras and their representations
引入了两类新的$ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $阶化色超代数.这是通过实现每个成员的通用包络代数的${\cal N}=1$超对称扩展的共形伽利略代数。这使得我们可以将超共形Galilei代数的任何表示升级为$ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $分次代数的表示。作为例子，给出了一类玻色子-费米子Fock空间表示。我们还提供了一个向量场实现的其他类的成员通过使用广义的格拉斯曼演算$ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $分级设置。
$q$-graded Heisenberg algebras and deformed supersymmetries
对单位圆盘上的$q$复数，在q-变形Heisenberg代数的乘积生成的包络代数上引入了$q$-分次的概念.在这个公式中，我们考虑了包络代数中超对称概念的扩展。我们恢复普通的$\mathbb{Z}_2$分级或格拉斯曼奇偶结合超代数，和通常的超对称性的修改版本。作为一个具体的问题，我们专注于有趣的限制$q\to -1$的阿里克和库恩变形的海森堡代数允许映射到玻色子的费米子模式在修改的意义上。不同的代数后果进行了讨论。
Toda equations associated with loop groups of complex classical Lie groups
Toda方程由李群的选择和它的李代数的$\mathbb Z$ -阶化来指定。给出了复经典李群的圈群所对应的Toda方程的显式描述，其中复经典李群的李代数被赋予可积的$\mathbb Z$ -阶化，其阶化子空间为有限维.
Mixed Paraparticles, Colors, Braidings and a new class of Realizations for Lie superalgebras
一个严格的代数描述的概念实现，专门在李超代数的情况下。回顾了相对抛物面集$P_{BF}$的概念及其最近的发展，建立了相对抛物面集$P_{BF}$的辫群结构，并对其（$\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$）-分次进行了扩展讨论.本文的最终结果是利用$P_{BF}$来实现任意李超代数。进一步证明了所构造的实现是一个$\mathbb{Z}_{2}$ -分次Hopf代数同态.虚拟应用在纯数学和理论物理以及概述。
On Z-gradations of twisted loop Lie algebras of complex simple Lie algebras
定义有限维李代数$\mathfrak g$的扭圈李代数为从$\mathbb R$到$\mathfrak g$的扭周期光滑映射的Fréchet空间.这里李代数运算是连续的。我们称这样的李代数为Fréchet李代数。引入了Fréchet李代数的可积$\mathbb Z$ -阶化的概念，并找到了复单李代数的扭圈李代数的所有具有有限维阶化子空间的不等价的可积$\mathbb Z$ -阶化.
Multi-graded Galilean conformal algebras
伽利略共形代数可以通过收缩有限个共形代数来构造，并且具有截断的$\mathbb{Z}$ -分次结构。在这里，我们提出了一个广义的伽利略收缩过程，产生伽利略共形代数截断$\mathbb{Z}^{\otimesσ}$ -分级，$σ\in\mathbb{N}$。详细的例子，这些多级伽利略代数，包括扩展的伽利略Virasoro和仿射卡茨-穆迪代数。我们还推导出相关的Sugawara建设，并讨论这些例子涉及到多变量扩展的Takiff代数。我们同样适用于我们的广义收缩处方张量积的$W_3$代数，并获得新的家庭高阶伽利略$W_3$代数。
Classification of four-rebit states
我们对四个重比特的状态进行了分类，即对空间$(\mathbb R^2)^{\otimes 4}$中的群$\widehat{G}(\mathbb R) = \mathrm{\mathop{SL}}(2,\mathbb R)^4$的轨道进行了分类。这是量子信息理论中著名的SLOCC操作的真正类比。通过对$D_4$型单分裂实李代数的$\mathbb Z/2\mathbb Z$ -分次构造$\widehat{G}(\mathbb R)$ -模$(\mathbb R^2)^{\otimes 4}$，将其轨道分为半单、幂零和混合三组.幂零轨道在Dietrich et al.（2017）中被分类，在理论物理中得到了应用（$\mathcal{N}=2, D=4$超引力STU模型中的极端黑洞，参见Ruggeri和Trigiante（2017））。在这里，我们专注于半单和混合轨道，我们用最近开发的基于伽罗瓦上同调的方法进行分类，参见Borovoi et al.（2021）。这些轨道与STU模型中非极值（或极值过旋转）和双中心极值黑洞解的分类有关。
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