Integrable Boundaries, Conformal Boundary Conditions and A-D-E Fusion Rules
用李代数对$(A,G)$标记$sl(2)$极小理论，其中$G$是$A$ - $D$ - $E$型。对于这些理论上的圆柱体，我们推测一套完整的共形边界条件标记的节点的张量积图$A\otimes G$。基于$A\otimes G$的图融合代数，利用融合规则给出了圆柱体的配分函数。我们进一步推测，对于每一个共形边界条件，一个可积的边界条件存在作为一个解决方案的边界杨巴克斯特方程的相关晶格模型。该理论使用$(A_4,D_4)$或三态Potts模型来说明。
1998-07-20 hep-th
On Fusion Rules in Logarithmic Conformal Field Theories
我们找到了对数共形场论的c_{p,1}级数的融合规则。这就完成了我们把共形场论的合理性概念推广到对数情形的尝试。一个新颖之处是出现了负的融合系数，这可以理解的例外量子群表示。有效的融合规则（即没有符号和多重性）类似于具有通过c = c_{3p,3}给出的共形网格的虚拟极小模型的BPZ融合规则。这导致猜想，（几乎）所有c = c_{p,q}，gcd（p，q）> 1的极小模型都属于有理对数共形场论。
1996-06-10 hep-th
Integrable N = 2 Landau-Ginzburg Theories from Quotients of Fusion Rings
可积的$N=2$超对称朗道-金斯堡理论的发现，其手征环是熔合环，这表明熔合环，相关的朗道-金斯堡超势和$N=2$量子可积性之间有密切的联系。我们通过寻找天然的$SO(N)_K$类似物来研究这种联系，这种类似物与$Sp(N)_K$和$SU(N)_K$融合环作为手性环产生超势。新超势的手征环并不直接是任何共形场论的稠合环，尽管它们是$SO(N)_K$稠合环的张量子环的自然等价物。新的超势产生可解（扭曲$N=2$）拓扑场论。我们得到的整数值的关联函数的总和$SO(N)_K$ Verlinde维数表示的融合残基的分解。与$SO(2n+1)_{2k+1}$和$SO(2k+1)_{2n+1}$相关的拓扑朗道-金兹伯格理论是同构的，尽管它们是通过完全不同的超势定义的。
1993-10-14 hep-th
Lusztig limit of quantum sl(2) at root of unity and fusion of (1,p) Virasoro logarithmic minimal models
本文引入了（1，p）Virasoro对数极小模型的Kazhdan-Lusztig-对偶量子群作为量子sl（2）在p次方单位根处的Lusztig极限，并证明了该极限是一个Hopf代数.我们计算了量子群的不可约和射影表示的张量积，并证明了这些张量积与（1，p）Virasoro对数极小模型中不可约和对数模的融合是一致的.
2009-01-12 hep-th
Polynomial fusion rings of W-extended logarithmic minimal models
对数极小模型LM（p，p '）的可数无限个Virasoro表示可以重组为关于扩展的维拉索罗代数对称性W的有限个W-表示.使用融合的格实现，我们最近确定了这些表示的融合代数，并发现它关闭，尽管p>1没有恒等式。在这里，我们给出了这个融合代数的融合矩阵实现，并确定了一个与之同构的融合环，同时考虑了它的各种扩张及其子代数，引入并分析了所涉及的融合代数与相应的商多项式融合环之间的交换图.一个特殊的扩展让人想起LM（p，p '）的基本融合代数，并提供了一种自然的方式来引入p>1时缺失的恒等式。计算显式融合矩阵的基础上，一对相互的Moore-Penrose逆交织的W-基本和扩大的融合代数之间的进一步扩大。
2008-12-05 hep-th
Integrable hierarchies, Hurwitz numbers and a branch point field in critical topologically massive gravity
我们讨论了宇宙学临界拓扑质量引力的配分函数的对数贡献的可积方面。一方面，用描述集合划分统计的Bell多项式表示，对数域的配分函数是位势Burgers族的生成函数。另一方面，多项式变量是Kadomtsev-Petviashvili方程的解，并且配分函数是KP $τ$函数，使得被计数的对数场的孤子性质更精确。证明了配分函数是Hurwitz数的母函数，并导出了它的表达式。事实上，配分函数是分支覆盖的生成函数，使洞察orbifold目标空间。我们证明了对数域$ψ^{new}_{μν}$可以看作是与分支点$μl =1$相关联的分支点域。
2022-01-31 hep-th
A Rational Logarithmic Conformal Field Theory
我们分析了三元组代数的表示的融合，三元组代数是维拉索罗代数在c=-2的最大扩展对称代数。它表明，存在有限数量的表示是封闭下融合。这包括所有的不可约表示，但也有一些可约表示出现在融合产品的不可分解的成分。
1996-06-10 hep-th
Integrability and Fusion Algebra for Quantum Mappings
我们将融合过程应用到与时间离散可积系统，特别是可积量子映射相关的量子Yang-Baxter代数。我们提出了这些系统的高阶量子不变量的一般结构。作为一类重要的例子，我们提出了杨巴克斯特结构的凝胶'fand-Dikii映射的层次，我们已经介绍了在以前的论文，以及相应的显式交换家庭的量子不变量。
1993-01-04 hep-th
Integrable and Conformal Twisted Boundary Conditions for sl(2) A-D-E Lattice Models
研究了环面上sl（2）酉极小模型共形扭曲边界条件的可积实现。这些共形场论被实现为具有正谱参数u > 0和考克斯特数g的临界G = A、D、E晶格模型的连续统标度极限。可积缝是通过融合基本局部面权重块来构造的。通常的A-型融合被标记为Kac标签（r，s），并与Verlinde融合代数相关联。在图融合代数的两个辫子极限u-> \pm i \infty中引入了一种新的融合，并分别用节点$a,b\in G$标记.当与自同构相结合时，它们会导致标记为$x=(r,a,b,κ) \in (A_{g-2}, H, H, Z_2 )$的一般可积接缝，其中H是I型理论的图G本身和II型理论的其父图。将我们的构造标签与Petkova和Zuber的共形标签相识别，我们发现可积缝与共形缝是一一对应的。因此，不同的接缝与Ocneanu量子图的节点相关联。对$|G| \leq 6$的量子对称性和扭曲配分函数进行了数值检验。我们还表明，在$D_{2l}$的情况下，非交换性的Ocneanu代数的接缝出现，因为自同构不交换的融合。
2003-05-01 hep-th
Solving topological defects via fusion
二维可积模型中的可积亏损是纯传递的，因此是拓扑的。通过融合它们的可积边界新的可积边界条件可以产生，并从两个解决边界理论的比较，可以提取明确的解决方案的缺陷模型。利用这一思想确定了sinh-Gordon和Lee-Yang模型中拓扑缺陷的透射因子和缺陷能量。在sinh-Gordon情形下，用拉格朗日微扰理论计算了透射因子，而用缺陷热力学Bethe方程计算了缺陷能量，该方程用于描述圆柱体上对角缺陷系统的基态能量.通过确定Lee-Yang模型中缺陷束缚态的谱，分析并封闭了缺陷自举方程。
2007-12-27 hep-th
Polynomial Fusion Rings of Logarithmic Minimal Models
我们确定商多项式环同构于最近发现的基本融合代数的对数极小模型。
2007-09-21 hep-th math-ph math.MP
Integrable Boundaries and Universal TBA Functional Equations
导出了与sl（2）幺正极小模型、仿费米子模型和共形场论超对称模型相关的临界A-D-E格点模型的融合函数方程族，并推导了相应的TBA函数方程.推导使用融合投影仪和适用于所有已知的可积边界条件的环面和圆柱体的存在。所得到的TBA泛函方程是泛的，因为它们只依赖于A-D-E图的Coxeter数，而与特定的可积边界条件无关。我们一般地猜想，TBA泛函方程对于所有与有理CFTs及其可积扰动相关的可积格点模型都是普适的。
2001-10-30 hep-th
Fusion rules and logarithmic representations of a WZW model at fractional level
分析了su（2）WZW模型在分数阶k=-4/3下的容许表示的融合积.发现某些融合积定义了L_0的谱从下而上没有界的表示。此外，融合产品产生的表示是不完全可约的，其中的作用L_0是不可对角化的。识别出融合下封闭的完整表示集，并推导出相应的融合规则。
2001-05-11 hep-th math.QA
Fusion rules for the logarithmic $N=1$ superconformal minimal models I: the Neveu-Schwarz sector
现在众所周知，在临界统计晶格模型，聚合物和渗流的非局部可观的，例如，可以模拟在连续标度极限的对数共形场论。这种理论的融合规则，有时被称为对数极小模型，在过去的十年中，为了探索与非局部观测值相关的表示理论结构，已经进行了深入的研究。受最近的晶格结构的启发，本文研究了这些对数极小模型在Neveu-Schwarz扇区中的$N=1$超对称类似物的融合规则。融合规则涉及雷蒙表示将在续集。
2015-08-30 hep-th math-ph math.MP
On the evaluation of form factors and correlation functions for the integrable spin-s XXZ chains via the fusion method
修正了以前文献的推导，对于可积的自旋- $s$ XXZ链，我们用自旋-1/2 XXZ链的标量积上的单个和来表示任何形状因子.用修正的方法，我们用多重积分的单个和来表示零温下任意给定项的自旋- $s$ XXZ关联函数。
2011-03-22 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
W-Extended Logarithmic Minimal Models
本文考虑杨-巴克斯特可积对数极小模型LM（p，p '）无穷级数的连续标度极限为推广W对称的“有理”对数共形场论.表示内容由6pp '-2p-2p' W-不可分解表示组成，其中2 p +2 p '-2为秩1，4pp'-2p-2p'为秩2，其余2（p-1）（p'-1）为秩3.我们确定这些表示与适当的限制杨巴克斯特可积边界条件的晶格。W-不可分解的秩1表示都是W-不可约的，同时我们对W-不可分解的秩2和秩3表示的嵌入模式提出了一个猜想。相关的W-扩展特征标都是显式给出的，并分解为W-不可约特征标的有限个非负和。后者对应于W-不可约子因子，我们发现有2 pp '+（p-1）（p'-1）/2个。我们提出了一些秩2和所有的秩3 W-不可分解表示的费米字符表达式。为了区分不等价的W-不可分解的表示相同的字符，我们引入“精致”的字符携带信息也约约旦细胞内容的表示。使用一个格实现的融合带，我们研究的融合规则的W-不可分解的表示，并发现它们产生一个封闭的融合代数，虽然没有单位为p>1。我们提出了一套完整的融合规则，并将该融合代数的封闭解释为对所提出的扩展对称性的确认。最后，2 pp '的W-不可分解表示实际上是W-投射表示，它们生成一个闭融合子代数。
2008-05-20 hep-th
Free field representation for the O(3) nonlinear sigma model and bootstrap fusion
在O（3）西格玛模型的背景下，研究了Lukyanov发展的自由场表示在大质量可积模型中应用的可能性.我们用自举融合方法构造了O（3）Zamolodchikov-Faddeev代数的自由场表示，并写出了与sine-Gordon和SU（2）Thirring模型相似的形式因子方程的解的表示.我们还讨论了进一步发展这种表示的O（3）模型的可能性，并评论扩展到其他可积场论。
1995-01-03 hep-th
W-extended Kac representations and integrable boundary conditions in the logarithmic minimal models WLM(1,p)
我们构造了对数极小模型WLM（1，p）的格点方法中的新的Yang-Baxter可积边界条件，得到了在连续标度极限中秩为1的可约但不可分解的表示.我们将这些W-扩展Kac表示解释为三元组W-代数W（p）上的有限生成W-扩展Feigin-Fuchs模。这些表示的W-扩展融合规则是从最近提出的Kac表示在对数极小模型LM（1，p）下的Virasoro融合规则中推导出来的。我们还引入了W-扩张Kac模的逆模，并给出了相应的扩张融合代数。我们的结果与限制量子泛包络代数$\bar{U}_q(sl_2)$上模的张量积在$q=e^{πi/p}$上的Kazhdan-Lusztig对偶一致.最后，确定了与各种融合代数同构的多项式融合环，并确定了相应的特征标Grothendieck环。
2011-06-24 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
W-Extended Fusion Algebra of Critical Percolation
二维临界渗流是Yang-Baxter可积对数极小模型LM（p，p '）无穷级数的成员LM（2，3）。我们认为这个晶格模型的连续标度极限作为一个“合理的”对数共形场论与扩展W= W_{2,3}对称性，并使用一个带上的晶格方法来研究基本的融合规则，在这个扩展的图片。我们发现，随后的闭融合代数的表示内容包含26个W-不可分解表示，其中8个秩1表示，14个秩2表示和4个秩3表示。我们确定这些表示与适当的限制Yang-Baxter可积边界条件的格，并获得其相关的W-扩展字符。后者分解为W-不可约字符的有限非负和，其中需要13个。在格上实现融合，使我们能够读出的融合规则管理的融合代数的26个表示，并构造一个明确的凯莱表。这些表象在融合中相互封闭，这是对所提出的扩展对称性的显著证实。
2008-04-28 hep-th
Theta function parameterization and fusion for 3-D integrable Boltzmann weights
我们报道了在可积三维晶格自旋模型中构造玻尔兹曼权的进展。我们表明，修改四面体方程的一大类顶点解决方案可以方便地参数化的N次根θ函数的雅可比矩阵的紧凑的代数曲线。费伊的身份保证费马关系和经典运动方程的参数确定玻尔兹曼权重。我们的参数化允许写一个简单的公式融合玻尔兹曼权重R描述的配分函数的任意开盒，也服从修改后的四面体方程。施加周期性边界条件，我们观察到R满足正常四面体方程。所描述的方案包含Zamolodchikov-Baxter-Bazhanov模型和棋盘模型作为特例。
2003-10-14 hep-th nlin.SI
The su(n) WZNW fusion ring as integrable model: a new algorithm to compute fusion coefficients
这是一篇回顾最近C. Stroppel和作者。它包含一个新的方面：明确推导出不同于Kac-Walton公式的融合系数计算算法。本文从统计力学中的顶点模型的观点出发，讨论了用配分函数产生融合系数的问题。统计模型可以通过将其传递矩阵与杨-巴克斯特方程的特定解联系起来来证明是可积的。这个转移矩阵可以用非交换字母表中的（无限）多项式集的生成函数来识别：局部仿射plastic代数的生成元。后者是一个概括的plastic代数发生的背景下，罗宾逊，申斯特对应。人们可以在这个非交换字母表中定义舒尔多项式的类似物，当它们表示为可积模型的状态空间上的自同态时，它们与融合矩阵相同。关键是构造一个特征基，即Bethe向量，它是融合代数的幂等元。
2012-09-17 hep-th math-ph math.MP
Integrable Hierarchy for Multidimensional Toda Equations and Topological-Anti-topological Fusion
将负对称流引入齐次$A_m$ -族及其$\hat{gl} (m+1, C)$扩展的Riemann-Hilbert问题中.一个二阶循环群自同构被用来定义一个只包含奇对称流的$\hat{gl} (m+1, C)$层次的子层次。$\pm 1$品位的正、负流量与多维Toda模型和拓扑-反拓扑融合方程相吻合。
2001-09-26 hep-th math-ph math.MP
Modular Transformations and Verlinde Formulae for Logarithmic $(p_+,p_-)$-Models
$(p_+,p_-)$单态代数是一个顶点算子代数，它由中心荷的Virasoro场$1-6(p_+-p_-)^2/p_+p_-$和共形权的Virasoro主场$(2p_+-1)(2p_--1)$强生成。在这里，每个单态代数的不可数多个简单的模块的字符的模块化的性质进行了调查，并作为输入的Verlinde公式的连续模拟的结果，以获得的“融合规则”的单态模块。融合的失败是准确的一般的影响进行了研究，在Verlinde产品的水平和规则派生解除$(p_+,p_-)$三重代数，把这些代数作为简单的当前扩展他们的单重表兄弟。其结果是一个相对轻松的三重“融合规则”，同意那些以前提出的文献推导。
2014-01-20 hep-th
Fusion Algebras of Logarithmic Minimal Models
我们给出了对数极小模型LM（p，p '）的手征融合代数的显式结构，其中考虑了Virasoro表示，不需要扩大或扩展对称代数.融合的生成器在数量上是可数无限的，但随后的融合规则是准理性的，在这个意义上，有限数量的表示的融合分解成有限的表示的直和。融合规则是可交换的，结合的，并表现出sl（2）结构，但需要所谓的Kac表示，其是秩1的可约但不可分解的表示。特别地，基本融合代数的恒等式一般是秩为1的可约但不可分解的Kac表示。我们详细比较了我们的融合规则与Gaberdiel和Kausch在p=1时的结果以及Eberle和Flohr在（p，p '）=（2，5）时的结果。在后一种情况下，我们确认的外观不可分解的表示秩3。我们还发现，一个基本的融合代数的封闭实现不引入秩高于3的不可分解表示。在我们的晶格方法中，相关的可积晶格模型的广泛的数值研究支持的约束融合规则。我们的晶格发现和数值结果的细节将在其他地方介绍。我们的融合规则与以前的融合规则的协议借给相当大的支持对数极小模型LM（p，p '）与代数定义的增广c_{p,p'}（极小）模型的识别。
2007-09-21 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Integrable Floquet systems related to logarithmic conformal field theory
本文研究稠密聚合物普适类中的可积 Floquet 量子系统，利用 Temperley–Lieb 代数揭示守恒荷与哈密顿量结构，并指出其标度极限对应对数共形场论。
2023-03-21 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Temperley-Lieb integrable models and fusion categories
School of Mathematics & Hamilton Mathematics Institute, Trinity College Dublin（都柏林三一学院数学与汉密尔顿数学研究所）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理珀瑞迈特研究所）；Department of Physics and Astronomy, University of Waterloo（滑铁卢大学物理与天文系）；MTA-ELTE “Momentum” Integrable Quantum Dynamics Research Group, Department of Theoretical Physics, ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学理论物理系MTA-ELTE“动量”可积量子动力学研究组）；Laboratoire de Probabilités, Statistique et Modélisation & CNRS, Université Paris Cité, Sorbonne Université Paris（巴黎 Cité 大学、索邦巴黎大学概率、统计与建模实验室及法国国家科学研究中心）
本文通过Temperley-Lieb代数结构，研究融合范畴中可积任何子链的谱特性，证明当量子维度大于2时模型存在间隙，且在特定融合范畴中有限尺寸效应可能影响间隙分析。
2026-01-21 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Thermodynamic Bethe ansatz equation from fusion hierarchy of osp(1|2) integrable spin chain
与李超代数osp（1）相关的可积自旋链的热力学Bethe平衡（TBA）和激发态TBA方程|2）是用量子转移矩阵（QTM）方法提出的。我们介绍了QTM的融合层次，并推导出它们之间的函数关系（T系统）和它们的某些组合（Y系统）。它们的解析性质导致了描述任意有限温度下自由能和关联长度的非线性积分方程。关于自由能，它们与TBA方程（math-ph/9911010，Mod.Phys.Lett. A，14，2427（1999））。
2000-07-03 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Form factors in the presence of integrable defects
在二维可积亏损理论中导出了局部化在体和缺陷上的算子的矩阵元的形状因子公理。体运算符的形状因子用体形状因子和传输因子表示。一般地建立了缺陷算符的形状因子的结构，并对自由玻色子和李-杨模型的某些算符进行了具体的计算。融合方法也被提出来产生边界形状因子解决方案的融合边界从已知的未融合的。
2009-09-17 hep-th
Integrable anyon chains: from fusion rules to face models to effective field theories
从代数$SO(5)_2$的融合规则出发，我们构造了具有交换转移矩阵的相互作用任意子的一维晶格模型。在大谱参数的极限下，由转移矩阵恢复了任意子链的守恒拓扑荷。用Bethe近似方法研究了模型在热力学极限和低能激发下的性质。两个任意子模型在零温度下是临界的。从有限尺寸谱的分析中，我们发现，它们是有效地描述的维拉索罗代数，即$\mathcal{W}B_2$和$\mathcal{W}D_5$，分别扩展下的有理共形场论不变。后者包含具有半旋和四分之一旋的原色。模块化的配分函数和融合规则的推导和发现是一致的格模型的结果。
2014-11-02 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Classification of Kac representations in the logarithmic minimal models LM(1,p)
对于每对正整数r，s，在对数极小模型LM（1，p）的格点方法中，存在与Yang-Baxter可积边界条件相关联的所谓Kac表示（r，s）.我们提出了一个分类这些表示为有限生成的Feigin-Fuchs模块的子模块，并提出了一个猜想，他们的融合代数，我们称之为Kac融合代数。的建议进行了测试，使用格的方法和应用程序的Nahm-Gaberdiel-Kausch算法的组合。我们还讨论了融合代数如何通过包含与Kac表示相逆的模来扩张，并确定了同构于扩张Kac融合代数及其逆扩张的多项式融合环.
2011-07-12 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Logarithmic Superconformal Minimal Models
近年来，高融合级对数极小模型LM（P，P '; n）被构造为对角GKO陪集（A_1^{（1）}）_k+（A_1 ^{（1）}）_n /（A_1^{（1）}）_k+n}，其中n>0是整数融合级，k= k/（P'-P）-2是分数级。对于n=1，这些是对数极小模型LM（P，P '）。对于n>1，我们认为这些临界理论是通过n=1模型的n × n融合在格上实现的。对于n=2，我们称它们为对数超共形极小模型LSM（p，p '），其中P=| 2p-p'|，P '= p'和p，p'互质，并且它们共享有理超共形极小模型SM（P，P'）的中心荷.它们的数学描述需要融合平面Temperley-Lieb代数，这是一个自旋为1的BMW tangle代数，具有圈逸度beta_2=x^2+1+x^{-2}和扭曲ω =x^4，其中x=e^{i（p '-p）pi/p'}。例子是c=-5/2，beta_2=0的超共形致密聚合物LSM（2，3）和c=0，beta_2=1的超共形渗流LSM（3，4）。我们用解析法计算自由能。通过数值研究在Neveu-Schwarz和Ramond扇区中具有适当边界条件的条带上的有限尺寸谱，我们认为，在连续标度极限下，这些晶格模型与对数超共形模型LM（P，P '; 2）相关联.对于系统规模N，我们提出了有限化的Kac特征标公式，其P，P'依赖性仅在前因子中进入q的分数次幂.这些字符涉及Mot…
2014-04-02 hep-th
Lattice fusion rules and logarithmic operator product expansions
在对数共形场论（LCFTs）的兴趣一直在增长，在过去的几年中，由于最近的发展来自各种方法。一个特别富有成果的观点是把格点模型看作是这种量子场论的正则化。在相应的有限维结合代数的表示论中遇到的不可分解性恰好模仿了预期在连续极限中出现的Virasoro不可分解模。在本文中，我们详细研究了由Read和Saleur [Nucl.Phys.B777，316（2007）]在物理学中引入的所谓Temperley-Lieb（TL）融合函子。利用量子群的结果，我们提供了严格的计算各种TL模块的融合。我们的结果说明了许多明确的例子相关的物理。我们讨论了不可分解性如何出现在“格”融合和比较机制与相应的场论类似的意见。我们还讨论了格点融合规则在量子场不可分解的算子乘积展开方面的物理意义。
2013-01-09 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Modular group representations and fusion in logarithmic conformal field theories and in the quantum group center
本文证明了在限制量子群U_{q} sl（2）的中心的SL（2，Z）表示$π$等价于对数（1，p）共形场论模型的扩展特征标的SL（2，Z）表示. U_{q} sl（2）带状元素的乘法Jordan分解决定了$π$分解为两个交换SL（2，Z）表示的“逐点”积，其中一个限制于Grothendieck环;这个限制等价于（1，p）-特征标上的SL（2，Z）表示，通过非半单Verlinde公式与融合代数相关。证明了U_{q} sl（2）在2 p阶本原单位根处的Grothendieck环与（1，p）对数共形场论模型的融合代数相一致。作为一个副产品，我们得到的q-二项式恒等式所隐含的融合代数实现的中心~ U_{q} sl（2）。
2006-07-05 cond-mat.mes-hall hep-th math-ph
Kazhdan-Lusztig equivalence and fusion of Kac modules in Virasoro logarithmic models
我们研究的主题是Kazhdan-Lusztig（KL）等价的上下文中的一个参数的家庭的对数CFTs的基础上Virasoro对称与（1，p）中心荷。KL-对偶量子群-单位根上的“全”Lusztig量子sl（2）-的所有有限维不可分解模都被明确地描述。这些都是由投射模和四个系列的模块，有一个函子对应的任何商或一个子模块的Feigin-Fuchs模块在维拉索罗代数。我们的主要结果包括计算任何一对不可分解模的张量积。基于量子群与顶点算子代数之间的Kazhdan-Lusztig等价性，给出了（1，p）LCFT模型中维拉索罗代数上Kac模的融合规则.
2011-11-08 hep-th math-ph math.MP
Correlation functions of the integrable higher-spin XXX and XXZ spin chains through the fusion method
对于可积的高自旋XXX和XXZ自旋链，我们提出了多重积分表示的相关函数的任意产品的厄米基本矩阵在无质量基态。给出了用重积分的一项表示的公式。特别是，我们明确地推导出空形成概率（EFP）。我们假设$2s$ -弦为自旋- $s$ XXZ链的Bethe散射方程的基态解，并求解自旋- $s$ Gaudin矩阵的积分方程。根据XXZ耦合$Δ$，我们用$Δ=\cos ζ$定义$ζ$，并将其置于无隙区的区域$0 \le ζ< π/2s$中：$-1 < Δ\le 1$（$0 \le ζ< π$），其中$Δ=1$（$ζ=0$）对应于反铁磁点。我们利用代数Bethe变换计算零温关联函数，在无质量区域引入Hermite基本矩阵，并利用仿射量子群高自旋表示的$R$ -矩阵的融合构造.
2009-11-19 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
On Affine Fusion and the Phase Model
简要回顾了Korff和Stroppel最近发现的仿射融合的可积实现。他们表明，$su(n)$ Wess-Zumino-Novikov-Witten（WZNW）共形场论的仿射融合出现在一个简单的可积系统中，称为相位模型。杨-巴克斯特方程导致交换运营商的建设作为舒尔多项式，与非交换跳跃运营商作为参数。代数Bethe矩阵对角化它们，揭示了与模块化S矩阵的连接和$su(n)$ WZNW模型的融合。非对易Schur多项式的作用类似于相应的WZNW模型中的初等场算子。特别地，它们的3点函数是$su(n)$融合多重性。在这里，我们展示了如何新的相位模型实现仿射融合明显存在的阈值水平，以及它如何容纳更高的属融合。
2012-11-15 hep-th math-ph math.MP
On Verlinde-Like Formulas in c_{p,1} Logarithmic Conformal Field Theories
讨论了计算对数共形场论的c_{p,1}系列的融合规则的两种不同方法。这两种方法都是基于手征真空环面振幅基的模变换性质，其中包含了不可约表示的特征。其中之一是一个扩展，我们在这里开发了Fuchs等人引入的Verlinde公式的非半简单推广，包括具有不可分解表示的融合产物。另一种是利用Verlinde公式的通常形式，在环面振幅基退化为不可约和不可分解表示的特征标的线性相关集的极限下求融合系数。我们讨论的效果，这种线性依赖对任何结果的融合规则，这是从这些字符的模块化变换性能计算。我们证明了这两种方法是等价的。此外，我们计算显式的BPZ表达式的融合规则，所有p大于2。
2007-05-04 hep-th math-ph math.MP
Fusion rules for admissible representations of affine algebras: the case of $A_2^{(1)}$
我们推导出了$\hat{sl}(3)$在分数阶$3/p-3$上的一系列基本容许表示的融合规则。公式承认的解释方面的仿射Weyl群介绍了卡茨和Wakimoto。它取代了可积表示的融合规则多重性的类似公式中的普通仿射外尔群。隐藏的有限维分次代数背后的容许表示的表示理论的元素进行了简要的讨论。
1997-10-26 hep-th
Logarithmic Minimal Models
工作在稠密循环表示，我们使用平面Temperley-Lieb代数来建立可积格模型称为对数极小模型LM（p，p '）。具体来说，我们构造杨巴克斯特可积Temperley-Lieb模型上的带作用于链接状态，并考虑其相关的哈密顿极限。这些模型及其相关的Temperley-Lieb代数表示本质上是非局部的，并且不是（时间反演）对称的。在连续标度极限下，他们给出了具有中心荷c=1-6（p-p '）^2/pp'的对数共形场论，其中p，p '= 1，2，.互质主系列LM（m，m+1）的前几个成员是临界致密聚合物（m=1，c=-2）、临界渗流（m=2，c=0）和对数伊辛模型（m=3，c=1/2）。对于主级数，我们找到了一个由可积共形边界条件组成的无穷族，它被组织在一个扩展的Kac表中，其共形权为Delta_{r,s} =（m+1）r-ms）^2-1）/4 m（m+1），r，s= 1，2，.相关的共形配分函数的Virasoro字符的最高权表示。个别地，这些字符分解成有限数量的字符的不可约表示。我们展示了如何不可分解的表示产生的融合的例子。
2006-11-29 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Chiral Integrable Boundary States of ABJM Spin Chain from Reflection Equations
Center for Joint Quantum Studies and Department of Physics, School of Science, Tianjin University（天津大学理学院物理系联合量子研究中心）；Department of Physics, Guangxi Normal University（广西师范大学物理学院）；Peng Huanwu Center for Fundamental Theory（彭桓武理论物理中心）
本文基于反射方程和融合程序，构建ABJM旋链中2n-site chiral可积矩阵积态，并推导四site chiral可积态与Bethe态的精确重叠公式，同时数值研究chiral可积子空间。
2026-04-14 hep-th nlin.SI
Fusion rules for Quantum Transfer Matrices as a Dynamical System on Grassmann Manifolds
我们证明了可积量子模型的任意融合类型的转移矩阵集服从这些双线性函数关系，这些双线性函数关系与Grassmann流形上的可积动力系统（高阶Hirota方程）相一致。双线性关系是以前已知的一个特定类别的转移矩阵对应的矩形杨图。我们将这个结果推广到一般的Young图。给出了双线性方程的一般解。
1997-04-22 hep-th math.QA nlin.SI
Virasoro representations and fusion for general augmented minimal models
在本文中，我们提出了明确的结果融合不可约和高秩表示在两个几何共形模型，增广的c_{2,3} = 0模型以及增广的杨-李模型在c_{2,5} = -22/5。我们分析他们的频谱表示这是一致的对称性和结合性的融合代数。我们还详细描述了前几个更高的秩表示。特别是，我们提出了一致的秩3不可分解表示的第一个例子，并描述其嵌入结构。了解这两个通用模型，我们还推测一般的增强c_{p,q}模型的一般表示内容和融合规则。
2006-04-13 hep-th
Integrable and Conformal Boundary Conditions for sl(2) A-D-E Lattice Models and Unitary Minimal Conformal Field Theories
研究了统计力学的临界A-D-E模型和一般图基格点模型的可积边界条件。特别地，使用与Temperley-Lieb代数和融合相关联的技术，对于每个边界条件，获得满足边界杨-巴克斯特方程的一组边界玻尔兹曼权重。当适当地专门化时，这些边界权重（每个边界权重取决于三个自旋）分解成更自然的两个自旋边权重。A-D-E情形的特殊边界条件自然地与sl（2）酉极小共形场论的共形边界条件一一对应。在这一点和进一步的证据的支持下，我们得出结论，在连续标度极限，可积边界条件提供了相应的场论的共形边界条件的完整集合的实现。
2000-09-19 hep-th
Bosonic ghostbusting -- The bosonic ghost vertex algebra admits a logarithmic module category with rigid fusion
秩为1的玻色子鬼顶点代数，也被称为$βγ$鬼、辛玻色子或Weyl顶点代数，是一个既不是有理数也不是$C_2$ -余有限的共形域论的简单例子。我们确定了一个模范畴，记为范畴$\mathscr{F}$，它满足共形域论中的三个必要条件：限制群下的闭包，融合下的闭包和模群作用于特征标下的闭包.我们证明了其中的第二个条件，其他两个已经知道。进一步证明了范畴$\mathscr{F}$有足够多的投射模和内射模，给出了所有不可分解模的分类，证明了融合是刚性的，并计算了所有的融合积.融合积公式完全匹配先前提出的Verlinde公式，该公式是使用通常的有理Verlinde公式的简化推广计算的，称为标准模块形式主义。因此，玻色子幽灵基本上展示了理性理论的所有丰富结构，尽管它不满足任何标准的理性假设，如$C_2$ -有限性，顶点代数同构于它的限制对偶或具有一维共形权0空间。特别是，据作者所知，这是对数非$C_2$ -上有限顶点代数刚性证明的第一个例子。
2020-09-03 hep-th math-ph math.MP
Fusion hierarchies, T-systems and Y-systems of logarithmic minimal models
A Temperley-Lieb (TL) loop model is a Yang-Baxter integrable lattice model with nonlocal degrees of freedom. On a strip of width N, the evolution operator is the double-row transfer tangle D(u), an element of the TL algebra TL_N(beta) with loop fugacity beta=2cos(lambda). Similarly on a cylinder, the single-row transfer tangle T(u) is an element of the enlarged periodic TL algebra. The logarithmic minimal models LM(p,p') comprise a subfamily of the TL loop models for which the crossing parameter lambda=(p'-p)pi/p' is parameterised by coprime integers 0<p<p'. For these special values, additiona…
2014-01-30 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Coset construction of logarithmic minimal models: branching rules and branching functions
在Virasoro图像中，对数极小模型LM（p，p '）=LM（p，p'; 1）可以推广到更高融合能级n= 1，2，3，.的对数共形场论LM（p，p '; n）的无限层次.从格点出发，这些理论是通过将适当的LM（p，p '）模型的n × n基本面融合在一起而构建的。进一步论证了所有这些对数理论都可以实现为对角陪集（A_1^{（1）}）_k \oplus（A_1^{（1）}）_n /（A_1^{（1）}）_{k+n}，其中n是整数融合水平，k=np/（p '-p）-2是分数水平。这些陪集反映形式M（m，m '; n）的较高融合级极小模型的陪集，但与某些可约表示相关联。我们提出了明确的分支规则的字符形式的乘法公式中产生的对数极限的通常的Goddart-Kent-Olive陪集建设的非酉极小模型M（m，m '; n）。极限分支函数在LM（p，p '; n）理论中起着Kac特征标的作用。
2013-08-04 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
SU(2)_k Logarithmic Conformal Field Theories
我们分析了可积表象之外的SU（2）_kWZNW模型，特别是SU（2）_0的情形。我们发现，这些都是很好的例子，对数共形场论的不可分解表示自然产生的离散不可约表示融合。我们还发现额外的，手性和非手性，多重态结构的理论。我们在SU（2）_0中构造的手征场在模型中生成扩展代数。我们还在自由场方法和关联函数水平上研究了SU（2）_0的量子哈密顿约化过程，给出了c=-2三重态模型。对于有理能级SU（2）_k，这为我们研究c_{p,q}模型的h_{1,s}算符提供了一种有用的方法，我们发现了与SU（2）_0非常相似的结构。我们还讨论了LCFT作为一个普通的CFTs序列的限制和一些可能发生的微妙之处。
2002-10-08 hep-th
The Verlinde formula in logarithmic CFT
在有理共形场论中，Verlinde公式从手征代数表示的特征的模S-变换计算融合系数。由于各种原因，将这个公式推广到对数模型已经证明是相当困难的。在这里，最近提出的形式主义（arXiv：1303.0847 [hep-th]）的某些类别的对数理论的模块化属性进行审查，并完善，使用简单的例子。一个形式主义解决简单的当前扩展的融合规则也审查作为一种手段来解决对数理论，建议的模块化形式主义不直接适用。
2015-01-14 hep-th math-ph math.MP
Toward logarithmic extensions of ^sl(2)_k conformal field models
对于正整数p=k+2，通过取^sl（2）_k的三玻色子实现中的两个费米子屏蔽算子的核，构造了可积表示的^sl（2）_k共形场论的对数推广.作用于核的W-代数的电流W^-（z）和W^+（z）由维数为4p-2且电荷为2 p-1的最高权态和相同维数为4p-2且电荷为-2p+1的（θ =1）扭曲最高权态决定。我们构造了2 p个W-代数表示，并计算了它们的特征，证明了它们与p-1个可积表示特征一起生成了一个模群表示，其结构被描述为（9 p-3）维表示$R_{p-1} \oplus C^2 \tensor R_{p-1} \oplus R_{p-1} \oplus C^2 \tensor R_{p-1} \oplus C^3 \tensor R_{p-1}$的变形，其中R_{p-1}是可积表示特征上的SL（2，Z）-表示，R_{p-1}是（p+1）维SL（2，Z）-表示，Z）-表示已知的对数（p，1）模型。维数9 p-3实际上是环面振幅空间的维数，C^n（n=2和3）表示不可分解W-代数模中的Jordan胞腔大小。在哈密顿约化下，W-代数电流映射为对数（p，1）模型的三重态W-代数电流。
2007-04-15 hep-th math-ph math.MP
Grothendieck ring and Verlinde-like formula for the W-extended logarithmic minimal model WLM(1,p)
考虑W-扩张对数极小模型WLM（1，p）的融合代数的Grothendieck环.非正式地，这是W-不可约特征标的融合环，因此它对与可约但不可分解表示相关联的Jordan块结构是盲目的。在有理模型中，Grothendieck环由一个简单的图融合代数描述。正则表示的2 p维矩阵是可交换的，但不可对角化。它们通过来自全（3 p-1）维S-矩阵的模数据同时被带到Jordan形式，该S-矩阵包括p-1伪特征标的变换。的谱分解产生一个Verlinde的公式，显然是独立的模块参数$τ$，但事实上，相当于最近提出的Verlinde的公式由Gaberdiel和Runkel涉及$τ$依赖的S-矩阵。
2009-12-10 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
A new dynamical reflection algebra and related quantum integrable systems
本文提出了一个新的动力反射代数，它不同于以往的动力边界代数和半动力反射代数。相关的杨巴克斯特方程，相互作用，融合，和交换迹。给出了具体的例子，并构造了量子可积哈密顿量。它们表现出类似于Ruijsenaars-Schneider Hamilton算子的特征。
2020-09-23 hep-th math-ph math.MP
Fusion for the one-dimensional Hubbard model
我们讨论了可积模型的融合过程的一个公式，它适用于非标准R-矩阵。它允许的AdS/CFT世界面散射或等效的一维哈伯德模型的束缚态R-矩阵的建设。我们还讨论了在这些模型中出现的一些特殊情况。
2015-03-16 hep-th math-ph math.MP
New modular representations and fusion algebras from quantized SL(2,R) Chern-Simons theory
本文研究了环面拓扑空间流形上具有有理荷的$SL(2,R)$ Chern-Simons理论的正则量子化所产生的观测量的量子力学代数。我们产生的模块化表示概括的表示与$SU(2)$ WZW模型，我们表现出明确的多项式表示相应的融合代数。说明了有理水平最高权$\widehat{sl}(2)$表示与Kac-Wakimoto特征标的关系。1992年9月在科莫会议上发表的关于“可积量子场论”的演讲。
1993-01-11 hep-th math.QA
Resolving Verlinde's formula of logarithmic CFT
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文证明了对数Verlinde公式的普遍性，并通过单代数和sl₂的affine顶点代数的例子验证了其正确性。
2026-01-13 hep-th math-ph math.MP
