Consider in $L^2(R^d)$, $d\geq 1$, the operator family $H(g):=H_0+igW$. $\ds H_0= a^\ast_1a_1+... +a^\ast_da_d+d/2$ is the quantum harmonic oscillator with rational frequencies, $W$ a $P$ symmetric bounded potential, and $g$ a real coupling constant. We show that if $|g|<ρ$, $ρ$ being an explicitly determined constant, the spectrum of $H(g)$ is real and discrete. Moreover we show that the operator $\ds H(g)=a^\ast_1 a_1+a^\ast_2a_2+ig a^\ast_2a_1$ has real discrete spectrum but is not diagonalizable.
Singular selfadjoint perturbations of unbounded selfadjoint operators. Reverse approach
设$A$和$A_{1}$是Hilbert空间$\mathcal{H}$中的无界自伴算子.在\cite{AK}之后，如果$A$和$A_{1}$具有不同的结构域$\mathcal{D}(A),\mathcal{D}(A_{1})$，但$\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(A_{1})$在$\mathcal{H}$中密集，而$A=A_{1}$在$\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(A_{1})$上密集，则我们称$A_{1}$为$A$的\textit{singular}扰动。在本文中，我们不借助于对称算子的自伴扩张理论，而给出了在开的上下半平面中的给定有界全纯算子函数是给定自伴算子$A$的奇异扰动$A_{1}$的预解式的条件.对于$A$是$\mathbf{L}_{2}(\mathbf{R}_{3})$中标准定义的自伴Laplace算子的特殊情况，我们用M. G. Krein预解式一类奇异摄动$A_{1}$，它们是由特殊的自伴边界条件定义的，该边界条件位于$\mathbf{R}_{3}$中的有限点集或由从下面的有界距离隔开的无限点集上，并且还位于通过连接$A_{1}$的边界条件中的参数和用于$A$的Krein公式中的$A$矩阵或算子参数而嵌入到$\mathbf{R}_{3}$中的有界直线段上。对$A, A_{1}$。
Spectral functions of non essentially selfadjoint operators
J. S. Dowker致力于他的注意力是一个锥形奇点的影响，在基础流形上的行为的量子领域。特别是，他研究了小$t$渐近展开的热核跟踪一个锥和它的影响物理量，作为卡西米尔能源。在这篇文章中，我们回顾了在过去十年中发现的一些奇特的结果，关于$t$的非标准幂，甚至负整数幂的$\log{t}$，在这种渐近展开的自伴扩张的一些奇异系数。同样，我们表明，$ζ$ -功能与这些自伴扩展提出了一个不寻常的分析结构。
Identification of the metric for diagonalizable (anti-)pseudo-Hermitian Hamilton operators represented by two-dimensional matrices
给出了一种确定二维矩阵表示的可对角化伪埃尔米特和反伪埃尔米特Hamilton算子的最一般度量的一般策略。研究了Hamilton算子对角化过程中本征值的置换对度规的影响以及置换等价对能量本征值的影响。我们试图理解，一方面，如何度量依赖于所选择的左，右特征基的矩阵表示可对角化的伪厄米特或反伪厄米特汉密尔顿运营商的规范化，另一方面，是否有一个半正定的度量需要建立一个有意义的量子理论，甚至为非厄米特汉密尔顿运营商的这种类型。使用我们的一般策略，我们确定的度量相对于两个元素的二维置换群的各种专题的例子矩阵表示二维Hamilton算子在文献中发现，假设一方面伪厄米性，另一方面反伪厄米性。由C推断的（不必要的）约束。M. Bender和同事认为${\cal PT}$ -对称量子理论的${\cal C}$ -算符应该是一个对合（${\cal C}^2=1$）-在${\cal PT}$ -对称性的未破缺相中-要求Hamilton算符是对称的。这个不方便的限制已经-犹豫-M。Znojil和H. B. Geyer于2006年（arXiv：quant-ph/0607104）。T. D. Lee和C. G. Wick被用来概述的形式主义的影响，高维Hamilton算子。
这项工作是一个延续和扩展的说明发表在俄罗斯数学调查1997年n 6。对于图上二阶自伴实Schrodinger算子谱问题的任意一对解，其辛Wronskian是图中的1-圈。这是解空间上的向量值辛2-形式。这种构造被应用于有限尾图的散射理论。解的渐近值是一个半维的拉格朗日平面。这个性质决定了散射矩阵的所有酉性质，散射矩阵也是对称的。所有高阶离散算子和高维单纯复形上的算子都包含在这个方案中。本文作者与A. S. Schwarz合作发明了这种非线性模拟。
