Partition properties of the dense local order and a colored version of Milliken's theorem
C. Laflamme, L. Nguyen Van Thé, N. W. Sauer
研究了可列齐次稠密局部序的有限维分拆性质。我们的一些结果使用的想法借用分区演算的理性，并得到感谢加强美利肯定理的树木。
We study the finite dimensional partition properties of the countable homogeneous dense local order. Some of our results use ideas borrowed from the partition calculus of the rationals and are obtained thanks to a strengthening of Milliken's theorem on trees.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Block Combinatorics
本文在块Schreier族（B^xi）的递归系统的背景下推广了Hindman和Milliken的块组合分拆定理，该族由为每个可数序数xi定义的族组成。结果包含（a）一个块划分拉姆齐定理为每个可数序数xi（Hindman的定理对应于xi=1，和米利肯的定理，以xi有限序数），（b）一个可数序数形式的块纳什-威廉姆斯划分定理，和（c）一个可数序数块划分定理封闭在无限块类似的埃伦塔克的拓扑。
An abstract formulation of image partition regularity
受V. Bergelson和John H.Johnson Jr.的论文[1]的启发，莫雷拉，我们制定了一个抽象版本的图像分割规律。为了建立结果，我们使用了第一进入条件的变体，并且对于无限情况，我们将我们的工作包含到密立根-泰勒系统中。
A note on enumerating colored integer partitions
在这篇短文中，我们给出了着色整数分拆的基本计数结果。
On the number of colored Birch and Tverberg partitions
2009年，Blagojevic，Matschke & Ziegler建立了第一个紧着色Tverberg定理，但没有给出着色Tverberg分拆个数的下界。我们开发了我们以前的结果（2008年）的彩色版本，我们扩展了我们的结果从无色版本：均匀性和非平凡的下界的数量着色Tverberg分区。这是从类似的结果的数量彩色伯奇分区。
2-colored Rogers-Ramanujan partition identities
本文将两类划分结合起来，引入了2-色Rogers-Ramanujan划分。通过构造一些函数方程，利用构造性的方法，得到了一些恒等式，其中一些超分割恒等式与我们的结果一致。提供了着色分区和过度分区之间的对应关系。
Some inequalities for $k$-colored partition functions
受Bessenrodt和Ono的一个配分不等式的启发，我们对所有的$k\geq2$得到了类似的$k$着色分拆函数$p_{-k}(n)$的不等式.这使我们能够将$k$着色分拆函数乘法扩展为$k$着色分区上的函数，并表征它何时具有唯一的最大值。最后，我们用一个加强我们结果的几何不等式来结束。
On colored set partitions of type $B_n$
推广Reiner关于$B_n$类型的集合划分的概念，我们通过分别对零块中的元素和非零块中的元素着色来定义着色的$B_n$ -划分。考虑着色$B_n$ -划分的生成函数，得到了随机着色$B_n$ -划分中非零块个数的期望和方差的精确公式.我们找到了着色$B_n$ -分区的总数的渐近表达式，误差为$O(n^{-1/2}\log^{7/2}{n})$，并证明了集中和归一化的非零块的数量是渐近正态的着色$B_n$ -分区。
Combinatorial Proofs for Overpartitions and Two-Colored Partitions II
本文为 Andrews 和 El Bachraoui 提出的关于受约束双色分拆和超分拆的剩余结果提供了组合证明。
Concerning partition regular matrices
有限或无限矩阵$A$是图像划分规则的，只要$\mathbb N$是彩色的，就必须有一些$\vec{x}$具有来自$\mathbb N$的条目，使得$A\vec{x}$的所有条目都在某个颜色类中。在[6]和[8]中，引入了中心象分块正则矩阵的概念，将有限象分块正则矩阵的结果推广到无限象分块正则矩阵。证明了中心像分块正则矩阵在对角和下是闭的。本文证明了两个矩阵的对角和也是象分块正则的，其中一个矩阵来自于全部Milliken-Taylor矩阵类，另一个矩阵来自于全部中心象分块正则矩阵类的一个适当子类.这将产生更多的图像分区规则矩阵。我们还研究了$\mathbb N$ $\cdot$有限划分的一个胞元内的多重结构
Big Ramsey degrees using parameter spaces
本文利用参数空间和Carlson-Simpson定理证明泛齐次偏序具有有限大拉姆齐度，并将该技术应用于三角形无关图、有限距离度量空间及Urysohn球面的振荡稳定性。
Colored partitions and the hooklength formula: partition statistic identities
我们给出了多个钩长的联合分布之间的关系，频率和部分尺寸的分区，扩展在这方面的先前工作。这些结果是通过研究Han/Nekrasov-Okounkov钩长公式和（k，j）-着色划分的截断而发现的，是k-着色划分和超划分的统一.我们建立了观察到的关系，在常数和线性项的所有n，并为j=2，在其二次项，与相关的钩/频率的身份。这种类型的进一步结果似乎是可能的。
On certain weighted 7-colored partitions
受Andrews的2色广义Frobenius划分的启发，我们考虑了一类加权7色分拆函数，建立了一些有趣的Ramanujan型恒等式和同余式.此外，我们还提供了一些模5和模7同余的组合解释。最后，我们研究了按某些划分统计量的奇偶性加权的加权7色划分的性质。
Stanley--Elder--Fine theorems for colored partitions
我们给出了一个新的证明划分定理俗称长老定理，但这也归功于斯坦利和罚款。我们将定理扩展到有色分区（或预制件）的上下文中。更具体地说，我们给出类似的结果$b$着色分区，其中每个部分出现在$b$颜色;为$b$着色分区与奇数部分（或不同的部分）;分区的部分$k$在$k$颜色;和overpartitions。
Avoiding Colored Partitions of Lengths Two and Three
对称群$S_n$中的模式避免在从堆栈排序到舒伯特簇的看似无关的问题之间提供了许多有用的联系。最近的工作将这些结果推广到$S_n\wr C_c$，其对象可以被看作是“有色排列”。另一个从研究排列中的模式避免发展而来的研究是$Π_n$中的模式避免，即$[n]$的集合划分的集合。集合划分中的模式避免是非交叉划分概念的推广。最近的结果在模式避免$S_n \wr C_c$的动机，我们提供了一个目录的初步结果，模式避免彩色分区，$Π_n \wr C_c$。我们注意到，有色集合分区并不是一个全新的概念。\emph{Signed}（2色）集分区出现在工作的比约纳和瓦克斯涉及同源的分划格。然而，我们试图在一个新的枚举上下文中研究这些对象。
Labeled Partitions with Colored Permutations
在本文中，我们推广了标记划分的概念与普通的排列，着色置换的意义下，颜色被赋予一个循环结构。我们利用带色置换的标号划分导出了色置换的$\mathrm{fmaj}_k$指数的生成函数。第二个结果是q-乱序数与着色置换的关系的组合处理，它导致Chow关于符号置换的公式和Faliharimalala和Zeng [10]关于着色置换的公式。第三个结果是一个对合置换，这意味着生成函数公式的签署q计数的主要指标由于Gessel和西蒙。这种对合可以扩展到有符号置换。这样，我们得到了Adin，Gessel和Roichman公式的组合解释.
Crossings and nestings in colored set partitions
Chen，Deng，Du，Stanley和Yan在集合划分中引入了$k$ -交叉和$k$ -嵌套的概念，并证明了$n$ -集合的划分中最大的$k$ -交叉和$k$ -嵌套的大小具有对称的联合分布。这项工作认为这些结果的推广，以设置分区的弧标记的$r$元素集（我们称之为\emph{$r$-colored set partitions}）。在这种情况下，$k$交叉或$k$嵌套是一系列弧，所有弧具有相同的颜色，它们形成通常意义上的$k$交叉或$k$嵌套。在证明了着色集划分中的最大交叉和嵌套的大小也具有对称的联合分布之后，我们考虑了几个相关的计数问题。我们证明了$r$ -着色集分区没有交叉弧相同的颜色是双射与某些路径在$\NN^r$，推广之间的对应关系的非交叉（无色）集分区和2-Motzkin路径。结合这与最近的工作Bousquet-Mélou和Mishna提供了一个证明，序列计数非交叉2色集划分是P-递归的。我们还讨论了我们的方法如何扩展到几个变化的彩色集分区与类似的概念的交叉和嵌套。
Congruences modulo powers of 5 for three-colored Frobenius partitions
出于Lovejoy的问题\cite{lovejoy}，我们表明，三色Frobenius分拆函数$\c3$和相关的算术功能$\cc3$消失模5的某些权力，在某些等差数列。
Linked partition ideals and Russell's three-colored partitions
研究拉塞尔引入的三色划分，用关联划分理想方法进一步计数各部分颜色，无需计算机代数系统，证实猜想并给出新三重罗杰斯 - 拉马努金型恒等式的组合理解。
Connections between colored restricted $b$-ary and ordinary partitions
该研究建立了带色有界普通分拆与带色二元、$b$元分拆间的联系，基于特殊递推关系得到带色$b$元分拆的恒等式及合成分拆相关结果。
Colored partitions of a convex polygon by noncrossing diagonals
对于任意正整数$a$和$b$，我们列举了所有由凸多边形的不相交对角线划分成边数与$b$模$a$全等的多边形的着色划分.对于这样的分区的数量由一个固定数量的对角线，我们给出了一个递归关系和一个明确的表示部分贝尔多项式。我们使用这些多项式的基本属性，有效地将限制类型的多边形中允许的分区。
Avoiding colored partitions of two elements in the pattern sense
避免模式对象的枚举是一个活跃的研究领域，与舒伯特簇和堆栈排序序列等不同的数学领域有联系。最近在这方面的研究引起了人们对着色排列和着色集划分的关注。集合$S$的着色分区是每个元素从集合$[k]=\{1,2,...,k\}$接收颜色的$S$的分区。令$Π_n\wr C_k$为具有来自$[k]$的颜色的$[n]$的分区的集合。在早期的工作中，作者研究了模式避免着色集分区的平等意义。在这里，我们从模式意义上研究有色分区中的模式避免。如果$σ$包含一个$π$的拷贝，当颜色被忽略并且$π$的拷贝上的颜色与$π$上的颜色顺序同构时，我们说$σ\inΠ_n\wr C_k$包含模式意义上的$π\in Π_m\wr C_\ell$。否则，我们说$σ$避免了$π$。我们把重点放在模式从$Π_2\wr C_2$，发现许多熟悉的和一些新的整数序列出现。我们尽可能提供双射证明，并提供计算新序列的公式。
Congruences modulo powers of 5 for $k$-colored partitions
令$p_{-k}(n)$枚举$n$的$k$着色分区的数量。本文建立了$k$ -着色划分的模25同余的无限族.进一步证明了$p_{-k}(n)$与$k=2, 6$和$7$模5幂的Ramanujan型同余的无穷族.例如，对于所有整数$n\geq0$和$α\geq1$，我们证明了\begin{align*} p_{-2}\left(5^{2α-1}n+\dfrac{7\times5^{2α-1}+1}{12}\right) &\equiv0\pmod{5^α} \end{align*}和\begin{align*} p_{-2}\left(5^{2α}n+\dfrac{11\times5^{2α}+1}{12}\right) &\equiv0\pmod{5^{α+1}}. \end{align*}
On a generalized crank for $k$-colored partitions
本文提出了一种用于$k$着色划分的广义曲柄（$k$ -曲柄）.在Andrews-Lewis和Ji-Zhao的工作之后，我们得到了这个新定义的$k$ -曲柄的两个结果.即首先得到了$m=2,3$和$4$的$k$ -曲柄数$M_{k}(r,m,n)$之间的不等式，然后证明了$k=2$和$3$的对称偶数$k$ -曲柄矩按宇称加权的正性.最后，我们就如何进一步推动在此开始的研究发表几点意见。
On a pair of three-colored (mod 10) partition identities
本文证明了一对模10的三色分拆恒等式，将三色不同部分分拆的生成函数与Rogers-Ramanujan乘积联系起来，并利用Maple验证函数方程。
Partitioning complete graphs by heterochromatic trees
{ \it异色树}是边-有色树，其中任意两个边具有不同的颜色。一个$r$边有色图$G$的{ \it异色树划分数}，记为$t_r(G)$，是最小正整数$p$，使得只要图$G$的边用$r$着色，$G$的顶点最多能被$p$顶点不相交异色树覆盖.本文确定了$r$ -边着色完全图的异色树划分数。
Some inequalities for Garvan's bicrank function of 2-colored partitions
为了给2色分拆函数的模$5$同余提供一个统一的组合解释，Garvan引入了一个加权向量划分的双秩统计量.本文利用$q$ -级数技巧和渐近公式，得到了$m=2$，$3$和$4$的双秩计数$M^{*}(r,m,n)$之间的一些不等式.这些不等式与Andrews和Lewis关于普通分拆的秩和曲柄数的结果是平行的。
On Partitioning Colored Points
P. Kirchberger证明，对于$\mathbb{R}^{d}$的有限子集$X$，使得$X$中的每个点都涂有两种颜色中的一种，如果$X$中的每个$d+2$或更少的点都可以沿着颜色分离，那么$X$中的所有点都可以沿着颜色分离。在本文中，我们展示了一个更丰富多彩的定理。
Multi-dimensional $q$-summations and multi-colored partitions
出于阿拉迪最近的多维广义西尔维斯特的经典身份，我们提供了一个简单的组合证明overpartition模拟，其中包含额外的参数跟踪不同颜色的上划线部分的数量。这个新的身份包括少数经典的结果作为特殊情况下，如柯西的身份，和产品的表达的三个经典的θ函数研究高斯，雅可比和Ramanujan。
The Littlewood decomposition via colored Frobenius partitions
本文利用Frobenius分拆给出Littlewood分解的另一种描述，并应用于自共轭分拆和双倍不同分拆，得到其$t$-核和$t$-商的新刻画。
Colored Vertex Models and Interacting Reverse Plane Partitions
该研究通过引入局域相互作用分析同形状反向平面分拆对的耦合，证明其与Yang-Baxter可积有色顶点模型的双射关系，借助Yang-Baxter方程算出对应生成函数，并给出零相互作用强度下耦合分拆对与单个同形状分拆的双射。
Non-Hyperoctahedral Categories of Two-Colored Partitions, Part II: All Possible Parameter Values
这篇文章是一个系列文章的一部分，目的是对双色划分的所有非超八面体范畴进行分类。由某些Tannaka-Krein型构成的量子群，得到了一类特定量子群的余表示范畴。然而，我们的系列文章是纯粹的组合。在第一部分中，我们介绍了一类参数，这引起了许多新的非超八面体类别的分区。在本文中，我们表明，这个类实际上包含所有可能的参数值的所有非超八面体类别的分区。这是对所有非超八面体类别进行分类的重要一步。
On 2-colored graphs and partitions of boxes
证明了如果图G的边可以着色为蓝色或红色，且每个顶点都属于每种颜色的单色k-团，则G至少有4（k-1）个顶点。这证实了Bucic、Lidicky、Long和Wagner（arXiv：1805.11278[math.CO]）的一个猜想，从而解决了他们关于具有k-穿透性质的离散盒的划分问题的二维情况。我们还描述了平等的情况下，我们的结果。
A proposed crank for $(k+j)$-colored partitions, with $j$ colors having distinct parts
本文推广了着色分拆的crank理论，借鉴已有研究的生成函数技术，定义了j色为互异分拆的(k+j)着色分拆的crank生成函数，给出三类无穷族并猜想通用形式，丰富了分拆同余相关研究。
Colored base-3 partitions, sequences of polynomials, and perfect numbers
受含偶完全数子序列的三进制着色分拆计数启发，研究者定义四变量多项式序列并研究其性质，探讨两类切比雪夫多项式相关子序列，还分析了具组合意义与特殊零点分布的单变量多项式序列。
Modular Forms and $k$-colored Generalized Frobenius Partitions
设$k$和$n$为正整数。设$cϕ_{k}(n)$表示$n$的$k$着色广义Frobenius划分的个数，$\mathrm{C}Φ_k(q)$表示$cϕ_{k}(n)$的生成函数.本文利用模形式理论对$\mathrm{C}Φ_k(q)$进行了研究，发现了$\mathrm{C}Φ_k(q)$新的令人惊讶的性质。
Bijections between colored compositions, Dyck paths, and polygon partitions
该研究通过识别并装饰合成、Dyck 路径与凸多边形剖分中的构建块，构造了保持部分且支持彩色情形的双射，从而统一刻画三类组合对象。
Colored posets and colored quasisymmetric functions
着色拟对称函数与经典拟对称函数一样，也是一个具有自然峰子代数的霍普夫代数.我们展示了这些代数是如何作为着色偏序集代数的图像出现的。为了实现这种方法，我们引入了$P$ -分区和富集的$P$ -分区的有色类似物。我们还框架我们的结果在阿吉亚尔，Bergeron和Sottile的组合霍普夫代数和它的有色模拟理论。
Congruences for an arithmetic function from 3-colored Frobenius partitions
设$a(n)$定义为$\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n := \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{3n})(1-q^n)^3}.$本文证明了对每个非负整数$n$，a（15 n +6）\equiv 0 \pmod{5}，a（15 n +12）\equiv 0 \pmod{5} .作为推论，我们得到了Ono的一些结果
The classification of tensor categories of two-colored noncrossing partitions
我们的基本对象是划分成不相交的子集的点的有限集。我们研究的分区下，采取张量积，合成和对合，并包含一定的基础分区是封闭的。这些所谓的分区类别正是在Banica和Speicher的正交易量子群理论中使用的张量类别。在我们的方法中，我们还允许点的着色。这是引入幺正易量子群的基础，这将在另一篇文章中完成。然而，本文纯粹是组合性的。我们发现所有类别的双色不相交分区。为此，我们提取了某些参数，这些参数的值以自然数表示，这些参数指定了全局和局部级别上类别的着色。结果是，有十个系列的类别，每个系列由一个或两个来自自然数的参数索引，再加上两个额外的类别。这只是双色划分范畴分类的开始，我们在文章的最后指出了一些有待解决的问题。
Vertex-partitions of 2-edge-colored graphs
针对2边着色图的顶点划分问题，受有向图多数着色启发，提出$k$-多数划分概念，证明其存在4-多数划分、判定3-多数划分是NP完全问题，并给出存在平衡3-多数划分的图的度条件。
Warnaar's bijection and colored partition identities, II
在我们的前一篇文章中，我们确定了一个统一的组合框架来看待大量的有色划分恒等式，并研究了对应于Schroeter，Russell和Ramanujan型素数阶例外模方程的五个恒等式。本文的目标是使用我们以前的工作的主双射组合显示几个新的和高度非平凡的有色划分身份。最后，我们列出了一些与证明相同类型的进一步有趣的恒等式。
Congruences modulo powers of $3$ for $6$-colored generalized Frobenius partitions
本文研究6色广义弗罗贝尼乌斯划分函数cϕ_6(n)的同余性质，采用Banerjee和Smoot发展的方法验证了Gu等人提出的猜想。
Some identities on Lin-Peng-Toh's partition statistic of $k$-colored partitions
本文针对Lin-Peng-Toh引入的k-着色分拆统计量$NB_k(r,m,n)$，证明了若干类似于Ramanujan“最美恒等式”的恒等式，并由此重新推出Lin、Peng和Toh先前证明的若干同余式。
Proof of a Conjecture on 6-colored Generalized Frobenius Partitions
设$cϕ_{k}(n)$是$k$ -着色的广义Frobenius配分函数。利用Hirschhorn给出的$cϕ_{6}(3n+1)$的生成函数，证明了$cϕ_{6}(27n+16)\equiv 0$（mod 243）.这证实了E.X.W.夏我们还发现了一个同余关系$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 3 cϕ_{6}(9n+7)$（mod 243）。此外，我们还证明了$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 0$（mod 81）、$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 243）和$cϕ_{6}(729n+ 547) \equiv 0$（mod 243）。我们进一步推测，对于$n\ge 0$，$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 729）。
N-colored generalized Frobenius partitions: Generalized Kolitsch identities
设$N\geq 1$与$(N,6)=1$无平方。设$cϕ_N(n)$表示Andrews在1984年引入的$n$的$N$ -着色广义Frobenius划分的个数.证明了$$ cϕ_N(n)= \sum_{d \mid N} N/d \cdot P\left( \frac{ N}{d^2}n - \frac{N^2-d^2}{24d^2} \right) + b(n)$$，其中$C(z) := (q;q)^N_\infty\sum_{n=1}^{\infty} b(n) q^n$是$S_{(N-1)/2} (Γ_0(N),χ_N)$的尖点形式.这推广和加强了Kolitsch和Chan-Wang-Yan处理$N$是素数时的结果。作为直接应用，我们得到了$cϕ_N(n)$在经典分拆函数下的一个渐近公式.
Arithmetic properties of $(\ell,m)$-regular colored partitions
该研究针对不含$\ell$或$m$倍数部分的$k$着色分拆数$b^{k}_{\ell,m}(n)$，建立了若干同余关系，并给出了如$b^{2}_{4,5}(8n+7)\equiv0\pmod{40}$的具体实例，丰富了分拆函数的算术性质研究。
Asymptotics for $k$-crank of $k$-colored partitions
本文利用Hardy-Ramanujan圆法研究k-着色分拆的k-crank，推广了Fu和Tang关于M_k(a,c;n)的不等式结果，并进一步建立了对数凹性与对数次可加性等新不等式关系。
Congruences Modulo Powers of 3 for 3- and 9-Colored Generalized Frobenius Partitions
令$cϕ_{k}(n)$是$n$的$k$ -着色广义Frobenius划分的数目。我们建立了$cϕ_{3}(n)$和$cϕ_{9}(n)$模3的任意幂的同余的无限族，改进了Kolitsch的结果.以$k\ge 3$和$n\ge 0$为例，我们证明了\[cϕ_{3}\Big(3^{2k}n+\frac{7\cdot 3^{2k}+1}{8}\Big) \equiv 0 \pmod{3^{4k+5}}.\].我们对$cϕ_{9}(n)$满足的同余式给出了两种不同的证明.其中一个证明使用了Kolitsch提出的$cϕ_{9}(n)$和$cϕ_{3}(n)$之间的关系，本文对此给出了一个新的证明.
Non-Hyperoctahedral Categories of Two-Colored Partitions, Part I: New Categories
紧量子群可以通过研究它们的共表示范畴来研究，类似于Schur-Weyl/Tannaka-Krein方法。对于特殊类的（酉）“易”量子群，这些范畴产生于一个组合结构：双色点的重叠形成对象，两个这样的行的划分形成态射;垂直/水平连接和反射给出合成、么半群乘积和对合。四个可能的类$\mathcal{O}$，$\mathcal{B}$，$\mathcal{S}$和$\mathcal{H}$这样的类别（灵感分别由经典的正交，双随机，对称和超八面体群），我们对待前三个-非超八面体的。我们介绍了许多新的例子，这样的类别。它们根据块大小、着色和非交叉条件的微妙组合来定义。这篇文章是分类所有非超八面体类别的双色分区的努力的一部分。这篇文章本质上是纯组合的;量子群方面被遗漏了。
Two-colored generalized Frobenius partitions and minimal-excludant sums over bipartitions
研究两种双色Frobenius划分的计数，通过组合证明将其与双划分的最小排除统计量之和及相等情况联系起来。
Decomposition of bi-colored square arrays into balanced diagonals
给定一个$n\times n$数组$M$（$n\ge 7$），其中每个单元都被着色为两种颜色中的一种，我们给出了$M$划分为$n$对角线的一个充要条件，每个对角线至少包含每种颜色的一个单元.因此，如果每种颜色出现在至少$2n-1$单元中，则存在这样的分区。证明使用的结果完成部分拉丁方。
Arithmetic Properties of Colored Partitions Restricted by Parity of the Parts
本文研究了受部分奇偶性限制的多色划分数目$a_{r,s}(n)$的算术性质，采用生成函数和$q$-级数技术进行分析。
Topological Recursion for the extended Ooguri-Vafa partition function of colored HOMFLY-PT polynomials of torus knots
我们证明了拓扑递归应用于环面结的有色HOMFLY-PT多项式的谱曲线再现了一个特殊的配分函数的n点函数，称为扩展的Ooguri-Vafa配分函数。这推广和改进了Brini-Eynard-Marino和Borot-Eynard-Orantin的结果。我们还讨论了这种情况下谱曲线拓扑递归的表述如何适用于Alexandrov-Chapuy-Eynard-Harnad建立一般加权双Hurwitz数配分函数（a.k.a.超几何型的KP τ-函数）。
Categories of Two-Colored Pair Partitions, Part II: Categories Indexed by Semigroups
在幺正易量子群的框架下，我们研究了正交群的表示论的Schur-Weyl方法的一个类似.我们考虑具体的组合范畴，其态射是通过将有限集合划分为基数为2的不相交子集而形成的;这些集合的点被涂成黑色或白色。这些范畴对应于酉群和王的量子对应物之间的“半自由易”插值。我们完成了所有这类范畴的分类，证明了某个自然中点的子范畴等价于自然数的加法子半群;在此中点以上的范畴已在前面的文章中进行了分类。我们实现这一点，使用组合手段排他。我们的工作表明，半解放的过程是完全不同的，从以前已知的正交的情况。
A uniform proof approach for congruences modulo 3 for partitions with $k$-colored odd parts
本文为带$k$色奇数部分的分拆函数$a_k(n)$建立模3同余的统一证明框架，从而证明无限族非嵌套同余。
Affine partitions and affine Grassmannians
给出了仿射外尔群模其外尔群的商中元素与某些色划分之间的一个双射.根据博特公式，这些有色分区产生了一些分区恒等式。在某些类型中，这些身份以前曾出现在Bousquet-Melou-Eriksson，Eriksson-Eriksson和Reiner的工作中。在其他类型的身份似乎是新的。对于类型$A_{n}$，仿射着色划分形成具有$n+1$ -核心划分和$n$ -有界划分的双射中的另一族组合对象。我们的主要应用是仿射Grassmannian的仿射分区和推广的Young格，细化弱序，是一个子集的Bruhat秩序的合理光滑的舒伯特品种的特点。有几个证明是计算机辅助的。
Congruence families modulo powers of $7$ for $4$-colored generalized Frobenius partitions
本文运用Chen-Zhu模变换框架研究4色广义Frobenius分拆$cψ_{4,β}$，给出模7的幂的Ramanujan型同余族新例证，并显著简化了证明。
Warnaar's bijection and colored partition identities, I
我们提供了一个一般的和统一的组合框架，一些有色划分的身份，其中包括五个，最近证明的分析B。Berndt，它们对应于H.施罗特河Russell和S.拉马努金我们的方法推广了S。Kim给出了这五个恒等式中两个的双射证明，即模7恒等式（也称为Farkas-Kra恒等式）和模3恒等式。作为我们的方法的结果，我们确定双射证明也为两个高度非平凡的身份模5和11，从而留下开放的组合只有一个模23。
Proof of a Conjecture of Cui, Gu and Tang on 18-Colored Generalized Frobenius Partitions
本文研究k着色广义Frobenius分拆数的同余性质，证明了Cui等人关于cφ₁₈(3n+2)模2187为0的猜想，同时得到cφ₁₆(n)和cφ₁₈(n)的其他同余结果。
Restricted k-color partitions
我们将overpartitions推广到（k，j）-colored partitions：k-colored partitions，其中每个部分大小最多可以有j种颜色。我们发现了许多同余和其他对称性。我们使用各种各样的工具来证明我们的定理：生成函数剖分、模形式、双射和其他组合映射。我们发现连接到除数和，韩/Nekrasov-Okounkov钩长公式和一个可能的方法，有限化，和其他主题，表明丰富的矿山的结果是可用的。
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