Approximating Prize-Collecting TSP below 1.556
School of Mathematics and Statistics, Yunnan University（云南大学数学与统计学院）
本文提出一种更简单的奖赏收集旅行商问题近似算法，通过省略分裂预处理并将LP相对近似比从1.599改进至1.555761，主要贡献在于对奇偶校正步骤的更强分析。
2026-10-21 cs.DS
Approximating Graphic Multi-Path TSP and Graphic Ordered TSP
本文针对图度量下的 Multi-Path TSP 提出 2 近似算法，并证明源汇相同特例的亚2算法可推广；同时将 Ordered TSP 的图度量近似比改进至 1.791。
2025-08-30 cs.DS
Approximating TSP walks in subcubic graphs
证明了$n_2$顶点数为2的$n$顶点上的简单2连通次立方图的TSP行走长度至多为$\frac{5n+n_2}{4}-1$，从而证实了Dvotelák，Král '和Mohar的一个猜想.这个界限是最好的可能;存在无穷多个次三次图和三次图，它们的最小TSP行走分别具有长度$\frac{5n+n_2}{4}-1$和$\frac{5n}{4} - 2$。我们刻画了极值次立方的例子满足这个界限。我们还给出了一个二次时间组合算法找到这样的TSP行走。特别是，我们得到了一个$\frac{5}{4}$ -近似算法的简单三次图上的图形TSP，提高了以前最好的已知的近似比$\frac{9}{7}$。
2021-12-12 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating Prize-Collecting Variants of TSP
本文针对同时推广Prize-collecting TSP和Ordered TSP的PCOTSP问题，通过结合树采样、概率顶点选取和剪枝奇偶性修正技术，提出了2.097近似算法，并扩展至Prize-collecting Multi-Path TSP获得2.41近似比。
2024-11-22 cs.DS
Approximating the Held-Karp Bound for Metric TSP in Nearly Linear Work and Polylogarithmic Depth
本文提出近线性工作量和多对数深度的并行算法，近似度量TSP的Held-Karp界，并引入核心序列加速MWU框架，改进kECSS问题的求解复杂度。
2025-06-23 cs.DS
Approximating Traveling Salesman Problems Using a Bridge Lemma
University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）；University of Augsburg（奥格斯堡大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文改进了顺序TSP和k人TSP路径的近似算法，通过桥引理的改进方法，分别获得1.878和2.214的近似比，突破了传统方法的限制。
2026-03-20 cs.DS
Approximating Minimum-Cost Connected T-Joins
我们设计并分析了最小代价连通T-连接问题的近似算法：给定一个无向图G =（V;E），G的边都是非负代价的，且G是一个节点子集T，找到（如果存在）一个最小代价的生成连通子图H，使得T中的每个节点都是奇数度，不在T中的每个节点都是偶数度; H可以有G的任意边的多个副本.两个著名的特例是TSP（|T| = 0）和s-t路径TSP（|T| = 2）。最近，An，Kleinberg和Shmoys [STOC 2012]改进了后一个问题的长期5/3近似保证，并提出了一种基于LP舍入的算法，该算法实现了（1+sqrt（5））/2 < 1.6181的近似保证。我们证明了安等人的方法。扩展到最小成本连接的T-连接问题。他们提出了一个新的证明，保证了s-t路径TSP的5/3近似;他们的证明很容易扩展到最小成本连接T-join问题。接下来，我们通过扩展他们的LP舍入算法来改进5/3的近似保证，以获得对于所有|T| >= 4的13/8 = 1.625的近似保证。最后，我们专注于奖品收集版本的问题，并提出了一个原始-对偶算法，是“拉格朗日乘子保持”，并实现了近似保证3 - 2/（|T| -1）时，|T| >= 4。我们的原始-对偶算法是一个推广已知的原始-对偶2-近似的奖品收集的s-t路径TSP。此外，我们表明，我们的分析是紧密的，提出的实例与|T| >= 4，这样的算法找到的解决方案的成本正好是3 - 2…
2012-07-24 cs.DS
Degree-Bounded Generalized Polymatroids and Approximating the Metric Many-Visits TSP
在有界度拟阵基问题中，我们给出了同一基集上的拟阵和超图，以及该基集的元素的代价，以及每个超边$\varepsilon$的上下界$f(\varepsilon)$和$g(\varepsilon)$。目标是找到一个最小成本的基础$B$，使$f(\varepsilon) \leq |B \cap \varepsilon| \leq g(\varepsilon)$的每个超边缘$\varepsilon$。Király等人（Combinatorica，2012）提供了一种算法，该算法找到了最多最优值的成本基础，该最优值违反了最多$2 Δ-1$的下限和上限，其中$Δ$是超图的最大度。当对于每个超边缘仅存在下限或仅存在上限时，该加性误差减小到$Δ-1$。我们考虑扩展的拟阵的基础问题，广义多拟阵，或g-多拟阵，并允许元素的多重性。有界度g-多元拟阵元重数问题以一个g-多元拟阵$Q(p,b)$而不是拟阵作为输入，每个超边$\varepsilon$除了有上下界外，还具有元重数$m_\varepsilon$ .根据Király等人的方法，我们提供了一种算法，用于找到成本最多为最优值的解，具有相同的加法近似保证。作为一个应用程序，我们开发了一个$1.5$ -近似的度量多次访问TSP，其目标是找到一个最低成本的旅游，访问每个城市$v$一个积极的$r(v)$次数。我们的方法结合了我们的算法的有界度g-多拟阵元素问…
2019-12-14 cs.DM cs.DS
Multi Purpose Routing: New Perspectives and Approximation Algorithms
由于服务延迟而导致的成本对于车辆路由的各种应用（诸如医疗紧急情况、物流操作和共乘）可能本质上不同。我们研究了旅行商问题，即$L_p$ TSP的基本推广，其目标是最大限度地减少在服务中的延迟的聚合措施，量化的Minkowski $p$ -范数的延迟向量。我们提出了有效的组合和线性规划算法近似$L_p$ TSP的一般度量。我们提供了几个近似算法的$L_p$ TSP问题，包括$4.27$和$10.92$ -近似算法的单和多车辆$L_2$ TSP，称为旅行消防员问题。在其他贡献中，我们提供了一个$8$近似和$1.78$不可近似的全范数TSP问题，解决的情况下，不知道理想的成本函数，或寻求同时近似的任何成本函数。
2022-08-08 cs.DS
A $(3/2 + \varepsilon)$-Approximation for Multiple TSP with a Variable Number of Depots
针对可变数量仓库的多重TSP近似难题，论文突破既有n^{Θ(d)}时间壁垒，提出高效随机算法，在(1/ε)^{O(d log d)}·n^{O(1)}时间内以恒定概率得到(3/2+ε)-近似，并为图度量给出2^d·n^{O(1)}时间的确定性3/2-近似。
2023-07-14 cs.DS
A 9/7-Approximation Algorithm for Graphic TSP in Cubic Bipartite Graphs
我们证明了新的结果近似图形TSP。具体来说，我们给出了三次二部图的多项式时间\frac{9}{7} -近似算法和k-正则二部图的（\frac{9}{7} + \frac{1}{21(k-2)}）-近似算法，这两个算法都是改进的近似因子.我们的方法涉及到找到一个周期相对较少的周期覆盖，我们能够做到这一点，利用的事实是，所有的周期在二分图的长度是均匀的，随着我们的知识结构的三次图。
2014-10-31 cs.DS math.CO
A PTAS for the Min-Max Euclidean Multiple TSP
我们提出了一个多项式时间近似方案（PTAS）的最小-最大多TSP问题在欧氏空间中，多个旅行推销员的任务是访问一组$n$点，目标是最大旅游长度最小化。对于任意的$\varepsilon > 0$，我们的PTAS实现了时间上的$(1 + \varepsilon)$近似$O \big(n ((1/\varepsilon) \log (n/\varepsilon))^{O(1/\varepsilon)} \big)$。我们的方法扩展了Sanjeev Arora的动态规划（DP）PTAS的欧几里德TSP（https：//doi.org/10.1145/290179.290180）。我们的算法引入了一个舍入过程来平衡多个销售员之间的路径长度的分配。我们分析了DP中误差的积累，证明了该解是一个$(1 + \varepsilon)$ -近似。
2021-12-13 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for (1,2)-TSP and Max-TSP Using Path Covers in the Semi-Streaming Model
本文研究了半流模型下的TSP问题，通过提出最大路径覆盖问题的$( rac{2}{3}-ε)$近似算法，进而为(1,2)-TSP和Max-TSP分别设计了近似比$( rac{4}{3}+ε)$和$( rac{7}{12}-ε)$的改进算法。
2025-01-29 cs.DS
Shorter Tours by Nicer Ears: 7/5-approximation for graphic TSP, 3/2 for the path version, and 4/3 for two-edge-connected subgraphs
我们证明了新的结果近似的图形TSP和一些相关的问题。我们得到改进的近似保证多项式时间算法。对于图形TSP本身，我们将近似比提高到7/5。对于一个推广，连接- $T$ -连接问题，我们得到了第一个非平凡的近似算法，比例为3/2。其中包含图形$s$ - $t$ -path-TSP作为特例。我们改进了求最小2-边连通生成子图的近似保证为4/3。我们所有算法的关键新成分是一种特殊的耳朵分解优化使用森林超图表示。同样的方法也提供了我们用来推导近似比的下界（由LP松弛引起）。
2012-03-30 cs.DM cs.DS math.CO
Matroid-Based TSP Rounding for Half-Integral Solutions
本文提出一种基于拟阵交多面体采样和最大熵采样的新方法，对TSP子 tour 消除松弛的半整数解进行舍入，损失因子小于1.5，并提供了比现有算法更好的保证。
2025-07-15 cs.DS
Maximum Entropy is a 10/7-Approximation Algorithm for the TSP on Half-Integral Cycle Cut Instances
Purdue University（普渡大学）；Boston University（波士顿大学）；Cornell University（康奈尔大学）
针对TSP的半整数环割实例，证明最大熵算法达到10/7近似比，该类实例包含Subtour LP积分间隙为4/3的案例，且算法性能不低于11/8。
2026-07-03 cs.DS
Mind the Gap. Doubling Constant Parametrization of Weighted Problems: TSP, Max-Cut, and More
University of Technology Nuremberg（纽伦堡工业大学）
本文提出了一种方法，通过将加权问题的输入权重转换为多项式有界的整数，从而在保持时间复杂度比例的同时，提高了TSP、最大割等NP难问题的求解效率。
2026-02-12 cs.DS
A Lower Bound for the Max Entropy Algorithm for TSP
本文针对TSP最大熵算法展开研究，证明其近似比至少为1.375，表明该算法大概率无法正面证明TSP子回路LP松弛的四分之三猜想。
2025-10-01 cs.DS math.CO
A PTAS for Euclidean TSP with Hyperplane Neighborhoods
在带邻域的旅行商问题（TSPN）中，我们给出了某个空间中的几何区域的集合。我们的目标是输出一个最短长度的旅游，访问每个地区至少一个点。即使在欧几里得平面上，TSPN也被认为是APX困难的，这使得研究该问题更容易处理的特殊情况。在本文中，我们专注于基本特殊情况下的区域是超平面的$d$维欧氏空间。这种情况与所谓的脂肪区域的情况形成了对比。虽然对于$d=2$的精确算法与运行时间$O(n^5)$是已知的，解决精确的逼近问题的$d=3$已被反复提出作为一个开放的问题。迄今为止，只有一个近似算法，保证指数在$d$是已知的，NP-硬度仍然开放。对于任意固定的$d$，我们开发了一个多项式时间近似计划（PTAS），工程的旅游和路径版本的问题。我们的算法是基于近似的凸包的最佳巡回赛的凸多面体的有界复杂性。这样的多面体表示为一个复杂的LP制定，我们结合枚举的巡回赛的关键属性的解决方案。由于近似保证接近$1$，我们的计划相应地调整所考虑的多面体的复杂性。在我们的近似方案的分析，我们表明，我们的搜索空间包括一个足够好的近似的最佳。要做到这一点，我们开发了一种新的和一般的稀疏化技术，将任意凸多面体转化为一个具有恒定数量的顶点，反过来，在上述意义上的有界复杂性之一。因此，我们保持了多面体的重要性质。
2019-06-13 cs.DS
Sublinear-Time and Semi-Streaming Algorithms for Path Cover and TSP
Tehran Institute for Advanced Studies（德黑兰高等研究院）；Sharif university（谢里夫理工大学）
针对路径覆盖与旅行商问题，该研究提出了改进的亚线性时间和半流近似算法，提升了相关问题的近似比与时间效率，优化了现有算法的性能边界。
2026-10-13 cs.DS
A (Slightly) Improved Deterministic Approximation Algorithm for Metric TSP
我们表明，最大熵算法可以去随机化（相对于一个特定的目标函数）给出一个确定性的$3/2-ε$近似算法度量TSP的一些$ε> 10^{-36}$。为了得到我们的结果，我们应用条件期望的方法，在以前的工作中被用来证明，该算法的期望成本是最多$3/2-ε$倍的最优解的成本，以子环消除LP构造的目标函数。在这项工作中的证明涉及表明，该目标函数的期望值可以在多项式时间内计算（在算法执行的所有阶段）。
2022-12-13 cs.DS
Dual Charging for Half-Integral TSP
本文通过对偶变量分析匹配期望成本，证明最大熵算法对半整数 TSP 达到 1.49776 随机近似，并改进特殊偶数顶点 LP 解及奇数顶点情形的界。
2025-07-24 cs.DS
Faster Algorithms for Orienteering and $k$-TSP
我们考虑欧氏空间中的有根定向问题：给定$\mathbb R^d$中的$P$点，一个根点$s\in P$和一个预算$\mathcal B>0$，寻找一条从$s$开始，总长度至多为$\mathcal B$，并访问尽可能多的$P$点的路径.这个问题是NP难的，因此我们研究PDMATHAMT近似算法。由于Chen和Har-Peled（2008），针对此问题的先前多项式时间近似方案（PTAS）在时间上运行$n^{O(d\sqrt{d}/δ)}(\log n)^{(d/δ)^{O(d)}}$，并且在此时间界限上的改进被留下作为开放问题。我们的主要贡献是一个PTAS与显着改善的时间复杂度$n^{O(1/δ)}(\log n)^{(d/δ)^{O(d)}}$。用于近似定向问题的已知技术是将其简化为求解根$k$-TSP的$1/δ$相关实例（$k$-TSP巡回是访问至少$k$点的巡回）。然而，$k$ -TSP旅游在这方面的减少必须达到一定的超额保证（即，他们的长度可以超过最佳长度只在比例的最佳参数称为过剩），这是强于通常的$(1+δ)$ -近似。我们的主要技术贡献是改善这些$k$ -TSP变体的运行时间，特别是在其对维度$d$的依赖性方面。实际上，我们的运行时间是多项式的，即使对于一个中等大的维度，大约是$d=O(\log\log n)$而不是$d=O(1)$。
2022-04-21 cs.CG cs.DS
Asymptotic Optimality of the Greedy Patching Heuristic for Max TSP in Doubling Metrics
最大旅行商问题（Max~TSP）是在给定的完全赋权图中寻找一个边的总权最大的Hamilton圈。我们证明了，在边的权重是由一个度量空间的有界倍维的情况下，渐近最优解的问题可以找到简单的贪婪修补启发式。以最大权重循环覆盖为起点，该启发式算法迭代地将其循环对修补为一个，以最小化每一步的权重损失。
2022-01-11 cs.CG cs.DM cs.DS
Improved Algorithms for MST and Metric-TSP Interdiction
我们考虑{ \em MST-interdiction}问题：给定一个多重图$G = (V, E)$，边权值$\{w_e\geq 0\}_{e \in E}$，阻断成本$\{c_e\geq 0\}_{e \in E}$，以及阻断预算$B\geq 0$，目标是在最多$B$处移除总阻断成本的边的集合$R\subseteq E$，以便最大化$G-R:=(V,E\setminus R)$的MST的$w$ -权值。我们的主要结果是这个问题的$4$近似算法。这改进了以前最好的$14$近似~ \cite{Zenklusen15}。值得注意的是，我们的分析也比~ \cite{Zenklusen15}中的分析简单和清晰得多。鉴于~ \cite{Zenklusen15}使用贪婪算法和相关分析从超出预算的集合中提取良好的阻断集合，我们利用称为{ \em树背包问题}的背包的一般化，该背包问题很好地捕获了该“提取问题”的关键组合方面。“我们证明了一个简单但强大的LP相对近似边界树背包，这导致我们改进的MST阻断保证。我们的算法和分析几乎是紧密的，因为我们表明，不能实现一个近似比优于3相对于我们的分析中使用的上限（和一个在~ \cite{Zenklusen15}）。我们对MST-阻断的保证产生了{ \em度量-TSP阻断}的$8$ -近似（改进了~ \cite{Zenklusen15}中的$28$ -近似）。我…
2017-05-31 cs.DS
A near-optimal approximation algorithm for Asymmetric TSP on embedded graphs
对于有界可定向亏格和不可定向亏格的非对称旅行商问题，我们给出了一个近似多项式时间近似算法。我们的算法在亏格为g的图上实现了O（f（g））的逼近因子，其中f（n）是在任意n-顶点图上在多项式时间内可实现的最佳逼近因子。特别地，Asadpour等人[SODA 2010]的一般图的O（log（n）/loglog（n））-近似算法直接暗示了genus-g图的O（log（g）/loglog（g））-近似算法。我们的结果改进了Oveis Gharan和Saberi [SODA 2011]的O（sqrt（g）*log（g））-近似算法，该算法仅适用于具有可定向亏格g的图;我们的结果是具有有界不可定向亏格的图的第一个近似算法。此外，利用最近的进展，近似的图的亏格，我们的O（log（g）/ loglog（g））-近似可以实现，即使没有嵌入时，输入图有界度。相比之下，Oveis Gharan和Saberi的O（sqrt（g）*log（g））-近似算法需要亏格-g嵌入作为输入的一部分。最后，我们的技术导致了一个O（1）-近似算法的ATSP图的亏格g，运行时间为2^O（g）*n^O（1）。
2013-05-10 cs.CG cs.DS
TSP with Time Windows and Service Time
我们考虑TSP的时间窗和服务时间。在这个问题中，我们在度量空间中的节点处接收对服务的请求序列以及每个请求的时间窗口。在线算法的目标是最大化在其时间窗口内服务的请求数量。遍历边的时间是该边的入射节点之间的距离。服务请求需要单位时间。我们分别刻画了每个度量空间的竞争比。竞争比取决于最小松弛度（时间窗口的最小长度）和度量空间的直径之间的关系。具体而言，存在恒定竞争算法，这取决于松弛度是大于还是小于直径。此外，我们的特点是收敛速度的竞争比$1$的松弛度增加。具体来说，我们提供了一个匹配的下限和上限，这取决于松弛度和度量空间的TSP（遍历所有节点的最小距离）之间的比率。我们的结果的应用，提高了转移成本的有色数据包的下限和匹配的上限。在证明我们的下界，我们使用了一个有趣的非标准嵌入与一些特殊的性质。这种嵌入本身可能很有趣。
2015-01-25 cs.DS
Efficient PTAS for the Maximum Traveling Salesman Problem in a Metric Space of Fixed Doubling Dimension
最大旅行商问题（MaxTSP）是在给定的完全赋权图中寻找一个边总权最大的哈密尔顿圈。这个问题是APX硬在一般度量的情况下，但承认多项式时间的近似计划的几何设置，当边的权重是由一个向量范数在固定维的实空间。在固定双维的任意度量空间中，我们提出了MaxTSP的一次近似方案。该算法实现了一个有效的PTAS，对于任何固定的$\varepsilon\in(0,1)$，计算一个$(1-\varepsilon)$ -近似解决方案的问题在立方时间。此外，我们提出了一个半时算法，发现渐近最优解的度量最大TSP在固定和sublogarithmic倍的尺寸。
2021-06-08 cs.DS math.OC
Maximum Scatter TSP in Doubling Metrics
我们研究的问题，找到一个巡回的$n$点，其中每一个边缘是长的。更确切地说，我们希望找到一个对每个点都只访问一次的巡回，最大化巡回中最短边的长度。该问题被称为最大散射TSP，由Arkin等人（SODA 1997）引入，其动机是在制造和医学成像中的应用。Arkin等人给出了问题的度量版本的$0.5$近似，并表明这是在多项式时间内可实现的最佳可能比率（假设$P \neq NP$）。Arkin等人提出了一个问题，即在欧几里得平面中是否可以获得更好的近似比。我们回答这个问题是肯定的，在一个更一般的设置，通过给出一个$(1-ε)$ -近似算法$d$ -维加倍度量，与运行时间$\tilde{O}\big(n^3 + 2^{O(K \log K)}\big)$，其中$K \leq \left( \frac{13}ε \right)^d$。作为推论，我们得到（i）一个有效的多项式时间近似计划（EPTAS）的所有常数尺寸$d$，（ii）的多项式时间近似计划（PTAS）的尺寸$d = \log\log{n}/c$，足够大的常数$c$，和（iii）的PTAS常数$d$和$ε= Ω(1/\log\log{n})$。此外，我们证明了在我们的近似方案中对$d$的依赖性本质上是最优的，除非可满足性可以在次指数时间内解决。
2016-06-28 cs.CG cs.DS
Approximability of Connected Factors
图的d-正则生成子图（或d-因子）的求法很容易通过Tutte对匹配问题的约化而得到。通过同样的约简，很容易找到一个图的最小或最大d-因子。然而，如果我们要求d-因子是连通的，这些问题就变成了NP-难的--找到一个最小连通的2-因子就是旅行商问题（TSP）。给定一个边权满足三角不等式的完全图，考虑求最小连通$d$ -因子的问题。我们给出了所有$d$的3-近似，并将其改进为偶数d的（r+1）-近似，其中r是TSP的近似比。这产生了偶数d的2.5近似。同样的算法产生一个（r+1）-近似的有向版本的问题，其中r是近似比的非对称TSP。我们还表明，没有这些最小化问题可以近似比相应的TSP。最后，对于判定给定图是否包含连通d-因子的判定问题，我们推广了已知的硬度结果。
2013-10-09 cs.DS
Lower Bounds on the Integraliy Ratio of the Subtour LP for the Traveling Salesman Problem
在本文中，我们研究的情况下，具有高完整性比的子环LP。我们开发了一个程序来生成家庭的欧几里得TSP的实例，其完整性比收敛到$\frac{4}{3}$，并可能有一个不同的结构比目前已知的文献中的实例。此外，我们计算的实例最大化的完整性比矩形TSP与多达10个顶点。在此基础上，给出了具有相似结构的直线型、多维直线型和欧氏型TSP的完整性比收敛于$\frac{4}{3}$的实例族.我们表明，我们的多维矩形TSP的实例和度量TSP的已知实例在一定的假设下最大化的完整性比。我们还研究了局部最优性的概念与完整性比，并开发了几种算法来找到高完整性比的情况。此外，我们描述了一个家庭的情况下，在实践中很难解决。目前最快的TSP求解器Concorde需要两天多的时间来解决具有52个顶点的族中的实例。
2021-02-09 cs.DM cs.DS math.CO
A $4/5$ - Approximation Algorithm for the Maximum Traveling Salesman Problem
在最大旅行商问题（Max TSP）中，我们给出了一个边具有非负权重的完全无向图，我们希望计算最大权重的旅行商之旅。提出了一种求解MaxTSP问题的快速组合$\frac 45$ -近似算法。此问题以前的最佳近似是$\frac 79$。该算法基于一种新的半边去难子图技术、一种新的边着色方法和一种边交换技术。边$e=(u,v)$的半边非正式地说是“包含$u$或$v$的$e$的一半“。
2016-03-20 cs.DM cs.DS
A Structural Equivalence of Symmetric TSP to a Constrained Group Steiner Tree Problem
本文提出对称旅行商问题与受限群体Steiner树问题的结构等价性，通过构建单纯 incidence 图并利用全局连通性约束，将最大化净权重等价于最小化TSP路线长度。
2026-02-05 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating Dense Max 2-CSPs
在本文中，我们提出了一个多项式时间算法，近似足够高的价值最大2-CSP足够密集的图内$O(N^{\varepsilon})$的任何常数$\varepsilon > 0$的近似比。利用该算法，我们也取得了类似的结果，自由游戏，投影游戏上的足够密集的随机图，和Denminbi $k$ -子图问题的足够密集的最优解。然而，请注意，与最后一个算法具有类似保证的算法实际上是在我们的工作之前由Feige等人和Suzuki和Tokuyama发现的。此外，我们的想法，上述算法产生以下副产品：一个准多项式时间近似计划（QPTAS）的可满足的密集最大2-CSP具有更好的运行时间比已知的算法。
2015-07-30 cs.DS
Approximating CSPs with Global Cardinality Constraints Using SDP Hierarchies
本文研究了带有全局基数约束的近似约束满足问题。例如，\maxcut是一个布尔CSP，其中输入是一个图$G = (V,E)$，目标是找到一个最大化交叉边数$|E(S,\bar S)|$的割$S \cup \bar S = V$。\maxbisection问题是\maxcut的一个变体，具有额外的全局约束，即切割的每一侧恰好有一半的顶点，即，$|S| = |V|/2$。其他几个自然优化问题，如\minbisection和近似图扩展，可以制定为CSP与全局约束。在这项工作中，我们制定了一个通用的方法来逼近CSP的全局约束，使用SDP层次结构。为了证明这种方法，我们提出了以下结果：使用Lasserre层次结构，我们提出了一个算法，运行在时间$O(n^{poly(1/ε)})$，给定一个实例的\maxbisection值$1-ε$，发现一个平分值$1-O(\sqrtε)$。这种近似在唯一博弈猜想下是接近最优的（直到$O()$中的常数因子）。通过计算机辅助证明，我们表明，同样的算法也达到了0.85近似\maxbisection，提高了以前的界限0.70（注意，这是\uniquegames很难近似优于0.878的因素）。同样的算法也产生一个0.92近似\maxtwosat基数约束。对于每一个具有全局基数约束的CSP，我们提出了一个通用的转换，从完整性差距的Lasserre层次结构的{ \it独裁…
2011-10-05 cs.DS
On Approximating Maximum Independent Set of Rectangles
研究了最大矩形独立集（MISR）问题：给定一组$n$轴平行的矩形，找出矩形的一个最大基数子集，使得它们之间没有重叠. MISR问题是一个基本的几何优化问题，有着广泛的应用。直到最近，它的最佳近似算法实现了$O(\log \log n)$ -近似因子。在最近的一项突破中，Adamaszek和Wiese提供了一个准多项式时间近似方案：一个具有运行时间$n^{O(\operatorname{poly}(\log n)/ε)}$的$(1-ε)$ -近似算法。尽管如此，获得PTAS甚至多项式时间常数因子近似仍然是一个具有挑战性的开放问题。在本文中，我们朝着这个目标取得进展，提供了一个算法MISR，实现了$(1 - ε)$ -近似时间$n^{O(\operatorname{poly}(\log\log{n} / ε))}$。我们介绍了几个新的技术思想，我们希望这将导致进一步的进展，这和相关问题。
2016-07-31 cs.DS
Approximating Maximum Cut on Interval Graphs and Split Graphs beyond Goemans-Williamson
提出了区间图和分裂图上最大割问题的$(α_{GW} + \varepsilon)$-近似算法，通过改进Goemans-Williamson算法分析并结合图的结构性质，同时证明了基于小集合扩展假设的不可近似性下界。
2025-07-14 cs.DS
Quasi-stable Coloring for Graph Compression: Approximating Max-Flow, Linear Programs, and Centrality
我们提出了拟稳定着色，稳定着色的一个近似版本。稳定着色，也称为颜色细化，是图论中用于对顶点进行分类的一种研究得很好的技术，可以用来构建图的紧凑无损表示。然而，由于它依赖于严格的对称性，它的实用性是有限的。使用颜色细化时，真实数据的压缩效果非常差。我们提出了第一个，据我们所知，近似的颜色细化方案，我们称之为准稳定着色。通过使用近似，我们减轻了对严格对称性的需要，并允许在压缩程度和表示的准确性之间进行权衡。我们研究三个应用：线性规划，最大流和介数中心性，并提供理论证据，在每种情况下，一个准稳定的着色可以导致良好的近似约简图。接下来，我们考虑如何计算一个最大的拟稳定着色：我们证明，在一般情况下，这个问题是NP-困难的，并提出了一个简单的，但有效的算法的基础上的启发式。最后，我们在几个实图上对拟稳定着色技术及其应用进行了实验评估，并与先验近似技术进行了比较。参考实现和实验代码可在https://github.com/mkyl/QuasiStableColors.jl上获得。
2022-11-29 cs.DS
Approximating the MaxCover Problem with Bounded Frequencies in FPT Time
我们研究了几个变种的MaxCover问题的近似算法，重点是FPT时间运行的算法。在最大覆盖问题中，我们给出一个元素集N，一个N的子集族S和一个整数K。目标是从S中找到最多K个集合，它们共同覆盖（即，包括）尽可能多元件。这个问题是众所周知的NP-难，在标准的复杂性理论假设下，最好的多项式时间近似算法具有近似比（1 - 1/e）。我们首先考虑具有有界元素频率的MaxCover的变体，即，一个变量，其中有一个常数p，使得每个元素最多属于S中的p个集合。对于这种情况下，我们表明，有一个FPT近似方案（即，对于每个B，对于最大化覆盖的元素的数量的问题，存在在FPT时间内运行的B-近似算法，并且对于最小化未覆盖的元素的数量的问题，存在随机FPT近似方案（我们取K为参数）。然后，对于存在常数p使得每个元素属于来自S的至少p个集合的情况，我们证明了标准贪婪近似算法精确地达到近似比（1-e^{-max（pK/ |S|，1）}）。最后，我们考虑一个不受限制的变体的MaxCover，并显示近似算法，运行在指数时间，并结合了一个精确的算法与贪婪的近似。我们的一些结果改进了MaxVertexCover的当前已知结果。
2013-09-17 cs.DS
Approximating Bin Packing with Conflict Graphs via Maximization Techniques
本文对带冲突装箱问题进行了全面的研究。输入是项目、大小$s:I \rightarrow [0,1]$和冲突图$G = (I,E)$的集合$I$。我们的目标是找到一个分区的$I$到一个最小数目的独立集，每个总大小最多$1$。作为图着色难题的推广，BPC主要研究多项式可着色冲突图。一个有趣的开放性问题是，BPC在这样的图上是否承认与经典装箱相同的最佳近似保证。我们回答这个问题是否定的，通过显示（与装箱相反），有没有渐近多项式时间近似计划（APTAS）的BPC已经在看似简单的图形类，如二分和分裂图。我们补充这一结果与改进的近似保证BPC几个突出的图形类。最值得注意的是，我们得到了一个渐近$1.391$ -近似的二分图，$2.445$ -近似的完美图，和$\left(1+\frac{2}{e}\right)$ -近似的分裂图。为此，我们引入了一个通用的框架，依赖于一个新的解释BPC，使我们能够通过最大化技术来解决问题。我们的框架可能会发现用于解决BPC在其他图形类中出现的应用程序。
2023-02-21 cs.DS
Approximating Maximum Independent Set for Rectangles in the Plane
本文给出了平面内（轴向对齐）矩形的最大独立集的多项式时间常数因子近似算法。使用多项式时间算法，先前已知的最佳近似因子是$O(\log\log n)$。结果是基于一种新的形式的递归分区的平面上，其中面临的是恒定的复杂性和正交凸递归划分成一个常数数量的这样的面。
2021-07-06 cs.CG cs.DS
Streaming Lower Bounds for Approximating MAX-CUT
本文研究了流计算模型中图的最大割值的估计问题。在一个极端情况下，对于该问题存在仅使用$O(\log n)$空间的平凡$2$ -近似，即，计算边缘的数量并输出该值的一半作为最大切割值的估计。在另一个极端，如果允许$\tilde{O}(n)$空间，则可以通过存储基本上保留最大割的$\tilde{O}(n)$大小的稀疏化器来获得最大割值的近最优解。一个有趣的问题是，多对数空间是否足以获得最大截值的非平凡近似（即，击败因子$2$）。最近的研究表明，估计图中最大匹配的大小的问题允许在多对数空间中的非平凡近似。我们的主要结果是，任何流算法，打破$2$近似障碍需要$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间，即使输入图的边缘是随机顺序。我们的结果是通过展示分布图是二部或$\frac{1}{2}$ -远离二部，并建立$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间是必要的，以区分这两种情况。因此，作为一个直接的推论，我们得到，$\tildeΩ(\sqrt{n})$空间也是必要的，以测试，如果一个图是二部或$\frac{1}{2}$ -远离是二部。我们还表明，对于任何$ε> 0$，任何流算法，获得一个$(1 + ε)$ -近似的最大切割值时，边缘到达敌对的顺序需要$n^{1 - O(ε)}$空间，这意味着$Ω(n)$空间是必要的，以获得一个任意好的近似的最大切割值。
2014-09-07 cs.DS
Approximating MIS over equilateral $B_1$-VPG graphs
本文给出了求解$B_1$-VPG图类上最大独立集问题的一个近似算法.这些是$L$形状的平面对象%（以及它们以$90^o$的倍数旋转）的相交图，其中每个对象的两臂相等。我们得到了一个运行在$O(n(\log n)^2)$时间的$36(\log 2d)$ -近似算法，其中$d$是比率$d_{max}/d_{min}$和$d_{max}$和$d_{min}$分别表示在输入的等边$L$ -表示图的任何臂的最大和最小长度。特别地，我们得到了MIS的$B_1$-VPG-图的$O(1)$ -因子近似，其中$d$的比率是有界的。%由单位长度的$L$ -形状形成。实际上，该算法可以推广到任意$B_1$-VPG图上的一个$O(n(\log n)^2)$时间和一个$36(\log 2d_x)(\log 2d_y)$ -近似MIS算法.这里，$d_x$和$d_y$分别表示当仅限于输入的成员的水平和垂直臂时的$d$的类似物。这是对先前最佳的$n^ε$近似算法\cite{FoxP}（对于某些固定的$ε>0$）的改进，除非$n$中的比率$d$是指数大的。特别地，对于具有$\max\{d_x,d_y\}=O(1)$的图，实现了MIS的$O(1)$ -逼近。
2019-12-17 cs.DS
Approximating Multistage Matching Problems
在多阶段完美匹配问题中，我们给出了一个在同一顶点集上的图序列，并要求找到一个对应于该图序列的完美匹配序列，使得连续匹配尽可能相似。更准确地说，我们的目标是最大化交叉点，或者最小化连续匹配之间的联合。我们表明，这些问题是NP-困难的，即使在非常有限的情况下。我们提出了新的近似算法，并提出了方法来转移不同的问题变量之间的结果，而不会失去近似保证。
2021-05-10 cs.DS
Approximating Max-Cut on Bounded Degree Graphs: Tighter Analysis of the FKL Algorithm
本文给出了度为$\leq d$的加权图上最大割的一个$α_{GW} + \tildeΩ(1/d^2)$ -因子近似算法.这里，$α_{GW}\approx 0.878$是最大切割的Goemans-Williamson舍入的最差情况近似比。这改进了Feige，Karpinski，Langberg和Florén以前的结果。我们的保证是通过更严格的分析，通过应用自然的局部改进程序得到的解决方案，以加强与三角形不等式的基本SDP的Goemans-Williamson舍入。
2022-06-18 cs.CC cs.DS
On Approximating Cutwidth and Pathwidth
本研究针对图割宽等最小-最大型图排序问题，提出新型度量分解方法，将割宽与图路径宽度的近似比提升至$\log^{1+o(1)}(n)$，优于此前的多对数近似结果。
2024-04-12 cs.DS
Constant Approximating Disjoint Paths on Acyclic Digraphs is W[1]-hard
本文证明在无环有向图上，以自然参数 k 衡量时，最大不相交路径问题对任意常数 c 都难以获得 c-近似，且为 W[1]-难，这是该问题参数化近似的首个非平凡结果。
2024-09-05 cs.DS
Approximating the shortest path problem with scenarios
针对带多成本场景的有向图最短路径问题，本文证明最小最大版本的近似难度，并提出一种基于流LP、时间复杂度为$\widetilde{O}(\sqrt{n})$的近似算法，其近似比接近对应流LP松弛的整性间隙。
2024-09-17 cs.DS
Learning-Augmented Streaming Algorithms for Approximating Boolean Max-CSPs
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Rutgers University（罗格斯大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of California, Santa Barbara（加利福尼亚大学圣巴巴拉分校）
该研究针对布尔Max-CSP设计学习增强流式算法，在可得ε的高度准确估计时，将Max-Cut的相关结果推广至一般Max-2CSP并优化空间复杂度，还扩展至k≥3的Max-kCSP。
2026-10-14 cs.DS
An Optimal Space Lower Bound for Approximating MAX-CUT
我们考虑的问题，估计值的最大切割图中的流模型的计算。在一个极端情况下，对于该问题存在仅使用$O(\log n)$空间的平凡$2$近似，即，对边缘的数量进行计数并输出该值的一半作为MAX-CUT的大小的估计。在另一个极端，对于任何固定的$ε> 0$，如果允许$\tilde{O}(n)$空间，则可以通过存储基本上保留MAX-CUT值的$\tilde{O}(n)$大小的稀疏化器来获得MAX-CUT值的$(1+ε)$近似解。我们的主要结果是，任何（随机）单通流算法，打破$2$近似障碍需要$Ω(n)$ -空间，从而解决了空间复杂度的任何非平凡的近似的MAX-CUT值内的单通流模型的多对数因子。我们实现的结果，提出了一个紧密的分析隐式隐藏分区问题引入Kapralov等人。[SODA[17]对于任意数量的玩家。在这个问题中，许多参与者接收$Ω(n)$大小的随机匹配以及边缘上的随机位，并且他们的任务是确定这些位是否对应于某个隐藏的二分区的奇偶校验，或者仅仅是均匀随机的。与所有以前的傅立叶分析通信下界不同，我们的分析不直接使用在任何给定的权重水平下的典型消息的傅立叶系数的$\ell_2$范数上的界，该界遵循超压缩性。相反，我们使用的事实，即球员收到的图是稀疏的（匹配），以获得强上界的$\ell_1$规范的傅立叶系数的消息的个别球员，然后认为，使用卷积定理，类似的强界的$\ell_1$规范基本上保留一…
2018-11-27 cs.DS
Half-Approximating Maximum Dicut in the Streaming Setting
Northeastern University（东北大学）
本文研究了在流模型下最大有向割问题的近似算法，证明在一般图中使用亚线性空间可实现(1/2-ε)近似，解决了该基础问题的近似复杂性。
2026-03-31 cs.DS
Approximating Sparse Quadratic Programs
给定一个矩阵$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$，我们考虑在约束$x \in \{-1,1\}^n$下最大化$x^TAx$的问题.这个问题，称为MaxQP的Charikar和Wirth [FOCS'04]，概括了MaxCut，并在数据聚类和无序磁相的物质的研究中有自然的应用。Charikar和Wirth表明，这个问题允许通过半定规划的$Ω(1/\lg n)$近似，而Alon，Makarychev，Makarychev和Naor [STOC'05]表明，当$A$对应于有界色数的图时，同样的方法会产生$Ω(1)$近似。这两个结果都依赖于求解MaxQP的半定松弛，MaxQP的当前最佳运行时间是$\tilde{O}(n^{1.5}\cdot \min\{N,n^{1.5}\})$，其中$N$是$A$中非零条目的数量，而$\tilde{O}$忽略多对数因子。在这个续集中，我们放弃了半定方法，并为MaxQP的特殊情况设计了纯粹的组合近似算法，其中$A$是稀疏的（即，具有$O(n)$非零条目）。我们的算法是优于半定的方法在运行时间方面，但仍然有竞争力的近似保证。更具体地说，我们表明：- MaxQP承认$(1/2Δ)$ -近似在$O(n \lg n)$时间，其中$Δ$是相应的图的最大程度。- UnitMaxQP，其中$A \in \{-1,0,1\}^{n\times n}…
2020-12-15 cs.DS
Approximating Unique Games Using Low Diameter Graph Decomposition
当约束图允许良好的低直径图分解时，我们设计了唯一博弈的近似算法。对于$K_r$ -minor free graphs中的${\sf Max2Lin}_k$问题，当存在满足$1-\varepsilon$分数约束的指派时，我们提出了一个算法，该算法产生满足$1-O(r\varepsilon)$分数约束的指派，其近似比与字母表大小无关.一个推论是一个改进的近似算法的${\sf MaxCut}$问题的$K_r$ -小自由图。对于$K_r$ -未成年人自由图中的一般唯一游戏，我们提供了另一种算法，产生一个分配满足$1-O(r \sqrt{\varepsilon})$分数的约束。我们的方法是四舍五入的线性规划松弛找到一个最小子集的边缘相交的所有不一致的循环。我们表明，它是可以直接应用的约束图的低直径图分解技术，而不是在以前的独特的游戏算法的标签扩展图的工作。当约束图是亏格$g$时，同样的方法也适用，并且我们在${\sf Max2Lin}_k$问题中用$\log g$代替$r$，在一般问题中用$\sqrt{\log g}$代替$\sqrt{\log g}$，得到了类似的结果。前一个结果推广了Gupta-Talwar关于${\sf Max2Lin}_k$情形下唯一对策的结果，后一个结果推广了Trevisan关于一般唯一对策的结果.
2017-11-29 cs.DS
Online Geometric Packing through Online TSP Scheduling
研究凸多边形在线平移包装问题，当前最佳算法竞争比为\(O(n^{0.59})\)。引入在线旅行商问题调度，给出\(O(\log^2 n)\)竞争算法，由此得到凸多边形在线平移条带包装等问题的同竞争比算法，揭示包装与在线排序联系在算法设计上的应用。
2026-07-27 cs.CG cs.DS
