具有大素因子的移位素数的下界
The lower bound of shifted primes with large prime factors
- School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
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AI总结：
本文研究具有大素因子的移位素数计数函数的渐近密度下界，通过改进常数项，得到比 Liu-Wu-Xi 更优的结果，特别在 $c=1/2$ 时下界提升超过 0.0436。
AI中文摘要：
本文考虑 $T_c(x):=\\#\{p\leq x:P^+(p-1)\geq p^c\}$ 的渐近密度，其中 $P^+(n)$ 表示 $n$ 的最大素因子。我们证明，当 $x\rightarrow\infty$ 时，对任意 $0<c\leq 1/2$，有 $\lim\inf_{x\rightarrow\infty} T_c(x)/\pi(x) \geq \max\left(1-\frac{16}{5}\rho\left(\frac{1}{c}\right),1-c+g(c)\right)$，其中 $g(c)>0$ 当 $11/32<c\leq1/2$，且 $g(c)=0$ 当 $0<c\leq11/32$。特别地，$g(1/2)>0.0436$。这改进了 Liu-Wu-Xi (2020) 的先前结果，他们证明了 $\lim\inf_{x\rightarrow\infty} T_c(x)/\pi(x) \geq \max\left(1-4\rho\left(\frac{1}{c}\right),1-c\right)$ 对 $0<c\leq 1/2$ 成立。
英文摘要：
In this paper, we consider the asymptotic density of $T_c(x):=\#\{p\leq x:P^+(p-1)\geq p^c\}$, where $P^+(n)$ denote the largest prime factor of $n$. We show that for $x\rightarrow\infty$, for any $0<c\leq 1/2$, one has \begin{align*} \mathop{\lim\inf}_{x\rightarrow\infty}\frac{T_c(x)}{π(x)}&\geq\max\left(1-\frac{16}{5}ρ\left(\frac{1}{c}\right),1-c+g(c)\right), \end{align*} where $g(c)>0$ for $11/32<c\leq1/2$, and $g(c)=0$ for $0<c\leq11/32$. In particular, we have $g(1/2)>0.0436$. This improves a previous result by Liu-Wu-Xi (2020), who showed \begin{align*} \mathop{\lim\inf}_{x\rightarrow\infty}\frac{T_c(x)}{π(x)}&\geq\max\left(1-4ρ\left(\frac{1}{c}\right),1-c\right), \end{align*} for $0<c\leq 1/2$.
