Z4-Linear Perfect Codes
Denis Krotov
对于每个$n = 2^k > 8$，存在恰好$[(k+1)/2]$互不等价的$Z_4$ -距离为4的线性扩展完美码。所有这些代码都有不同的等级。
For every $n = 2^k > 8$ there exist exactly $[(k+1)/2]$ mutually nonequivalent $Z_4$-linear extended perfect codes with distance 4. All these codes have different ranks.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Two Optimal One-Error-Correcting Codes of Length 13 That Are Not Doubly Shortened Perfect Codes
长度为13的双缩短完美码利用[PRJ Östergård and O. Pottonen，长度为15的完美二进制1-纠错码：第一部分-分类，IEEE Trans. Inform。理论，出现];有117821个这样的（13，512，3）代码。通过对这些码进行切换操作，得到另外两个（13，512，3）码，它们不是双倍缩短的完美码。
Product Constructions for Perfect Lee Codes
Golomb和Welch的一个著名猜想是，Lee和Manhattan度量中唯一的非平凡完美码具有长度2或最小距离3。在过去的四十年里，这个问题和相关的主题得到了广泛的研究。本文给出了完全Lee码和直径完全Lee码的两种乘积结构。这些结构产生了大量的非线性完美码和非线性直径完美码的李和曼哈顿度量。本文还讨论了Lee度量和Manhattan度量中关于完美码的一个简短的综述和其它相关问题。
Full-Rank Perfect Codes over Finite Fields
本文提出了有限域上满秩q元1-完全码的一种构造方法。这种构造是Etzion和Vardy构造满秩二进制1-完美码（1994）的推广。研究了q元汉明码的i分量的性质，并在此基础上构造了满秩q元1-完美码。将1-完全码的开关构造推广到q元情形。本文给出了1-完全码的i-分量概念的推广，并引入了q元1-完全码的（i，σ）-分量概念。我们还给出了Lindström和Schönheim构造q元1-完美码的推广，并提供了长度为n的成对不同q元1-完美码数量的下界。
On Perfect Codes in the Johnson Graph
本文考虑Johnson图J（n，w）中非平凡完美码的存在性.我们目前的组合和数论技术，提供必要的条件存在这样的代码和减少的参数范围内，1-完美和2-完美的代码可能存在。
On the structure of non-full-rank perfect codes
将2000年提出的完美1-纠错二进制码的Krotov组合构造方法和Heden的一个定理推广到$q$ -元情形，即所有非满秩的完美1-纠错二进制码都可以由这种组合构造方法构造.简单地说，每个非满秩完美码$C$是定义良好的$μ$ -分量$K_μ$族的并集，其中$μ$属于“外部”完美码$C^*$，并且这些分量彼此相距3。因此，不同码的分量可以自由地组合以获得新的完美码。推广了1984年Phelps关于完美二进制码的一般乘积构造，得到了完美1-纠错$q$ -元码的$μ$ -分量，并给出了其个数的新下界.
On non-full-rank perfect codes over finite fields
本文研究了有限域上具有$q$元素的完美1-纠错码（简称$q$ -ary 1-完美码）.证明了长度为$n = (q^{m}-1)/(q-1)$的$q$元非满秩1-完美码的正交码是汉明重量等于$q^{m - 1}$的$q$元常重码，其中$m$是不小于2的任意自然数.本文给出了非满秩$q$ -ary 1-完美码的充要条件。我们提出了一个推广的级联结构的$q$ -ary的情况下，并构建了三元1-完美码的长度为13和秩为12。
Quasi-perfect codes in the $\ell_p$ metric
我们考虑准完美码在$\mathbb{Z}^n$的$\ell_p$度量，$2 \leq p < \infty$。通过计算的方法，我们确定所有的半径，有线性准完美码的$p = 2$和$n = 2, 3$。此外，我们研究了具有一定的\textit{degree of imperfection}的码，这是一个推广了拟完美码的概念。最小程度的缺陷的代码的数值结果。
The Error Probability of Generalized Perfect Codes via the Meta-Converse
我们引入了一个定义的完美和准完美码的对称信道参数化的辅助输出分布。这个概念推广了以前的完美码和准完美码的定义，并包含了最大距离可分码。这些代码的错误概率，只要它们存在，示出与元逆下界提供的估计相吻合。我们说明了所提出的定义如何自然地扩展到覆盖几乎无损的信源信道编码和有损压缩。
No More Perfect Codes: Classification of Perfect Quantum Codes
我们解决了完美量子码的分类问题。我们证明了唯一的非平凡完美量子码是那些参数。不存在其他非平凡的完美量子码。
Product Perfect Z2Z4-linear codes in Steganography
乘积完美码已被证明可以提高F5隐写方法的性能，而完美Z2 Z4-线性码最近被引入作为一种有效的嵌入数据的方法，符合+/-1-隐写。在本文中，我们提出了两种隐写方法。一方面，推广了乘积完美码。另一方面，这种推广适用于完美Z2 Z4-线性码。最后，所提出的方法的性能进行评估和比较与上述计划。
On the Existence of Perfect Codes for Asymmetric Limited-Magnitude Errors
研究了一种纠正有限大小非对称错误的分组码。这些代码最近已被应用于闪存中的纠错。代码将表示为格和结构将基于西顿序列的推广。特别是，我们将考虑这些类型的错误的完美代码。
Properties of Codes in the Johnson Scheme
达到球填充界的码被称为完美码。编码理论中定义完美码的最重要的度量是汉明度量和约翰逊度量。对于Hamming度量，有限域上的所有完美码都是已知的，而在Johnson度量中，Delsarte在20世纪70年代证明了不存在非平凡的完美码。一般不存在性的证明仍然是一个悬而未决的问题。在这项工作中，我们研究等重码以及双重等重码，并减少完美的代码可能存在于这两种情况下的参数范围。我们从等重码开始。利用Johnson图J（n，w）中的完美码与块设计之间的联系，对单完美码的Roos界进行了改进，并给出了一些新的可除性条件.接下来，我们考虑完美码的二项式矩。我们展示了哪些参数可以排除一完美码。我们研究了J（2 w，w）中的两个完美码，并提出了存在这样的代码的必要条件。证明了在J（2 w，w）中不存在长度小于2.5*10^{15}的二完美码。接下来，我们研究完美双等重码。本文提出了一种码的参数族，其码的球的大小能整除整个空间的大小。然后，我们证明了这样的码的长度的一个界，类似于Roos的约翰逊图中的完美码的界。最后，我们描述了Steiner系统和双Steiner系统，它们分别与等重码和双等重码强连通。给出了Steiner系统长度上界的一个基于反码的证明，证明了双Steiner系统是直径完美码，并给出了双Steiner系统长度上界的一个估计。
Perfect Hermitian rank-metric codes
本研究探讨厄米特秩度量码，建立球体大小界限，证明非平凡完美码不存在，并分析其覆盖密度。
The Perfect Binary One-Error-Correcting Codes of Length 15: Part I--Classification
本文给出了长度为15的最佳二进制1-纠错码及其长度为16的扩展码的一个完整分类。有5983个这样的不等价完美码和2165个扩展完美码。这些代码的有效生成依赖于最近的分类斯坦纳四元系统的顺序16。利用Blackmore的结果，对长度为14的最优二进制1-纠错码和（15，1024，4）码也进行了分类，分别有38408和5983个。
On perfect codes that do not contain Preparata-like codes
我们表明，对于形式$4^k-1$的每个长度，都存在一个二进制$1$完美代码，该代码不包括任何类似Preparata的代码。
Perfect Mannheim, Lipschitz and Hurwitz weight codes
本文给出了Gauss整数、Lipschitz整数和Hurwitz整数上码关于Mannheim度量、Lipschitz度量和Hurwitz度量的上界.
Z4-linear Hadamard and extended perfect codes
若$N=2^k > 8$，则存在$[(k-1)/2]$两两非等价的$Z_4$ -线性Hadamard $(N,2N,N/2)$ -码和$[(k+1)/2]$两两非等价的$Z_4$ -线性扩展完美$(N,2^N/2N,4)$ -码.给出了$Z_4$ -线性Hadamard码的一种递归构造.
MDS and $I$-Perfect Codes in Pomset block Metric
本文建立了环$\mathbb{Z}_m$上长度为$N$的pomset分组码（$(Pm,π)$ -码）的Singleton界.我们给出了码在pomset（块）度量中为MDS的必要条件，并证明了每个MDS $(Pm,π)$ -码都是MDS $(P,π)$ -码。然后，我们继续寻找$I$ -完美和$r$ -完美码。此外，给出了一个理想的部分和完整的计数，我们看看MDS和$I$完美的代码是如何相互关联的。对于链尾集，我们得到了长度为$N$/$\mathbb{Z}_m$的尾集分组码的对偶定理，并由此确定了MDS尾集分组码的重量分布.
Perfect Space Time Block Codes
在本文中，我们介绍了完美的空时分组码（STBC）的概念。这些码具有全速率、全分集、非零常数最小行列式以提高频谱效率、均匀的天线平均发射能量和良好的成形性。我们提出了代数结构的完美STBC为2，3，4和6天线。
Perfect Codes Correcting a Single Burst of Limited-Magnitude Errors
受DNA存储、闪存和磁记录应用的启发，我们研究了有限幅度错误信道的完美突发校正码。这些代码是用适当的错误球平铺整数网格的网格。我们构造两类这样的完美的代码纠正一个单一的突发长度$2$为$(1,0)$ -有限的幅度错误，无论是循环和非循环突发。我们还提出了一个通用的建设，需要一个原始元素在有限域中的特定属性。然后，我们表明，在各种参数制度，这样的原始元素存在，因此，存在无限多的完美的突发校正码。
Weight Spectrum of Quasi-Perfect Binary Codes with Distance 4
本文研究了一类码距为4的拟完美二元线性码的重量谱。例如，扩展汉明码和Panchenko码是该类的已知成员。此外，已知在许多情况下Panchenko码具有最小数量的权重为4的码字。给出了拟完美码及其对偶码的重量谱的精确递推公式。作为应用的权重谱的一个例子，我们推导出一个较低的估计的条件概率校正的擦除模式的高权重（等于或大于代码的距离）。
Perfect Space-Time Codes with Minimum and Non-Minimum Delay for Any Number of Antennas
完美空时码是由Oggier等人首先提出的。这些空时码具有全速率、全分集增益、用于增加频谱效率的非零行列式、每个天线均匀的平均发射能量以及良好的星座成形。这些定义条件共同对应于独立于信道统计的相对于Zheng-Tse D-MG折衷的最优性，以及最大化互信息的接近最优性。所有上述特征赋予代码当前无法比拟的错误性能。然而，完美的空时码仅被构造为2，3，4和6个发射天线。我们构造最小和非最小延迟完美码的所有信道尺寸。
On Nearly Perfect Covering Codes
本文研究覆盖半径为1的近乎完美覆盖码，将其按相邻码字最小距离分为三类族，刻画其构造、重量与距离分布等性质，并基于扩展码定义三类码的等价类。
Nonexistence of perfect permutation codes under the Kendall τ-metric
在用于闪存的秩调制方案中，已经研究了置换码。本文研究了Kendall τ-度量下$S_n$（$n$元素上所有置换的集合）中的完美置换码.我们回答了一个由Buzaglo和Etzion提出的开放问题。即在Kendall τ-度量下，证明了$S_n$中对于更多的$n$值不存在完美码.具体地说，我们给出了在Kendall τ-度量下，半径为$r$的球在$S_n$中的大小的递推公式.进一步证明了在Kendall $τ$ -度量下，当$t$ =2，3，4或5时，对于某些$n$，$S_n$不存在完美$t$ -纠错码.
On the number of $q$-ary quasi-perfect codes with covering radius 2
本文给出了一类覆盖半径为2的$q$元非线性拟完美码。码的长度为$n = q^m$，大小为$ M = q^{n - m - 1}$，其中$q$是素数幂，$q \geq 3$，$m$是整数，$m \geq 2$。我们证明，有更多的$q^{q^{cn}}$不等价的长度$n$这样的代码，所有足够大的$n$和一个常数$c = \frac{1}{q} - \varepsilon$。
On diameter perfect constant-weight ternary codes
从陪集的二进制汉明码，我们构造直径完美的等重三元码的重量$n-1$（其中$n$是代码的长度）和距离3和5。距离5码的类具有未知的参数。关键词：等重码，三进制码，完美码，直径完美码，完美匹配，二进制码
Perfect Permutation Codes with the Kendall's $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall的$τ$ -度量.本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们还证明了，如果这样的代码存在的$n$这是不是一个素数，然后代码应该有一些统一的结构。我们定义了一些变化的肯德尔的$τ$度量，并考虑相关的代码，特别是我们证明了存在一个完美的单纠错码的$S_5$。最后，我们研究了$S_n$中直径完美码的存在性问题，并得到了$S_n$中具有最小Kendall $τ$ -距离的码的长度的一个新的上界。
Properties of perfect transitive binary codes of length 15 and extended perfect transitive binary codes of length 16
给出了长度为15的完全传递二元码和长度为16的扩展的完全传递二元码的一些性质，以供参考。
Quasi-Perfect Lee Codes from Quadratic Curves over Finite Fields
Golomb和Welch在1970年证明了只存在半径为$t=1$或维数为$n=1, 2$的完美Lee码。准完美Lee码是完美码的最佳替代码，因此，准完美Lee码的存在性和构造是研究的重要课题。在本文中，我们首先强调子集和，凯莱图，李线性码之间的关系，并提出一些结果。其次，我们提出了一种新的构造准完美Lee码的构造方法。本文利用有限域上的二次曲线（具有奇特征）的子集导出了$2$ -拟完美Lee码，并给出了$\mathbb{Z}_p^n$ $(\text{with} ~p\equiv 1, -5 \mod 12 \text{and} k \text{is any integer}, \text{or} p\equiv -1, 5 \mod 12 \text{and} k \text{is an even integer})$和$n=\frac{p^k-1}{2}$ $(\text{with}p\equiv -1, 5 \mod 12, k \text{is an odd integer} \text{and} p^k>12)$的两类准完美Lee码，其中$p$是奇素数.我们的代码包括最近由Camarero和Martínez构造的准完美Lee码。此外，我们解决了Camarero和Martínez提出的一个猜想（在“quasi-perfect Lee codes of radius $2$ …
Perfect Multi Deletion Codes Achieve the Asymptotic Optimality of Code Size
本文研究了最佳多删除二元码的基数。给出了具有固定码长和删除数的完美删除码的下界，以及Levenshtein的上界的渐近可达性.
Additive perfect codes in Doob graphs
Doob图$D(m,n)$是Shrikhande图的$m>0$副本和$4$阶完全图的$n$副本的笛卡尔积。自然地，$D(m,n)$可以表示为加法群$(Z_4^2)^m \times (Z_2^2)^{n'} \times Z_4^{n''}$上的凯莱图，其中$n'+n''=n$。如果$D(m,n)$的一组顶点构成该组的一个子群，则称该组顶点为加性码。我们构造了Doob图中的可加完美码的$3$ -参数类，并证明了在$D(m,n'+n'')$中存在可加$1$ -完美码的已知必要条件是充分的.另外，在$D(155,0+31)$和$D(2667,0+127)$中构造了两个准循环加性$1$ -完美码.
The Perfect Binary One-Error-Correcting Codes of Length 15: Part II--Properties
[P.R.]最近对长度为15的最佳二进制1-纠错码及其长度为16的扩展码进行了完全分类。J. Östergård和O. Pottonen，“长度为15的完美二进制1-纠错码：第一部分-分类”，IEEE Trans. Inform。第55卷，第55页。4657- 4660，2009]。在目前的伴随工作中，分类代码进行了详细的研究，并列出了它们的主要属性。结果包括的事实，33的80 Steiner三重系统的顺序15发生在这样的代码。通过切换对满秩码获得了进一步的理解，因为事实证明，除了两个满秩码之外，所有满秩码都可以通过一系列这样的汉明码转换获得。研究的其他主题包括（非）系统代码，嵌入式一个纠错码，并定义代码集。还得到了某些混合完美码的分类。
Non-existence of a ternary constant weight $(16, 5, 15; 2048)$ diameter perfect code
已知对于每个$m$存在长度$n=2^m$、权重$n-1$、基数$2^n$和距离$5$的三元等重码，对于每个$m$存在顺序$2^m$的APN置换，即，至少对于所有奇数$m \geq 3$和对于$m=6$。证明了$m=4$不存在这样的码，并证明了任何具有上述参数的码都是直径完美的。
On the intersection of additive perfect codes
研究了加性（扩展和非扩展）完美码的交问题，即两个相同长度的加性码C1和C2的交中码字个数的可能性.计算交集数的上下界，对于这些界之间的任何值，构造具有该给定交集值的代码。对于所有这些代码的阿贝尔群结构的交集的特点。这个阿贝尔群结构对应的相交码的参数计算和下限和上限，这些参数的建立。最后，给出了这些界限之间的任何参数的交集都适合的码的构造。
Weighted Hamming Metric Structures
文[4]中引入了加权汉明度量，证明了二元广义Goppa码在某种加权汉明度量下是完美码。本文研究了在加权汉明码度量下，允许二元汉明码和扩展二元汉明码成为完美码的权结构。同时，我们也给出了2-完美码的一些结构，以及在某种加权Hamming度量下如何构造2-完美码。
The Weight Distributions of Two Classes of Linear Codes From Perfect Nonlinear Functions
本文提出统一方法，利用完全非线性函数的值分布和群作用，确定两类线性码的重量分布，适用于奇素数域。
Hamming Code for Multiple Sources
我们考虑了多信源的Slepian-Wolf（SW）编码，并将传统的信道编码的填充界和完美码的概念推广到多信源的SW编码。然后，我们介绍了汉明码多源（HCMS）作为一个潜在的解决方案，完美的SW编码为任意数量的终端。此外，我们详细研究了三个来源的情况。我们给出了一个完美SW码的必要条件，并证明了存在无穷多个HCMs。此外，我们表明，对于一个完美的SW码与足够长的代码长度，不同的源的压缩率可以灵活地权衡。最后，我们放松了HCMS的构造过程，并将所得代码称为广义HCMS。我们证明了Hamming源的每一个完美SW码都等价于一个广义的HCMS。
Embedding in a perfect code
一个二进制1-纠错码总是可以嵌入到一个1-完美码的一些更大的长度
Codes parameterized by the edges of a bipartite graph with a perfect matching
本文研究了由具有完美匹配的二部图的边参数化的一些评价码的主要特征。
On maximum components of a class of perfect codes
本文证明了一类含有最大ij-分量的扩展完美二元码的存在性。
Non-Binary Diameter Perfect Constant-Weight Codes
直径完美码形成完美码的自然推广。它们是基于码-逆码界的推广球包装界。Delsarte证明了距离正则图的码-反码界，它也适用于其他一些度量。本文利用Hamming度量证明了非二元等重码的上界，并刻画了这类码的直径完美码和最大码长。我们区分六个家庭的非二进制直径等重码和四个家庭的最大尺寸的非二进制等重反码。这些直径完美码族中的每一个都提出了一些不同的问题。我们考虑了其中的一些问题，并为进一步的研究留下了很多基础。最后，作为结果，构造了与著名的Erdös-Ko-Rado定理相关的一些t-交族.
There is exactly one Z2Z4-cyclic 1-perfect code
令${\cal C}$是长度为$n > 3$的${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性码。证明了如果${\cal C}$的二进制Gray像$C=Φ({\cal C})$是1-完美非线性码，则除了长度为$n=15$的一种情况外，${\cal C}$不可能是${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -循环码.此外，我们还给出了这种循环码的一个奇偶校验矩阵。将偶数奇偶校验坐标添加到${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性1-完美码给出扩展的1-完美码。我们还证明了任何这样的码不能是${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -循环的。
Construction of New Delay-Tolerant Space-Time Codes
完美空时码（STC）是多输入多输出（MIMO）系统中的最优编码。它们基于循环划分代数（CDA），是全速率、全分集码，具有非消失行列式（NVD），从而实现分集复用折衷（DMT）。此外，这些代码导致了最佳的分布式空时码应用于协作网络的假设下，完美的同步中继。然而，当引入延迟时，它们就会失去多样性，因此不容忍延迟。本文利用完全码的循环除代数，构造了在同步情形下保持与完全码相同性质的新码。此外，这些码在异步传输中保持其全分集。
Metrics which turn tilings into binary perfect codes
在这项工作中，我们考虑平铺的汉明立方体，并寻找指标，把平铺成一个完美的代码。我们认为家庭的度量，这是由一个权重，并与支持向量（TS-度量）兼容。我们确定的小瓦片或高秩的平铺可以是一个完美的代码的一些TS-度量，我们所有这样的指标的特点。最后，我们展示了一些程序，以获得新的完美的代码（相对于TS度量）现有的。
On linear diameter perfect Lee codes with diameter 6
1968年，Golomb和Welch证明了不存在半径为$r\ge2$维数为$n\ge3$的完美Lee码.直径完美码是完美码的自然推广。2011年，Etzion（IEEE Trans. Inform. Theory，57（11）：7473- 7481，2011）提出了以下问题：除了$DPL(3,6)$码之外，是否存在直径大于4的直径完美Lee（简称DPL）码？后来，Horak和AlBdaiwi（IEEE Trans. Inform. Theory，58（8）：5490--5499，2012）证实，除$(n,d)=(3,6)$外，尺寸$n\ge3$和直径$d>4$没有$DPL(n,d)$代码。本文给出了这个猜想的一个反例。证明了对于$n\ge3$，存在线性$DPL(n,6)$码当且仅当$n=3,11$ .
Perfect codes in the lp metric
在$\ell_p$度量下研究了$\mathbb{Z}^n$中的完美码.利用度量参数$p$和维数$n$导出了线性完美码的填充半径$r$的上界.对于$p = 2$和$n = 2, 3$，我们确定所有的半径，有线性完美的代码。本文给出的$\mathbb{Z}^n$中的码的不存在性结果暗示了有限字母表$\mathbb{Z}_q$上的码的不存在性结果，当字母表足够大时，这一结果对最近一些球码的构造具有启示意义.
On the binary codes with parameters of doubly-shortened 1-perfect codes
我们表明，任何二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m}, 3)$代码$C_1$是一个公平的分区（完美着色）$\{C_1,C_2,C_3,C_4\}$的$n$立方体的参数$((0,1,n-1,0)(1,0,n-1,0)(1,1,n-4,2)(0,0,n-1,1))$的一部分。现在，将码$C_1$延长为长度为$n+2$的1-完美码的可能性等同于将部分$C_4$分割为两个距离为3的码的可能性，或者等同于$C_4$的距离1和2的图的二粒子性。在任何情况下，$C_1$都可以唯一地嵌入到长度为$n+2$的二重1-完美码中，并具有一些结构限制，其中二重1-完美码意味着空间的任何顶点都在恰好两个码字的半径1内。
On Nearly-Perfect Covering Codes Beyond Radius One
本文研究二元近完备覆盖码，修正原Van Wee界以纳入最小距离，确定R=2、3的此类码等价于构造的码，且R≥3时此类码数量有限。
q-ary Propelinear Perfect Codes from the Regular Subgroups of the GA(r,q) and Their Ranks
提出了一种构造q元推进线性完美码的新方法。该方法利用固定长度的q元向量的置换，所述q元向量产生于仿射群的正则子群的自同构。对于任何素数q，它表明，新的类包含一个无穷级数的q元propelinear完美码的增长长度的不同的行列。
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
Diameter Perfect Lee Codes
Lee码已经被深入研究了40多年。Golomb-Welch猜想关于完美纠错Lee码的存在性引起了人们对这些码的兴趣。本文讨论了直径完全Lee码的存在性和计数问题。作为主要结果，我们确定了所有$q$，对它存在$Z_{q},$上的字长为$n$的线性直径为4的完美Lee码，并证明了对于每个$n\geq 3$，存在可数个$Z.$上的字长为$n$的直径为4的完美Lee码。这与$Z\,$上的字长为$n$的完美纠错Lee码形成了严格的对比。因为对于$n=3,$存在唯一的这样的代码，并且必须说明的是，当$2n+1$是素数时总是这种情况。我们通过一个基于群同态的代数构造产生直径完美Lee码。这将使我们能够设计一个有效的算法，他们的解码。我们希望，这一解释的作用将远远超出本文件的范围。
Perfect codes in Doob graphs
研究了Doob图$D(m,n)$中的$1$ -完美码.证明了$GR(4^2)$上线性码存在的充要条件是对某些整数$g \ge 0$和$d>0$，$n=(4^{g+d}-1)/3$和$m=(4^{g+2d}-4^{g+d})/6$是线性码.我们还证明了必要条件$(m,n)$的$1$ -完美的代码是线性的$Z_4$（我们称这种代码添加剂）存在于$D(m,n)$图，对于这些参数中的一些，我们显示的代码的存在。对于满足$2m+n=(4^t-1)/3$和$m \le (4^t-5\cdot 2^{t-1}+1)/9$的$m$和$n$，我们证明了在$D(m,n)$中存在$1$ -完美码，而不受允许某种群结构的限制.关键词：完美码，Doob图，距离正则图。
Perfect Codes in the Discrete Simplex
研究了离散$ n $ -单纯形$ Δ_{\ell}^n := \left\{ \begin{pmatrix} x_0, \ldots, x_n \end{pmatrix} : x_i \in \mathbb{Z}_{+}, \sum_i x_i = \ell \right\} $在$ \ell_1 $度量下的（非平凡）完美码的存在性问题.这个问题的动机是由所谓的多集码，这是最近推出的作者作为适当的结构，在置换通道的纠错。证明了对于任何$ \ell \geq 2e + 1 $，$ 1 $ -单纯形$ Δ_{\ell}^1 $中的$ e $ -完美码都存在，$ 2 $ -单纯形$ Δ_{\ell}^2 $允许$ e $ -完美码当且仅当$ \ell = 3e + 1 $，而在高维单纯形中不存在完美码.换句话说，完美多集码只存在于二进制和三进制字母表上。
Multifold 1-perfect codes
该研究针对q元Hamming图，刻画了多重1-完美码与加性多重1-完美码的全部参数，证明加性多重1-完美码与multispreads相关且对应参数的multispreads恒存在。
On the non-existence of perfect codes in the sum-rank metric
本文研究和秩度量下线性完美码的存在性，通过分析度量球几何与体积界，给出两块空间的参数约束，并在多块空间中基于最小距离、整除性和码维数建立多类不存在性结果。
Perfect mixed codes from generalized Reed-Muller codes
本文提出基于距离-2 MDS码划分为Reed-Muller类码的新方法，构造笛卡尔积中的1-完美混合码，并证明其对应关系。
On the Automorphism Groups of the Z2Z4-Linear 1-Perfect and Preparata-Like Codes
我们考虑一个$Z_2Z_4$ -线性码的对称群的参数的$1$ -完美，扩展的$1$ -完美，或类似的代码。我们表明，提供的代码长度大于$16$，这组只包括对称性，保持$Z_2Z_4$结构。我们找到了$Z_2Z_4$ -线性（扩展）$1$ -完美码的对称群的阶.关键词：加法码，$Z_2Z_4$ -线性码，$1$ -完美码，类卡塔码，自同构群，对称群.
On perfect symmetric rank-metric codes
本文研究对称秩距离码的覆盖性质，刻画了在类似球填充界中取等号的完美码及若干拟完美码族，并证明存在非平凡完美码。
On the binary codes with parameters of triply-shortened 1-perfect codes
研究了参数接近1-完全码参数的二元码的性质。任意二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m-1}, 4)$码$C$，即，具有三倍缩短的扩展汉明码参数的代码是将$n$立方体公平划分为六个单元的单元。任意二进制$(n=2^m-4, 2^{n-m}, 3)$代码$D$，即，具有三进制缩短汉明码的参数的码是来自六个单元的公平族（但不是分区）的单元。作为推论，码$C$和$D$是完全半正则的;即，这种码的权重分布仅取决于最小和最大码字权重以及码参数。此外，如果$D$是自补的，那么它是完全正则的。作为一个中间结果，我们证明，在距离分布方面，一个一般的标准划分的顶点的图（从相当一般的一类图，包括距离正则图）是公平的。关键词：1-完全码; Triling-shortened 1-完全码;公平划分;完全着色;重量分布;距离分布
Constructing Optimal Authentication Codes with Perfect Multi-fold Secrecy
本文利用组合设计方法构造了一个具有多重完全保密性的最优认证码。这继续了作者的工作（ISIT 2009），并回答了其中提出的一个悬而未决的问题。作为一个应用，我们提出了第一个无限类的最优码，提供双重安全性对欺骗攻击，并在同一时间完美的双重保密。
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