Linking integrals in the n-sphere
Dennis DeTurck, Herman Gluck
设K和L是n-球面的不相交闭定向子流形，维数之和为n-1。我们定义了一个从它们的连接K*L到n球面的映射，该n球面的度数等于它们的环绕数，然后用它来找到所需的环积分。
Let K and L be disjoint closed oriented submanifolds of the n-sphere, with dimensions adding up to n-1. We define a map from their join K*L to the n-sphere whose degree up to sign equals their linking number, and then use this to find the desired linking integral.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Gauss linking integral on the 3-sphere and in hyperbolic 3-space
本文给出了三维球面和三维双曲空间中的连接、扭曲、扭动和螺旋度的显式积分公式。这些公式，就像它们在欧几里得三维空间中的原型一样，是几何的而不仅仅是拓扑的，在这个意义上，它们的被积函数在周围空间的方向保持等距下是不变的。它们是通过在这两个空间中开发并应用经典电动力学的稳态版本获得的，包括明确的磁场Biot-Savart公式和麦克斯韦方程中包含的相应安培定律。毕奥-萨伐尔公式导致，反过来，上界的螺旋度的向量场和下界的第一个特征值的旋度算子的子域的3球和双曲3空间。我们只给出一个证据的提示。
Linking topological spheres
存在拓扑嵌入$ι:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}^5$，使得$π_3(\mathbb{R}^5\setminusι(\mathbb{S}^1))=0$。因此，没有$3$ -球可以与$ι(\mathbb{S}^1)$连接。
Linking numbers in rational homology 3-spheres, cyclic branched covers and infinite cyclic covers
本文研究了有理同调三维球面和纽结的补的无限循环覆盖中的环绕数。它们分别取$\Bbb Q$和${Q}({\Bbb Z}[t,t^{-1}])$中的值，其中${Q}({\Bbb Z}[t,t^{-1}])$表示${\Bbb Z}[t,t^{-1}]$的商字段。已知有理同调3-球面中的模- $\Bbb Z$连接数由框架连接的连接矩阵决定，纽结的补的无限循环覆盖中的模- ${\Bbb Z}[t,t^{-1}]$环绕数由纽结的Seifert矩阵决定.我们去掉了“modulo $\Bbb Z$”和“modulo ${\Bbb Z}[t,t^{-1}]$”。当纽结上分支的3-球面的有限循环覆盖是有理同调3-球面时，3-球面中链环的原像对的环绕数由纽结的Goeritz/Seifert矩阵决定.
Higher-dimensional linking integrals
我们导出了n-球面S^n的两个子流形、乘积S^n x R^m的子流形以及其他在欧几里得空间中表现为“漂亮”超曲面的流形的环绕数的积分公式。这些公式具有几何意义，因为它们在环境空间上的特殊正交群的作用下是不变的。
Electrodynamics and the Gauss Linking Integral on the 3-Sphere and in Hyperbolic 3-Space
在这第一个两篇论文中，我们开发了一个稳态版本的经典电动力学的3-球和双曲3-空间，包括一个明确的矢量值格林算子的公式，一个明确的公式的Biot-Savart型的磁场，和相应的安培定律包含在麦克斯韦方程。然后，我们使用这个来获得明确的积分公式的环绕数的两个不相交的闭曲线在这些空间。所有的公式，就像它们在欧几里得三维空间中的原型一样，是几何的而不仅仅是拓扑的，在这个意义上，它们的被积函数在周围空间的方向保持等距下是不变的。在第二篇文章中，我们得到了扭曲、扭曲和螺旋度的积分公式，并证明了在三维球面和三维双曲空间中的定理LINK = TWIST + WRITHE。然后，我们使用这些结果推导出的上界的向量场的螺旋和下界的第一特征值的旋度算子的子域上这两个空间。这些结果的大部分公告，以及它们的证明的提示，可以在Math ArXiv，math.GT/0406276中找到。
Linking, twisting, writhing and helicity on the 3-sphere and in hyperbolic 3-space
本文给出了三维球面和三维双曲空间中扭曲、扭动和螺旋度的显式等距不变积分公式，并证明了定理LINK = TWIST + WRITHE。然后，我们使用这些结果推导出的上界的向量场的螺旋和下界的第一特征值的旋度算子的子域上这两个空间。
Linking forms revisited
证明了有理同调球面上的$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$值连接形式是（反）对称的，并计算了三维有理同调球面上的连接形式的Heegaard分裂.这两个结果或多或少都是已知的，但在文献中很难找到严格的实际证明。
Linking coefficients and the Kontsevich integral
本文给出一个一般公式，将链环数和加框的任意幂次乘积表示为Kontsevich积分中系数的组合，从而可用链环系数表示给定次数的所有系数之和，证明是纯组合的。
Knotting and linking in 4 and 5 dimensions from barbell diffeomorphisms
本文通过双耳微分同胚构造了无限多个非同胚的3结，每个具有四个临界点，反驳了Scharlemann定理，并解决了Budney和Gabai关于存在结状处理体的猜想最后情况。
Pontryagin invariants and integral formulas for Milnor's triple linking number
对于3-球面中的每个三分量链，我们关联了一个从3-环面到2-球面的几何自然特征映射，并证明了将链分类为链同伦的成对链接数和Milnor三元环绕数对应于将其特征映射分类为同伦的Pontryagin不变量.这可以被看作是一个熟悉的事实，即在3-空间中的两个组件链接的环绕数是它的相关高斯映射从2-环面到2-球面的程度的自然扩张。当两两联结数均为零时，给出了一个类似于两两环绕数的高斯积分的三重环绕数的积分公式.这个公式中的被积函数在几何上是自然的，因为它在3-球面的保持方向的刚性运动下是不变的，而积分本身可以被看作是3-环面上相关向量场的螺旋度。
Triple linking numbers, ambiguous Hopf invariants and integral formulas for three-component links
约翰·米尔诺（John Milnor）在1954年发表的高级论文中将3维球体中的三分量链归类为链同伦。一个完整的不变量集由组成部分的成对环绕数p、q和r以及另一个整数μ的剩余类给出，该整数μ是标题中的“三重环数“，它是以p、q和r的最大公因数为模定义的。对于每一个这样的链环L，我们将一个从3-环面到2-球面的几何自然特征映射g_L以这样的方式联系起来，使得L的链环同伦成为g_L的同伦。映射的3-torus的2球被归类为同伦的列夫庞特里亚金在1941年。一个完整的不变量集由它们对二维坐标子环面的限制度p、q和r以及另一个整数nu的剩余类给出，nu是一个“模糊的Hopf不变量”，它是p、q和r的最大公因数的两倍的模。证明了L的分支的成对环绕数p，q和r等于其特征映射g_L限制在二维子环面上的次数，并且证明了L的2倍Milnor μ-不变量等于g_L的Pontryagin μ-不变量.当p、q和r都为零时，mu-和nu-不变量是普通整数。在这种情况下，我们使用J.H. C.怀特黑德的霍普夫不变量的积分公式，适用于3-环面到2-球面的映射，连同3-环面上的标量拉普拉斯算子的基本解的公式作为三个变量的傅里叶级数，提供了nu的显式积分公式，从而为mu。
The Two Eyes Lemma: a linking problem for horoball necklaces
在我们研究低容量双曲三维流形的过程中，我们遇到了$\mathbb{H}^3$中horoball项链的连接问题。一个Horoball项链是一组连续相切的胡须（即球体），内部不相交，位于一个平面上，每个珠子的直径最多为1，并且与桌子相切。在这篇文章中，我们分析了一个8珠项链连接在桌子上另外两个直径为1的球体上的可能构型。我们表明，所有的珠子被迫有直径1，两个链接的领域是相切的，每个珠子必须亲吻（即相切）至少有一个两个链接的领域。事实上，存在一个单参数族的不同配置。
Triple torsion, triple cup products, and embedding obstructions for rational homology 3-spheres
本文通过挠-链环对偶将Freedman-Krushkal的三重挠形式与模p三重杯积等同，利用Milnor不变量给出符号公式，并构造具有任意模p三重杯张量的有理同调3-球面，最终证明存在无局部平坦嵌入S^4的有理同调3-球面。
A triple torsion linking form and 3-manifolds in $S^4$
本文在有理同调3-球面上引入三重环绕形式，并利用Matsumoto的高阶相交形式将其与单连通4-流形边界联系起来，从而为$S^4$中的有理同调球面建立新的嵌入障碍，推广了Hantzsche的经典定理。
Framing and the Self-Linking Integral
非框架纽结的高斯自连接积分不是纽结不变量，但可以通过增加一个修正项将其转化为纽结不变量，这需要在纽结上增加额外的结构。我们收集了关于这个校正项的不同定义/定理/证明，其中大部分是众所周知的（至少是民间传说），并将所有内容以可访问的格式放在一起。然后，我们简单而优雅地展示了这些方法是如何重合的。
The SU(3) Casson Invariant for Integral Homology 3-Spheres
我们导出了一个积分同调3-球面的规范理论不变量，该不变量计算了不可约、受扰平坦SU（3）联络的规范轨道，其符号由谱流给出。为了补偿这个和对扰动的依赖，不变量包括来自可约的扰动平坦轨道的贡献。我们的修正项公式推广了Walker将Casson的SU（2）不变量推广到有理同调3-球面的公式。
A geometric interpretation of Milnor's triple linking numbers
Milnor的三重环绕数的一个链接在3球的几何解释的塞弗特表面的组件的链接的交叉点的模式。当两两环绕数为零时，将已知的公式推广为三重点的代数计数。
Intrinsic linking of a simplicial $n$-complex embedded in $\mathbb{R}^{2n}$
研究证明在任何嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$ 中，最小的 simplicial $n$-复形必然包含一个不可分割的两组件链接，由一个 $(n-1)$-球面和一个 $n$-球面组成，扩展了非分离平面图的高维泛化。
Defining an SU(3)-Casson/U(2)-Seiberg-Witten integer invariant for integral homology 3-spheres
Boden-Herald研究的积分同调3-球面的SU（3）-Casson不变量具有一个“谱流障碍”，使其成为只依赖于平坦SU（3）-联络的非退化（扰动）模空间的整数值不变量。这个障碍是一个家庭的扭曲签名运营商在3维的非平凡的频谱流。平行U（2）-Seiberg-Witten构造也有一个障碍，但来自一族扭曲Dirac算子的非平凡谱流。通过同时求解SU（3）-平坦方程和U（2）-Seiberg-Witten方程，可以消去障碍，得到一个整数不变量。
A monopole homology of integral homology 3-spheres
对于一个积分同调3-球面$Y$，我们给出了一个定义良好的$\Z$ -分次同调$MH_*(Y, I_{\e}(\T; \e_0))$，它的构造原则上遵循瞬子Floer理论，依赖于谱流$I_{\e}(\T; \e_0)$，其中$\T$是Seiberg-Witten方程在$Y$上的唯一U（1）-可约阶，$\e_0$是一个参考扰动数据.该定义利用了Seiberg-Witten在研究光滑4-流形时引入的$Y \x \R$上的单极模空间。证明了具有相同$I_{\e}(\T; \e_0)$的黎曼度量之间的同调$MH_*(Y, I_{\e}(\T; \e_0))$是不变的.这为积分同调3-球的双同调提供了一个类似腔室的结构。指定的函数$MH_{SWF}: \{I_{\e}(\T; \e_0)\} \to \{MH_*(Y, I_{\e}(\T; \e_0))\}$是一个拓扑不变量（如Seiberg-Witten-Floer理论）。
Intrinsic linking of simplicial $n$-complexes in $\mathbb{R}^{2n}$: An additional minimal $n$-complex
本文构造了一个额外的单纯 $n$-复形，该复形在任意嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$ 时必然包含一个不可拆分的两分支链环（由 $(n-1)$-球面和 $n$-球面组成），扩展了作者之前的最小 $n$-复形系列。
Generalized Gauss maps and integrals for three-component links: toward higher helicities for magnetic fields and fluid flows, Part 2
我们描述了一种新的方法，三重连接不变量和积分，旨在更简单，更广泛和更自然的适用性，以寻找高阶螺旋的流体流动和磁场。对于欧氏空间中的每一个三分量链，我们将一个从3-环面到2-球面的几何上自然的广义Gauss映射联系起来，并证明了将链分类到链同伦的成对环绕数和Milnor三元环绕数对应于将其广义Gauss映射分类到同伦的Pontryagin不变量.这可以被看作是一个熟悉事实的自然扩张，即三维空间中一个二元链的环绕数是它从2-环面到2-球面的高斯映射的次数。当两两环绕数均为零时，我们给出了一个类似于两两环绕数的Gauss积分的三重环数的积分公式，但仿照J.H.C. Whitehead's integral formula for the Hopf invariant.该公式中的被积函数在三维空间中保持方向不变的刚体运动下是几何上自然的，而积分本身可以看作是三维环面上相关向量场的螺旋度。在本系列的第一篇论文[math.GT 1101.3374]中，我们对3-球面中的三分量连杆进行了此操作。Komendarczyk应用这种方法在特殊情况下，推导出一个高阶螺旋度的磁场，其普通螺旋度为零，并获得从这个非零的下界的字段能量。
A Natural Framing for Asymptotically Flat Integral Homology 3-Sphere
对于渐近平坦地嵌入欧几里得空间中的积分同调3-球面，我们发现了一个自然的框架，扩展了标准平凡化的渐近平坦部分。
Integral structure of the skein algebra of the 5-punctured sphere
该研究针对五穿孔球面的Kauffman括号skein代数，在任意交换幺环的条件下给出了其显式表示，推进了相关拓扑代数结构的研究。
Non L-space integral homology 3-spheres with no nice orderings
本文给出了无穷多个非L-空间不可约整数同调3-球面的基本群不具有非平凡$\widetilde{PSL_2(\mathbb{R})}$表示的例子。
Vassiliev measures of complexity for open and closed curves in 3-space
在这篇手稿中，我们定义了3-空间中开曲线的复杂性的瓦西里耶夫措施。这些都与3-空间中开曲线的增强琼斯多项式的系数有关。这些Vassiliev度量是曲线坐标的连续函数，并且由于曲线的两端趋于重合，因此它们收敛于所得结的相应Vassiliev不变量。我们专注于第二个Vassiliev措施，从增强琼斯多项式的封闭和开放的曲线在3-空间。对于闭曲线，第二个Vassiliev测度可以通过高斯码图计算，并且它具有积分公式，即双重交替自连接积分。在三维空间中，二重交替自链接积分是闭曲线的拓扑不变量，是开放曲线坐标的连续函数。对于多边形曲线，二重交替自连接积分得到了一个更简单的几何概率表达式。对于四边多边形曲线，二重交替自连接积分与在任意投影方向上获得拟结点k2.1的符号几何概率一致。
Construction of an invariant for integral homology 3-spheres via completed Kauffman bracket skein algebras
利用完备的skein代数和Heegaard分裂构造了整同调$3$ -球面$M$的不变量$z (M) =1+a_1(A^4-1)+ a_2(A^4-1)^2+a_3(A^4-1)^3 + \cdots \in \mathbb{Q} [[A^4-1]]= \mathbb{Q} [[A+1]]$.不变量$z(M)\mathrm{mod} ((A+1)^{n+1}) $是阶为$n$的有限型不变量。特别地，$-a_1/6$等于卡森不变量。如果$M$是庞加莱同调3-球面，则$(z(M))_{|A^4 =q} \mod (q+1)^{14} $是$M$的Ohtsuki级数。
Modular integrals for individual modular knots
本文为每个模结构造权2的模积分，其循环积分恢复环绕数，回答Choie-Zagier问题并实现Duke-Imamoglu-Tóth未实施的方法，从而以模积分解答Ghys的成对环绕数问题。
Triple linking and rational homology cobordism
本文研究了有理同调3球面与有理同调4球体之间的关系，证明了在特定条件下三重 torsion linking form 在特定子空间上消失，并提出了关于拓扑有理同调柄饰的问题。
On the quantum sl_2 invariants of knots and integral homology spheres
我们将公布关于纽结和积分同调球的量子sl_2不变量的一些结果。节点的劳伦斯泛sl_2不变量取sl_2的量化包络代数的h-adic版本的中心的相当小的子代数中的值。这意味着一个完整的结果上的有色琼斯多项式的一个结。本文定义了整同调球面的一个不变量，它的值在整数上的一元Laurent多项式环的完备化中，它专门研究Witten-Reshetikhin-Turaev不变量的单位根.该不变量的定义为整同调球面的Witten-Reshetikhin-Turaev不变量提供了一个新的定义。
Existence of Taut foliations on Seifert fibered homology 3-spheres
本文讨论了三维流形中张紧叶理的存在性问题。自从David Gabai的贡献以来，我们知道具有非平凡第二同调群的闭三维流形允许一个拉紧的叶理。本文的核心部分是研究Seifert纤维同调3-球面。如果它们是积分的或有理但非积分的同调3-球面，则结果完全不同。关于积分同调3-球面，我们证明了除了3-球面和Poincaré 3-球面之外，所有的3-球面都有紧的叶理。关于非整同调3-球面，我们证明了有无穷多个球面允许有拉紧叶理，也有无穷多个球面不允许有拉紧叶理。此外，我们表明，几何形状不确定存在的紧张叶理的非整塞弗特纤维同源3-球。
Intrinsic linking with linking numbers of specified divisibility
令$n$，$q$和$r$是正整数，并令$K_N^n$是$(N-1)$ -单纯形的$n$ -骨架.我们发现，对于$N$足够大的每一个嵌入的$K_N^n$在$\mathbb{R}^{2n+1}$包含一个链接$L_1\cup\cdots\cup L_r$组成的$r$不相交的$n$ -领域，使链接数$link(L_i,L_j)$是一个非零倍的$q$的所有$i\neq j$。这一结果在经典情形$n=1$（图嵌入在$\mathbb{R}^3$中）以及高维情形$n\geq 2$中都是新的;由于它意味着存在一个链接$L_1\cup\cdots\cup L_r$，使得对于所有$i\neq j$都存在$|link(L_i,L_j)|\geq q$，它也将Flapan等人的结果从$n=1$推广到高维。此外，对于$r=2$，我们得到了一个改进的上限上所需的顶点数，迫使一个两个组件的链接$L_1\cup L_2$，使$link(L_1,L_2)$是一个非零倍的$q$。我们的新边界具有增长$O(nq^2)$，与之前的增长$O(\sqrt{n}4^nq^{n+2})$边界相反。
A characterisation of S^3 among homology spheres
我们证明了一个整同调3-球面是S^3当且仅当它允许四个奇素数阶的周期同同态，其轨道空间是S^3。作为应用，我们证明了一个非S^3的不可约整同调球面是S^3中至多有4个纽结的奇素数级循环分支覆盖。还得到了作用在整同调球面上的奇阶有限群的结构的一个结果。
Surgery Obstructions for Seifert Fibered Homology Spheres
我们检查手术结在$S^3$，以确定手术障碍塞弗特纤维积分同源球。我们发现这样的手术障碍使用Heegaard弗洛尔，结弗洛尔同调和映射锥公式计算Heegaard弗洛尔同调的手术结。然而，在这里，我们采取不同的方法，并使用塞弗特纤维积分同调球，这是环形结构的奇异纤维的数量，以找到障碍。这种方法使我们能够证明，属一结不能产生塞弗特纤维积分同源球与六个或更多的奇异纤维。还提出了一些其他障碍，为更高的属结。
Refined Kirby calculus for integral homology spheres
柯比的一个定理指出，如果三球面中的两个框架连杆通过一系列稳定和滑动运动相关联，则它们产生保向同胚的手术结果。本文的目的是双重的：首先，我们给出了一个充分条件的序列的一个系列的框架杆上的双滑动能够被替换为序列的代数取消对双滑动。然后，利用第一个结果，我们得到了一个改进的积分同调球，其中只涉及+/-1-框架链接与零环绕数的Kirby演算。
Hyperbolic Integral Homology Spheres and Binary Icosahedral Representations
本文研究双曲整同调球面到二元二十面体群$2I$的表示，通过关联Larsen商维数赋予其几何意义，证明双曲3-流形商维数仅为2或3且各有无穷实例，明确两类实例的构造与性质。
A Seifert algorithm for integral homology spheres
本文将经典纽结理论中的 Seifert 算法推广到任意闭积分同调 3-球面，利用 Heegaard 分裂的平面图表示和有向缠结的正则投影，构造出 Seifert 圆及半扭转带，从而证明每个有向链环都是有向嵌入曲面的边界。
More Brieskorn spheres bounding rational balls
我们称一个积分同调球$\textit{non-trivially}$有界于一个有理同调球，如果它被阻碍而不能有界于一个积分同调球。在Fintushel和Stern的著名例子$Σ(2,3,7)$之后，Akbulut和Larson最近给出了Brieskorn球的第一个无限族：$Σ(2,4n+1,12n+5)$和$Σ(3,3n+1,12n+5)$（对于奇数~ $n$）。使用他们的技术，我们提出了新的这样的家庭：$Σ(2,4n+3,12n+7)$和$Σ(3,3n+2,12n+7)$甚至$n$。还操纵他们的主要论点，我们只是恢复一些经典的结果Akbulut和Kirby，变化无常，卡森和Harer，和斯特恩Brieskorn球绑定积分同调球。
Distance between toroidal surgeries on hyperbolic knots in the 3-sphere
对于3-球面中的双曲纽结，最多1000次Dehn手术产生非双曲3-流形。作为这种特殊手术的典型情况，环面手术是产生包含不可压缩环面的闭合3-流形的手术。对应于环形手术的斜率，称为环形斜率，已知为积分或半积分。我们表明，除了8字形结的双曲结的两个积分环形斜率之间的距离是最多4。因此，任何双曲结最多允许5次环形手术。
The Milnor degree of a three-manifold
3-流形的米尔诺尔度是一个不变量，它记录了3-球面中任何可以被冲到流形上的链接的最大简单性。研究了挠连接形式、基本群的幂零群、Massey乘积和量子不变量等条件下的3-流形的不变性，证明了具有任意Milnor度和第一贝蒂数的3-流形的存在性.一路上，它表明，数量M（k，r）的线性无关Milnor不变量的程度k，区分r-分量链接的3-球的较低程度的不变量消失，是积极的，除了在经典已知的情况下（当r = 1，当r = 2，k = 2，4或6）。
A Parametrization of Integral Homology 3-Spheres by the Fourth Johnson subgroup
本文通过第四Johnson子群参数化整系数3球面，并引入抗称Lagrangian trace map，计算第三Johnson handlebody子群的像。
Reidemeister-Turaev torsion modulo one of rational homology three-spheres
给定一个有向有理同调3-球面M，已知如何将M上的任意Spin^c-结构σ与两个连接对上的二次函数联系起来.一个二次函数是由（M，σ）的Reidemeister-Turaev挠率的约化模1导出的，而另一个二次函数可以用一个适当的紧定向4-带边流形M的交配对来定义.本文利用流形M的外科手术表示，证明了这两个二次函数重合。我们的证明依赖于两个不同的组合描述之间的比较自旋^c-结构的M Turaev的收费与陈向量。
Finite type invariants of knots in homology 3-spheres with respect to null LP-surgeries
研究了有理同调三维球面中零同调纽结关于保零拉格朗日变换的有限型不变量理论。这是一个类似的设置合理的同源性的Goussarov-Rozansky理论的结积分同源3-球。我们给出了与我们的理论相关联的分次空间的部分组合描述，并确定了这种描述是完备的一些情况。对于有理数同调3-球面的零同调结与平凡的亚历山大多项式，我们表明，Kricker提升的Kontsevich积分和Lescop等变不变量建立在配置空间中的积分是通用的有限型不变量的理论，特别是它意味着，他们是等价的，这样的结。
Stein fillings of homology $3$-spheres and mapping class groups
本文利用映射类群的组合技巧，证明了一个$4$ -有孔球面的开卷分解支持的Stein可填充整同调$3$ -球面在单同态下允许唯一的Stein填充.此外，根据有理同调$3$ -球面的辛填充变形为强辛填充的性质，我们还证明了由开书分解支持的整同调$3$ -球面的辛可填充性，其中开书分解是一个$4$ -开孔球面，它允许唯一的辛填充，直到同构和爆破.
A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariant for integral homology spheres
我们构造了整同调球面M的一个不变量J_M，其值在多项式环Z[q]的一个完备\hat{Z[q]}中，使得在每个单位根处的求值给出M在单位根处的SU（2）Witten-Reshetikhin-Turaev不变量τ_M（M）.因此J_M统一了M的所有SU（2）Witten-Reshetikhin-Turaev不变量。因此，τ_n（M）是一个代数整数.此外，它遵循τ_∞（M）作为一个函数在ε上的行为就像一个“解析函数”定义在单位根的集合上。也就是说，所有单位根的τ_m（M）由任意单位根上的泰勒展开式和无穷多个素数幂阶单位根的值决定。特别地，所有单位根的τ_∞（M）由Ohtsuki级数确定，它可以看作是q=1时的泰勒展开式。
Homology 3-spheres in codimension three
对于积分同调3-球面在6-球面上的光滑嵌入，我们定义了一个整数不变量，它是关于它们的Seifert曲面的。我们的不变量给出了这样的嵌入和整数的光滑合痕类的集合之间的双射。它也产生了一个完整的不变量的同调边界类的所有嵌入的同调3-球面的6-球面。因此，我们表明，两个嵌入的定向积分同调3-球的6-球是同位素的当且仅当他们是同调边界。我们还将我们的不变量与Rohlin不变量联系起来，并相应地将那些可压缩的嵌入嵌入到5-球面中。
Splice formulae for Poincaré series of integral homology spheres
本文针对与负定拼接图相关的积分同调球面3-流形，给出其多变量Poincaré级数及其多项式部分的拼接公式，修正项为易计算的单变量Alexander多项式，从而可由较小图恢复全局不变量。
Trivial Cocycles and Invariants of Homology 3-Spheres
研究了Torelli群上的平凡上圈与定向整同调3-球面不变量之间的关系。给出定义在Torelli群并上的函数是同调球面不变量的充要条件充分条件。我们应用这项研究给出了一个新的纯代数的卡森不变量的建设，并证明在此设置其手术性质。作为副产品，我们得到了Torelli群的第二整上同调中的一个新的2-挠上同调类。
The Aarhus integral of rational homology 3-spheres III: The Relation with the Le-Murakami-Ohtsuki Invariant
继续本系列第一部分和第二部分的工作（参见q-alg/9706004和math.QA/9801049），我们证明了Aarhus积分和T.Q.T.定义的不变量$Ω$（以下称为LMO）之间的关系。Le、J. Murakami和T. Ohtsuki在q-alg/9512002中。这种关系的基本原因是，这两种结构都提供了一种解释，作为“整体完整”。在奥胡斯积分的情况下，这种解释是我们在第一部分和第二部分所做的一切的基础。我们在那里使用的主要工具是“形式高斯积分”。对于LMO不变量的情况下，我们开发的一个关键成分，地图$j_m$，作为“正式的负维整合”的解释。这两种结构之间的关系是两种整合理论之间关系的直接推论。
Complex surface singularities with integral homology sphere links
虽然具有同调球链的{法}曲面奇点的拓扑型已经被分类，形成了一个丰富的类，直到最近，很少有人知道可能的分析结构。我们在[Geom. Topol]中证明了这一点。9（2005）699-755]，它们中的许多可以实现为“拼接型”的完全相交奇点，推广Brieskorn型。我们证明了具有同调球面连接的正规奇点是拼接型的当且仅当奇点连接中的某些自然发生的纽结本身是奇点的超曲面截面的连接。卡森不变量猜想（Casson Invariant Conjecture，CIC）认为，对于一个完整的相交曲面奇点，其连接是一个积分同调球面，该连接的卡森不变量是Milnor纤维签名的八分之一。本文证明了一类拼接型奇点的CIC。CIC建议（并且是由这个想法激发的）一个具有同调球面链接的完全相交奇点的Milnor纤维应该是一个与Sigma正则相关的4-流形。我们提出，并验证在一个非平凡的情况下，一个更强的猜想比CIC的拼接型完整的交叉点：一个精确的拓扑描述的米尔诺纤维。我们还指出了最近的反例，对[Trends in Singularities，Birkhauser（2002）181- 190 and Math.Ann.326（2003）75- 93]中一些过于乐观的早期假设。
Higher order generalization of Fukaya's Morse homotopy invariant of 3-manifolds I. Invariants of homology 3-spheres
本文将2-圈陈-西蒙斯扰动理论的Morse同伦理论推广到任意圈数至少为2的3-度图。通过对满足一定条件的整同调3-球面上的图进行计数，构造了值在3-叶图（Jacobi图或Feynman图）空间中的整同调3-球面的一系列不变量，这些条件由一组常微分方程描述.
Linking and causality in globally hyperbolic spacetimes
如果连接组分为零同源，则定义连接数$lk$。我们的仿射连接不变$alk$推广$lk$的情况下，链接子流形的任意同调类。我们应用PDMATHAMN研究洛伦兹流形中的因果关系。设$M^m$是整体双曲时空$(X^{m+1}, g)$中的类空柯西曲面。球面余切丛$ST^*M$与$(X,g).$中所有零测地线的空间$N$相一致。因此，通过一个点$x\in X$的零测地线的集合给出了一个嵌入的$(m-1)$ -球面$S_x$在$N=ST^*M$中，称为$(S_x, S_y)$的天空。这促使阿诺德1998年问题清单上的问题（由彭罗斯传达）将链接理论应用于因果关系的研究。球体$S_x$与$(ST^*M)^{2m-1}\to M^m.$的纤维是同位素的，它们是非零同源的，当$M$闭合时，$lk(S_x,S_y)$是未定义的，而$alk(S_x, S_y)$是明确定义的。此外，如果$M$不是奇维有理同调球，则$alk(S_x, S_y)\in Z$。给出了通过Arnold危险切线时$\alk$的增量公式。如果$(X,g)$使得$alk$取$\Z$中的值，并且$g$与$g'$共形，且所有类时截面曲率均为非负，则$x, y\in X$因果相关当且仅当$alk(S_x,S_y)\neq 0$。我们表明，$x,y$在nonrefussing $(X, g)$是因果无关的当且仅当$(S_x, S_y)$可以变形…
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