Moduli spaces of framed instanton sheaves on projective spaces
Marcos Jardim
这篇论文已经撤回。一个完全修订的版本与两个新的共同作者已经张贴：“ADHM建设反常瞬子层”，arXiv：1201.5657。
This paper has been withdraw. A fully revised version with two new co-authors has been posted: "ADHM construction of perverse instanton sheaves", arXiv:1201.5657.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Moduli spaces of framed flags of sheaves on the projective plane
通过对框架层的ADHM构造的一个改进，研究了射影平面上框架层旗的模空间。特别是，我们证明了，对于某些值的拓扑不变量，模空间的框架标志层是一个不可约的，非奇簇进行全纯前辛形式。
Symplectic structures on moduli spaces of framed sheaves on surfaces
我们提供的Atiyah类和Kodaira-Spencer地图的情况下，框架层的概念的概括。此外，我们构造了曲面上框架层的模空间上的闭二形式。作为应用，我们在某些双有理直纹曲面上的框架层的模空间上定义了一个辛结构。
Representability for some moduli stacks of framed sheaves
我们证明了一个表示定理的模函子的框架无挠层的非奇异复射影曲面，使用形式几何沿曲线的表面。这导致了层的模堆叠的某种限制态射具有作为图式的纤维。
Framed Parabolic sheaves on a trinion
我们考虑结构群${\rm SU}(n)\,\subset\, {\rm SL}(n,\mathbb C)$的一个密集定义的复曲面结构上的模的框架抛物层上的一个三穿孔的球，退化到一个实际的复曲面结构。与以前的退化结果相结合，这些扩展到任意黎曼曲面相似的模量。
Representations of the Heisenberg algebra and moduli spaces of framed sheaves
给出了复光滑连通射影曲面上的无挠层无挠的的模空间的同调上的Heisenberg代数的作用的一个几何构造，该曲面沿光滑连通亏格零曲线框架。这一结果推广了Nakajima关于点的Hilbert格式的构造。
Linear data for framed sheaves via exceptional sequences
设$X$是一个具有完备强例外序列$\mathfrak{E}$的光滑射影曲面.在一定的条件下，我们通过线性数据描述了$X$中一条线上的框架层的模空间，即通过将它们实现为与$\mathfrak{E}$相关联的约束层的表示堆栈上的主丛。
Framed symplectic sheaves on surfaces
光滑射影曲面$X$上的框架辛层是一个无挠层$E$，它是一个除子$D\subseteq X$上的平凡化层和一个满足某些附加条件的态射$Λ^{2}E\rightarrow\mathcal{O}_{X}$。构造了曲面上框架辛层的模空间，并对$X=\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{2}$进行了详细的研究。在这种情况下，模空间是不可约的，并允许一个ADHM型描述和一个双有理真映入到框架辛理想瞬子空间中。
Monads for framed torsion-free sheaves on multi-blow-ups of the projective plane
我们构造了复射影平面在多个不同点上爆破的框架无挠的层的单子。利用这些单子，我们证明了这种层的模空间是一个光滑代数簇。此外，我们构造单子的家庭这样的层参数化的Noether计划S的有限型。引入了模空间上的一个泛单子，并利用它证明了模空间是好的。
Moduli of framed sheaves on projective surfaces
我们证明了射影曲面上的无挠层存在一个精细的模空间，它在一个大而小的因子上有一个“好框架”。这个模空间是一个拟射影概形。这是通过表明，这种框架层可以被认为是稳定的意义上的Huybrechts和Lehn对。我们刻画了模空间光滑性的障碍，并讨论了有理曲面上的一些例子。
Instantons and framed sheaves on Kähler Deligne-Mumford stacks
我们提供stacky推广的经典规范理论的结果的启发唐纳森，Uhlenbeck-Yau定理和变种由于班多和他的合作者。此外，我们展示了这种机器在ALE空间的研究中的应用。
Moduli spaces of framed sheaves on compactified Kleinian singularities
该研究针对Kleinian奇点$\mathbb{C}^2/\Gamma$（$\Gamma$为$SL_2(\mathbb{C})$有限子群），构造了紧化该奇点的射影Deligne-Mumford栈上的框架层模空间，证明其为拟射影概形。
Monads for framed sheaves on Hirzebruch surfaces
我们定义单子框架上的无挠层Hirzebruch表面，并用它们来构建这些对象的模空间。这些模空间是光滑的代数簇，我们通过构造一个泛单子证明了它们是好的。
Restriction theorems for $μ$-(semi)stable framed sheaves
我们提供了一个推广的Mehta-Ramanathan定理框架层：我们证明了一个$μ$ -半稳定的框架层上的非奇异投射不可约簇，尺寸大于或等于2，到一个一般的超曲面足够高的程度再次是$μ$ -半稳定。在某些附加的假设下，这同样适用于$μ$ -稳定性。
Quiver Varieties and Framed Sheaves on Compactified Kleinian Singularities
该研究针对Kleinian奇点$\mathbb{C}^2/\Gamma$，引入带光滑栈式除子的自然紧化栈，证明其上满足特定条件的带标架层集合与一类Nakajima箭图簇相关，部分推广了此前点Hilbert概型的相关研究。
Framed sheaves on projective space and Quot schemes
证明了给定整数$m\geq 3$，$r\geq 1$和$n\geq 0$，$\mathbb P^m$上具有Chern特征标$(r,0,\ldots,0,-n)$且沿超平面$D \subset \mathbb P^m$平凡的挠自由层的模空间同构于$\mathbb A^m$上自由层$\mathscr O^{\oplus r}$的$0$ -维长$n$等价物的Quot概型$\mathrm{Quot}_{\mathbb A^m}(\mathscr O^{\oplus r},n)$.
Moduli spaces of framed sheaves and quiver varieties
本文第一部分综述了光滑射影曲面上框架层的模空间的一些基本结果。特别是，我们概述了Bruzzo和Markushevich的结果，并讨论了几个重要的例子。在$\mathbb{P}^2$上，在$\mathbb{P}^2$的多重爆破上的框架层的模空间用ADHM数据来描述，并且当这个特征可用时，作为非线性变量。第二部分详细研究了当表示模空间非空的充分必要条件的不变量达到最小值时（我们称之为"最小值情况"）Hirzebruch曲面$Σ_n$上的框架层。我们的主要结果是，在此假设下，相应的模空间同构于格拉斯曼（当$n=1$），或同构于格拉斯曼余切丛的$n-1$副本的直和（当$n\geq 2$）。最后，通过对Nakajima的一个构造的稍加推广，我们证明了这些模空间可以作为模簇来描述。
Instanton sheaves on Fano threefolds
推广最初由库兹涅佐夫和Faenzi提出的定义，我们研究（可能非局部自由）瞬子层的任意秩的Fano三倍。我们对秩为1的瞬子层进行了分类，并描述了所有结构层为秩为0的瞬子层的曲线。此外，我们还证明了每一个秩为2的瞬子层都是局部自由瞬子层沿秩为0的瞬子层的初等变换。为了完成本文，我们描述了二次三重$X$上电荷为2的秩为2的瞬子层的模空间，并证明了具有陈类$(c_1,c_2,c_3)=(-1,2,0)$的$X$上秩为2的半稳定层的全模空间是连通的，并且除了瞬子分量外，只包含另一个也被完全描述的不可约分量.
Obstruction theory for moduli spaces of framed flags of sheaves on the projective plane
在前一篇论文中，前两位作者建立了射影平面上层的框架标志的模空间与某个层的稳定表示的模空间之间的同构。在本注记中，我们用[5，定理17]中的一个命题代替了一个较弱的命题，这个命题是关于无阻模空间中无阻点的存在性。我们还扩展了引用的文件中的一些结果，关于最大的稳定性室，其中提到的同构举行，并存在一个完美的障碍理论的模空间。
On the fixed locus of framed instanton sheaves on $\mathbb{P}^{3}$
设$\mathbb{T}$是作用在$\mathbb{P}^{3}$上的三维环面，$\mathcal{M}^{\mathbb{T}}_{\mathbb{P}^{3}}(c)$是作用在$\mathbb{P}^{3}.$上秩$2$框架瞬子层的模空间上的相应作用的固定轨迹。本文证明了$\mathcal{M}^{\mathbb{T}}_{\mathbb{P}^{3}}(c)$只由非局部自由瞬子层组成，其双对偶是平凡丛$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{3}}^{\oplus 2}$。此外，我们还将这些瞬子与Pandharipande-Thomas稳定偶联系起来，并对它们的支集进行了分类。这允许计算$\mathcal{M}^{\mathbb{T}}_{\mathbb{P}^{3}}(c).$的组件数量的下界
Singular locus of instanton sheaves on $\mathbb{P}^3$
证明了非局部自由的$\mathbb{P}^3$上秩为2的瞬子层$E$的奇异轨迹具有纯维数1.此外，我们还证明了$E$的对偶和双对偶是同构的局部自由瞬子层，而层$\mathcal{E}xt^1(E,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3)$和$E^{\vee\vee}/E$是秩$0$瞬子.我们还提供了秩为$3$和$4$的瞬子层的明确例子，说明对于更高秩的瞬子层，所有这些说法都是错误的。
Instanton sheaves on complex projective spaces
本文研究了复射影空间上的一类无挠层，它推广了数学瞬子丛。瞬子层可以作为线性单子的上同调得到，并且如果其秩不太大，则表明瞬子层是半稳定的，而满足某些上同调条件的半稳定无挠层是瞬子。我们还研究了瞬子层的模空间的几个例子。
Instanton sheaves on projective schemes
在具有充分的整体生成的线丛$\mathcal{O}_X(h)$的射影空间的闭子概形$X$上的$h$ -瞬子层是一个相干层，它的上同调表具有一定的形状.本文讨论了$h$ -瞬子层与乌尔里希层的关系。此外，我们还研究了光滑曲线和曲面上的$h$ -瞬子层、循环$n$ -折叠、Fano $3$ -折叠以及任意平滑曲线上的涡卷.我们还处理了一个家庭的单子与$h$ -瞬子丛的品种满足一些温和的额外的技术条件。
Framed instanton pairs on the blow-up of the projective 3-space at a point
本文研究了射影3空间在一点处吹胀得到的Fano 3-fold上的Huybrechts和Lehn标架层，给出了3维中此类对的新例子，并证明了其模空间是fine、拟射影且无阻碍的。
Branes in the moduli space of framed instantons
用物理学家的话来说，超k中的膜Ahler流形是关于三个K的复流形或拉格朗日子流形环境流形的Ahler结构通过考虑某些对合的固定轨迹，我们描述了所有可能类型的Nakajima簇中的膜。然后，我们专注于射影平面上的框架无挠的层的模空间，显示如何考虑对合作用于层，并证明在某些情况下膜的存在性。
Moduli of autodual instanton bundles
我们给出了射影空间上框架自对偶瞬子丛的模空间的描述，重点讨论了辛瞬子和正交瞬子的特殊情况。我们的描述将使用定义框架瞬子层的广义ADHM方程。
Moduli spaces of rank 2 instanton sheaves on the projective space
研究了$\mathbb{P}^3$上瞬子层模空间的不可约分量，即秩为2的无挠层$E$，其中$c_1(E)=c_3(E)=0$满足$h^1(E(-2))=h^2(E(-2))=0$ .特别地，我们用$c_2(E)\le4$对所有瞬子层进行分类，描述了它们模空间的所有不可约分量。我们的论点的一个关键成分是研究的模空间${\mathcal T}(d)$的稳定层$\mathbb{P}^3$与希尔伯特多项式$P(t)=d\cdot t$，其中包含，作为一个开子集，模空间的秩0瞬子层的多重$d$ ;我们描述了所有的不可约组件的${\mathcal T}(d)$为$d\le4$。
ADHM construction of perverse instanton sheaves
本文在含有固定直线的射影簇上构造了无挠的挠瞬子层，它是对射影空间上框架无挠瞬子层的进一步推广。这是通过推广所谓的ADHM品种来完成的。我们证明了这类对象的模空间是一个拟射影簇，这在射影空间中是很好的。我们还给出了ADHM范畴描述的反常瞬子层在一般情况下，随着这些层的超上同调表征的特殊情况下，射影空间。
Moduli spaces of framed sheaves on certain ruled surfaces over elliptic curves
固定一个直纹曲面S作为复椭圆曲线上的线丛L的射影完备，我们研究了参数化由S上的层E和E到S上固定参考层的映射组成的某些对的模问题。我们证明了这个问题的全模栈是由一个计划在某些情况下表示。此外，模栈允许一个行动的组${\mathbf C}^*$，我们确定其不动点集，这导致在某些特殊情况下，明确的公式的有理同调的模空间。
Topology of moduli spaces of framed sheaves
本文证明了一类复曲面上框架无挠层的模空间存在由环面作用决定的可滤Bialynicki-Birula分解。这个模空间的不可约性作为一个推论紧接着得出。利用它的可滤分解，我们证明了模空间与具有相同不动点集的不变真紧子簇具有相同的同伦型。我们从射影平面上框架无挠层的模空间开始研究。之后，我们推广的结果复曲面的一些假设下。
Instanton sheaves and representations of quivers
研究了$\p3$上秩为2的瞬子层的模空间，给出了3个顶点和4个顶点间的矢的表示。针对瞬子层的模空间的另一种紧化，我们证明了对于每个秩为2的瞬子层，存在一个稳定性参数$θ$，其对应的ε表示是$θ$ -稳定的（在King意义下），并且稳定性参数的空间具有非平凡的墙室分解.更密切地关注低电荷的瞬子，我们证明了存在稳定性参数，每个表示对应于秩2瞬子层的电荷2是稳定的，并提供了一个完整的描述壁室分解表示对应于秩2瞬子层的电荷1。
Compactification of the moduli space of instanton sheaves on the Fano threefold $V_5$
本文研究了秩为$2$的半稳定层，其中Chern类为$c_1=0$，$c_2=2$和$c_3=0$，它们是PICARD数$1$，度$5$和指数$2$的Fano 3重$V_5$.我们表明，这种层的模空间有一个组成部分，是同构的$\mathbb{P}^5$，通过确定它与半稳定的PRACTIAL表示的模空间。这提供了最小瞬子的模空间以及$V_5$上秩$2$的Ulrich丛的自然光滑紧化。
Analytic moduli spaces of simple (co)framed sheaves
设X是复空间，F是凝聚OX-模. X上的F-（上）框架层是一个具有凝聚OX模E和凝聚层f的态射f：F -> E（分别为F，f）的对（E，f）. f：E -> F）。两个这样的对（E，f）和（E '，f'）被称为同构的，如果存在层g的同构：E -> E'使得gof = f'（分别为f ′ og = f）。一个对（E，f）称为单的，如果它的唯一自同构是E上的恒等式.本文在相对框架下证明了一个表示性定理，该定理特别暗示在给定的紧致复空间X上存在一个由单F-（余）框架层构成的模空间。
On framed instanton bundles and their deformations
我们考虑一个紧扭量空间P，并假设在P中有一个曲面S，它在扭量纤维上具有一次，并且包含一个扭量纤维F，例如P是LeBrun扭量空间。类似于唐纳森和布赫达尔，我们检查限制的瞬子丛V配备了一个固定的平凡沿F的框架向量丛（S，F）。首先，我们发展的启发Huybrechts和Lehn一个合适的变形理论的向量丛在一个解析空间框架的向量丛在一个子空间的任意余维。在第二节中，我们描述的限制作为一个光滑的自然变换到一个罚款模空间。通过把框架U（r）-瞬子丛看作P上框架瞬子丛上的实结构，证明了由Buchdahl提出的框架U（r）-瞬子丛的同构类与（S，F）上框架向量丛的同构类之间的双射实际上是模空间的同构.
Framed Rank r Torsion-free Sheaves on CP^2 and Representations of the Affine Lie Algebra \hat{gl(r)}
我们在CP ^2上框架秩r无挠的层的模空间的等变上同调上构造了r色玻色子和费米子Fock空间的几何实现。利用这些构造，我们几何上实现了仿射李代数\hat{gl(r)}的所有一级不可约表示。循环群Z_k自然地作用在层的模空间上，其不动点分支是循环Nakajima簇.我们实现了\hat{gl(r)}的k级不可约表示的等变上同调的这些类簇。
Torsion free instanton sheaves on the blow-up of $\mathbb{P}^{3}$ at a point
本文推广瞬子丛定义至爆破空间上的无挠层，证明自反瞬子层局部自由，严格无挠者奇点纯一维，构造例子并研究其稳定性，用于紧化模空间分量。
Moduli spaces of framed perverse instantons on P^3
本文研究了P^3上框架反常瞬子的模空间。作为一个开子集，它包含模空间I. Frenkel和M.雅尔丁我们还构造了几个反例来证明有关这些模空间的早期猜想和结果。
Vertex operators and the geometry of moduli spaces of framed torsion-free sheaves
本文定义了复射影平面上框架秩为r的无挠的层的模空间的乘积上的向量丛的复形。这些复形的上同调的顶部非零陈类产生r-着色海森堡和Clifford代数对模空间的等变上同调的作用。这样我们得到了玻色子-费米子对应和相关顶点算符的几何实现。
Moduli spaces of framed instanton bundles on CP^3 and twistor sections of moduli spaces of instantons on C^2
我们证明了$CP^3$上沿直线平凡的全纯向量丛的模空间$M$同构于（作为复流形）$\R^4$上框架瞬子的模空间的扭量空间的有理曲线的模的一个子簇，称为扭量截面的空间。然后，我们使用这个特征，以证明$M$配备了一个无挠仿射联络与holonomy在$Sp(2n,\C)$。
Torsion free instanton sheaves on the blow-up of $\mathbb{P}^{n}$ at a point
本文在射影空间一点胀开上定义瞬子层类比，构造秩2的局部自由与无挠例子，并证明其为非线性单子的上同调，且在五维时其连续族至少填充半稳定层模空间的一个光滑分支。
On the semistability of instanton sheaves over certain projective varieties
证明了具有循环Picard群的$n$维射影簇上的秩为$r\le 2n-1$的瞬子丛（定义为某些线性单子的上同调）在Mumford-Takemoto意义下是半稳定的.进一步证明了第一Chern类为非零的秩$r\le n$线性丛是稳定的.我们还表明，这些边界是尖锐的。
Instantons and multibananas: Relating elliptic genus and cohomological Donaldson-Thomas theory
本文利用Descombes双曲局部化公式计算局部多香蕉三维流形的上同调Donaldson-Thomas理论，证明其结果由带标架瞬子层模空间的椭圆亏格精确给出，并推导了无穷楔空间迹公式。
Instanton Sheaves on Ruled Fano 3-folds of Picard Rank 2 and Index 1
本文研究了 Picard 等级 2 和指数 1 的 ruled Fano 3-折叠上 rank 2 h-instanton sheaves 的存在性，并证明了 Ulrich bundles 的存在性。
Framed sheaves on projective stacks
给定特征为零的代数闭域上的正规投射不可约栈$\mathscr X$，我们考虑$\mathscr X$上的框架层，即，对$(\mathcal E,ϕ_{\mathcal E})$，其中$\mathcal E$是$\mathscr X$上的相干层，而$ϕ_{\mathcal E}$是从$\mathcal E$到固定相干层$\mathcal F$的态射。在引入适当的（半）稳定性概念后，我们构造了一个投射方案，它是具有固定Hilbert多项式的半稳定框架层的模空间，以及它的一个开子集，它是稳定框架层的精细模空间.如果$\mathscr X$是二维射影不可约轨道折叠，$\mathcal F$是满足一定条件的光滑因子$\mathscr D\subset \mathscr X$上的局部自由层，我们考虑$(\mathscr{D}, \mathcal{F})$ -框架层，即，框架层$(\mathcal E,ϕ_{\mathcal E})$，其中$\mathcal E$是在$\mathscr D$的邻域中局部自由的无挠层，而${ϕ_{\mathcal{E}}}_{| \mathscr{D}}$是同构。对于进入（半）稳定性条件的参数的适当选择以及$\mathscr X$的极化，这些对是$μ$稳定的。这意味着存在一个细模空间，它参数化了具有固定Hilbert多项式的$\mathscr{X}$上的$(\ma…
Admissible sheaves on P^3
P^3上的可容许的局部自由层，在文献中也被称为数学瞬子丛，它出现在扭量理论中，并且与R^4上的瞬子1-1对应。本文从代数几何的角度研究了P^3上的容许层。我们讨论了例子，并比较了半稳定性和分裂型的容许条件。
Vafa-Witten invariants from wall-crossing for framed sheaves
本文研究光滑项目曲面的非零全纯2形式的精炼SU(r) Vafa-Witten配分函数，通过框架sheaves模空间的χ_y生成函数和新的稳定/共稳定墙穿越公式，证明了Vafa-Witten不变量的约束。
Higher-rank instantons sheaves on Fano threefolds
定义Picard秩1的光滑Fano三维流形上的高秩瞬子层，给出其拓扑分类，确定最小电荷并证明存在性，研究具有曲线Kuznetsov分量的Fano三维流形上瞬子的无环扩张，给出中间雅可比平凡时的单子描述，并研究模空间主分量的一般元素性质。
Complex ADHM equations, sheaves on P^3 and quantum instantons
我们使用著名的Atiyah-Hitchin-Drinfeld-Manin矩阵方程的复杂版本来构造$\p^3$上的容许无挠层和量子Minkowski时空上的复量子瞬子。我们确定了$\p^3$上层的各种子类的模空间，并证明了它们的光滑性。我们还定义了量子闵可夫斯基时空中的拉普拉斯方程，研究了它的解，并将它们与$\p^3$上层的容许条件联系起来。
Uhlenbeck-Donaldson compactification for framed sheaves on projective surfaces
本文为射影曲面上斜率稳定带框架向量丛的模空间构造了 Uhlenbeck-Donaldson 型紧化，并证明其与 Gieseker 半稳定框架层模空间之间存在射影态射，从而可通过 Hitchin-Kobayashi 对应与带框架理想瞬子模空间比较。
Holomorphic pre-symplectic form on the nested Hilbert scheme $\mbox{Hilb}^{3,4}(\mathbb{C}^2)$
我们认为前hyperkähler结构的模空间上的框架标志层$\mathcal{F}(1,3,1)$的射影平面$\mathbb{P}^2$通过适应的ADHM建设框架层。然后，我们研究了模空间中全纯准辛形式的退化点，并对其进行了分类。
Determinants, even instantons and Bridgeland stability
本文提出计算例外集合对应quiver区域的系统方法，证明2步复形表示的μ-稳定层具有Bridgeland稳定性，并应用于证明偶秩2瞬子层、瞬子丛及反常瞬子的Bridgeland稳定性，同时刻画其模空间在唯一实际墙附近的结构。
Poincare polynomial of moduli spaces of framed sheaves on (stacky) Hirzebruch surfaces
利用局部化技术研究了Hirzebruch曲面上框架无挠层的模空间。在Huybrechts-Lehn框架模理论的框架下，讨论了这种模空间的一些一般性质.我们在复曲面作用下对模空间上的不动点进行分类，并利用它来计算后者的Poincare多项式。这意味着我们所考虑的模空间是不可约的。我们还考虑分数第一陈类，这意味着我们将计算扩展到Hirzebruch表面的堆叠变形。从物理的观点，我们的结果提供了N=4的Vafa-Witten理论在P1上线丛的全空间上的分拆函数，这与Ooguri，Strominger和Vafa猜想的黑洞熵计数问题有关.
The Blowup Formula for the Instanton Part of Vafa-Witten Invariants on Projective Surfaces
本文证明了射影曲面上层模空间虚拟 χ_y-亏格生成级数的爆破公式，统一处理 Gieseker 稳定层与 P^2 上带框架层两种情形，并基于 Nakajima-Yoshioka 爆破算法及 Kuhn-Tanaka 的推广完成证明。
Non-commutative thickening of moduli spaces of stable sheaves
我们证明了射影概形上稳定层的模空间允许某些非交换结构，我们称之为准NC结构，推广了Kapranov的NC结构。我们的拟NC结构在模空间的闭点上的完备化给出了Laudal，Eriksen，Segal和Efimov-Lunts-Orlov所发展的相应层的非交换变形函子的一个pro-representable壳。我们还证明了层的框架稳定模空间具有标准NC结构。
Birational geometry of moduli spaces of perverse coherent sheaves on blow-ups
为了研究Donaldson型不变量在爆破平面上的过壁公式，Nakajima-Yoshioka构造了一系列连接无挠的框架层在射影平面上的模空间及其爆破上的模空间的爆破/爆破图.本文证明了Nakajima-Yoshioka图实现了极小模型程序。此外，我们得到了这些模空间的导出范畴之间的全忠实嵌入。
Wall-crossing formula for framed quiver moduli
本文研究框定箭袋表示模空间的穿墙现象，针对 A 型旗流形、仿射 Laumon 空间、Nakajima 箭袋簇及射影平面相关层模空间，建立 Euler 类积分的穿墙公式。
Compactification of the moduli space of minimal instantons on the Fano threefold $V_4$
本文研究了秩为$2$的半稳定层，其中Chern类为$c_1=0$，$c_2=2$和$c_3=0$，它们是Picard数$1$，度$4$和指数$2$的Fano 3-折叠$V_4$的半稳定层.证明了这类层的模空间与亏格$2$曲线上半稳定秩$2$偶次向量丛的模空间同构.这提供了$V_4$上秩$2$的Ulrich丛的模空间的自然光滑相容性。
Framed motives of relative motivic spheres
框架对应$Fr_*(k)$和框架层的范畴是Voevodsky在他未发表的笔记[V2]中发明的。在此理论基础上，框架动机被引入并在[GP 1]中进行了研究。这些是$S^1$ -谱的Nisnivich层，也是[GP 1]的主要计算工具。本文的目的是证明[GP 1]的主要定理所必需的下列结果：给定一个无限理想基场$k$，任意$k$光滑概形$X$和任意$n\geq 1$，单纯点Nisnevich层$(-,\mathbb{A}^1//\mathbb G_m)^{\wedge n}_+\to T^n$的映射诱导出$S^1$谱$$M_{fr}(X\times (\mathbb{A}^1// \mathbb G_m)^{\wedge n})\to M_{fr}(X\times T^n).$$的Nisnevich局部能级弱等价。此外，证明了在Nisnevich拓扑中，$S^1$ -谱$$M_{fr}(X \times T^n \times \mathbb G_m) \to M_{fr}(X \times T^n \times\mathbb A^1) \to M_{fr}(X \times T^{n+1})$$序列是局部同伦上纤维序列.本文的另一个重要结果表明，框架模的同调是按[GP 1]意义下的线性框架模计算的。这种计算对于框架动机的整个机制至关重要[GP 1]。
Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
我将解释我与A.Braverman，M.Finkelberg的联合论文“Instantons模空间和W-代数”，arXiv：1406.2381。我将集中在几何部分，即研究瞬子模空间上的反常层。我特别强调双曲限制函子和稳定包络，这是我们的关键工具，也出现在其他情况下的几何表示论。这些是2015年PCMI课程的讲义。
Decorated sheaves and morphisms in tilted hearts
该研究在代数几何领域，于适当条件下将极限稳定对、稳定标架层分别对应到标准心倾斜中的满、单态射，建立模空间与Quot空间的等同并证明其射影性，还得到动机霍尔代数中联系倾斜Quot空间的公式。
New divisors in the boundary of the instanton moduli space
令${\mathcal I}(n)$表示${\mathbb P}^3$上的电荷$n$的秩$2$瞬子丛的模空间.我们从几个作者那里知道，${\mathcal I}(n)$是维数$8n-3$的不可约、非奇异和仿射簇。由于${\mathbb P}^3$上的每个秩$2$瞬子丛都是稳定的，所以我们可以把${\mathcal I}(n)$看作是${\mathbb P}^3$上秩$2$半稳定无扭层$F$的投射Gieseker-Maruyama模方案${\mathcal M}(n)$的开子集，其中Chern类为$c_1=c_3=0$和$c_2=n$，并考虑${\mathcal I}(n)$在${\mathcal M}(n)$中的闭包$\overline{{\mathcal I}(n)}$.我们构造了边界$\partial{\mathcal I}(n):=\overline{{\mathcal I}(n)}\setminus{\mathcal I}(n)$的维数$8n-4$的一些不可约分量。这些分量一般位于${\mathcal M}(n)$的光滑轨迹上，由秩$2$无扭瞬子层沿有理曲线的奇点组成。
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