Asymptotic stability of the stationary solution for a parabolic-hyperbolic free boundary problem modeling tumor growth
研究了一类具有两类细胞（增殖细胞和静止细胞）的肿瘤生长的自由边界问题解的渐近性态。在以前的文献中，我们已经证明了这个问题存在唯一的平稳解，并且在极限情形$\varepsilon=0$下是渐近稳定的。在本文中，我们考虑更现实的情况$0<\varepsilon<<1$。在这种情况下，经过适当的简化后，模型采用抛物型方程和双曲方程的耦合系统的形式，因此它比极限情况$\varepsilon=0$更困难。通过使用一些未知变量变换以及我们以前工作中发展的相似变换技术，我们证明了在$0<\varepsilon<<1$情形下平稳解也是渐近稳定的.
2013-03-15 math.AP
Asymptotic Stability of Stationary Solutions of a Free Boundary Problem Modeling the Growth of Tumors with Fluid Tissues
本文旨在证明一个模拟非坏死性流体肿瘤生长的自由边界问题的径向定常解的渐近稳定性。在前一篇文章中，我们考虑了营养盐浓度$σ$满足定态扩散方程$Δσ=f(σ)$的情况，并证明了表面张力系数$γ$存在一个阈值$γ_*>0$，使得径向定态解在$γ>γ_*$情况下是渐近稳定的，而在$γ<γ_*$情况下是不稳定的.本文将这一结果推广到$σ$满足非定常扩散方程$\epsln\partial_tσ=Δσ-f(σ)$的情形。我们证明，对于相同的阈值$γ_*$如上所述，对于每个$γ>γ_*$有一个相应的常数$\epsln_0(γ)>0$，使任何$0<\epsln<\epsln_0(γ)$的径向固定的解决方案是渐近稳定的足够小的非径向扰动，而对于$0<γ<γ_*$和$\epsln$足够小的非径向扰动下是不稳定的。
2008-06-09 math.AP
Necrotic tumor growth: an analytic approach
研究了一个模拟坏死多层肿瘤生长过程的自由边界问题。我们证明了存在平坦的固定的解决方案，并确定我们的模型在这样的平衡的线性化。最后，我们计算了定常线性化问题的解，并对分歧进行了评论。
2012-04-11 math.AP
The Impact of Time Delay in a Tumor Model
本文考虑了一类具有时滞的自由边界肿瘤生长模型，研究了时滞对肿瘤生长的稳定性和肿瘤大小的影响。该模型是一个椭圆型方程、抛物型方程和常微分方程的耦合系统。该算法将肿瘤边界作为一个自由边界，考虑了时间延迟条件下的细胞定位问题。模型中的参数$μ$与肿瘤的“侵袭性”成比例。证明了存在唯一的经典径向对称平稳解$(σ_*, p_*, R_*)$，该解对任何$μ> 0$关于所有径向对称扰动都是稳定的（参见. \cite{delay1}）。然而，在非径向对称扰动下，我们证明了存在一个临界值$μ_*$，这样，如果$μ<μ_*$，则稳态解$(σ_*, p_*, R_*)$是线性稳定的;而如果$μ>μ_*$，则稳态解是不稳定的。对于较大的肿瘤侵袭性参数，期望问题稳定实际上是不现实的，因此我们的结果更合理。此外，我们确定在模型中添加时间延迟将导致更大的静止肿瘤，并且如果肿瘤侵袭性参数更大，则时间延迟将对肿瘤的大小产生更大的影响。
2019-08-16 math.AP
Optimal control of a phase field system modelling tumor growth with chemotaxis and singular potentials
研究了肿瘤生长相场型扩展模型的分布式最优控制问题。在该模型中，还考虑了趋化效应。该控制通过两个控制变量来实现，这两个控制变量设计向患者分配某些药物。成本功能是跟踪型的，而潜在的设置一直保持相当一般，以允许定期和奇异的潜力被认为是。在这个方向上，在系统中引入了一些弛豫项。我们显示的状态系统的适定性，Fréchet可微的控制到状态的运营商在一个合适的功能分析框架，最后，我们刻画的一阶必要条件的最优性的变分不等式涉及的伴随变量。
2021-03-22 math.AP
Asymptotic behavior of solutions of a free boundary problem modeling tumor spheroid with Gibbs-Thomson relation
本文研究了实体肿瘤球体生长的一个自由边界问题。它由两个椭圆型方程组成，分别描述肿瘤内营养物质的扩散和压力分布。新的特点是边界上的营养浓度小于外部供应，由于吉布斯-汤姆森关系，该问题有两个径向定态解，这不同于广泛研究的肿瘤球体模型与表面张力效应。首先，我们建立了局部适定性，使用功能的基础上傅立叶乘子方法和分析半群理论的方法。然后，我们研究每个径向平稳解的稳定性。利用广义线性化稳定性原理，证明了半径较小的径向定态解总是不稳定的，并且存在正的胞间扩散$γ$阈值$γ_*$，使得半径较大的径向定态解对$γ>γ_*$是渐近稳定的，对$0<γ<γ_*$是不稳定的.
2016-11-30 math.AP
A parabolic-hyperbolic system modeling the growth of a tumor
本文考虑了一个肿瘤微环境模型，该模型包含营养密度、细胞外基质和基质降解酶，满足一个具有自由边界的耦合系统。对于这个耦合抛物-双曲自由边界问题，我们证明了在时间上存在唯一的全局径向对称解。定常问题涉及一个常微分方程系统，它被转化为一个奇异的积分微分方程。我们通过打靶法对这类一般类型的方程建立了一个适定定理，然后将该定理应用于我们的问题，以证明其定态解的存在性。此外，对于这个高度非线性问题，我们还证明了平稳解的唯一性，这是一个非平凡的结果。此外，数值模拟表明，平稳的解决方案是可能的局部渐近稳定的合理范围内的参数。
2018-08-22 math.AP
Asymptotic analyses and error estimates for a Cahn-Hilliard type phase field system modelling tumor growth
本文讨论了一个与肿瘤生长模型有关的Cahn-Hilliard型相场系统，它由三个以序参量、化学势和营养浓度为变量的方程组成。最近的论文arXiv：1401.5943 [math.AP]和arXiv：1501.07057 [math.AP]从适定性、长时间行为和两个正粘性系数同时趋于零时的渐近收敛的角度研究了这个系统。在这里，我们继续arXiv：1501.07057 [math.AP]中执行的分析，显示两组独立的结果，因为只有一个系数趋于零，另一个保持不变。我们证明了收敛性结果，两个极限问题的解决方案的唯一性，以及适当的误差估计。
2015-03-03 math.AP
Analysis of a nonlinear free-boundary tumor model with angiogenesis and a connection between the nonnecrotic and necrotic phases
研究了一类具有Robin边界条件的球对称肿瘤生长的非线性自由边界问题。其中，非坏死性肿瘤和坏死性肿瘤均被考虑在内。研究了解的适定性和渐近性态。结果表明，存在两个阈值，分别表示为$\tildeσ$和$σ^*$，对周围的营养浓度$\barσ$。如果$\barσ\leq\tildeσ$，则所考虑的问题不存在固定解，并且所有进化肿瘤最终将消失，而如果$\barσ>\tildeσ$，则它存在唯一固定解，并且所有进化肿瘤将收敛于该休眠肿瘤;此外，如果$\tildeσ<\barσ\leqσ^*$，则休眠肿瘤是非坏死的，如果$\barσ>σ^*$，则休眠肿瘤是坏死的。并给出了非坏死相和坏死相之间的联系和相互过渡。
2020-08-20 math.AP
The linear stability for a free boundary problem modeling multi-layer tumor growth with time delay
我们研究了一个自由边界问题，它模拟了具有小时间延迟$τ$的多层肿瘤生长，表示细胞完成复制过程所需的时间。该模型由两个椭圆方程组成，分别描述营养浓度和肿瘤组织压力，一个常微分方程描述细胞位置表征的时间延迟和偏微分方程的自由边界。在本文中，我们建立了问题的适定性，即，首先我们证明了存在唯一的平坦平稳解$(σ_*, p_*, ρ_*, ξ_* )$的所有$μ>0$。该固定溶液的稳定性应取决于肿瘤侵袭性常数$μ$。期望扰动是平坦的也是不现实的。证明了在非平坦扰动下，存在一个阈值$μ_*>0$，使得当$μ<μ_*$时，$(σ_*, p_*, ρ_*, ξ_*)$线性稳定，当$μ>μ_*$时，线性不稳定.此外，时间延迟增加了静止的肿瘤大小。这些有趣的结果具有数学和生物学意义。
2021-07-31 math.AP
Analysis of a mathematical model for tumor growth with Gibbs-Thomson relation
本文研究了非坏死性实体瘤生长的一个数学模型。假设肿瘤是径向对称的，其半径R（t）是肿瘤生长时间t的未知函数，模型是一个自由边界问题。该模型的特点是考虑了Gibbs-Thomson关系，这导致了一个有趣的现象，即存在两个稳态解（取决于模型参数）。证明了解的整体存在唯一性。用扩散时间尺度与肿瘤倍增时间尺度之比c表示，证明了当c>0时，具有较大半径的平稳解是渐近稳定的，而具有较小半径的平稳解是不稳定的.
2016-11-11 math.AP
Asymptotic stability for a free boundary tumor model with angiogenesis
在本文中，我们研究了一个自由边界问题模拟实体肿瘤生长的血管营养物质的肿瘤，这是其特征在于在罗宾边界条件。不久前，他成立了一个[编辑]动力学39（2019）2473-2510]，对于该模型，存在门限值$μ^\ast$，使得唯一的径向对称静止解对于$0<μ<μ^\ast$在非径向扰动下是线性稳定的，并且对于$μ>μ^\ast$是线性不稳定的。本文进一步研究了径向对称定常解的非线性稳定性，这就引入了一个重要的数学困难：由于模1项的扰动，极限球的中心事先是未知的。我们证明了一个新的不动点定理来解决这个问题，并最终得到了当忽略平移时，$0<μ<μ^\ast$的径向对称平稳解是非线性稳定的。
2020-07-14 math.AP
Asymptotic behavior of a free boundary problem for the growth of multi-layer tumors in necrotic phase
本文研究了多层肿瘤在坏死期生长的一个自由边界问题。肿瘤区呈条状，分为坏死区和增生区，有两个自由边界。上自由边界是肿瘤表面，并由Stefan条件控制。下自由边界是分离坏死区和增殖区的界面，其演化是隐式的，本质上受障碍问题支配。我们证明了该问题存在唯一的平坦平稳解，并且存在正的常数$γ_*$，使得平坦平稳解对于胞间耦合$γ>γ_*$是渐近稳定的，而对于$0<γ<γ_*$是不稳定的.
2018-02-09 math.AP
A note on a multi-layer tumor growth model
[S.]提出了多层肿瘤生长的二维自由边界模型。Cui，J. J. Müller：ARMA 191（2009）173-193]，其中作者导出了泛函分析设置中的适定性、定态解及其渐近稳定性。在本文中，我们再次考虑[S. Cui，J. J. Müller：ARMA 191（2009）173-193]，但是在没有周期边界条件的情况下应对$x$变量，这从建模的角度来看是合理的。本文指出，与具有周期边界条件的模型相比，广义模型允许相同的稳态解。
2012-04-11 math.AP
Analysis of a nonlinear free boundary problem modeling the radial growth of two-layer tumors
该研究分析两层肿瘤径向生长的非线性自由边界问题，利用最大值原理证明全局适定性、唯一营养阈值及稳态解的存在性与全局渐近稳定性。
2025-01-08 math.AP
Long-time behavior of an angiogenesis model with flux at the tumor boundary
本文用一个非线性的偏微分方程系统来模拟肿瘤诱导的血管生成，只考虑了肿瘤血管生成因子和内皮细胞之间的相互作用。所考虑的模型假设在肿瘤边界处的非线性通量和非线性趋化反应。证明了一些关键参数的选择影响系统的长期行为。更准确地说，我们显示了不同的半平凡的定态的不同范围内的参数的解决方案的收敛性。
2012-02-21 math.AP
Bifurcation analysis for a free boundary problem modeling tumor growth
本文讨论了一个模拟非坏死性肿瘤生长的自由边界问题，肿瘤被视为不可压缩流体，忽略组织弹性，且不存在化学抑制剂。我们重新表示的数学模型为一个算子方程，并通过使用分歧的论点，我们证明了存在的问题是不径向对称的稳态解。
2010-03-05 math.AP math.DS
Analysis of a mathematical model describing necrotic tumor growth
在本文中，我们研究了一个模型，描述了在不同制度的血管化坏死肿瘤的生长。肿瘤由坏死的死亡细胞核和周围的非坏死外壳组成。相应的数学公式是一个移动边界问题，其中两个边界的非坏死壳被允许在时间上发展。我们确定所有的径向对称稳态解的问题，并减少到一个非线性发展的移动边界问题。抛物理论为我们提供了完美的背景，以显示小的初始数据的问题的局部适定性。
2010-05-14 math.AP
Hopf bifurcation of a free boundary problem modeling tumor growth with angiogenesis and two time delays
研究了一类具有两个时滞的肿瘤生长模型的自由边界问题。这两个延迟分别代表细胞进行有丝分裂所花费的时间和由于细胞凋亡而改变细胞损失速率所花费的时间。我们研究了定态解的稳定性，发现在一定条件下存在Hopf分支，推广了Xu的结果。通过数值模拟研究了系统的血管生成率、两个时滞和Hopf分岔之间的关系。
2021-09-11 math.AP
Analysis of a free boundary problem modeling the growth of necrotic tumors
本文对一个模拟坏死肿瘤生长的自由边界问题进行了严格的数学分析。这个自由边界问题的一个显著特点是它包含两个不同类型的自由表面：一个是肿瘤表面，其发展受发展方程控制;另一个是肿瘤的活壳和坏死核之间的界面，它是一个障碍型自由表面，即，它的演化不是由发展方程控制的，而是由某种定常型方程决定的。在数学上，内自由面是由该模型中非线性反力函数的不连续性引起的，这是分析该自由边界问题的主要困难。以往的工作研究的是球对称情况，其实质是一维自由边界问题。本文的目的是在一般的球非对称情况下进行严格的分析。应用Nash-Moser隐函数定理，证明了当球面为小扰动时，内自由曲面是光滑的，且光滑地依赖于外自由曲面.应用这个结果和巴拿赫流形上抛物型微分方程的一些抽象结果，我们证明了这个自由边界问题的唯一径向定常解在小的非径向扰动下是渐近稳定的.
2019-03-10 math.AP
Linear stability of the first bifurcation in a tumor growth free boundary problem via local bifurcation structure
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
本文研究了肿瘤生长自由边界问题中第一分支的线性稳定性，利用分支曲线结构克服分析困难，揭示了非径向对称扰动下的不稳定性。
2026-01-22 math.AP
Analysis of a nonlinear free-boundary tumor model with three layers
本文研究球对称三层肿瘤的非线性自由边界问题，通过开发非线性分析方法克服自由边界与营养消耗率不连续性困难，证明了径向稳态解的存在唯一性及其全局渐近稳定性。
2025-11-01 math.AP
Long-time Dynamics for a Cahn-Hilliard Tumor Growth Model with Chemotaxis
描述肿瘤生长过程的数学模型已经由几位作者制定，以了解癌症如何发展并开发新的治疗方法。在这项研究中，目的是研究两相扩散界面模型的长期行为，该模型在[11]中提出，将肿瘤组织建模为癌细胞和健康细胞的混合物。到目前为止，对该模型长期行为的研究忽略了对肿瘤生长有重要影响的趋化性和主动转运。在本研究中，我们的主要目的是研究这个具有趋化性和主动运输的模型。证明了该问题弱解在全相空间$H^1 (Ω) \times L^2 (Ω)$中的渐近紧性结果。在质量守恒的相空间中建立了全局吸引子的存在性。我们还证明了全局吸引子等于源自驻点集的非稳定流形。此外，我们得到的整体吸引子具有有限的分形维数。
2020-05-06 math.AP
Theoretical and numerical analysis for a hybrid tumor model with diffusion depending on vasculature
在这项工作中，我们分析了一个PDE-ODE问题建模的胶质母细胞瘤，其中包括一个各向异性的非线性扩散项与扩散速度增加相对于脉管系统的演变。首先，我们利用正则化技术，通过在常微分方程组中的人工扩散和不动点论证，证明了该方程组在时间上整体弱强解的存在性。此外，在参数约束下，给出了系统临界点的稳定性结果。最后，我们设计了一个完全离散的有限元计划的模型，保持逐点和能量估计的连续问题。
2021-09-19 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of a mathematical model for the growth of cancer cells
本文提出了一个二维多层肿瘤生长模型。该模型由肿瘤细胞膜的自由边界问题组成，假设肿瘤由于细胞增殖或细胞死亡而生长或收缩。生长过程由扩散的营养物浓度$σ$引起，并由细胞内压$p$控制。我们假设肿瘤占据一个带状区域，在$y=0$上有一个固定边界和一个自由边界$y=ρ(x)$，其中$ρ$是一个$2π$ -周期函数。首先，我们证明了解决方案的存在性$(σ,p,ρ)$和该模型允许特殊的固定解决方案。作为主要结果，我们建立了这些平衡点在小扰动下局部渐近稳定。
2012-04-11 math.AP
Modelling formation of stationary periodic patterns in growing population of motile bacteria
本文通过线性与非线性Fourier分析，研究趋化活性细菌增长种群中稳态周期图纹的形成条件及其振幅、波长等特征，并用数值模拟验证结果。
2024-06-11 math.AP
Well-posedness and regularity for a fractional tumor growth model
本文研究了三个演化算子方程的系统，方程中含有自伴的、单调的、无界的、具有紧预解式的线性算子的分数次幂。该系统构成了在Hawkins-Daarud等人（Int.J.Numer.数学生物医学Eng.28（2012），3-24），并在最近由本作者和E.罗卡该模型包括一个Cahn-Hilliard方程的肿瘤细胞分数，耦合到一个反应扩散方程的功能S代表的营养丰富的细胞外水的体积分数。忽略流体运动的影响。本文中研究的推广是由控制模型的不同成分的演化的扩散机制可能不同（例如，分数）类型。在相当一般的假设下，证明了其适定性和正则性。特别地，通过将控制化学势演化的方程写成一般的变分不等式的形式，还可以承认对数或双障碍型对能量密度的奇异或非光滑贡献。
2019-06-26 math.AP
Long time dynamics of a phase-field model of prostate cancer growth with chemotherapy and antiangiogenic therapy effects
我们考虑了一个在[2]中引入的具有化疗和抗血管生成治疗效应的前列腺癌生长的相场模型。它由描述肿瘤生长的相场方程和描述肿瘤一般营养素的反应扩散方程组成。另外的方程耦合前列腺组织中前列腺特异性抗原（PSA）的浓度，并且其服从线性反应扩散方程。该系统完成与齐次Dirichlet边界条件的肿瘤变量和Neuman边界条件的营养和PSA的浓度。在这里，我们研究了模型的长时间动力学。首先证明了该初边值问题在适当的相空间上生成一个强连续半群，且该半群在适当的相空间中具有全局吸引子。此外，我们还讨论了解到单个平稳态的收敛性，并在一定的系数条件下得到了一个收敛速度估计。
2020-10-21 math.AP
Stationary solutions to a nonlocal fourth-order elliptic obstacle problem
非局部四阶椭圆障碍问题所产生的建模与异质介电性能的微机电系统的静态解的存在性。利用模型的基本变分结构来构造这些解作为适当正则化能量的最小值，这使我们能够大大削弱上一篇文章中使用的模型假设。
2020-03-03 math.AP
Asymptotic analysis of a tumor growth model with fractional operators
本文研究了三个演化算子方程的系统，方程中含有自伴的、单调的、无界的、具有紧预解式的线性算子的分数次幂。该系统构成了最初在Hawkins-Daarud等人（Int. J. Numer.数学生物医学28（2012），3-24）。本文作者和E.罗卡该模型包括一个Cahn-Hilliard方程的肿瘤细胞分数，耦合到一个反应扩散方程的功能S代表的营养丰富的细胞外水的体积分数。忽略流体运动的影响。其动机是，控制模型的不同成分的演变的扩散机制可能是不同的（例如，分数）类型，本作者在最近的一份说明中研究了上述作品中研究的系统的推广。在相当一般的假设下，适定性和正则性的结果已被证明。特别地，通过将控制化学势演化的方程写成一般变分不等式的形式，还可以承认对数或双障碍型对能量密度的奇异或非光滑贡献。在本文中，我们进行了渐近分析的两个（小）松弛因子分别接近零，同时控制系统。相应的适定性和规律性的结果，建立相应的情况下，特别是，我们给出了一个详细的讨论，其中假设的容许非线性必须假设在每个发生的情况下。
2019-08-28 math.AP
On stationary solutions to reaction-diffusion equations with nonlocal term
本文得到了一类带约束的椭圆型非局部问题径向解的存在性。这个问题产生于一些反应扩散方程建模等系统的自引力粒子时，寻找其固定的解决方案。
2011-01-07 math-ph math.AP math.MP
A non-stationary model for catalytic converters with cylindrical geometry
我们证明了一些存在性和唯一性的结果和一些定性性质的解决方案的系统建模的催化转化在气缸。该模型将抛物型偏微分方程耦合在圆柱区域及其边界上。
2006-03-01 math.AP
A result on the existence and uniqueness of stationary solutions for a bioconvective flow model
本文证明了Tuval等人提出的生物对流问题的定常情形下的边值问题弱解的存在唯一性。（2005，{ \it PNAS} 102，2277- 2282）。利用Gossez定理，我们得到了该方程的弱解的一些适当的先验估计，从而证明了任意两个解的存在性和唯一性.
2017-12-10 math.AP
Optimization of the total tumor population under Gompertz growth
Università della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉范维泰利大学）
研究基于Gompertz增长的肿瘤细胞群体空间分布稳态反应扩散模型的最优控制问题，通过理论分析得出内在增长率恒定时均匀分布是极小值等结论，数值模拟补充分析，揭示优化总体积对扩散系数的单调依赖这一新现象。
2026-07-28 cs.NA math.AP math.NA
Nonlocal Cahn-Hilliard equation with degenerate mobility: Incompressible limit and convergence to stationary states
本文首次在组织生长模型中引入非局部表面张力项，研究退化非局部Cahn-Hilliard方程的不可压缩极限，证明弱解长期收敛到常数稳态，且表面张力不阻碍肿瘤完全侵袭。
2023-05-10 math.AP
Stability analysis of hyperbolic-parabolic free boundary problems modelling biofilms
该研究针对生物膜建模中的两类双曲-抛物自由边界问题，通过两步分析证明了稳态解的存在唯一性及经典解的收敛性，并将研究拓展至带变扩散系数的沉淀模型。
2025-03-25 math.AP
A Bayesian Approach to Modelling Biological Pattern Formation with Limited Data
生物组织中的模式形成在生物体的发育中起着重要作用。自从阿兰·图灵的经典工作以来，一种杰出的建模方法就是通过反应扩散机制。最近，已经提出了替代模型，将扩散分子信号的动力学与组织力学联系起来。为了区分不同的模型，应该将它们与实验观察进行比较。然而，在许多实验情况下，只有有限的，稳定的模式形成过程的制度是可观察的，没有知识的瞬态行为或初态。所有替代模型中的基本动态的不稳定性质使模型和参数识别严重复杂化，因为初始条件的微小变化会导致不同的平稳模式。为了克服这个问题，可以将模型的初态随机化。在后一种情况下，模型参数的固定值对应于模式族而不是固定的静态解，并且标准方法直接将模式数据与模型输出进行比较，例如，在最小二乘意义上，是不合适的。相反，应该比较模式的统计特性，这在实际应用中通常有限的可用数据量的情况下是困难的。为了解决这个问题，我们扩展了最近开发的统计方法，使用模式数据，所谓的相关积分Likestive（CIL）方法的参数识别。我们建议修改，允许增加识别过程的准确性，而不需要重新配置数据集。所提出的方法进行了测试，使用不同类别的图案形成模型。对于所有考虑的方程，并行GPU为基础的实现的数值求解器与有效的时间步进计划。
2023-01-26 math.AP q-bio.QM
How does the spreading speed associated with the Fisher-KPP equation depend on random stationary diffusion and reaction terms?
本文考虑具有随机平稳遍历系数的一维Fisher-KPP型反应扩散方程。Freidlin和Gartner [16]的一个经典结果得出，与计算机支持的初始数据相关联的初值问题的解几乎肯定承认线性传播速度。在本文中，我们使用最近在[8]中证明的这种传播速度的新表征，以研究这种速度与扩散和反应项的非均匀性的依赖关系。我们证明，特别是增加一个反应项与零平均或重新调整变量变换x $\rightarrow$ x/L，与L \textgreater{} 1，加快传播。从建模的角度来看，这些结果意味着在介质中增加一些非均质性会提高侵入速度，而介质的破碎会减缓侵入速度。
2016-09-06 math.AP math.OC
