Recent Progress on Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow
André Neves
我们调查一些关于拉格朗日中曲率流的奇异性的最先进的。最后提出了一些有待解决的问题。
We survey some of the state of the art regarding singularities in Lagrangian mean curvature flow. Some open problems are suggested at the end.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Finite Time Singularities for Lagrangian Mean Curvature Flow
给定四维紧致Calabi-Yau上的任意一个嵌入拉格朗日量，我们发现在同一Hamilton合痕类中的另一个拉格朗日量在中曲率流下产生有限时间奇异性.这与关于拉格朗日中曲率流的长时间存在性和收敛性的一个较弱版本的Yas-Yau猜想相矛盾。
Neck pinch singularities and Joyce conjectures in Lagrangian mean curvature flow with circle symmetry
本文研究具有圆对称性的hyperkähler 4-流形中的拉格朗日平均曲率流，证明其可穿过有限时间奇点延续并收敛至special Lagrangians链，验证了Joyce猜想并指出奇点为颈缩。
Symplectic $T_7$, $T_8$ singularities and Lagrangian tangency orders
研究了曲线的局部辛代数。我们利用代数限制的方法对辛$T_7$奇点进行了分类。我们定义离散辛不变量-拉格朗日切线阶。我们利用这些不变量来区分平面曲线的经典$A-D-E$奇性、$S_5$奇性和$T_7$奇性的辛奇性。我们还给出了这些辛奇点的几何描述。
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: zero-Maslov class case
研究了当初始条件为零Maslov类拉格朗日量时，$\C^n$中拉格朗日中曲率流的奇异性.我们首先要说明，在这种情况下，奇点是不可避免的。更确切地说，我们构造拉格朗日与任意小的拉格朗日角和拉格朗日是哈密顿同位素的平面，然而，开发有限的时间奇点下中曲率流。然后，我们证明了两个定理关于切流在奇点时的初始条件是零马斯洛夫类拉格朗日。第一个（定理A）指出，在奇点处的重标度流弱收敛到面积最小化拉格朗日锥的有限并。第二个定理（定理B）指出，在初始条件是几乎校准和有理拉格朗日的附加假设下，重新标度流的连通分量收敛到单个面积最小化拉格朗日锥，而不是面积最小化拉格朗日锥的可能非面积最小化并集。后一个条件是稠密的拉格朗日与生成的$H_1(L,\Z)$。
Mean curvature flow of Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities
本文研究了（几乎）Calabi-Yau流形中的（广义）Lagrange中曲率流的短时存在性问题，当初始Lagrange子流形具有以稳定的特殊Lagrange锥为模型的孤立锥奇点时.给定一个几乎Calabi-Yau流形$M$中的拉格朗日子流形$F_0:L\rightarrow M$，在$\mathbb{C}^m$中的稳定的特殊拉格朗日锥$C_1,...,C_n$上模化的$x_1,...,x_n\in M$处具有孤立的圆锥奇点，我们证明了在短时间内存在单参数点族$x_1(t),... x_n(t)\in M$和在$C_1,...,C_n$上模化的在$x_1(t),...,x_n(t)\in M$处具有孤立的圆锥奇点的单参数拉格朗日子流形$F(t,\cdot):L\rightarrow M$，该方程由初始条件为$F_0:L\rightarrow M$的（广义）拉格朗日中曲率流演化而来。
A Priori Estimates for Singularities of the Lagrangian Mean Curvature Flow with Supercritical Phase
本文针对超临界相拉格朗日平均曲率流，证明奇点的内部先验估计，建立临界及超临界下成立的雅可比不等式，并推广至更广的拉格朗日平均曲率型方程。
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: monotone case
本文研究了$\C^n$中单调拉格朗日函数的中曲率流的奇异性。更确切地说，我们表明，如果奇点发生在一个临界时间之前，那么切流可以分解成一个有限的面积最小化拉格朗日锥（渣锥）的工会。当$n=2$时，我们可以通过显示重新缩放的流的连接分量收敛到面积最小化锥来改进该结果，而不是可能的非面积最小化炉渣锥的并集。在最后一节中，我们给出了这种奇点形成的具体例子。
Singular Improper Affine Spheres from a given Lagrangian Submanifold
给定仿射辛$2n$ -空间的一个拉格朗日子流形$L$，可以正则地唯一地定义一个中心弦和一个特殊的维数为$2n$的非正常仿射球面，它们的奇点集都包含$L$。虽然这些不适当的仿射球（IAS）总是存在其他奇点远离$L$（离壳奇点在我们以前的论文中研究），他们也可能存在奇点以外的其他$L$任意接近$L$，所谓的奇异“壳”。这些在壳层上的奇异性具有一个隐藏的$\mathbb Z_2$对称性，这是在离壳层奇异性中不存在的。本文研究了由$L$得到的这些正则IAS及其在任意偶数维的壳层上的奇异性，并对当$L$为曲线或拉格朗日曲面时这些IAS可能出现的所有稳定的拉格朗日/勒让德奇点进行了分类.
Moduli space and deformations of special Lagrangian submanifolds with edge singularities
特殊的拉格朗日子流形是由全纯体积形式的实部标定的卡-丘流形的子流形。本文利用奇异流形上边退化微分算子的椭圆理论研究了具有边奇异性的特殊拉格朗日子流形的变形模空间。得到了描述模空间局部结构的一般定理。当障碍空间为零时，模空间是光滑的有限维流形。
Special Lagrangians with multiple isolated singularities
该研究将Caffarelli-Hardt-Simon扰动论证推广到特殊拉格朗日量领域，证明正则特殊拉格朗日锥的桥接原理，进而得到具有多个给定孤立锥形奇点的特殊拉格朗日子流形的存在性。
Singularities of the Lagrangian Mean Curvature Flow
本文利用光滑奇异性模型研究了$\mathbf{C}^m$中拉格朗日中曲率流的奇异性。I型奇点只能出现在由初始数据的上同调不变量确定的特定时刻。在第二类情况下，这些光滑的奇异性模型是渐近的特殊拉格朗日锥，因此所有的第二类奇异性是由工会的特殊拉格朗日锥。
Singularities of the Lagrangian mean curvature flow at the critical Lagrangian phase
本文针对临界拉格朗日相位下的拉格朗日平均曲率流奇点建立内部估计，推广至更广方程类，并构造粘性解证明临界性必要性，同时引入新方法获得 $C^{2,\alpha}$ 估计。
Singularities of Equivariant Lagrangian Mean Curvature Flow
本文研究了$\mathbb{C}^n$中几乎校准的$O(n)$ -等变拉格朗日中曲率流，证明了有限时间奇点的第I型和第II型爆破的结构定理.特别是，我们证明了任何I型爆破这样的流动必须是一个特殊的拉格朗日对的横切面，任何II型爆破必须是具有相同的渐近线的劳勒颈，这些爆破是独立的选择重新标度。我们还给出了一个部分分类时，奇点发生在等变的情况下，并检查中间尺度之间的I型和II型模型。
Infinite-Time Singularities with Vanishing Mean Curvature for Lagrangian Mean Curvature Flow in Gibbons--Hawking Spaces
本文在Gibbons-Hawking空间中构造了拉格朗日平均曲率流的无限时间奇点，其中平均曲率趋于零但第二基本形式无界，并证明了曲率爆破速率为log max|A| ~ sqrt(t)。
Type II Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow with Zero Maslov Class
本文证明了零Maslov类或几乎校准的Lagrangian平均曲率流在Type II奇点处爆破极限的刚性定理，将二维结果推广到任意维数。
Surgery on Lagrangian and Legendrian Singularities
设$π: E\to M$是一个光滑纤维丛，其全空间是一个辛流形，其纤维是拉格朗日的。设$L$是$E$的嵌入拉格朗日子流形.在本文中，我们解决了以下问题：如何可以简化的奇异性的投影$π: L \to M$由一个哈密尔顿合痕的$L$内$E$？当$dim L = 2$和$L$与$M$都是可定向的时，我们给出了一个答案.一个较弱的版本的结果证明在高维的情况下。在接触类别中也有类似的结果。作为一个推论，我们得到了V.Arnold关于在拉格朗日坍缩情况下焦散线上的四个尖点的问题之一的答案。作为另一个推论，我们反驳了Y.Chekanov关于某些Lagrange环面在$R^4$中的Lagrange投影的奇点的猜想.
Singularities of symplectic and Lagrangian mean curvature flows
本文研究了Kähler-Einstein曲面中来自辛曲面或来自Lagrange曲面的中曲率流的奇性。证明了当$Σ_{-\infty}^\infty$连通时，辛中曲率流$Σ_t$或拉格朗日中曲率流$Σ_t$在奇点$(X_0, T_0)$处的爆破流$Σ_s^\infty$是${\bf R}^4$中的非平凡极小曲面.
The mean curvature blows up at nondegenerate neck pinch singularities of Lagrangian mean curvature flow
本文证明拉格朗日平均曲率流在非退化颈缩奇点处平均曲率无界，并给出爆破速率控制。
Singularities of special Lagrangian submanifolds
我们调查什么是已知的特殊拉格朗日子流形（SL m-折叠）在（几乎）卡-丘流形的奇点。本文的大部分内容总结了作者的五篇论文math.DG/0211294，math.DG/0211295，math. DG/0302355，math. DG/0302356，math.DG/0303272关于SL m-折叠X的孤立锥奇点。也就是说，在每个奇点x附近，X在C^m中的SL锥C上建模，其中孤立奇点在0处。我们还讨论了未来的研究方向，并给出了一个开放的问题列表。
Generic neck pinch singularities along 2D Lagrangian mean curvature flow
本文研究了二维拉格朗日均曲率流中的非退化颈部 pinch 神经奇点，证明其稳定性并回答了相关问题，同时引入了无法发生的非退化泪滴状奇点。
Remarks on the Gluing Theorems for Compact Special Lagrangian Submanifolds with Isolated Conical Singularities
本文在更弱的假设下证明了具有孤立锥形奇点的紧致特殊拉格朗日子流形存在全局光滑化，并证明了关于上同调类的假设是严格必要的，同时证明了全局光滑化关于相关参数是$C^\infty$的。
On short time existence of Lagrangian mean curvature flow
我们考虑一个由Joyce的一个猜想引起的短时存在问题.具体地说，我们证明了任何紧凑的拉格朗日$L\subset \mathbb{C}^n$与有限数量的奇点，每个渐近的一对非面积最小化，横向相交的拉格朗日平面，有一个光滑的拉格朗日中曲率流存在一些积极的时间，达到$L$作为$t \searrow 0$作为varifolds，并顺利地局部远离奇点。
Finite-Time Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow with Quantitatively Precise Dynamics
构建几乎校准的拉格朗日平均曲率流，从接近特殊拉格朗日的初值出发，在有限时间产生II型奇点，给出曲率爆破率，奇点切流为特殊拉格朗日锥，爆破极限是光滑特殊拉格朗日去奇异化。
Obstructions to special Lagrangian desingularizations and the Lagrangian prescribed boundary problem
我们表现出无穷多个，明确的特殊拉格朗日孤立奇点，承认没有渐近锥特殊拉格朗日平滑。存在/不存在这样的smoothings是一个重要的组成部分，目前的努力，以了解奇异的特殊拉格朗日出现的限制，顺利特殊拉格朗日。我们还使用软辛几何的方法（相对版本的H-原则）和工具，从代数拓扑证明（积极和消极）的结果约拉格朗日子流形与孤立奇点的拉格朗日desingularizations;我们认为拉格朗日desingularizations问题的特殊拉格朗日平滑问题的自然软模拟。
Spectral Analysis for Finite-Time Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow
研究G-不变特殊拉格朗日锥的G-不变特殊拉格朗日去奇异化族上的线性化自收缩算子，构造特征函数并证明谱间隙估计，为构造II型爆破解提供分析基础。
Infinite-Time Singularities of the Lagrangian Mean Curvature Flow
构造了拉格朗日平均曲率流的嵌入解，在无限时间内形成奇点并收敛到浸入特殊拉格朗日子流形，展示了Thomas-Yau半稳定情形中的奇点形成。
Singularities of special Lagrangian fibrations and the SYZ Conjecture
SYZ猜想解释了镜像Calabi-Yau 3-folds M，M'之间的镜像对称性，即在同一基底B上的特殊拉格朗日纤维f：M -> B和f'：M' -> B，其纤维是对偶3-tori，除了奇异纤维。在证明SYZ猜想（甚至找到正确的陈述）的主要问题之一是，特殊拉格朗日3-折叠和纤维化的奇异性知之甚少。本文研究了特殊拉格朗日纤维化的奇异性。我们的主要严格结果是构造了C^3的开子集上的特殊拉格朗日纤维化的例子。最简单的显式给出，其余的是使用作者的三篇论文math.DG/0111324，math.DG/0111326，math.DG/0204343中关于C^3中U（1）-不变特殊拉格朗日3-折叠的解析存在性结果构造的。然后，我们认为，没有充分的证据，我们的例子中的一些功能也应该持有特殊的拉格朗日纤维化f：M --> B的（几乎）卡-丘3倍，特别是在一般情况下。特别地，f将不是光滑的，而只是分段光滑的，并且f的判别式（奇异纤维的集合）将在B中具有余维1，并且通常由“带”组成。最后给出了SYZ猜想的一些结论，这些结论与SYZ猜想的一些更强的陈述相矛盾。
Examples of equivariant Lagrangian mean curvature flow
在这篇文章中，我们描述了在$\mathbb{C}^2$中拉格朗日中曲率流的重要例子，这些例子在圆作用下是不变的。通过这些例子，我们看到了紧的和非紧的情况下，长时间的存在，奇点形成通过明确的模型，和重要的对象在黎曼和辛几何，包括Clifford环面，Chekanov环面，惠特尼球和劳勒颈。
Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry
本文从微分几何的角度，对Calabi-Yau流形和特殊拉格朗日子流形作了简单的介绍，并综述了近年来关于特殊拉格朗日子流形奇点的一些结果，以及它们在SYZ猜想中的应用.它的目标是几何学、弦理论家和其他希望学习这门学科的研究生，并且设计得相当独立。它是根据2001年6月和7月在挪威Nordfjordeid和伯克利MSRI的讲座课程编写的。我们通过和乐群、Kahler几何和Calabi猜想引入了Calabi-Yau m-folds，通过校准几何引入了特殊的Lagrangian m-folds.对“几乎Calabi-Yau m-folds”（在特殊拉格朗日几何中有用的Calabi-Yau m-folds的推广）进行了解释，并描述了（几乎）Calabi-Yau m-folds中紧致特殊拉格朗日子流形的变形理论和模空间。在最后一部分中，我们考虑特殊拉格朗日m-褶皱的孤立奇点，主要集中在局部建模的奇异锥，和预期的行为的奇异性紧凑的特殊拉格朗日m-褶皱一般（几乎）卡拉比-丘m-褶皱。本文简要地讨论了弦论、镜像对称和SYZ猜想，并介绍了作者关于卡-丘三重拉格朗日纤维化奇异性的一些结果。
Special Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities. V. Survey and applications
这是最后一个系列的五篇论文数学。DG/0211294，数学。DG/0211295，数学。DG/0302355，数学。DG/0302356研究紧凑的特殊拉格朗日子流形（SL m-折叠）X（几乎）卡-丘m-折叠M奇点x_1，.，x_n在特殊拉格朗日锥C_1，...，C^m中的C_n，在0处具有孤立奇点。建议读者从这篇论文开始。我们回顾了前四篇论文的主要结果，给出了证明的简要解释。我们应用这些结果来描述M中紧致的、非奇异的SL m-折叠N的模空间的边界。我们证明了特殊的拉格朗日连通和N_1 ~#的存在性。SL m折叠N_1，...，M中的N_k。我们还研究了具有T^2-锥奇点的SL 3-折叠，证明了与作者关于Calabi-Yau 3-折叠的不变量和SYZ猜想有关的结果。设X是一个紧SL m-折叠，具有孤立锥奇点x_i和锥C_i（i=1，.），n.第一篇论文math.DG/0211294研究了X在奇点附近的正则性，第二篇论文math.DG/0211295研究了X变形的模空间。第三和第四篇论文math.DG/0302355，math.DG/0302356构造了X的去奇异化，实现了X是M中紧致非奇异SL m-折叠族N^t的极限，其中t>0。设L_i是C^m中的渐近锥SL m-折叠，在无穷远处渐近于C_i.我们通过在x_i处将tL_i粘合到X中来得到N^t，其中i=1，. n.
Special Lagrangian conifolds, II: Gluing constructions in C^m
证明了复空间C^m中特殊Lagrange（SL）锥的两个胶合定理。卷积是卡-丘流形中紧致SL的模空间的紧化问题中的一个重要组成部分。特别是，我们的定理产生的第一个例子，光滑SL conifolds与3个或更多的平面端和第一个（非平凡）的SL conifolds的例子，有一个圆锥奇点，但不是，全球范围内，锥。我们还得到：（i）利用“Lawlor颈”对横截相交和自交点进行去奇异化，（ii）用非紧渐近锥（AC）端代替孤立锥奇点，对SL二次曲线进行完全去奇异化，（iii）证明SL二次曲线AC端的个数不存在上界;（iv）用完全不同的圆锥奇点和AC端的集合来代替给定的圆锥奇点集合的可能性。作为（i）的推论，我们改进了Arezzo和Pacard关于C^m中SL平面的某些构型的最小去奇异化的结果。
Special Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities. I. Regularity
这是第一个系列的五篇论文数学。DG/0211295，数学。DG/0302355，数学。DG/0302356，数学。DG/0303272研究特殊的拉格朗日子流形（SL m-褶皱）X（几乎）卡-丘m-褶皱M与奇点x_1，.，x_n在特殊拉格朗日锥C_1，...，C^m中的C_n，在0处具有孤立奇点。建议读者从期末论文数学开始。DG/0303272，它调查了这个系列，给出了例子，并应用结果来证明一些命题。这第一篇论文奠定了基础的系列，给出定义和证明辅助结果在辛几何和渐近分析，将需要稍后。我们还证明了X在其奇点附近的正则性结果。我们证明了X在x_i附近收敛到锥C_i及其所有导数，收敛速度由C_i与单位球面相交处的拉普拉斯算子的特征值决定.我们证明了如果X是一个特殊的拉格朗日积分流，且在x处的切锥C满足一定的条件，则X在x处有一个我们意义上的孤立锥奇点。我们还证明了类似的渐近圆锥SL m-折叠在C^m我们的许多结果。数学DG/0211295研究了M中具有锥奇点的紧致SL m-折叠X的形变理论。第三和第四篇论文math.DG/0302355，math.DG/0302356构造了X的去奇异化，将X实现为M中紧致非奇异SL m-折叠族N^t的极限。
Some recent developments in Lagrangian mean curvature flows
本文从几何偏微分方程的角度综述了拉格朗日子流形的中曲率流的一些最新结果。这些包括整体存在性和收敛性结果，首次奇异性的特征，以及自相似解的构造。
The second type singularity of symplectic and Lagrangian mean curvature flows
本文主要研究了Kähler-Einstein曲面中来自辛曲面或几乎标定Lagrange曲面的中曲率流的第二型奇点。给出了在极限流条件下Kähler角的最大值与$|H|^2$的最大值之间的关系。
Constructing special Lagrangian m-folds in C^m by evolving quadrics
这是第二次在一系列文件建设明确的例子特殊拉格朗日子流形在C^m。第一篇论文是math.DG/0008021，研究了具有大对称群的特殊拉格朗日m-折叠。第三个是数学。DG/0010036，它使用本文的思想来构造C^3中的特殊拉格朗日3-折叠族。本文给出了C ^m中由Lagrange平面R^m中的二次曲面（m-1）-子流形所包围的特殊Lagrange m-折叠的构造。一般来说，它们只有离散的对称群。我们的一些例子已经由Lawlor和Harvey使用不同的方法构建。这些文件的主要动机是奠定了基础，研究的奇异性紧凑的特殊拉格朗日m-褶皱的Calabi-Yau m-褶皱。理解这种奇异性对于解决关于卡-丘3-折叠镜像对称的SYZ猜想具有重要意义。本文构造的C^m中的特殊Lagrange m-褶皱包含了S^a x S^b x S ^1（a+b=m-2）上的许多锥，它们是Calabi-Yau m-褶皱中特殊Lagrange m-褶皱奇点的局部模型.
Simultaneous desingularizations of Calabi-Yau and special Lagrangian 3-folds with conical singularities
本文是一篇关于具有圆锥奇点的Calabi-Yau 3-folds的去奇异化的论文math.DG/0410260的后续。在数学DG/0410260中，我们研究了在x处具有一个以某个Calabi-Yau锥V为模型的圆锥奇点的Calabi-Yau 3-folds M_0，并通过在x处粘上一个渐近圆锥（AC）Calabi-Yau 3-folds Y来构造M_0的一个去奇异化。本文将研究特殊Lagrange（SL）3-折叠在相应的Calabi-Yau 3-折叠中的一个类似的去奇异化问题。更精确地说，假设M_0现在是一个在x_i处具有200个圆锥奇点的Calabi-Yau 3-fold，其模型为Calabi-Yau锥V_i，i=1，.，n，N_0是M_0中的SL 3重，在相同的点x_i上具有圆锥奇点，这些点x_i是以SL锥C_i在V_i中为模型的。设Y_i是以Calabi-Yau锥V_i为模型的AC Calabi-Yau三重，L_i是以SL锥C_i为模型的Y_i中的AC SL三重。然后，我们通过在每个x_i处重新标度的Y_i和L_i中胶合来同时去奇异化M_0和N_0。这一建构是运用乔伊斯的分析结果[16，Thm. 5.3]将拉格朗日子流形变形为附近的特殊拉格朗日子流形。作为应用，我们取M_0为Orbifold T^6/ \mathbb{Z}_3，在M_0中构造了一些奇异SL 3-折叠N_0，在…
Special Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities. II. Moduli spaces
这是第二个系列的五篇论文数学。DG/0211294，数学。DG/0302355，数学。DG/0302356，数学。DG/0303272研究特殊的拉格朗日子流形（SL m-褶皱）X（几乎）卡-丘m-褶皱M与奇点x_1，.，x_n在特殊拉格朗日锥C_1，...，C^m中的C_n，在0处具有孤立奇点。建议读者从期末论文math.DG/0303272开始，它调查了这个系列，给出了例子，并证明了一些假设。本文研究了M中具有锥奇点的紧致SL m-折叠X的形变理论。定义了X在M中变形的模空间M_X，并在其上构造了一个自然拓扑，证明了M_X与有限维向量空间之间光滑映射Φ：I --> O的零点局部同胚.这里，无穷小变形空间I仅依赖于X的拓扑，障碍空间O仅依赖于锥C_1，.，在x_1，.，x_n。如果锥C_i是“稳定的”，则O为零，M_X是光滑流形.我们还将所得结果推广到M上的几乎Calabi-Yau结构族。第一篇论文math.DG/0211294奠定了级数的基础，并研究了X在其奇点附近的正则性。第三和第四篇论文math.DG/0302355，math.DG/0302356构造了X的去奇异化，将X实现为M中紧致非奇异SL m-折叠族N^t的极限。
Hamiltonian stationary maps with infinitely many singularities
本文构造了从圆盘到 $\mathbb{C}^2$ 的哈密顿稳定拉格朗日映射，证明对任意 $k\in\mathbb{N}$ 存在具有无穷多个 Schoen-Wolfson 奇点、边界 $C^k$ 且迹光滑的例子。
Mean curvature flow of monotone Lagrangian submanifolds
我们用全纯圆盘来描述$\mathbb C^{n}$中单调拉格朗日子流形的中曲率流中奇点的形成。
Singularity formations in Lagrangian mean curvature flow
该文研究拉格朗日平均曲率流中由重数1的光滑特殊拉格朗日锥给出切流的奇点，得到多类唯一性与爆破极限存在性结果，还推广了Lawlor neck的唯一性定理，并应用于横截平面切流奇点的建模。
Special Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities. IV. Desingularization, obstructions and families
这是一系列五篇论文的第四篇数学。DG/0211294，数学。DG/0211295，数学。DG/0302355，数学。DG/0303272研究紧致特殊拉格朗日子流形（SL m-褶皱）X在（几乎）卡-丘m-褶皱M与奇点x_1，...，x_n在特殊拉格朗日锥C_1，...，C^m中的C_n，在0处具有孤立奇点。建议读者从期末论文math.DG/0303272开始，它调查了这个系列，给出了例子，并应用结果来证明一些命题。第一篇论文math.DG/0211294研究了X在奇点附近的正则性，第二篇论文math.DG/0211295研究了X变形的模空间。第三篇论文math.DG/0302355和这篇论文构造了X的去奇异化，将X实现为M中紧致的非奇异SL m-折叠\tilde N^t族的极限，其中t>0。令L_1，...，L_n是C^m中的渐近锥SL m-折叠，L_i在无穷远处渐近于C_i.我们通过t>0收缩L_i，并在x_i处将tL_i粘合到X中，其中i=1，.，n得到一个1参数的紧致非奇异拉格朗日m-折叠族N^t，其中t>0。然后，我们使用分析表明，对于小的t，我们可以变形N^t到一个紧凑的，非奇异的SL m-折叠\tilde N^t通过一个小的哈密顿变形。当t --> 0时，这个\tilde N^t在电流的意义上收敛于X。第三篇论文math.DG/0302355研究了较简单的情况，其中通过X…
Weighted Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds and generalized Lagrangian mean curvature flows in toric almost Calabi-Yau manifolds
本文将Lee和Wang在$\mathbb{C}^m$中构造的Hamilton定常拉格朗日子流形的例子推广到复曲面几乎Calabi-Yau流形。我们构造了复曲面几乎Calabi-Yau流形中的加权Hamilton定常拉格朗日子流形的例子，并从这些例子出发构造了广义拉格朗日中曲率流的解.我们允许这些流有一些奇点和拓扑变化。
Special Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities. III. Desingularization, the unobstructed case
这是一系列五篇论文的第三篇数学。DG/0211294，数学。DG/0211295，数学。DG/0302356，数学。DG/0303272研究紧致特殊拉格朗日子流形（SL m-褶皱）X在（几乎）卡-丘m-褶皱M与奇点x_1，...，x_n在特殊拉格朗日锥C_1，...，C^m中的C_n，在0处具有孤立奇点。建议读者从期末论文math.DG/0303272开始，它调查了这个系列，给出了例子，并应用结果来证明一些命题。前两篇论文math.DG/0211294，math.DG/0211295研究了X在奇点附近的正则性，以及X变形的模空间。在本文和第四数学.DG/0302356中，我们构造了X的去奇异化，将X实现为M中的紧致非奇异SL m-折叠族\tilde N^t的极限，其中t>0。假设L_1，...，L_n是C^m中的渐近锥SL m-折叠，其中L_i在无穷远处渐近于锥C_i。我们将L_i缩小一个小的t>0，并将tL_i在x_i处粘到X中，其中i=1，.，n得到一个1参数的紧致非奇异拉格朗日m-折叠族N^t，其中t>0。然后，我们使用分析表明，当t是足够小的，我们可以变形N^t到一个紧凑的，非奇异的SL m-折叠\tilde N^t通过一个小的哈密顿变形。这个\tilde N^t平滑地依赖于t，并且当t --> 0时，它在电流的意义上收敛到奇异SL m重X。本文研究了较简单的情形，其中通过…
Lagrangian Mean Curvature Flows and Moment maps
本文利用交换李群作用在流形上的矩映射，构造了Calabi-Yau流形上拉格朗日中曲率流的各种例子。例子包括拉格朗日自收缩和平移孤子在欧几里得空间。此外，我们的方法可以应用于构建的例子，拉格朗日中曲率流在非平坦的Calabi-Yau流形。特别是，我们详细描述了4维Ricci平坦ALE空间中的拉格朗日中曲率流，并研究了它们的奇异性。
Examples of Special Lagrangian Fibrations
我们探讨了一些特殊的拉格朗日纤维化的非紧卡-丘流形不变下环面行动的例子。这些包括纤维化的crepant决议的典型复曲面奇点（已经发现的戈尔茨坦），适当的版本，这些纤维化，和纤维化的平坦变形的典型复曲面奇点。我们这样做的目的是为了了解这种纤维化的全球结构和判别位点。本文最后提出了一些关于局部镜像对称性的推测，以及这项工作与W. D. Ruan和D. Joyce.在最后一节中，我们根据我和威尔逊、孔采维奇和索贝尔曼以及乔伊斯最近的一些想法，讨论了斯特罗明格-丘-扎斯洛猜想的哲学。
Lectures on Lagrangian torus fibrations
这是一本针对辛几何研究生和研究人员的书，基于我在2019年教授的一门课程。主要的信息是拉格朗日环面纤维化的基础继承了一个积分仿射结构，你可以用它来“读出”全空间的许多有趣的几何形状。涵盖的主题包括：作用角坐标，辛减少，复曲面流形，可见和热带拉格朗日，几乎复曲面系统，Milnor纤维的循环商奇点，突变的多边形，非复曲面爆破，几乎复曲面的看法Lisca的分类填充的透镜空间，决议的尖点奇点，马尔可夫三元组和Vianna托里。这本书以一个简短的未决问题清单结束。在整个过程中，都强调例子，并有一些练习与解决方案。
Family Floer mirror space for local SYZ singularities
本文针对带 Gross Lagrangian 纤维化的环面 Calabi-Yau 流形，精确表述并证明含奇异纤维的 SYZ 镜像对应，揭示 Maurer-Cartan 集严格小于对偶奇异纤维。
Conjectures on Bridgeland stability for Fukaya categories of Calabi-Yau manifolds, special Lagrangians, and Lagrangian mean curvature flow
令$M$是一个Calabi-Yau $m$ -fold，并考虑$M$中的紧的分次Lagrangians $L$。Thomas and Yau math.DG/0104196，math.DG/0104197阐明了对于这样的$L$应该有一个“稳定性”的概念，如果$L$是稳定的，那么具有$L^0=L$的拉格朗日中曲率流$\{L^t:t\in[0,\infty)\}$应该一直存在，并且$L^\infty=\lim_{t\to\infty}L^t$应该是$L$的哈密顿合痕类中唯一的特殊拉格朗日量。本文试图对丘-陶关系进行更新，并对相关问题进行讨论。一个民间传说猜想是，在$M$的导出的范畴$D^b\mathcal F(M)$上存在Bridgeland稳定性条件$(Z,\mathcal P)$，使得$D^b\mathcal F(M)$中的同构类是$(Z,\mathcal P)$ -半稳定的，当（且可能仅当）它包含一个特殊的拉格朗日量，该拉格朗日量必须是唯一的。我们猜想，如果$(L,E,b)$是$D^b\mathcal F(M)$的一个放大版本中的一个对象，其中$L$是$M$中的一个紧的、分次的拉格朗日量（可能浸入，或具有“稳定奇点”），$E\to M$是秩一局部系统，$b$是$(L,E)$在拉格朗日弗洛尔上同调中的边界上链，则存在唯一的家族$\{(L^t,E^t,b^t):t\in[0,\inf…
Self-similar solutions to the mean curvature flows on Riemannian cone manifolds and special Lagrangians on toric Calabi-Yau cones
在欧几里得空间上定义并研究了中曲率流的自相似解。本文对黎曼锥流形上的中曲率流的自相似解作了一般性的处理。作为一个典型结果，我们推广了Huisken关于中曲率流奇异性的渐近性态的著名结果.我们还将关于$\mathbb C^n$上特殊拉格朗日子流形的结果推广到Sasaki-Einstein流形上的复曲面Calabi-Yau锥。
Geometry of Lagrangian self-shrinking tori and applications to the Piecewise Lagrangian Mean Curvature Flow
研究了$\mathbb R^4$中拉格朗日自缩环面的几何性质。当面积上一致有界时，我们证明了拉格朗日自缩环面的熵只能取100多个值;这是通过推导分支共形自缩环面的一个Schojasiewicz-Simon型梯度不等式，然后结合\cite{CMa}中的紧性定理来实现的.当面积界较小时，我们证明了$\mathbb R^4$中任何面积较小的拉格朗日自缩环面都嵌入了一致曲率估计，并且这种环面的空间是紧的。利用熵值的有限性，我们构造了$\mathbb R^4$中拉格朗日浸入环面的分段拉格朗日中曲率流，沿着该流，拉格朗日条件保持不变，面积减小，并且具有固定面积上界的紧的I型奇点可以在有限步内扰动消失.这是\cite{CM}中的$\mathbb R^3$中嵌入曲面构造的拉格朗日版本。
Hamiltonian Stationary Shrinkers and Expanders for Lagrangian Mean Curvature Flows
我们构造了拉格朗日中曲率流的收缩器和扩张器的例子。这些例子是哈密尔顿平稳和渐近联盟的两个哈密尔顿固定锥发现Schoen和沃尔夫森。Schoen-Wolfson锥$C_{p,q}$是变分方法中特殊拉格朗日量或拉格朗日极小曲面存在性问题的障碍。已知这些锥奇点不能由任何光滑定向的拉格朗日子流形来解决。我们发现的收缩器和扩张器可以粘合在一起，产生Brakke运动的解--中曲率流的弱公式。对于除$(2,1)$以外的任何互质对$(p,q)$，我们构造了这样一个解，它能分解任何单个Schoen-Wolfson锥$C_{p,q}$ .因此，这为Schoen-Wolfson猜想提供了证据，即$(2,1)$锥是唯一的面积最小化锥。也得到了高维推广。
Translating Solitons to a Lagrangian mean curvature flow with zero Maslov class
本文针对零Maslov类拉格朗日平均曲率流的II型奇点，给出其爆破极限的必要条件，并尝试解答Joyce-Lee-Tsui构造的平移孤立子能否作为该流爆破极限的开放问题。
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