Existence of Mean Curvature Flow Singularities with Bounded Mean Curvature
在[Vel94]中，Velazquez构造了$\mathbb{R}^N$中每一维$N \ge 8$的中曲率流解的可数集合。这些解中的每一个在有限时间内变为奇异的，此时第二基本型爆破。与此相反，我们确认在这里，在每一个维度$N \ge 8$，这些解决方案的非平凡子集具有一致有界的中曲率。
2020-03-13 math.AP math.DG
Prescribing negative curvature with cusps and conical singularities on compact surface
本研究针对紧曲面，证明了一类仅在有限个带指定角度的尖点或锥形奇点处例外、曲率由负函数指定的共形度量的存在性与唯一性。
2024-12-11 math.AP math.DG
Subsequent singularities of mean convex mean curvature flows in smooth manifolds
本文证明在光滑流形中，若平均曲率流收敛到光滑超曲面，则其所有奇点均为圆柱型，推广了此前对维数或首奇点时刻的限制。
2016-01-05 math.AP math.DG math.GT
General curvature flow without singularities
在[5]中，Sáez和Schnürer研究了定义在欧几里得空间子集上的完备超曲面的图中曲率流.他们获得了长期的存在。此外，它们还为弱中曲率流提供了一种新的解释。在本文中，我们将他们的结果推广到一般的曲率设置。我们的主要内容是在第四节中证明的带边界条件的一般曲率流的存在性结果。
2016-04-19 math.AP math.DG
Recent Progress on Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow
我们调查一些关于拉格朗日中曲率流的奇异性的最先进的。最后提出了一些有待解决的问题。
2010-12-09 math.AP math.DG math.SG
Uniqueness of conical singularities for mean curvature flows
本文证明了渐近锥切流在所有余维中的唯一性。这是基于Chodosh-Schulze的早期工作，他证明了超曲面的唯一性。
2023-02-02 math.AP math.DG
The singular set of mean curvature flow with generic singularities
从$R^{n+1}$中的一个封闭嵌入超曲面出发的中曲率流必然发展出奇点。我们证明了如果流只有一般奇点，那么时空奇点集包含在2个紧的嵌入$(n-1)$维Lipschitz子流形加上一个至多$n-2$维Lipschitz子流形中.如果初始超曲面是平均凸的，则所有奇点都是通有的，结果也适用。在$R^3$和$R^4$中，我们证明了几乎所有的时间演化超曲面是完全光滑的，并且奇异集的任何连通分量都完全包含在一个时间片中。对于所有维的$2$或$3$ -凸超曲面，相同的论证得出相同的结论：流在几乎所有时间都是完全光滑的，奇异集的连通分量包含在时间片中。一个关键的技术点是一个强大的{ \emph{parabolic} } Reifenberg属性，我们显示在所有维度和所有流量只有通用奇点。我们还表明，整个流清除后，一个通用的奇点非常迅速。这些结果基本上是最优的。
2015-02-23 math.AP math.DG math.GT
Prescribing Gaussian curvature on surfaces with conical singularities and geodesic boundary
研究了超临界区域中具有圆锥奇点和测地线边界的曲面上具有预定高斯曲率的共形度量。利用变分的论点，我们得到一个一般存在的结果，至少有两个边界组件的表面。这似乎是该设置的第一个结果。此外，我们允许具有正阶和负阶的圆锥形奇点，即锥角比$2π$更小和更大。
2022-09-24 math.AP math.DG
Decay order bound for mean curvature flow near compact singularities
针对形成一重数紧奇点的平均曲率流对应的重标度流，本文证明其衰减阶一致有界，进而得到相关唯一延拓结论。
2025-11-19 math.AP math.DG
Approximation of mean curvature flow with generic singularities by smooth flows with surgery
我们构造光滑的中曲率流与手术，近似弱中曲率流，只有球形和颈部收缩奇点。这是通过结合Choi-Haslhofer-Hershkovits和Choi-Haslhofer-Hershkovits-White最近的工作来实现的，他们建立了这种奇点的规范邻域，并对手术流设置了适当的障碍。一个限制参数，然后用来控制这些近似流。最后，我们改进了低熵Schoenflies猜想的熵界。
2022-10-14 math.AP math.DG
On the dynamics of formation of generic singularities of mean curvature flow
我们结合不同的方法研究了中曲率流的一般奇点的形成，特别是研究非线性热方程爆破的方法，作者和合作者所使用的中曲率流的技术，以及Colding和Minicozzi发明的技术。我们在爆破点的邻域内研究解，发现在某些一般的区域内，关键参数取有利的符号，并有急剧的衰减率。我们提供了不同范数下的余项估计。
2021-07-26 math.AP math.DG
Asymptotic Curvature Decay and Removal of Singularities of Bach-Flat Metrics
在曲率的L^2范数有界、Sobolev常数有界和体积增长有界的假设下，证明了4维Bach平坦度量的一个去奇性结果.这一结果推广了\cite{TVMOD}中关于特殊类Bach-平坦度量的奇异性去除结果.为了证明，我们分析的巴赫平坦方程的解决方案的衰减率线性化周围的平坦度量。这种分类被用来证明巴赫平坦锥实际上是ALE的顺序$τ$的任何$τ< 2$。然后利用这个结果证明了奇点去除定理。
2007-08-07 math.AP math.DG
Singularities of Axially Symmetric Volume Preserving Mean Curvature Flow
研究了由保体积中曲率流演化的曲面的奇点形成问题。对于具有Neumann边界条件的$\mathbb{R}^3$中的轴对称流动-旋转面，我们证明了第一个发展奇点是I型的。结果是在没有任何额外的曲率假设的情况下得到的，而轴对称和边界条件是合理的，给出了体积约束。对主要证明的其他结果和成分包括一个非圆柱抛物最大值原理，和一系列的几何量的估计，涉及梯度，曲率项及其衍生物。它们在任意维度上都成立。
2019-02-24 math.AP math.DG
A Priori Estimates for Singularities of the Lagrangian Mean Curvature Flow with Supercritical Phase
本文针对超临界相拉格朗日平均曲率流，证明奇点的内部先验估计，建立临界及超临界下成立的雅可比不等式，并推广至更广的拉格朗日平均曲率型方程。
2025-04-24 math.AP math.DG
Mean curvature flow through singularities
本文介绍平均曲率流基础，梳理三维空间中穿过奇点的平均曲率流精确理论的近年成果，阐述作者对四维空间非坍缩奇点的分类研究，并讨论相关开放问题与猜想。
2025-10-01 math.AP math.DG
On the mean convexity of a space-and-time neighborhood of generic singularities formed by mean curvature flow
我们考虑一个一般制度的形成奇点。我们得到一个详细的描述可能很小，但固定，附近的爆破点，直到（包括）爆破时间，并发现它是平均凸。这证实了Ilmanen的一个猜想。我们发现奇点是孤立的。
2019-05-22 math.AP math.DG
Genus one singularities in mean curvature flow
The University of Chicago（芝加哥大学）；Cornell University（康奈尔大学）；Lehigh University（利哈伊大学）
本文研究了均 curvature 流中genus 一奇点的出现，构造了具有更低熵的嵌入自收缩曲面。
2025-03-06 math.AP math.DG math.GT
A partial classification of type I singularities of the mean curvature flow in high codimension
本文的目的是研究在任意余维子流形的中曲率流中形成的I型奇点的可能形状，假设初始子流形满足特定的曲率拼挤条件。
2011-04-23 math.DG
On constant Q-curvature metrics with isolated singularities
本文对具有常正Q曲率和正数量曲率的共形平坦度量，在孤立奇点附近得到了一个精化的渐近展开.度量具有常Q曲率的条件迫使共形因子满足一个具有临界Sobolev增长的四阶非线性偏微分方程，其首项为双拉普拉斯算子.我们模拟我们的结果上一个类似的渐近展开共形平坦，常数数量曲率度量证明Korevaar，Mazzeo，Pacard和Schoen。一路上，我们分析了线性化的Q-曲率方程的Delaunay度量最近发现的弗兰克和柯尼希，这可能是独立的利益。
2020-01-22 math.AP math.DG
Singularities of mean curvature flow and isoperimetric inequalities in H^3
本文沿用\cite{PT}中的方法，将Willmore能量与等周不等式相结合，构造了$\mathbb{H}^3$中中曲率流的两个奇点例子.更确切地说，存在一个环面，它必须在MCF下发展一个奇点，然后它所包围的体积减小到零。还存在一个哑铃形状的拓扑球体，它必须在流中发展出奇异性，然后其面积才会缩小到零。同时，利用该流证明了$\mathbb{H}^3$中某些区域的一个等周不等式。
2013-07-02 math.AP math.DG
Mean curvature flow of Lagrangian submanifolds with isolated conical singularities
本文研究了（几乎）Calabi-Yau流形中的（广义）Lagrange中曲率流的短时存在性问题，当初始Lagrange子流形具有以稳定的特殊Lagrange锥为模型的孤立锥奇点时.给定一个几乎Calabi-Yau流形$M$中的拉格朗日子流形$F_0:L\rightarrow M$，在$\mathbb{C}^m$中的稳定的特殊拉格朗日锥$C_1,...,C_n$上模化的$x_1,...,x_n\in M$处具有孤立的圆锥奇点，我们证明了在短时间内存在单参数点族$x_1(t),... x_n(t)\in M$和在$C_1,...,C_n$上模化的在$x_1(t),...,x_n(t)\in M$处具有孤立的圆锥奇点的单参数拉格朗日子流形$F(t,\cdot):L\rightarrow M$，该方程由初始条件为$F_0:L\rightarrow M$的（广义）拉格朗日中曲率流演化而来。
2014-01-22 math.AP math.DG
Mean curvature flows with cylindrical singularities II: stability and genericity
Lehigh University（利哈伊大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文基于动力系统方法，研究非退化柱状奇点的稳定性，并证明可通过扰动将退化奇点转化为非退化奇点。
2026-09-18 math.AP math.DG
Prescribing positive curvature with conical singularities on $\mathbb S^2$
本文研究了$\mathbb S^2$上具有锥奇点的共形度量的正曲率规定问题，通过证明收敛定理并分析 bubble trees 和面积恒等式，给出了 prescribing data 在开区域内不存在的判据。
2024-08-22 math.AP math.DG
Constructing constant curvature metrics on Riemann surfaces with singularities
通过构造一类亚纯1-形式的常微分方程，给出了一类常曲率共形度量的显式构造。作为应用，我们将对Troyanov在\cite{Tr89}中首先利用射影联络证明的具有两个圆锥奇点的$S^{2}$上的常曲率1度量进行分类.
2022-04-12 math.DG
Metrics of constant curvature 1 with three conical singularities on 2-sphere
给出了具有三个预定阶锥奇点的常曲率2-球面上共形度量存在唯一的一个充要条件。
1998-01-30 math.DG
Finite Time Singularities for Lagrangian Mean Curvature Flow
给定四维紧致Calabi-Yau上的任意一个嵌入拉格朗日量，我们发现在同一Hamilton合痕类中的另一个拉格朗日量在中曲率流下产生有限时间奇异性.这与关于拉格朗日中曲率流的长时间存在性和收敛性的一个较弱版本的Yas-Yau猜想相矛盾。
2012-05-07 math.AP math.DG math.SG
Singularities of mean curvature flow with bounded mean curvature and Morse index
Institute of Mathematics, AMSS, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）
研究具有有界平均曲率和莫尔斯指数的平均曲率流奇点多重性，针对3≤n≤6时\(\mathbb{R}^{n + 1}\)中闭光滑嵌入流，证明首个奇异时间平均曲率或莫尔斯指数会爆炸。
2026-07-28 math.DG
The mean curvature blows up at nondegenerate neck pinch singularities of Lagrangian mean curvature flow
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Mathematics and CAMGSD, Instituto Superior Técnico（技术高等学院数学与CAMGSD系）
本文证明拉格朗日平均曲率流在非退化颈缩奇点处平均曲率无界，并给出爆破速率控制。
2026-09-28 math.DG
Convexity and singularities of curvature equations in conformal geometry
我们定义了一个推广的凸函数，我们称之为$δ$ -凸函数，并证明它们必须满足内部Hölder和$W^{1,p}$估计。作为应用，我们考虑了一类具有里奇曲率的共形几何中具有孤立奇点的完全非线性方程的解.我们证明了这样的解决方案要么延伸到一个Hölder连续函数的奇异性，否则有相同的奇异行为的共形拉普拉斯算子的基本解。我们还得到了这些方程的各种可去奇点定理。
2006-09-06 math.AP math.DG
Singularities of the Lagrangian Mean Curvature Flow
本文利用光滑奇异性模型研究了$\mathbf{C}^m$中拉格朗日中曲率流的奇异性。I型奇点只能出现在由初始数据的上同调不变量确定的特定时刻。在第二类情况下，这些光滑的奇异性模型是渐近的特殊拉格朗日锥，因此所有的第二类奇异性是由工会的特殊拉格朗日锥。
2015-05-07 math.DG
On Gaussian curvatures and singularities of Gauss maps of cuspidal edges
通过高斯映射的奇点类型，给出尖边高斯曲率的符号与几何不变量之间的关系。利用尖点边的几何不变量定义和刻画了高斯映射尖点的正负性，并给出了尖点的符号与高斯曲率的关系.
2020-03-24 math.DG
A monotonicity formula and Type-II singularities for the mean curvature flow
本文引入了中曲率流的一个单调性公式。我们也应用这个单调性公式来研究永恒解的渐近性态。
2014-12-16 math.DG
Singularities of Equivariant Lagrangian Mean Curvature Flow
本文研究了$\mathbb{C}^n$中几乎校准的$O(n)$ -等变拉格朗日中曲率流，证明了有限时间奇点的第I型和第II型爆破的结构定理.特别是，我们证明了任何I型爆破这样的流动必须是一个特殊的拉格朗日对的横切面，任何II型爆破必须是具有相同的渐近线的劳勒颈，这些爆破是独立的选择重新标度。我们还给出了一个部分分类时，奇点发生在等变的情况下，并检查中间尺度之间的I型和II型模型。
2020-12-07 math.AP math.DG
Umbilic Singularities and Lines of Curvature on Ellipsoids of ${\mathbb R}^4$
描述了${\mathbb R}^4$的所有三维椭球的主曲率线、脐奇点和部分脐奇点的拓扑结构。
2014-05-11 math.DG math.DS
Compactness Theorem of Complete k-Curvature Manifolds with Isolated Singularities
本文证明了对任何$m>0$，只要度量具有常$σ_{k}$曲率且$k$ -扩张Pohozaev不变量对$k<n/2$有正下界，则在$C^{m,α}$拓扑中，与$\mathbb{S}^{n}\backslash\{p_{1},\cdots,p_{l}\}$上的标准度量共形的度量集是局部紧的.这里的$k$ -膨胀Pohozaev不变量来自于$σ_{k}$曲率的Kazdan-Warner型恒等式，它是由Viaclovsky \cite{Viac2000}和Han \cite{H1}推导出来的。当$k=1$，Pollack \cite{Pollack}证明了$\mathbb{S}^{n}\backslash\{p_{1},\cdots,p_{l}\}$上常正数量曲率完备度量的紧性结果.
2020-11-18 math.AP math.DG
Mean curvature flow with free boundary - Type 2 singularities
本文给出了嵌入旋转对称双锥上具有自由边界的平均曲率流产生2型曲率奇点的充分条件。我们还证明了0型奇点只可能发生在无穷远处。
2016-09-15 math.DG
Singularities of symplectic and Lagrangian mean curvature flows
本文研究了Kähler-Einstein曲面中来自辛曲面或来自Lagrange曲面的中曲率流的奇性。证明了当$Σ_{-\infty}^\infty$连通时，辛中曲率流$Σ_t$或拉格朗日中曲率流$Σ_t$在奇点$(X_0, T_0)$处的爆破流$Σ_s^\infty$是${\bf R}^4$中的非平凡极小曲面.
2008-04-15 math.DG
Neck pinch singularities and Joyce conjectures in Lagrangian mean curvature flow with circle symmetry
本文研究具有圆对称性的hyperkähler 4-流形中的拉格朗日平均曲率流，证明其可穿过有限时间奇点延续并收敛至special Lagrangians链，验证了Joyce猜想并指出奇点为颈缩。
2024-12-20 math.AP math.DG math.SG
Curvature criteria of A-simple singularities R,0-> R^2,0 and their parallel curves
Saitama University（埼玉大学）
本文提出了一种确定A-简单奇点R,0→R²,0曲率准则的方法，并探讨了其平行曲线的奇点类型。
2025-12-29 math.DG
Prescribing $Q$-curvature on even-dimensional manifolds with conical singularities
该研究针对带锥形奇点的$2m$维闭流形的指定$Q$-曲率问题，通过爆破分析与极小极大变分论证，得到超临界情形下的存在性与多重性结果，是$m>1$时非球面超临界锥形流形的首个相关存在性结论。
2024-12-10 math.AP math.DG
Introducing spontaneous curvature to the Helfrich flow: Singularities and convergence
本文研究Helfrich流，发现负自发曲率导致有限时间奇点，而正自发曲率下，局部面积约束流全局收敛到Helfrich浸入，并给出显式能量阈值。
2024-04-19 math.AP math.DG
Singularities of improper affine spheres and surfaces of constant Gaussian curvature
本文从切触点几何的角度研究了反常（抛物）仿射球方程，给出了方程几何解中出现的奇异性的一般分类及其奇异性的一般形式。我们也给出了常高斯曲率曲面和可展曲面的结果。特别是，我们确认，一般奇点出现在这样的表面只是尖形的边缘和燕尾。
2005-02-08 math.DG
Singularities of Mean Curvature Flow of Surfaces with Additional Forces
本文研究了$\mathbb R^3$中带有附加力的曲面的中曲率流的爆破序列。证明了有限熵光滑嵌入曲面的中曲率流的爆破极限是光滑嵌入的自收缩函数。
2018-08-12 math.DG
On the propagation of singularities of constant curvature, convex hypersurfaces
本文研究了双曲空间中常曲率凸超曲面的奇异集结构，并将其应用于解决一般凸曲率函数下的理想Plateau问题。
2024-10-13 math.DG
Metrics of constant positive curvature with conic singularities. A survey
我们考虑黎曼曲面上常曲率为1的共形度量，它具有许多规定的圆锥奇点和在这些奇点处的规定角。特别有趣的是C. L.柴角S Lin和C. L.王介绍了一些细节，简化证明。
2021-03-24 math.CA math.CV math.DG
Timelike Constant Mean Curvature Surfaces with Singularities
利用可积系统方法研究了三维Lorentz-Minkowski空间中非最小常数中曲率（CMC）曲面的奇异性.奇点出现在所涉及的循环组的Birkhoff大细胞的边界处。我们研究的行为的表面在大细胞的边界，广义CMC表面的定义，包括那些有限的，通用的奇点，并显示如何构建表面与规定的奇点通过解决一个奇异的几何柯西问题。结果表明，广义曲面的通有奇点是尖边、燕尾和尖十字帽。
2011-10-20 math.DG
Type II Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow with Zero Maslov Class
本文证明了零Maslov类或几乎校准的Lagrangian平均曲率流在Type II奇点处爆破极限的刚性定理，将二维结果推广到任意维数。
2025-04-24 math.DG
Zero area singularities in general relativity and inverse mean curvature flow
首先，我们重申最近由H.布雷然后，我们考虑这些奇点的质量的几种定义。利用反中曲率流证明了奇点的质量、流形的ADM质量和奇点的容度等新的结果。
2010-08-10 math.DG
Singularities of spacelike mean curvature one surfaces in de Sitter space
本文研究了deSitter三维空间中类空常中曲率1（CMC 1）曲面的奇性.证明了类空CMC 1曲面上广义锥状奇点与5/2尖点边的对偶性。为了描述$A_{k+3}$奇异性和尖点$S_k$奇异性之间的对偶性，我们引入了类空CMC 1曲面在其奇点处的两个不变量，称为$α$ -不变量和$σ$ -不变量.此外，我们还给出了类空CMC 1曲面上非退化奇点的分类。
2021-05-22 math.DG
Uniqueness of blowups and Lojasiewicz inequalities
一旦知道奇点的存在，人们自然会想知道奇点是什么样子的。对于最小变种的第一个答案，已经知道Federerer-Fleming在1959年，是他们弱类似锥。对于中曲率流，通过Huisken、Ilmanen和White的联合工作，奇点弱地类似于收缩器。不幸的是，简单的证明留下了这样一种可能性，即在显微镜下观察的最小变化或中曲率流将类似于一个爆破，但在更高的放大倍数下，它可能（据任何人所知）类似于一个完全不同的爆破。这种情况是否会发生也许是关于奇点的最基本的问题。正是这个长期悬而未决的问题，我们在这里解决的中曲率流在所有一般的奇点和平均凸中曲率流在所有奇点。
2014-05-20 math.AP math.DG
On the Structure of Singularities of Weak Mean Curvature Flows with Mean Curvature Bounds
本文研究了具有积分平均曲率界的弱平均曲率流的奇点结构，证明了任意切向流由平稳锥给出，并在特定条件下证明了切向流的唯一性，同时揭示了在面积最小化 Simons 锥点处存在光滑 Hardt-Simon 极小曲面伴随极限流。
2023-11-27 math.AP math.DG
Singularities of the Lagrangian mean curvature flow at the critical Lagrangian phase
本文针对临界拉格朗日相位下的拉格朗日平均曲率流奇点建立内部估计，推广至更广方程类，并构造粘性解证明临界性必要性，同时引入新方法获得 $C^{2,\alpha}$ 估计。
2025-10-26 math.AP math.DG
Curvature Pinching Estimate And Singularities Of The Ricci Flow
本文首先在里奇流下利用数量曲率和Weyl张量给出了无迹里奇曲率的一个pinching估计。然后，我们应用这个估计来研究有限时间奇异性行为。证明了若数量曲率一致有界，则Weyl张量必然爆破，相应的奇异模型必然是Ricci平坦的且Weyl张量不为零.
2010-10-31 math.DG
Singularities of codimension two mean curvature flow of symplectic surfaces
证明了紧致Kaehler-Einstein曲面中紧致辛曲面的中曲率流在第一爆破时刻的切锥由$R^4$中两个以上2-平面的有限并组成，这些2-平面在$R^4$上具有复结构.
2002-08-29 math.DG
