Stable symmetries of plane sextics
Alex Degtyarev
我们对具有简单奇点的不可约平面六次线的射影对称进行了分类，这些射影对称在等变变形下是稳定的。我们还概述了~2阶稳定对称和极大三角曲线之间的联系。
We classify projective symmetries of irreducible plane sextics with simple singularities which are stable under equivariant deformations. We also outline a connection between order~2 stable symmetries and maximal trigonal curves.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Lattice Zariski k-ples of plane sextic curves and Z-splitting curves for double plane sextics
简单六次曲线是一个简化的复杂的射影平面曲线的次数为6，只有简单的奇点。本文对沿单六次线分支的射影平面的双重覆盖引入Z-分裂曲线的概念，并利用Z-分裂曲线研究了单六次线的格Zaprikik-ples。我们定义了格型的特化，并将度小于或等于3的Z-分裂曲线的所有格型分类为特化。
Oka's conjecture on irreducible plane sextics. II
完成了关于不可约平面六次曲线的Alexander多项式的Oka猜想的证明。我们还计算了奇点邻近于$J_{10}$的不可约六次曲线的基本群。
Oka's conjecture on irreducible plane sextics
本文部分证明和部分反驳了Oka关于不可约平面六次曲线的基本群/Alexander多项式的猜想。在其他结果中，我们列举了所有不可约的六分线与简单的奇异承认二面角覆盖，并找到亚历山大等价Zagliki对不可约的六分线的例子。
Geography of irreducible plane sextics
完成了不可约奇异平面六次曲线的等奇异变形分类。作为一个副产品，我们还计算的基本群的补充，但一些最大化的六分线。
On plane sextics with double singular points
我们计算的基本群的五个最大化六分线与双奇点只有在四种情况下，集团是预期的。所使用的方法也适用于其他六分仪，因为他们的方程。
Supersingular K3 surfaces in odd characteristic and sextic double planes
证明了超奇异K3曲面对射影平面的双重覆盖是双有理的。
Plane sextics with a type $\mathbf{E}_6$ singular point
给出了等奇异变形的分类，并计算了具有$\mathbf{E}_6$型奇点的极大平面六次线的基本群。
Plane sextics via dessins d'enfants
本文发展了一种研究具有三重奇点的平面六次曲线的几何方法。作为应用，我们给出了所有具有$\bold E_7$型奇点的不可约极大六次线的一个显式几何描述，并计算了它们的基本群。所有被发现的群都是有限的，其中一个是非阿贝尔群。
Plane sextics with a type $\bold E_8$ singular point
我们构造了所有平面六次线的显式几何模型，并计算了它们的基本群，这些平面六次线只具有简单奇点和至少具有一个$\bold E_8$型奇点。特别是，我们发现了四个新的六次曲线与nonabel基本群，其中两个是不可约的。所发现的两个不可约六次曲线的群是有限的。所使用的主要工具是三角曲线的简化和Grothendieck的{ \it dessins d 'enfants}
Stability of pencils of plane sextics and Halphen pencils of index two
本研究从几何不变量理论角度探讨平面六次曲线束的稳定性，给出了指数为2的Halphen束稳定性的完整几何刻画，丰富了代数曲线束稳定性的研究成果。
A plane sextic with finite fundamental group
分析了基本群因子为$D_{14}$的不可约平面六次线。我们产生明确的方程的所有曲线，并表明，在最简单的情况下的一组奇点$3A_6$，该集团是$D_{14}\times Z_3$。
Real plane sextics without real points
本研究证明具光滑实部的简单实平面六次曲线的等奇异形变类型由实同调类型决定，并以此完成了实部为空的实平面六次曲线（含少量非简单情形）的等奇异形变分类。
On deformations of singular plane sextics
研究了具有简单奇点的复平面射影六次曲线的等奇异变形。证明了两条曲线变形等价的充要条件是对应的曲线对是双纯的。列举所有变形类的方法概述，并考虑了几个例子，包括经典的Zagliki对。
Irreducible plane sextics with large fundamental groups
我们计算每个重8或9的不可约六次线的补的基本群（在某种意义上，不可约六次线的最大群），以及它们的169个导数（既有环面型的，也有非环面型的）。我们还给出了一个详细的几何描述的重量八，九和他们的模空间和计算他们的亚历山大模块，后者被证明是免费的一个适当的环。
Explicit construction of a plane sextic model for genus-five Howe curves, I
本文为正特征域上亏格五的非超椭圆Howe曲线构造了显式平面六次模型，并确定了该模型的奇点。
The stratification by automorphism groups of smooth plane sextic curves
本文给出了特征p=0或p>21的代数闭域K上光滑平面六次曲线的自同构群列表。此外，我们分配给每个组一个几何完整的家庭在K上描述其相应的地层，即，一个通用的定义多项式方程的参数，使任何曲线在地层是K-同构的非奇异平面模型，通过专门化的值，这些参数在K上。
On the moduli space of semi-stable plane sheaves with Euler characteristic one and supported on sextic curves
研究复射影平面上支撑于六次曲线且具有欧拉示性数1的Gieseker半稳定层的模空间.我们确定所有这样的层的长度为1的局部自由分解。我们将模空间分解成若干层，这些层自然地作为某些代数群的模作用的子项出现。在某些情况下，我们给出具体的几何描述的地层。
On fake ES-irreducibile components of certain strata of smooth plane sextics
本文构造了首批伪ES-不可约分支的例子，并分类了仅具有阶数不超过3的自同构的光滑平面六次曲线的自同构群。
A nonspecial divisor in the moduli space of cubic fourfolds via 10-nodal plane sextics
本文通过研究10节点平面六次曲线，发现立方四维流形模空间中存在一个非诺特-勒夫施茨类型的不可约除子。
Parametric equations of plane sextic curves with a maximal set of double points
给出所有至多有双点且总米尔诺数最大（等于19）的不可约平面射影六次曲线的显式参数方程，找到最小可能次数数域上的参数化并选坐标使系数尽可能小。
On the number of moduli of plane sextics with six cusps
设S是具有六个尖点作为奇点的不可约六次曲线簇。设W是W的不可约分支之一。用M_4表示亏格4的平滑曲线的模空间，W的模映射是将对应于平面曲线D的W的一般点发送到参数化D的归一化曲线的M_4点的有理映射。根据定义，W的模数是W的像相对于模映射的维数。我们知道这个数最多等于7。本文证明了S的两个不可约分支的模的个数都恰好等于7。
Tritangents to smooth sextic curves
该研究针对光滑六次曲线的三重切线数量问题，证明了光滑平面六次曲线最多有72条三重切线，光滑实六次曲线的实三重切线最多为66条，为代数几何中曲线切线性质研究提供了明确的数量上界。
The classification of semi-stable plane sheaves supported on sextic curves
我们对复射影平面上维数为1重数为6的Gieseker半稳定层进行了分类。我们将它们的模空间分解成层，这些层自然地作为某些代数群的模作用而出现。在大多数情况下，我们给出了地层的具体几何描述。
Fundamental groups of symmetric sextics
本文研究模空间，计算了至少具有两个$\bold{E}_6$型奇点的环面型平面六次线的基本群。作为一个简单的应用，我们计算了其他125个六次曲线的基本群，其中大部分是新的。
A very special EPW sextic and two IHS fourfolds
我们证明了Vinberg $K3$曲面上两点的Hilbert格式在$\mathbb{P}^5$中有一个2：1映上一个非常对称的EPW六次$Y$上.四重$Y$沿着$60$平面是奇异的，其中$20$形成完整的入射平面族。这解决了Morin和O 'Grady的问题，并建立了$20$是这样的平面族的最大基数。其次，我们证明了这个Hilbert格式与[DW]中构造的Kummer型IHS四重$X_0$是双有理同构的。我们发现，$X_0$也与Debarre-Varley阿贝尔四重。
Tritangent planes to space sextics: the algebraic and tropical stories
讨论了一般标准六次曲线三点相切平面的计数问题。当这样的曲线是实数时，我们确定实三角形的个数。然后，我们重新审视曲线所构建的Emch与最大的已知数量的真正的tritangents，并反过来构建一条曲线与非常少的真正tritangents。利用最近的结果之间的关系代数和热带θ特性，我们表明，热带化的一个典型的六次曲线有15个三切平面。
Real Space Sextics and their Tritangents
三维空间中二次曲面与三次曲面的交线是亏格为4的标准曲线。它有120个复杂的三角形平面。我们提出的算法计算真正的tritangents，我们研究了相关的判别式。我们专注于空间六分线，从德尔佩佐表面的程度之一。它们在三个实点相切的平面的数量变化很大;可以达到0和120。这解决了Arnold Emch在1928年提出的一个问题。
Representation of non-special curves of genus 5 as plane sextic curves and its application to finding curves with many rational points
本文为亏格5非超椭圆非三叶草曲线提供有效参数化，并构造算法完整枚举有理点超过给定界限的此类曲线，在特征3素域上用MAGMA实现。
On irreducible sextics with non-abelian fundamental group
我们计算了所有不可约平面六次线$B\subset¶^2$的基本群$π=π_1(P^2\setminus B)$，这些六次线具有简单奇点，已知$π$允许二面角商$D_{10}$。所有发现的群都是有限的，其中两个是大的顺序：960和21600。
Threefolds Fibred by Mirror Sextic Double Planes
本文系统研究以镜像六次双平面K3曲面为纤维的三维簇，提出广义函数与同调不变量，构造Weierstrass形式及极小形式，并分析其奇异纤维、典范除子和Betti数。
On the automorphisms of some $K3$ surface double cover of the plane
本文研究光滑六次平面曲线上分歧的射影平面的双覆盖$K3$曲面的自同构群。更确切地说，我们研究的情况下，一个$K3$表面皮卡德秩2，使有一个有理曲线的曲线度$d$这是相切的六次曲线在$d$点。
Tropical methods for building real space sextics with totally real tritangent planes
本文利用热带几何的组合技术，通过热带三切平面的15个等价类及其提升性质，构造了具有64和120个全实三切平面的实空间六次曲线。
Pedal curves of conics: an automated exploration of some cubics, sextics, octics and more
本研究借助持续优化、已在多类软件中实现的自动化方法，探究圆锥曲线的垂足曲线，构造出经隐式化后为六次、八次及更高次的几何轨迹，并分析其不可约性与奇点特性。
Tritangents and Their Space Sextics
代数几何中的两个经典结果是：1次del Pezzo曲面的分支曲线可以嵌入为空间六次曲线，并且每条空间六次曲线恰好有120个与其奇theta特征相对应的三等分。在本文中，我们从计算的角度重新审视这两个结果。具体地说，我们给出了一个算法来构造空间六次曲线所产生的八点炸毁射影平面，并提供算法来计算的120个三角形和他们的Steiner系统的任何空间六次曲线。此外，我们开发了有效的逆上述方法。我们提出了一个算法，要么重建原来的八个点在射影平面从空间六次曲线或证明，这是不可能的。此外，我们还推广了Lehavi的一个构造，该构造从它的三角形和Steiner系统中恢复了一个空间六次曲线。本文中的所有算法都已在magma中实现。
Explicit construction of a plane sextic model for genus-five Howe curves, II
本文构造了属五非超椭圆 Howe 曲线的显式平面六次模型，确定其奇点一般为四个二重点，并结合已有结果证明存在具有不同二重点数的曲线族。
Projective models of the supersingular K3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 5
设X是特征为5且Artin不变量为1的超奇异K3曲面。那么X有一个极化，它把X实现为费马六次双平面。给出了X的一系列与该Fermat六次极化的相交数小于小于或等于5的2次极化，并给出了相应的投影模型的定义方程.我们还提出了一种方法来描述这些投影模型之间的双有理态射显式。作为副产品，一个非投射自同构的费马六次双平面得到。
A lifting partition theorem for tropical tritangent classes to smooth space sextic curves
本文研究了平滑空间六次曲线的热带三切线类的提升问题，证明了在一般情况下，只有六种可能的提升多重性分区源于三切线类的提升，且这些分区由合适的连通子复形的维度和特定组合类型热带切线的存在性决定。
Singular cubic fourfolds containing a plane
本文考虑含有一个平面的三次4-折叠，其判别曲线是一个约化节面六次曲线。特别是，我们描述了这样的三次4倍的奇点，我们给的自由阿尔贝群产生的余维2的代数循环的等价类的秩的估计。此外，我们描述了一些条件的几何的平面六次曲线，使所有相关的三次4倍是奇异的，我们构造了一族光滑有理三次4倍，其判别曲线是减少，但可约。
Symplectic isotopy of rational cuspidal sextics and septics
我们在复射影平面上对6次和7次有理尖点曲线进行了分类，直到辛合线。证明使用拓扑工具，pseudoholomorphic技术，和双有理变换。
Classical Zariski pairs
我们计算了构成经典Zebriki对的所有不可约平面六次线的基本群
Real Structures in the Moduli of Projective Models of K3-Surfaces
本文针对K3曲面射影模型模空间，开发适用于所有极化的实代表检测算法，解决空间四次曲面实可表示性问题，还重新探讨平面六次曲线的类似现象。
Classification of Projective Models of $K3$-surfaces
该研究拓展平面六次曲线与四次曲面的方法，开发统一框架对任意极化的K3曲面射影模型做等奇异形变分类，处理n≤4的2n次极化，为相关研究奠定基础。
Pairwise incident planes and hyperkaehler four-folds
我们解决以下问题：什么是极大有限族的成对入射平面在复射影空间的基数？人们很容易证明平面的跨度是5维或6维。直到射影有一个这样的家庭跨越一个6维射影空间-这是一个基本的结果。在5维射影空间中，成对入射平面的极大有限族是相当神秘的：它们与某些特殊的（EPW）六次超曲面相联系，这些超曲面具有非平凡的双重覆盖，一般是超凯勒4重。我们证明了这样一个集合的基数不能超过20。我们还表明，存在这样的家庭的基数16 -事实上，我们猜想，16是最大的。
Quadric surface bundles over surfaces and stable rationality
证明了有理曲面上一类广泛的二次曲面丛的稳定无理性的一般特化定理。作为应用，我们解决了除两种情况外，任何非常一般的复射影二次曲面丛在射影平面上的稳定合理性问题，由一个对称矩阵的齐次多项式。这两个例外退化的平面六次曲线和相应的双重覆盖是一个K3曲面。
On the Artal--Carmona--Cogolludo construction
本文导出了一些只含双奇点的不可约极大平面六次线的显式定义方程。对于大多数实曲线，我们还计算补曲线的基本群;所有找到的群都是阿贝尔群。作为一个副产品，在最强的可能意义上的Zagliki对的例子被构造。
On the Geometry of a Fake Projective Plane with $21$ Automorphisms
本文研究了具有21个自同构的假投影平面的几何结构，通过构造其在复射影空间中的嵌入，探讨了其线性系统和相关代数几何性质。
On the topological type of a set of plane valuations with symmetries
设$\{C_i : i=1,\ldots,r\}$是一组不可约平面曲线奇点。对于有限群$G$的作用，令$Δ^{L}(\{t_{a i}\})$是代数链$(\bigcup\limits_{i=1}^{r}\bigcup\limits_{a\in G}a C_i )\cap S^3_{\varepsilon}$的$r\vert G\vert$变量中的亚历山大多项式，并令$ζ(t_1,\ldots, t_r) = Δ^{L}(t_1,\ldots,t_1,t_2,\ldots,t_2, \ldots,t_r,\ldots,t_r)$在每个群中具有$\vert G\vert$相同的变量。(If $r=1$，$ζ(t)$是函数胚$\prod\limits_{a\in G} a^*f$的单值ζ函数，其中$f=0$是定义曲线$C_1$的方程。）我们证明了$ζ(t_1,\ldots, t_r)$决定了链路$L$的拓扑型。我们证明了一个类似的声明，平面divisorial估值制定的庞加莱系列的一组估值。
Detecting Symmetries of Rational Plane and Space Curves
本文讨论由有理参数化定义的平面或空间曲线的对称性的判定问题。我们提供了计算平面情况下对合和旋转对称性的有效方法。至于空间曲线，我们的方法发现在所有情况下的对合，和所有的旋转对称性的毕达哥拉斯速端曲线的特殊情况下。我们的算法解决这些问题，而不转换为隐式形式。相反，我们利用同一曲线的两个适当的参数化之间的关系，这导致只涉及一元多项式的算法。这些算法已在Sage系统中实现和测试。
Lie symmetries of the Chow group of a Jacobian and the tautological subring
设$J$为光滑射影曲线的雅可比矩阵。本文定义了平面上多项式Hamilton向量场的李代数在有理系数$J$的Chow群上的自然作用，在原点处为零。利用这个作用，我们得到了$J$上重言式圈之间的一些关系。
On ramified covers of the projective plane I: Segre's theory and classification in small degrees, with Appendix by Eugenii Shustin
研究了射影平面的分歧覆盖。给定一个光滑的射影曲面S和S到射影平面的一个一般的足够的投影，我们得到了这个平面在一条平面曲线上分歧的一个覆盖。分支曲线通常是奇异的，但传统上已知对于一般投影只有尖点和节点作为奇点。出现了几个问题。首先，在所有的尖点曲线中，分支曲线的地理特征是什么？第二：什么是分支曲线的几何形状？换句话说，如何区分具有相同数值不变量的分支曲线和非分支曲线？例如，已知一条具有六个尖点的平面六次曲线是一般投影的分支曲线当且仅当它的六个尖点位于一条圆锥曲线上，即，在平面上形成一个特殊的0-循环。我们首先回顾这两个问题的答案是什么已知的，提到简单的和一些非平凡的结果。我们继续研究经典工作的Beniamino塞格雷给出了一个完整的答案的情况下，第二个问题时，S是一个光滑的表面在三维射影空间。本文通过对奇异平面曲线B上0-圈的Picard群的研究，对Segre的工作给出了一种解释。我们还回顾了小度的例子。附录写的尤金舒斯汀表明存在许多新的Zagliki对平面曲线。我们希望继续这篇文章的推广光滑曲面的情况下，在任何尺寸的射影空间。
Foliations on the projective plane with finite group of symmetries
令$\mathcal{F}$表示$\mathbb{P}^2$上具有有限自同构群$\mbox{aut}(\mathcal{F})$的奇异全纯叶理。固定$\mathcal{F}$的度，我们确定$|\mbox{aut}(\mathcal{F})|$可以取的最大值，并显式地显示达到该最大值的所有叶理。此外，我们还对自同构群大而有限的叶理进行了分类。
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