Difference sets and shifted primes
Jason Lucier
我们证明，如果A是{1，…，n}，使得它没有元素对的差等于p-1，其中p是素数，则对于某个正常数c，A的大小为O（n（loglog n）^（-cloglogloglog n））。
We show that if A is a subset of {1, ..., n} such that it has no pairs of elements whose difference is equal to p-1 with p a prime number, then the size of A is O(n(loglog n)^(-clogloglogloglog n)) for some positive constant c.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Poisson Approximation of prime divisors of shifted primes
本文研究了移位素数的素因数分布，通过建立模型与实际素因数的总变差距离估计，证明了移位素数素因数在不相交集合中的泊松独立性，并建立了随机整数与移位素数的结构转移原理。
Additive functions on shifted primes
给出了移位素数序列上加法算术函数的集中函数的最佳可能界。
The shifted prime-divisor function over shifted primes
本文研究了移位素数除数函数 $ω_a^*$ 在移位素数上的矩，证明了第一矩的渐近公式及第二矩的上下界，揭示了其在移位素数与自然数上平均行为的相似性，并提出了关于第二矩的新猜想。
Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors
证明了Novak-Carmichael数集的计数函数$\mathcal N_{\mathcal C}(x)$的一些新的下界.我们的估计依赖于没有大素数因子的移位素数的数量的界。特别地，在合理的假设下，我们证明了$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg x^{0.7039-o(1)}$是无条件的，而$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg xe^{-(7+o(1))(\log x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x}}$是无条件的.
Integers divisible by a large shifted prime
令$N(x,y)$表示可被移位素数$p-1$整除的整数数$n\le x$，其中$p>y$、$p$为素数。改进McNew，Pollack和Pomerance最近的界限，我们建立了所有$x\ge 2y\ge 4$的$N(x,y)$的增长的确切顺序。
Primes in arithmetic progressions to large moduli, and shifted primes without large prime factors
我们证明了在$p^{0.2844}$以上没有素因子的移位素数$p-1$的无限性。这是对Baker和Harman在1998年提出的$p^{0.2961}$的改进。从而得到了Carmichael数分布的一个改进的下界.我们的主要技术成果是一个新的中值定理的素数在等差数列大模。也就是说，我们估计素数的大小$x$与四线性形式的模高达$x^{17/32}$。这将模量扩展到最近由Maynard获得的$x^{11/21}$之外，改进了由Bjueri，Friedlander和Iwaniec在1986年的著名工作中得到的$x^{29/56}$。
An average Brun-Titchmarsh theorem and shifted primes with a large prime factor
该研究利用Maynard的三重卷积估计突破，改进了平均Brun-Titchmarsh定理，并应用于移位素数，证明无穷多个素数$p$满足$p-1$的最大素因子大于$p^{0.679}$。
Sárközy's theorem for shifted primes with restricted digits
该研究针对带受限数位的移位素数，通过构造关联指数和的局部逼近函数证明其具有van der Corput性质，进而得出正上Banach密度的自然数集A中存在满足a₁+p-1=a₂的相关元素及素数p的结论。
On a conjecture on shifted primes with large prime factors
设$\mathcal{P}$是所有素数的集合，$π(x)$是直到$x$的素数的数目。对于任何$n\ge 2$，令$P^+(n)$为$n$的最大素因子。本文证明了存在某些$0<c<1$使得$$T_c(x)=\#\{p\le x:p\in \mathcal{P},P^+(p-1)\ge p^c\}.$$，从而否定了Chen和Chen的一个猜想.
Shifted bilinear sums of Salié sums and the distribution of modular square roots of shifted primes
研究Salié和的移位双线性和的上界，并分析移位素数的模平方根分布，揭示$b\not \equiv 0 \bmod q$时的新困难。
The shifted fourth moment of automorphic L-functions of prime power level
本文证明了$p^ν$级的自守$L$ -函数的四阶矩的渐近公式，其中$p$是一个固定的素数，$ν\rightarrow \infty$ .本文是Rouymi工作的继续，他计算了素数幂水平上前三阶矩的渐近性，并推广了Duke，Friedlander & Iwaniec和Kowalski，Michel & Vanderkam在素数水平上得到的结果。
On van der Corput property of shifted primes
证明了移位素数集的van der Corput性质的上界为O（（log n）^{-1+o（1）}），从而回答了Ruzsa和Montgomery关于移位素数集p-1的一个问题.本文构造了一个赋范非负值余弦多项式，其谱在p-1，p<=n中，自由系数a_0=O（（logn）^{-1+o（1）}）.这意味着集合p-1的庞加莱性质有相同的界，也意味着与相关集合的均匀分布有关的几个性质有相同的界。
Shifted-prime divisors
本文研究由 Prachar 提出的移位素数因数计数函数 $\omega^*(n)$ 的高阶矩及相关问题。
On shifted primes with large prime factors and their products
我们从下面估计素数p的集合的较低密度，使得p-1有一个大小至少为p^c的素因子，其中c介于1/4和1/2之间。我们还建立了直到x的正整数n的集合的计数函数的上、下界，其中恰好有k个素因子，有重数或无重数计数，使得GCD（p-1：p）的最大素因子|n）超过n^{1/2k}。
Divisors of shifted primes
我们从下面的移动素数p+s<x的数量，有一个除数在一个给定的区间（y，z]。凯文·福特已经得到了这个量的预期数量级的上界以及参数y和z的特殊情况下的下界。我们在这里提供了参数y和z的宽范围内的相应下界。正如预期的那样，这些界限在很大程度上取决于我们对等差数列中素数的了解。作为这些界限的应用，我们确定了乘法表中出现的移位素数的数量，直到乘法常数。
Character sums over shifted primes
对于整数$q$，设$χ$是本原乘法特征标$\pmod q.$。对于与$q$互质的整数$a$，我们得到了和$$\sum_{n\le N}Λ(n)χ(n+a),$$的一个新的界，其中$Λ(n)$是von Mangoldt函数。这个界改进和推广了Friedlander，Gong和Shparlinski的一个结果
A Hardy-Ramanujan type inequality for shifted primes and sifted sets
我们建立了一个类似的Hardy-Ramanujan不等式，用于计算具有给定数量的不同素因子的筛选集的成员。特别地，我们建立了一个移动素数p+a低于x的k个不同的素因子，一致的所有正整数k的数目的界。
On the largest prime factors of shifted semiprime numbers
该研究证明了对于固定整数a和足够大的x，移位半素数乘积的最大大素因子超过x^θ，其中θ为0.5减去一个任意小的正数。
The Least Prime Primitive Root and the Shifted Sieve
我们推导出，对于所有的素数模p，除了那些在一个非常薄集，上界的最小素原根（mod p）的数量级的一个恒定的权力log p。改进以前的结果，其中的上界是log p的指数趋于无穷大的p，在于使用的线性筛（一个特定的版本称为移位筛），而不是Brun的筛。同样的方法使我们能够重新推导出一个条件的结果Shoup的最小素原根（mod p）的所有素数模p，假设广义黎曼假设。我们还将这两个结果推广到复合模q，其中的一个原根的模拟是一个元素的最大乘法阶（mod q）。
Averages of the Möbius function on shifted primes
有一个民间传说推测，默比乌斯函数在移位素数上表现出消去;也就是说，对于任何固定移位$h>0$，$\sum_{p\le X}μ(p+h) \ = \ o(π(X))$都是$X\to\infty$。这至少从1989年希尔德布兰德开始出现在印刷品中。我们证明了猜想的平均移位$h\le H$，提供$\log H/\log\log X\to\infty$。我们还获得了结果的移位总理$k$ -元组，并为更高的相关性莫比乌斯与冯Mangoldt和除数函数。我们的论点结合了筛法与完善的Matomäki，Radziwiwiienkirk，和陶的工作平均形式的Chowla的猜想。
Primes represented by shifted quadratic forms: on primitivity and congruence classes
本文扩展了Iwaniec的筛法，证明了移位正定整二元二次型在附加本原性与同余类条件下表示素数的下界，并提供了经计算机验证的局部条件列表以纠正先前错误，旨在为研究Apollonian circle packings中的素数分量提供工具。
Unit fractions with shifted prime denominators
该研究证明了任何正有理数均可表示为具有特定移位质数分母的不同单位分数之和，并探讨了同余条件下的扩展情况。
Arithmetic functions at consecutive shifted primes
对于每个函数$f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$和每个自然数$k$，我们证明了不等式$f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$有无穷多个解，对于$f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$也是如此.我们还回答了Sierpienski关于连续素数的数位和的一些问题。这些论点基本上利用梅纳德和陶的方法产生许多素数的区间有界长度。
Multidimensional configurations in the primes with shifted prime steps
令$\mathcal{P}$表示素数集合。对于固定维数的$d$，Cook-Magyar-Titichetrakun，Tao-Ziegler和Fox-Zhao独立地证明了$\mathcal{P}^d$的正相对密度的任何子集都包含一个任意的线性构型.本文证明了存在步长为移位素数（素数减$1$或加$1$）的构型.
Multiplicative Functions on Shifted Primes
令$f$是正乘法函数，并且令$k\geq 2$是整数。我们证明，如果素值$f(p)$像$p\rightarrow +\infty$一样足够慢地收敛到$1$，在$\sum_{p}|f(p)-1|=\infty$的意义上，存在一个实数$c>0$，使得$k$ -元组$(f(p+1),\ldots,f(p+k))$在超立方体$[0,c]^k$或$[c,+\infty)^k$中是稠密的。特别地，值$f(p+1),\ldots,f(p+k)$可以无限频繁地以任何递增顺序放置。我们的工作推广了De Koninck和Luca以前的结果。
Largest square divisors of shifted primes
该论文证明存在无穷多个素数 $p$，使得对任意非零整数 $a$，$p-a$ 有大于 $p^{1/2+1/700}$ 的平方因子，改进了 Merikoski 的指数，并使用了 Harman 筛法中的强力工具。
Sums of values of non-principal characters over shifted primes
本文研究非主特征在移位素数序列上的取值和，在 $x\ge D^{5/6+\varepsilon}$ 条件下证明了带指数衰减因子的非平凡上界估计。
Sum-product patterns in the shifted primes
本文证明移位素数集 $\mathbb{P}-1$ 含无穷多和积模式 $\{x,x+y,xy\}$，并推广至任意长度 $k$ 的模式，涵盖 Green--Tao 定理。
On improving a Schur-type theorem in shifted primes
我们表明，如果$N \geq \exp(\exp(\exp (k^{O(1)})))$，那么任何$k$着色的素数，小于$N$包含一个单色的解决方案，以$p_1 - p_2 = p_3 -1$。
Products of shifted primes simultaneously taking perfect power values
本文研究了移位素数的乘积同时取完全幂值的问题，给出了无平方因子整数n的数量下界，并探讨了特定A集合下的素因子数量下界。
On the largest square divisor of shifted primes
我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$p-1$可被$θ=1/2+1/2000.$的平方$d^2 \geq p^θ$整除。这改进了Matomäki（2009）关于$θ=1/2-\varepsilon$的结果（增加了$d$也是素数的约束），改进了Baier和Zhao（2006）使用$θ=4/9-\varepsilon.$的结果类似于Matomäki的工作，我们应用Harman筛法来检测素数$p \equiv 1 \, (d^2)$。为了打破$θ=1/2$障碍，我们证明了一个新的双线性等分布估计模光滑平方模$d^2$，通过使用类似的论点张（2014）用于获得超过Bjueri-Vinogradov范围的素数关于光滑模的等分布。为了优化论证，我们结合了Polymath项目（2014）的技术改进。由于模是平方，该方法产生完全指数和模平方的素数，估计使用的结果Cochrane和郑（2000年）。
Moments of the shifted prime divisor function
本文证明了移位素数除数函数的矩的渐近公式，证实了 Fan 和 Pomerance 的猜想，其证明结合了最小公倍数的组合恒等式与数论解析工具。
On a conjecture on shifted primes with large prime factors, II
本文研究移位素数 $p-1$ 具有大素因子的密度问题，证明当 $8/9\le c<1$ 时相应比例的上极限不超过 $8(1/c-1)$，并在 $c\to1$ 时趋于零。
On a theorem of Sárközy for difference sets and shifted primes
我们证明了如果集合$A \subseteq [N]$的两个元素之差不小于素数，则对于某个绝对常数$c>0$，有$|A| = O (N \exp (-c (\log N)^{1/3}))$.
On Sárközy's theorem for shifted primes
该研究探讨数论中移位素数相关的Sárközy定理，给出无两元素差为素数减1的集合的大小上界。
Integers divisible by a shifted prime in a given interval
本文研究了区间$(y,z]$内形如$p-1$的素数移位除数相关的整数计数函数$H^*(x,y,z)$，发现其相变规律并推广了Ford2017年的成果。
Distribution of products of shifted primes in arithmetic progressions with increasing difference
本文推广并细化了Karatsuba公式，推导出在差递增等差数列中满足特定同余条件的移位素数乘积数量的渐近公式。
An explicit version of Bombieri's log-free density estimate and Sárközy's theorem for shifted primes
本文给出 Bombieri 无对数密度估计的显式版本，并结合 Green 的工作证明：若集合 A⊆{1,…,N} 中任意两元素之差不为 p−1（p 为素数），则 |A|≪N^{1−1/10^{18}}，从而加强了 Sárközy 定理。
Greatest common divisors of shifted primes and Fibonacci numbers
令$(F_n)$是斐波那契数序列，对于每个正整数$k$，令$\mathcal{P}_k$是素数$p$的集合，使得$\gcd(p - 1, F_{p - 1}) = k$。证明了$\mathcal{P}_k$的相对密度$\text{r}(\mathcal{P}_k)$的存在性，并给出了用绝对收敛级数表示的$\text{r}(\mathcal{P}_k)$的计算公式.此外，我们给出了一个有效的准则，以建立如果一个给定的$k$满足$\text{r}(\mathcal{P}_k) > 0$，我们提供了上和下界的计数函数的这种$k$的集合。作为我们结果的应用，我们给出了整数集合的计数函数的一个下界的新证明，其形式为$\gcd(n, F_n)$，对于某个正整数$n$ .我们的证明是更基本的比前一个由Leonetti和Sanna，它依赖于Cubre和Rouse的结果。
Coprime pairs with equal sum of divisors, assuming smooth shifted primes
该研究针对Erdős问题#824，在Lean 4中形式化相关蕴含关系，并利用OpenAI预印本的论证，得出在该预印本正确的前提下h(x)=x^{2-o(1)}的结论。
Note on shifted primes with large prime factors
本文改进了丁关于移位素数中最大素因子的上界，给出了更精确的渐进行为估计。
A quantitative bound on Furstenberg-Sárközy patterns with shifted prime power common differences in primes
本文证明了素数集中不含移位素数幂公差模式的子集密度的定量上界，其大小受双对数函数的负幂次控制。
An explicit power-saving bound for Sárközy's Theorem on shifted primes, assuming GRH
在广义黎曼猜想下，证明若集合A中无两元素差为素数加1，则A的大小至多为N的79/80次方量级。
Multiplicative Energy of Shifted Subgroups and Bounds On Exponential Sums with Trinomials in Finite Fields
本文给出了素有限域子群中共线性三元组的一个新的界，并利用它给出了具有三项式的指数和的一些新的界。
The Distribution of G.C.D.s of Shifted Primes and Lucas Sequences
设$(u_n)_{n \ge 0}$是一个非退化Lucas序列，$g_u(n)$是由$\gcd(n, u_n).$定义的算术函数.基于$g_{u}(n)$的两个极值$1$和$n$，已经证明了许多结果。桑纳调查的平均行为$g_{u}$和发现渐近公式的时刻$\log g_{u}$。在一个相关的方向，Jha和Sanna研究了$g_{u}$在移位素数下的性质。根据这些结果，我们证明了对于每一个正整数$λ,$，我们有$$\sum_{\substack{p\le x\\p\text{ prime}}} (\log g_{u}(p-1))^λ \sim P_{u,λ}π(x),$$，其中$P_{u, λ}$是一个依赖于$u$和$λ$的常数，可以表示为无穷级数.此外，我们提供了$P_{u,λ}$和$M_{u,λ},$的估计，其中$M_{u, λ}$是Sanna获得的类似总和的常数[J.数论191（2018），305-315]。作为我们结果的应用，我们证明了数$\#\{p\le x : g_{u}(p-1)>y\}$的上界，并建立了在有界区间上存在无穷多个$m$连续素数$p$，使得$g_{u}(p-1)>y$基于Zhang，Maynard，Tao等人关于素数间小间隔的突破.在这个方向上进一步探索，结果是对于具有非单位判别式的卢卡斯序列，我们有$\max\{g_{u}(n) : n \le x\} \…
Mean-Value of Product of Shifted Multiplicative Functions and Average Number of Points on Elliptic Curves
本文考虑两个实值乘性函数的乘积的均值，并给出了它们的移位变元。所考虑的函数$F$和$G$接近于两个表现良好的函数$A$和$B$，使得$A(n-h)B(n)$在任何算术级数上的平均值仅取决于级数的公差。我们使用这种方法的问题，找到平均值的$K(N)$，其中$K(N)/\log N$是素数的期望数量，使得一个随机椭圆曲线在有理数有$N$点时，减少了这些素数。
The lower bound of shifted primes with large prime factors
本文研究具有大素因子的移位素数计数函数的渐近密度下界，通过改进常数项，得到比 Liu-Wu-Xi 更优的结果，特别在 $c=1/2$ 时下界提升超过 0.0436。
Closest integer polynomial multiple recurrence along shifted primes
根据N.弗朗齐基纳基斯湾Host和B. Kra，我们表明，参数在多维Szemerédi定理最接近的整数多项式有非空的交集与移位素数集$\mathbb{P}-1$（或类似的$\mathbb{P}+1$）。利用Furstenberg对应原理，我们将这个结果改写为测度遍历论中的多项式多次递归结果。此外，我们得到整数部分多项式收敛的结果，由相同的方法，这是一个转移原则，使一个推导结果的$\mathbb{Z}$ -行动的结果流。我们也给出了我们的方法在Gowers一致集上的一些应用。
The polynomial multidimensional Szemerédi Theorem along shifted primes
若$\vf_1, ... \vf_m\colon\Z\to\Z^\ell$是零常数项多项式，且$E\subset\Z^\ell$具有正的上Banach密度，则证明了集合$E\cap (E-\vf_1(p-1))\cap\...\cap (E-\vf_m(p-1))$对于某个素数$p$是非空的.我们还证明了平均收敛相关的平均值沿素数，条件类似的收敛结果沿全整数。这推广了作者Wooley和Ziegler以及Bergelson、Leibman和Ziegler的早期结果。
On the Greatest Common Divisor of Shifted Sets
给定一组$n$正整数$\{a_1, \ldots, a_n\}$和一个整数参数$H$，研究了其元素被整数$h_i$和$|h_i| \le H$，$i =1, \ldots, n$作小的加法移位，使得$a_1+h_1, \ldots, a_n+h_n$的最大公因数与$a_1, \ldots, a_n$的最大公约数有很大的不同.我们还考虑了一个类似的问题，为最小公倍数。
Quantitative bounds for sets lacking polynomial progressions with shifted prime difference
该研究证明了移位参数限制在移位素数集合的多项式进展的定量Szemerédi型定理，改进了线性情形结果，不同次数非线性构型的定量界为首创，结合了整数多项式构型与素数Gowers一致性界等方法。
Sets of Completely Decomposed Primes in Extensions of Number Fields
引入了代数数域上饱和素数集的概念，并证明了一个类似于Riemann关于无穷稳定饱和素数集的分解群的存在性定理.
Optimal order of $L_p$-discrepancy of digit shifted Hammersley point sets in dimension 2
众所周知，由$N=2^n$元素组成的二维Hammersley点集（也称为Roth网）在根据Roth（对于$p \in [2,\infty)$）和Schmidt（对于$p \in (1,2)$）的下界的意义下不具有对于$p \in (1,\infty)$的$L_p$ -差异的最优阶。另一方面，还已知对Hammersley点集的轻微修改可以导致$L_2$ -差异的最优阶$\sqrt{\log N}/N$，其中$N$是点数。其中有例如数字移位或对称化。在本文中，我们表明，这些修改后的Hammersley点集也达到最佳顺序的$L_p$ -差异的所有$p \in (1,\infty)$。
Hua's Theorem with the Primes in Piatetski-Shapiro Prime Sets
本文研究了Hua定理与Piatetski-Shapiro素数定理的混合问题，得到了非齐次情形$k=3$在这方面的结果，深化了Hua的经典结果.
On the largest prime factors less than $y$ of consecutive shifted primes
本文研究连续整数及连续移位素数的有界最大素因子比较问题，证明了在 $y$ 较小时渐近密度为 $1/2$，并给出 $y=x^\alpha$ 时的正比例下界，改进了 Rivat 和 Wang 的结果。
On the Representation of Almost Primes by Sets of Quadratic Forms
研究了r个几乎素数由二次型表示的问题，给出了r个几乎素数的上界。我们的结果扩展了Diamond和Halberlane的工作，他们在其中研究了相应的多项式问题。
Diophantine tuples and product sets in shifted powers
本文研究了具有D_k(n)性质的丢番图元组，改进了多个已有结果，并探讨了其在非平凡移位幂集中的应用，结合筛法、丢番图逼近和极值图论思想。
Primes in floor function sets
令$x$为正整数。给出了集合$\{\fl{x/n}, 1 \le n \le x\}$中素数个数的一个渐近公式，并给出了一些相关结果。
Composite values of shifted exponentials
该研究在假设GRH和对关联猜想相关推广的前提下，证明了$2^n+5$等移位指数序列对几乎所有自然数为合数，且满足条件的移位指数对几乎所有素数也为合数。
Sparse sets that satisfy the prime number theorem
本文研究满足素数定理的稀疏集合，其中形如 $\lfloor x/n^t \rfloor$ 的集合在 $t$ 趋于无穷时密度趋近 $1/x$。
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