Singular Perturbations of Mean Curvature Flow
本文通过高阶方程给出了欧几里得空间中任意余维子流形的中曲率流的一种正则化方法。我们证明了正则化问题在第一个奇异点之前的所有时刻都收敛于中曲率流。
2004-07-19 math.AP math.DG
Bol's type inequality for singular metrics and its application to prescribing $Q$-curvature problems
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）
本文研究了奇异Liouville方程的高阶Bol不等式，并应用于规定Q曲率问题，推导了径向正常解存在的条件及总Q曲率的统一界。
2025-12-31 math.AP
Mean curvature flow without singularities
研究了定义在欧几里得空间子集上的完全解的图中曲率流。我们获得了长期的平稳存在。演化图的投影也解决了中曲率流。因此，这种方法允许通过研究具有一个额外维度的图形中曲率流来平滑地流过奇点。
2012-10-22 math.AP math.DG
Recent Progress on Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow
我们调查一些关于拉格朗日中曲率流的奇异性的最先进的。最后提出了一些有待解决的问题。
2010-12-09 math.AP math.DG math.SG
Singularity structure in mean curvature flow of mean convex sets
本文给出了三维平均凸集的中曲率流的一些结果。不严格地说，我们的结果证明了天真的图片中曲率流的唯一的奇异性是颈部捏，和组件的崩溃渐近圆球。
2003-10-16 math.AP math.DG
Prescribing curvatures on surfaces with conical singularities and corners
本文研究了带锥奇点和角点的带边界紧致曲面上的高斯曲率与测地曲率预定问题，通过将新变分公式推广至奇异情形求得解，是该奇异曲面预定曲率问题的首个结果。
2025-08-14 math.AP math.DG
Blow-up of the mean curvature at the first singular time of the mean curvature flow
证明了欧几里得空间中的中曲率流在第一个奇异时刻发生中曲率爆破，至少在维数小于或等于7时是这样.我们证明了中曲率在中曲率流的奇点处爆炸，该流从无迹第二基本型的具有小L^2-范数的浸入闭超曲面开始（注意初始超曲面不一定是凸的）。作为这一结果证明的结果，我们还获得了球体沿着中曲率流相对于L^2范数的动力稳定性。
2013-02-05 math.AP math.DG
Singular solutions for the constant $Q$-curvature problem
本文研究奇异常数$Q$ -曲率问题的弱解的构造.我们建立在过去几年开发的几个工具上。这是第一次建设奇异度量闭流形上的足够大的尺寸与常数（正）$Q$ -曲率。
2020-12-01 math.AP math.DG
The mean curvature at the first singular time of the mean curvature flow
考虑一族闭超曲面的光滑浸入$\mathbb{R}^{n+1}$以中曲率流$\frac{\partial F(p,t)}{\partial t} = -H(p,t)\cdot ν(p,t)$运动，对于$t\in [0,T)$。我们证明了当所有奇点都是I型奇点时，中曲率在第一个奇异时刻$T$爆破。在$n = 2$的情况下，不管可能形成的奇点的类型，我们表明，在第一个奇异时刻的中曲率必然爆炸，只要多重性一猜想成立或高斯密度是小于2。我们还建立了一个局部正则性定理，并给出了它的几个应用，该定理是极小子流形的Choi-Schoen估计的抛物模拟。
2010-01-20 math.AP math.DG
Singular Minimal Hypersurfaces and Scalar Curvature
本文介绍了一些新的技术来处理最小超曲面奇点。特别是，他们允许扩展的障碍理论的正标量曲率到任何尺寸。
2006-09-13 math.AP math.DG
ABP inequalities for singular submanifolds of bounded mean curvature
利用任意闭集的曲率概念，证明了B.白.一个弱Harnack型估计，然后使用ABP估计。这些结果推广了O.极小曲面方程的黏性解的Savin。
2018-09-06 math.AP math.DG
Singularity Profile in the Mean Curvature Flow
本文研究了中曲率流的第一次奇点的几何性质。通过Huisken和Sinestrari的曲率捏挤估计，证明了欧几里得空间$\R^{n+1}$中具有正中曲率的超曲面的中曲率流是$κ$ -非坍缩的，并且爆破序列沿着子序列局部光滑地收敛到光滑的凸爆破解。作为结果，我们得到了平均凸流的一个局部Harnack不等式.
2009-03-20 math.AP math.DG
General curvature flow without singularities
在[5]中，Sáez和Schnürer研究了定义在欧几里得空间子集上的完备超曲面的图中曲率流.他们获得了长期的存在。此外，它们还为弱中曲率流提供了一种新的解释。在本文中，我们将他们的结果推广到一般的曲率设置。我们的主要内容是在第四节中证明的带边界条件的一般曲率流的存在性结果。
2016-04-19 math.AP math.DG
Decay order bound for mean curvature flow near compact singularities
针对形成一重数紧奇点的平均曲率流对应的重标度流，本文证明其衰减阶一致有界，进而得到相关唯一延拓结论。
2025-11-19 math.AP math.DG
Prescribing negative curvature with cusps and conical singularities on compact surface
本研究针对紧曲面，证明了一类仅在有限个带指定角度的尖点或锥形奇点处例外、曲率由负函数指定的共形度量的存在性与唯一性。
2024-12-11 math.AP math.DG
Singular Ricci Flows on surfaces with boundary and positive scalar curvature
本文研究带边界紧致曲面上满足给定常值空间测地曲率的奇异 Ricci 流解的子序列收敛，并证明旋转对称情形下该收敛与边界测地曲率符号无关。
2023-10-31 math.AP math.DG
The second type singularity of symplectic and Lagrangian mean curvature flows
本文主要研究了Kähler-Einstein曲面中来自辛曲面或几乎标定Lagrange曲面的中曲率流的第二型奇点。给出了在极限流条件下Kähler角的最大值与$|H|^2$的最大值之间的关系。
2008-02-05 math.AP math.DG
A Characterization of the Singular Time of the Mean Curvature Flow
本文研究紧致黎曼子流形M^m_t \hookrightarrow（N^{m+n}，h）的中曲率流在有限时间奇点处的行为.我们表明，他们的特点是爆破的轨迹A = H \cdot II的平方的第二基本型。
2010-05-24 math.AP math.DG
Singularities of Axially Symmetric Volume Preserving Mean Curvature Flow
研究了由保体积中曲率流演化的曲面的奇点形成问题。对于具有Neumann边界条件的$\mathbb{R}^3$中的轴对称流动-旋转面，我们证明了第一个发展奇点是I型的。结果是在没有任何额外的曲率假设的情况下得到的，而轴对称和边界条件是合理的，给出了体积约束。对主要证明的其他结果和成分包括一个非圆柱抛物最大值原理，和一系列的几何量的估计，涉及梯度，曲率项及其衍生物。它们在任意维度上都成立。
2019-02-24 math.AP math.DG
Finite Time Singularities for Lagrangian Mean Curvature Flow
给定四维紧致Calabi-Yau上的任意一个嵌入拉格朗日量，我们发现在同一Hamilton合痕类中的另一个拉格朗日量在中曲率流下产生有限时间奇异性.这与关于拉格朗日中曲率流的长时间存在性和收敛性的一个较弱版本的Yas-Yau猜想相矛盾。
2012-05-07 math.AP math.DG math.SG
A gradient flow for the prescribed Gaussian curvature problem on a closed Riemann surface with conical singularity
本文证明了Baird-Fardoun-Regbaoui \cite{BFR}引入的抽象梯度流在具有锥奇点的闭Riemann曲面上是适定的.在一定的假设下证明了该流的长时间存在性和收敛性。作为应用，解决了当锥面的奇异欧拉示性数为非正时的指定高斯曲率问题。
2017-06-26 math.AP math.DG
Prescribed Gauss curvature problem on singular surfaces
本文研究了在点$p_i$处具有$α_i$阶圆锥奇点的闭曲面$Σ$上至少存在一个给定高斯曲率的共形度量.特别是，我们关心的情况下，规定的高斯曲率是符号变化。这样一个几何问题归结为求解一个奇异的刘维尔方程。通过采用极小极大格式和有限维降阶方法，我们得到了当量$χ(Σ)+\sum_i α_i$接近正偶数时存在的新的微扰结果，其中$χ(Σ)$是曲面$Σ$的欧拉示性数.
2017-01-19 math.AP
Bounded Ricci Curvature and Positive Scalar Curvature under Singular Ricci de Turck Flow
本文研究带孤立锥形奇点的空间上的Ricci de Turck流，证明其保持Ricci曲率初始正则性与附加假设下的数量曲率正性，为奇异Ricci流的曲率算子正性研究奠定基础。
2020-07-09 math.AP math.DG
Classification and a priori estimates for the singular prescribing $Q$-curvature equation on 4-manifold
在紧致黎曼$4-$流形$(M,g)$上，我们考虑了定义在具有有限奇异源的$M$上的预定$Q-$曲率方程.首先证明了定义在$\mathbb R^4$上的奇异Liouville方程的一个分类定理，并进行了集中紧性分析。然后，我们推导出一个量化的结果，起泡解决方案，并建立一个先验估计的假设下，某些共形不变量不采取一些量化的值。此外，我们证明了一个球形Harnack不等式周围的奇异源，只要他们的强度不是一个整数。这样的不等式意味着在这种情况下奇异源是\emph{isolated simple blow up points}。
2022-01-24 math.AP
Uniqueness of conical singularities for mean curvature flows
本文证明了渐近锥切流在所有余维中的唯一性。这是基于Chodosh-Schulze的早期工作，他证明了超曲面的唯一性。
2023-02-02 math.AP math.DG
Approximation of mean curvature flow with generic singularities by smooth flows with surgery
我们构造光滑的中曲率流与手术，近似弱中曲率流，只有球形和颈部收缩奇点。这是通过结合Choi-Haslhofer-Hershkovits和Choi-Haslhofer-Hershkovits-White最近的工作来实现的，他们建立了这种奇点的规范邻域，并对手术流设置了适当的障碍。一个限制参数，然后用来控制这些近似流。最后，我们改进了低熵Schoenflies猜想的熵界。
2022-10-14 math.AP math.DG
On the dynamics of formation of generic singularities of mean curvature flow
我们结合不同的方法研究了中曲率流的一般奇点的形成，特别是研究非线性热方程爆破的方法，作者和合作者所使用的中曲率流的技术，以及Colding和Minicozzi发明的技术。我们在爆破点的邻域内研究解，发现在某些一般的区域内，关键参数取有利的符号，并有急剧的衰减率。我们提供了不同范数下的余项估计。
2021-07-26 math.AP math.DG
The effect of a curvature-dependent surface tension on the singularities at the tips of a straight interface crack
本文利用Dirichlet-Neumann映射半解析地处理了两种不同材料的半平面在一般拉剪型面内载荷作用下的界面裂纹问题。裂纹的边界和半平面之间的界面受到曲率依赖的表面张力。由此产生的六个奇异的积分微分方程的系统减少到三个Fredholm方程的系统。结果表明，曲率依赖的表面张力的引入消除了经典的可积的1/2阶幂奇异性和振荡奇异性存在于一个经典的线弹性解。数值结果是通过求解奇异积分微分方程的原始系统，通过逼近未知函数的泰勒多项式。
2012-07-06 math.AP
Singularities of mean curvature flow and isoperimetric inequalities in H^3
本文沿用\cite{PT}中的方法，将Willmore能量与等周不等式相结合，构造了$\mathbb{H}^3$中中曲率流的两个奇点例子.更确切地说，存在一个环面，它必须在MCF下发展一个奇点，然后它所包围的体积减小到零。还存在一个哑铃形状的拓扑球体，它必须在流中发展出奇异性，然后其面积才会缩小到零。同时，利用该流证明了$\mathbb{H}^3$中某些区域的一个等周不等式。
2013-07-02 math.AP math.DG
Precise asymptotics near a generic $\mathbb S^1\times\mathbb R^3$ singularity of mean curvature flow
本文研究以气泡-薄片 $\mathbb S^1\times\mathbb R^3$ 为模型的一般平均曲率流奇点，并给出奇点邻域的精确渐近轮廓。
2024-10-01 math.AP math.DG
Remarks on curvature behavior at the first singular time of the Ricci flow
本文研究光滑紧致n维黎曼流形$M$，$t\in [0,T)$的$\frac{\partial}{\partial t}g_{ij} = -2R_{ij}$上的里奇流解在第一奇异时刻的曲率行为.如果流有统一的有界数量曲率和发展的I型奇点在$T$，使用Perelman的$\mathcal{W}$功能，我们表明，适当的爆破我们不断发展的度量收敛在点Cheeger-Gromov意义上的高斯收缩。如果流有一致有界的数量曲率和发展II型奇点在$T$，我们表明，适当的缩放的势函数在Perelman的熵泛函收敛到一个正常数的一个完整的，里奇平坦的流形。我们还表明，如果数量曲率是一致有界的沿流在一定的积分意义上，然后流要么开发一个II型奇点在$T$或它可以顺利地延长过去的时间$T$。
2010-05-28 math.AP math.DG
Mean curvature flows with prescribed singular sets
Columbia University（哥伦比亚大学）
研究构造了在R^{m+n}中相对于近欧几里得度量的光滑度量的均凸古老解，其首次奇点集恰好为K×{0}。
2026-04-15 math.AP math.DG
A Priori Estimates for Singularities of the Lagrangian Mean Curvature Flow with Supercritical Phase
本文针对超临界相拉格朗日平均曲率流，证明奇点的内部先验估计，建立临界及超临界下成立的雅可比不等式，并推广至更广的拉格朗日平均曲率型方程。
2025-04-24 math.AP math.DG
Large singular solutions for conformal $Q$-curvature equations on $\mathbb{S}^n$
本文研究了正函数$K \in C^1(\mathbb{S}^n)$的存在性，使得共形$Q$ -曲率方程\begin{equation} \label{001} P_m（v）= Kv ^{ \frac{n+2m}{n-2m} }~~ {on} ~ \mathbb{S}^n \{equation}存在奇异正解$v$，其奇异集为单点，其中$m$是满足$1 \leq m < n/2$的整数，$P_m$是$2m$阶的交织算子。更具体地说，我们表明，当$n\geq 2m+4$，在$C^1(\mathbb{S}^n)$中的每一个正函数可以近似的$C^1(\mathbb{S}^n)$规范的正函数$K\in C^1(\mathbb{S}^n)$，使共形$Q$曲率方程有一个奇异的正解，其奇异集是一个单点。此外，这样的解可以构造成在其奇点附近任意大。这与Lin \cite{Lin1998}和Wei-Xu \cite{Wei1999}的著名结果相反，他们证明了当$K$为$\mathbb{S}^n$，$n > 2m$上的正常数时，共形$Q$ -曲率方程不存在奇异正解，其奇异集为单点.
2020-09-25 math.AP
On the mean convexity of a space-and-time neighborhood of generic singularities formed by mean curvature flow
我们考虑一个一般制度的形成奇点。我们得到一个详细的描述可能很小，但固定，附近的爆破点，直到（包括）爆破时间，并发现它是平均凸。这证实了Ilmanen的一个猜想。我们发现奇点是孤立的。
2019-05-22 math.AP math.DG
A Local Singularity Analysis for the Ricci Flow and its Applications to Ricci Flows with Bounded Scalar Curvature
本文通过局部研究曲率爆炸速率，发展了里奇流的精细奇点分析，证明了奇点只能是I型或II型，并应用于具有有界标量曲率的里奇流。
2022-01-11 math.AP math.DG
Constant $Q$-curvature metrics with a singularity
对于维数$n \geq 3$，我们根据奇异解在$0$和$\infty$上的行为，对具有有限积分条件$\int_{\mathbb{R}^n} e^{nu} < \infty$的广义Liouville方程$(-Δ)^{n/2} u = e^{nu}$在$\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$上的奇异解进行了分类.这些解决方案对应于度量的恒定$Q$ -曲率是奇异的起源。相反，我们给出了径向解的最优存在性结果。这扩展了最近的一些结果的解决方案与奇点的对数型，允许奇点的任意顺序。作为证明存在性结果的一个重要工具，我们得到了径向函数的一个新的加权Moser-Trudinger不等式。
2022-02-17 math.AP math.DG
Mean curvature flow through singularities
本文介绍平均曲率流基础，梳理三维空间中穿过奇点的平均曲率流精确理论的近年成果，阐述作者对四维空间非坍缩奇点的分类研究，并讨论相关开放问题与猜想。
2025-10-01 math.AP math.DG
Generic mean curvature flow I; generic singularities
长期以来，人们已经证明，从R^3中的一个一般光滑的封闭嵌入曲面开始，中曲率流保持光滑，直到它到达奇点，在奇点附近，流看起来像同心球或圆柱。也就是说，一般流的唯一奇点是球形或圆柱形的。我们将在这里和后续讨论这个猜想。更高维度的情况将在别处讨论。证明这一猜想的关键是要证明在中曲率流动下，收缩的球体、圆柱体和平面是唯一稳定的自收缩体。我们在所有维度上都证明了这一点。这样做的一个简单的结果是，除了球面和柱面之外，所有其他的奇点都可以被摄动掉。
2009-08-26 math.AP math.DG math.GT
Singularity Models for High Codimension Mean Curvature Flow in Riemannian Manifolds
研究了黎曼流形$\mathcal{N}^{n+m}$中具有二次箍缩的光滑$n$维紧致子流形的中曲率流.我们的主要重点是高余维的情况下，$m\geq 2$。我们建立了一个余维估计，表明在高曲率的区域，子流形成为近似余维1在一个可量化的方式。这个估计使我们能够证明在一个奇异的时间流，存在一个重新缩放收敛到一个光滑的余维一极限流在欧几里得空间。在圆柱型箍缩下，这种极限流是弱凸的，并通过平移运动。我们的方法依赖于沿流的二次箍缩条件的保存和控制高曲率区域中的中曲率的梯度估计。这些估计使我们能够分析奇点附近的流动行为，并建立极限流动的存在。
2023-03-01 math.AP math.DG
Mean curvature flows with cylindrical singularities II: stability and genericity
Lehigh University（利哈伊大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文基于动力系统方法，研究非退化柱状奇点的稳定性，并证明可通过扰动将退化奇点转化为非退化奇点。
2026-09-18 math.AP math.DG
Neck pinch singularities and Joyce conjectures in Lagrangian mean curvature flow with circle symmetry
本文研究具有圆对称性的hyperkähler 4-流形中的拉格朗日平均曲率流，证明其可穿过有限时间奇点延续并收敛至special Lagrangians链，验证了Joyce猜想并指出奇点为颈缩。
2024-12-20 math.AP math.DG math.SG
The singular set of mean curvature flow with generic singularities
从$R^{n+1}$中的一个封闭嵌入超曲面出发的中曲率流必然发展出奇点。我们证明了如果流只有一般奇点，那么时空奇点集包含在2个紧的嵌入$(n-1)$维Lipschitz子流形加上一个至多$n-2$维Lipschitz子流形中.如果初始超曲面是平均凸的，则所有奇点都是通有的，结果也适用。在$R^3$和$R^4$中，我们证明了几乎所有的时间演化超曲面是完全光滑的，并且奇异集的任何连通分量都完全包含在一个时间片中。对于所有维的$2$或$3$ -凸超曲面，相同的论证得出相同的结论：流在几乎所有时间都是完全光滑的，奇异集的连通分量包含在时间片中。一个关键的技术点是一个强大的{ \emph{parabolic} } Reifenberg属性，我们显示在所有维度和所有流量只有通用奇点。我们还表明，整个流清除后，一个通用的奇点非常迅速。这些结果基本上是最优的。
2015-02-23 math.AP math.DG math.GT
