Tritangents to smooth sextic curves
Alex Degtyarev
该研究针对光滑六次曲线的三重切线数量问题，证明了光滑平面六次曲线最多有72条三重切线，光滑实六次曲线的实三重切线最多为66条，为代数几何中曲线切线性质研究提供了明确的数量上界。
我们证明光滑平面六次曲线最多可有72条三重切线，而光滑实六次曲线最多可有66条实三重切线。
We prove that a smooth plane sextic curve can have at most 72 tritangents, whereas a smooth real sextic may have at most 66 real tritangents.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Real Space Sextics and their Tritangents
三维空间中二次曲面与三次曲面的交线是亏格为4的标准曲线。它有120个复杂的三角形平面。我们提出的算法计算真正的tritangents，我们研究了相关的判别式。我们专注于空间六分线，从德尔佩佐表面的程度之一。它们在三个实点相切的平面的数量变化很大;可以达到0和120。这解决了Arnold Emch在1928年提出的一个问题。
Tritangent planes to space sextics: the algebraic and tropical stories
讨论了一般标准六次曲线三点相切平面的计数问题。当这样的曲线是实数时，我们确定实三角形的个数。然后，我们重新审视曲线所构建的Emch与最大的已知数量的真正的tritangents，并反过来构建一条曲线与非常少的真正tritangents。利用最近的结果之间的关系代数和热带θ特性，我们表明，热带化的一个典型的六次曲线有15个三切平面。
Tritangents and Their Space Sextics
代数几何中的两个经典结果是：1次del Pezzo曲面的分支曲线可以嵌入为空间六次曲线，并且每条空间六次曲线恰好有120个与其奇theta特征相对应的三等分。在本文中，我们从计算的角度重新审视这两个结果。具体地说，我们给出了一个算法来构造空间六次曲线所产生的八点炸毁射影平面，并提供算法来计算的120个三角形和他们的Steiner系统的任何空间六次曲线。此外，我们开发了有效的逆上述方法。我们提出了一个算法，要么重建原来的八个点在射影平面从空间六次曲线或证明，这是不可能的。此外，我们还推广了Lehavi的一个构造，该构造从它的三角形和Steiner系统中恢复了一个空间六次曲线。本文中的所有算法都已在magma中实现。
Tropical methods for building real space sextics with totally real tritangent planes
本文利用热带几何的组合技术，通过热带三切平面的15个等价类及其提升性质，构造了具有64和120个全实三切平面的实空间六次曲线。
A lifting partition theorem for tropical tritangent classes to smooth space sextic curves
本文研究了平滑空间六次曲线的热带三切线类的提升问题，证明了在一般情况下，只有六种可能的提升多重性分区源于三切线类的提升，且这些分区由合适的连通子复形的维度和特定组合类型热带切线的存在性决定。
On initialized and ACM line bundles over a smooth sextic surface in $\mathbb P^3$
设$X \subset \mathbb P^3$是复数上次数为$6$的光滑超曲面.本文给出了$X$上秩为$1$的初始丛和ACM丛关于$X$的光滑超平面截面所给出的线丛的一个刻划.
On fake ES-irreducibile components of certain strata of smooth plane sextics
本文构造了首批伪ES-不可约分支的例子，并分类了仅具有阶数不超过3的自同构的光滑平面六次曲线的自同构群。
The stratification by automorphism groups of smooth plane sextic curves
本文给出了特征p=0或p>21的代数闭域K上光滑平面六次曲线的自同构群列表。此外，我们分配给每个组一个几何完整的家庭在K上描述其相应的地层，即，一个通用的定义多项式方程的参数，使任何曲线在地层是K-同构的非奇异平面模型，通过专门化的值，这些参数在K上。
Double EPW sextics associated to Gushel-Mukai surfaces
本文刻画了相伴双EPW六次超曲面光滑的K3曲面，并由此在某些光滑双EPW六次超曲面上构造辛作用，同时给出Gushel-Mukai簇自同构群的界。
Potential density of rational points on sextic double solids
本文构造了特征零域上光滑六次双固体的例子，证明其有理点集合具有潜在稠密性。
Counting conics on sextic 4-folds
研究光滑六次四重曲线上的二次有理曲线，并利用Calabi-Yau四重曲线的Donaldson-Thomas理论定义了它们的计数不变量.通过与相应的Gromov-Witten不变量的比较，验证了作者、Maulik和Toda提出的它们之间的一种拓扑关系。
Conics in sextic $K3$-surfaces in $\mathbb{P}^4$
本文确定$\mathbb{P}^4$中光滑六次$K3$曲面所含圆锥曲线至多285条、实情形下实圆锥曲线至多261条，且两种极值构型中的圆锥曲线均不可约。
Affine cubic surfaces and relative SL(2)-character varieties of compact surfaces
一类自然的仿射三次曲面是由四孔球面和单孔环面的SL（2）-特征标产生的。理想的轨迹是一个三角形平面，它在无穷远处的三次曲线由三条两两相交于三个二重点的直线组成的意义上是通用的。证明了在无穷远处光滑的仿射三次曲面的理想轨迹是一般三切平面，它是四孔球面的相对SL（2）特征簇.每一个这样的仿射三次体，其所有三切平面的周期自同构都延伸到三次体的自同构，作为一个1-孔环面的相对SL（2）-特征标簇出现。
Real plane sextics without real points
本研究证明具光滑实部的简单实平面六次曲线的等奇异形变类型由实同调类型决定，并以此完成了实部为空的实平面六次曲线（含少量非简单情形）的等奇异形变分类。
K-stability and space sextic curves of genus three
本文研究沿亏格3光滑六次曲线吹张三维射影空间得到的法诺三维簇，构造了其新K-稳定实例，并刻画了所有可忠实作用于其上的有限群。
Birational geometry of sextic double solids with a compound $A_n$ singularity
研究具有孤立复合 $A_n$ 奇点的六次双重立体的双有理几何，证明精确界限 $n \leq 8$，明确描述各 $n$ 的模型，并证明 $n > 3$ 时为双有理非刚性。
On the number of moduli of plane sextics with six cusps
设S是具有六个尖点作为奇点的不可约六次曲线簇。设W是W的不可约分支之一。用M_4表示亏格4的平滑曲线的模空间，W的模映射是将对应于平面曲线D的W的一般点发送到参数化D的归一化曲线的M_4点的有理映射。根据定义，W的模数是W的像相对于模映射的维数。我们知道这个数最多等于7。本文证明了S的两个不可约分支的模的个数都恰好等于7。
Irreducibility of moduli of vector bundles over a very general sextic Surface
本文证明了在$\mathbb{P}^3$中非常一般的六次光滑超曲面上，具有特定陈类条件的$μ$-稳定秩2无挠层模空间是不可约的。
Sextic variety as Galois closure variety of smooth cubic
设V是n维非奇异射影代数簇.假设存在一个非常充分的除数D使得D^n=6且dim H^0（V，O（D））=n+3。然后，（V，D）定义了一个D 6-Galois嵌入当且仅当它是P^{n+1}中光滑三次曲面关于适当投影中心的Galois闭包簇，使得P^{n+1}的超平面的拉回与D线性等价.
Hodge Structures in Sextic Fourfolds Equipped with an Involution
研究六次四维流形上的Hodge结构，通过Shioda构造和involution作用，探讨Hodge子结构的性质及Waring秩最小情况下的验证。
Cyclic Automorphisms groups of genus 10 non-hyperelliptic curves
本文给出了循环自同构子群$H$中存在光滑射影非超椭圆六次曲线$C$且满足$H\preceq Aut(C)$的所有循环自同构子群。此外，我们附加到每个组的一个定义方程的平面六次曲线，正是有这个组的循环自同构子群。这些方程同构地覆盖了所有具有非平凡自同构的平面非奇异六次曲线。
On deformations of the surfaces of bitangents to smooth quartic surfaces in $\mP^3$
本文证明一般光滑四次曲面的双切线曲面具有 20 维无阻碍形变，其无穷小形变包含原四次曲面的形变，并构造了从 EPW 六次曲面二重覆盖模空间到特定正则曲面模空间的双有理映射。
On the automorphisms of some $K3$ surface double cover of the plane
本文研究光滑六次平面曲线上分歧的射影平面的双覆盖$K3$曲面的自同构群。更确切地说，我们研究的情况下，一个$K3$表面皮卡德秩2，使有一个有理曲线的曲线度$d$这是相切的六次曲线在$d$点。
A remark on a Nagell-Lutz type statement for the Jacobian of a curve of genus 2 and a (2, 3, 6) quasi-torus decomposition of a sextic with 9 cusps
在本文中，与Nagell-Lutz定理类似的陈述对于$\mathbb{C}(t)$上亏格为2的某条曲线的雅可比矩阵不成立。作为副产品，我们给出了光滑三次曲线的对偶曲线的（2，3，6）拟环面分解。
Singular cubic fourfolds containing a plane
本文考虑含有一个平面的三次4-折叠，其判别曲线是一个约化节面六次曲线。特别是，我们描述了这样的三次4倍的奇点，我们给的自由阿尔贝群产生的余维2的代数循环的等价类的秩的估计。此外，我们描述了一些条件的几何的平面六次曲线，使所有相关的三次4倍是奇异的，我们构造了一族光滑有理三次4倍，其判别曲线是减少，但可约。
Sur l'espace des modules des fibres vectoriels de rang 3 sur une courbe de genre 2 et la cubique de Coble
本文证明了亏格为2的曲线X上具有平凡行列式的半稳定秩为3的向量丛的模空间SU_X（3）的一个猜想。多尔加切夫给定X是亏格为2的光滑射影曲线，|3Θ|、A. Coble在20世纪初证明了，存在唯一的三次超曲面C，|3Θ| * \simeq P^8，JX[3]-沿JX不变且奇异。另一方面，我们有一个从SU_X（3）到|3Θ|，沿六次超曲面B分歧。Dolgachev猜想肯定了六次B是Coble三次C的对偶簇。
Classification of sextic curves in the Fano 3-fold $\mathcal{V}_5$ with rational Galois covers in ${\mathbb P}^3$
本文对法诺三维簇 $\bf \text{ℱ}_5$ 中具有复射影空间 ${\bf \text{ℙ}}^3$ 有理伽罗瓦覆盖的六次曲线分类，证明其模空间为复二维，并提出通过伽罗瓦覆盖理解该模空间的问题。
Sixty-Four Curves of Degree Six
本文对实射影平面上的六次平滑曲线进行了计算研究。在Rokhlin-Nikulin分类中，有56个拓扑型，细化为64个刚性合痕类。我们开发了一个软件，可以确定给定六次曲线的拓扑型，并用它来计算各种类型的经验概率分布。我们列出64个明确的代表与整数系数，我们扰动这些从每个类中抽取许多样本。这允许我们探索有多少双切线、拐点和张量特征向量是实数。我们还研究了真正的张量秩，建设的四次曲面与规定的拓扑结构，和避免轨迹，这是所有真正的线，不满足给定的六次曲线的轨迹。这是由对偶曲线限定的最多46个凸区域的并集。
Schur-finiteness (and Bass-finiteness) conjecture for quadric fibrations and for families of sextic du Val del Pezzo surfaces
设Q -> B是二次纤维化曲面，T -> B是六次du Val del Pezzo曲面族.利用最近的非对易混合动机理论，我们建立了关于Q的Schur有限性猜想和关于Q的Schur有限性猜想之间的精确关系。和B的Schur有限性猜想。作为应用，我们分别证明了关于Q的Schur有限性猜想。对于T，当B是低维时。在此过程中，我们得到了两个或三个二次超曲面的光滑完全相交的舒尔有限性猜想的证明。最后，我们证明了类似的结果Bass有限性猜想。
Stubborn Polynomials
研究顽固多项式在实代数几何中的性质，证明三元六次多项式非负当且仅当其实delta不变量至少为9。
Quasi-Galois points, II: Arrangements
本文研究了光滑平面曲线的准伽罗瓦点数量，特别特征化了具有众多准伽罗瓦点的六次或四次曲线。
On the Monodromy and Period Map of the Winger Pencil
在二十面体群在射影平面上的标准作用下不变的六次平面曲线组成了一束亏格为10的曲线（由六条直线和三次二次曲线之和构成）。这支铅笔最初是在R. M.~ 1925年以他的名字命名，现在以他的名字命名。我们给了这个一个现代的治疗和证明，除其他事项外，它基本上包含每一个光滑的亏格十曲线与二十面体对称。我们在这里考虑单值群和自然定义的二十面体对称的周期映射。我们证明了这个单值群是$\SL_2(\Zds[\sqrt{5}])$中有限指数的子群，并且周期映射使Winger束成为Hilbert模曲面$\SL_2(\Zds[\sqrt{5}])/\Hds^2$上的一条曲线.
Bad reduction of genus $3$ curves with complex multiplication
设$C$是数域$M$上光滑的、绝对不可约的亏格- $3$曲线.假设$C$的雅可比矩阵与六次CM-域$K$有复乘。进一步假设$K$不包含虚二次子域。给出了$M$的素数$\mathfrak{p}$的一个界，使得$C$在$\mathfrak{p}$的稳定约化包含亏格$1$的三个不可约分支.
Quasi-projective varieties whose fundamental group is a free product of cyclic groups
本文研究基本群为循环群自由积的光滑复拟射影曲面，证明了到光滑复拟射影曲线的容许映射的存在性及对应纤维的加减引理，还推广了相关经典曲线结果，展现了该现象的普遍性。
On ramified covers of the projective plane I: Segre's theory and classification in small degrees, with Appendix by Eugenii Shustin
研究了射影平面的分歧覆盖。给定一个光滑的射影曲面S和S到射影平面的一个一般的足够的投影，我们得到了这个平面在一条平面曲线上分歧的一个覆盖。分支曲线通常是奇异的，但传统上已知对于一般投影只有尖点和节点作为奇点。出现了几个问题。首先，在所有的尖点曲线中，分支曲线的地理特征是什么？第二：什么是分支曲线的几何形状？换句话说，如何区分具有相同数值不变量的分支曲线和非分支曲线？例如，已知一条具有六个尖点的平面六次曲线是一般投影的分支曲线当且仅当它的六个尖点位于一条圆锥曲线上，即，在平面上形成一个特殊的0-循环。我们首先回顾这两个问题的答案是什么已知的，提到简单的和一些非平凡的结果。我们继续研究经典工作的Beniamino塞格雷给出了一个完整的答案的情况下，第二个问题时，S是一个光滑的表面在三维射影空间。本文通过对奇异平面曲线B上0-圈的Picard群的研究，对Segre的工作给出了一种解释。我们还回顾了小度的例子。附录写的尤金舒斯汀表明存在许多新的Zagliki对平面曲线。我们希望继续这篇文章的推广光滑曲面的情况下，在任何尺寸的射影空间。
Double covers and extensions
在本文中，我们考虑双覆盖的射影空间的问题，扩大品种，特别是扩张的标准曲线的$K3$表面和法诺3倍。特别是，我们认为$K3$表面是双覆盖的平面分支的一般六次曲线：我们证明了一般曲线的线性系统拉回平面曲线的程度$k\geq 7$在于一个唯一的$K3$表面。如果$k\leq 6$，则一般的这样的曲线反而可扩展到更高维的簇。在$k=4,5,6$的情形下，这给出了分别维数为8，5，3和亏格为17，26，37的奇异指数$k$ Fano簇的存在性。对于$k = 6$，我们恢复的法诺品种$\mathbf{P}(3, 1, 1, 1)$，只有两个法诺三倍典型Gorenstein奇点与最大的亏格37，发现Prokhorov。我们表明，后者品种是没有进一步的可扩展性。对于$k=4$和$5$，这些Fano品种已由Totaro鉴定。我们还研究了亏格为3的$K3$曲面的光滑度为2的截面的扩张。在所有这些情况下，我们计算co-rank的高斯-Wahl映射的曲线正在考虑。最后，我们观察到，线性系统的双重覆盖的射影平面提供了过剩的对数塞维品种。
Monodromy and period map of the Winger Pencil
在二十面体群在射影平面上的标准作用下不变的六次平面曲线组成了一束亏格为10的曲线（由六条直线和三次二次曲线之和构成）。这支铅笔最初是在R. M.~ 1925年以他的名字命名，现在以他的名字命名。第二作者最近给了这一个现代的治疗和证明，除其他事项外，它基本上包含每一个顺利的属十曲线与二十面体对称。我们在这里表明，这样的曲线的雅可比矩阵包含一个椭圆曲线的张量积与一定的整表示的二十面体组。我们发现，椭圆曲线来与一个独特的点的顺序$3$，证明了单值在这部分的同调是全同余子群$Γ_1(3)\subset \SL_2(\Zds)$，并随后确定基地的铅笔与相关的模曲线。我们还观察到，温格铅笔'帐户'的变形的雅可比的Bring的曲线作为一个主要的阿贝尔四倍的行动的二十面体群。
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