关于连续移位素数的小于 $y$ 的最大素因子
On the largest prime factors less than $y$ of consecutive shifted primes
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中文总结 AI 辅助
本文研究连续整数及连续移位素数的有界最大素因子比较问题，证明了在 $y$ 较小时渐近密度为 $1/2$，并给出 $y=x^\alpha$ 时的正比例下界，改进了 Rivat 和 Wang 的结果。
中文摘要 AI 辅助
对于整数 $n > 1$，设 $P^+(n)$ 为 $n$ 的最大素因子，并设 $P_y^+(n)$ 表示 $n$ 的不超过 $y$ 的最大素因子。Erdős 和 Turán 的一个猜想断言，满足 $P^+(n)<P^+(n+1)$ 的整数 $n$ 的渐近密度为 $1/2$。此外，Wang 猜想当 $x\rightarrow\infty$ 时，有 $\\#\{p\leq x:P^+(p-1)<P^+(p+1)\}\sim \pi(x)/2$。在本文中，我们证明以下结果。对于任意 $3\leq y\ll x^{o(1)}$，当 $x\rightarrow\infty$ 时，我们有 \begin{align*} &\\#\{n\leq x:P^+_y(n)<P^+_y(n+1)\}\sim \frac{1}{2}x, \\\\&\\#\{p\leq x:P^+_y(p-1)<P^+_y(p+1)\}\sim \frac{1}{2}\pi(x). \end{align*} 对于任意 $0<\alpha<17/32$，令 $y=x^\alpha$。则存在 $h(\alpha)>0$ 使得 \begin{align*} \\#\{p\leq x:P_y^+(p-1)<P_y^+(p+1)\}\geq(h(\alpha)+o(1))\pi(x). \end{align*} 特别地，函数 $h$ 满足 $\lim_{\alpha\rightarrow 0^+}h(\alpha)=1/2$。类似结果对 $\\#\{n\leq x:P_y^+(n)<P_y^+(n+1)\}$ 也成立。这些结果改进了 Rivat (2001) 和 Wang (2019) 的结果。
英文摘要
For an integer $n > 1$, let $P^+(n)$ be the largest prime factor of $n$, and let $P_y^+(n)$ denote the largest prime factor of $n$ not exceeding $y$. One of Erdős and Turán's conjectures asserts that the asymptotic density of integers $n$ satisfying $P^+(n)<P^+(n+1)$ is $1/2$. Furthermore, Wang conjectures that for $x\rightarrow\infty$, one has $\#\{p\leq x:P^+(p-1)<P^+(p+1)\}\sim π(x)/2$. In this paper, we show the following results. For any $3\leq y\ll x^{o(1)}$, for $x\rightarrow\infty$, we have \begin{align*} &\#\{n\leq x:P^+_y(n)<P^+_y(n+1)\}\sim \frac{1}{2}x, \\&\#\{p\leq x:P^+_y(p-1)<P^+_y(p+1)\}\sim \frac{1}{2}π(x). \end{align*} For any $0<α<17/32$, let $y=x^α$. Then there exists $h(α)>0$ such that \begin{align*} \#\{p\leq x:P_y^+(p-1)<P_y^+(p+1)\}\geq(h(α)+o(1))π(x). \end{align*} In particular, the function $h$ satisfies $\lim_{α\rightarrow 0^+}h(α)=1/2$. Similar result also holds for $\#\{n\leq x:P_y^+(n)<P_y^+(n+1)\}$. These improve Rivat's result (2001) and Wang's result (2019).
发表机构
- School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
