Partial sums of the M{ö}bius function
K. Soundararajan
假设黎曼假设，我们建立了一个上界的总和M{\”o}bius函数的$x$。我们的方法是基于估计的频率与一个给定的长度的间隔可以包含一个不寻常的数目的零点的黎曼ζ函数的纵坐标。
Assuming the Riemann Hypothesis we establish an upper bound for the sum of the M{\" o}bius function up to $x$. Our method is based on estimating the frequency with which intervals of a given length can contain an unusual number of ordinates of zeros of the Riemann zeta-function.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On certain sums over primes and the Riesz function
本文通过Gram级数导数与里斯函数的关系，探讨素数求和近似中的Mobius函数级数，推导出一般积分关系。
On partial T-adic exponential sums and partial exponential sums with p-power conductor
本文推广了Liu和Wan的T进指数和理论到部分情形，证明了相关L函数的T进亚纯性，从而给出p幂导子特征部分L函数有理性的p进证明，并给出Newton-over-Hodge估计。
Partial sums of the hyperharmonic series
本文推广了Erdös和Niven关于调和级数部分和唯一性的结果，证明超调和级数的任意两个部分和也不相等。
Partial Liouville sums over divisors
本文运用筛法与初等变换，证明了刘维尔函数在除数上的部分和符号具有强意义下的均匀分布性质。
The distribution of the maximum of partial sums of Kloosterman sums and other trace functions
本文研究了满足一定条件的$m$ -周期复值函数族的部分和的最大值的分布。我们得到精确的均匀估计的分布函数，这个最大值在一个接近最佳的范围。我们的结果适用于Kloosterman和和其他家庭的$\ell$ -进迹函数的部分和，并得到的Bober，Goldmakher，Granville和Koukoulopoulos的特征和一样强。特别是，我们改进了第三作者的Birch和最近的工作。然而，与特征和不同，我们能够构造满足我们条件的$m$ -周期复值函数族，但Pólya-Vinogradov不等式是尖锐的。
Zeros of partial sums of the Riemann zeta-function
我们研究了黎曼ζ函数，sum_{n\leq X} n^{-s}的部分和的零点的分布，估计了到高度T的零点数，给定垂直线右边的零点数，以及它们水平分布的其他方面。
Some explicit formulas for partial sums of Möbius functions
本文的目的是给出一些涉及默比乌斯函数的显式公式，这些公式在广义黎曼假设下可能是已知的，但在本文中是无条件的。具体地，我们证明了等差数列中Möbius函数的部分和以及Abel数域$K$上默比乌斯函数的部分和的显式公式。另外，为了得到这些显式公式，本文还研究了由某种本原特征标与非本原特征标的关系所产生的有限Euler积。
Partial Gaussian sums in finite fields
本文将Burgess关于部分高斯和的结果推广到任意有限域。主要内容是经典的放大方法，分别用加法组合学和数的几何工具得到的关于有限域中子集乘性能量的两个深层次结果，以及Chamizo处理加法特征引起的困难的技巧。我们的结果包含了M.- C. Chang和S.科尼亚金。
On the dual nature of partial theta functions and Appell-Lerch sums
在最近的工作中，Hickerson和作者证明了将Appell-Lerch和看作部分θ函数是有用的。这个概念可以用来联系身份涉及部分θ函数的身份涉及Appell-Lerch总和。在这个意义上，Appell-Lerch和和部分θ函数似乎是对偶的对方。这种对偶理论是没有什么不同的发现安德鲁斯之间的各种身份的罗杰斯-拉马努金型相对于巴克斯特的解决方案的硬六边形模型的统计力学。作为一个应用，我们构造双边$q$系列与混合模拟模块化行为。
Partial sums of Horadam sequences: sum-free representations via generating functions
利用生成函数计算Horadam序列及其部分和。结果尽可能简单。
Beyond the LSD method for the partial sums of multiplicative functions
Landau-Selberg-Delange（LSD）方法给出了素数平均为$α$的乘性函数$f$的部分和的一个渐近公式.在文献中，平均值通常取为具有很强误差项的$α$，从而得到具有很强误差项的部分和的渐近公式。在实践中，在素数值的平均值可能只知道一个相当弱的误差项，所以我们在这里探讨如何好的估计，这将意味着部分和$f$，开发新的技术来做到这一点。
Quadratic characters with positive partial sums
令$\mathcal L^+$是所有素数$p$的集合，其中$\left(\frac{n}{p}\right)$在区间$[1,N]$上的和对于所有$N$是非负的。我们证明了估计\[ |\mathcal L^+\cap [1,x]|\ll \frac{x}{\ln x(\ln\ln x)^{c-o(1)}} \]对$c\approx 0.0368$成立
On partial sums of the Möbius and Liouville functions for number fields
朗道研究了部分和默比乌斯函数和刘维函数的一些领域$K$。首先，我们将再次尝试同样的问题，通过使用一个新的Perron的公式，由于刘和叶。接下来我们考虑$K$的戴德金ζ函数的大黎曼假设的等价定理和素理想定理的等价定理。
An Omega result for partial sums of the Riemann zeta function
本文利用长共振方法和光滑数渐近公式，在 1-线上建立了黎曼 zeta 函数部分和的 Omega 结果，并逼近 2019 年 Aistleitner 等人的成果。
Notes de lecture de l'article "Partial sums of the Möbius function" de Kannan Soundararajan
Kannan Soundararajan最近获得了一个新的估计，条件的黎曼假设，莫比乌斯函数的求和函数。在这篇简要的文章中，我们描述了他的方法，详细的计算。
On Multiplicative Functions with Bounded Partial Sums
考虑一个在单位圆上取值的乘性函数f（n）。这个函数的部分和有界吗？我们证明，如果我们削弱乘法的概念，使f（pn）=f（p）f（n）的所有素数p在一些有限集P，那么答案是肯定的。我们还讨论了一个结果的布朗斯坦表明，功能修改字符在有限数量的地方。
Partial zeta functions, partial exponential sums, and p-adic estimates
有限域上代数簇的部分zeta函数通过允许每个变量在固定有限域的可能不同的扩域上定义来推广经典zeta函数。由于这种额外的变化，它们的合理性令人惊讶，即使是简单的例子也很难计算。例如，我们给出了一个详细的描述部分zeta函数的仿射曲线的单位极点的数量变化，从经典的zeta函数不同的属性。另一方面，它们确实保留了与经典情况类似的一些性质。为此，我们给出了部分zeta函数和L-函数与部分指数和的Chevalley-Warning型界。
Asymptotic formulas for partial sums of class numbers of indefinite binary quadratic forms
Sarnak从模群的素测地定理出发，得到了不定二元二次型类数和的渐近公式。本文利用模群的同余子群的素测地线定理，给出了类数的部分和的几个渐近公式。
Exact formulas for partial sums of the Möbius function expressed by partial sums weighted by the Liouville lambda function
Mertens函数$M(x) := \sum_{n \leq x} μ(n)$被定义为经典默比乌斯函数的求和函数。狄利克雷反函数$g(n) := (ω+1)^{-1}(n)$是根据移位的强加性函数$ω(n)$定义的，该函数计算$n$的不同素因子的数目而没有重数。$g(n)$的Dirichlet生成函数（DGF）是$\Re(s) > 1$的$ζ(s)^{-1} (1+P(s))^{-1}$，其中$P(s) = \sum_p p^{-s}$是素zeta函数。本文研究了$\Re(s) > 1$的无符号函数$|g(n)|$与DGF $ζ(2s)^{-1}(1-P(s))^{-1}$和$C_Ω(n)$与DGF $(1-P(s))^{-1}$的分布。建立了$\log C_Ω(n)$的平均阶和方差的计算公式，证明了$\log C_Ω(n)$的值在整数$n \leq x$上的分布为$x \rightarrow \infty$的中心极限定理. $g(n)$的部分和与素数计数函数的离散卷积提供了新的$M(x)$的精确公式。
Complex valued multiplicative functions with bounded partial sums
给出了一类部分和有界的乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$.这里的新颖之处在于，我们的函数不需要具有以$1$为界的模。关键的特征是它们假装是常数函数$1$，并且对于某个素数$q$，假装是$\sum_{k=0}^\infty \frac{f(q^k)}{q^k}=0$。这些与其他条件相结合，保证这些函数是周期性的，并且在每个周期内的总和等于零。进一步，我们研究了乘性函数类$f=f_1\ast f_2$，其中每个$f_j$是乘法的，且部分和有界.我们证明了部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$的一个Ω界和一个与经典Dirichlet除数问题中的误差项有关的上界.
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
A definite recursive relation and some statistical properties for Möbius function
通过两种简单的方法，给出了M $\ddot{\mathrm{o}}$ bius函数$μ(n)$的一个初等递归关系.利用该递归关系，可以在不直接知道$n$的因式分解的情况下计算$μ(n)$。逐个递归地计算$μ(1) \sim μ(2 \times 10^7) $。基于这些$2\times 10^7$样本，计算了经典统计中$μ(n)$取$-1$、0和1的经验概率，并与数论中的理论概率进行了比较.这两种概率在数值上的一致性表明，当$n$较大时，$μ(n)$可以看作是一个独立的随机序列. $μ(n)$的期望和方差分别为$0$和$6 n/ π^2$。此外，我们证明了Mertens类型的任何猜想在概率意义上都是假的，并以一定的概率给出了$μ(n)$累积和的上界。
Continued Fractions and Hardy Sums
经典的Dedekind和$s(d, c)$可以表示为有理$\frac{d}{c}$的连分数展开式的部分乘积上的和。Hardy和是由模群的子群下的$θ$ -函数的模的变换所产生的模拟整值和，它已被证明满足许多反映经典Dedekind和性质的性质.然而，到目前为止，作为部分子项之和的表示一直缺失。定义了非经典连分数，证明了Hardy和可以表示为这些连分数的部分同分之和.作为应用，我们给出了$\mathbf{R} \times \mathbf{Z}$中Hardy和图稠密的一个新的证明.
The distribution and the structure of the maximum of partial sums in families of trace functions
本文针对一类m周期复值函数族，改进了其部分和最大值的分布尾部估计并给出分布函数对数的渐近公式，还证明了该部分和最大值的结构定理，与Dirichlet特征和最大值分布的相关结果形成对比。
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function
本文给出了Rademacher随机乘性函数$f$的部分和$\sum_{n\leq x}f(n)$几乎必然无穷地变号为$x\to\infty$的简单证明。
Partial sums of the Möbius function in arithmetic progressions assuming GRH
考虑等差数列中的Mertens函数M（x，q，a），在广义黎曼假设（GRH）的假设下，证明了M（x，q，a）的一个上界，它对所有不太大的模都是一致的.为了证明这一点，本文采用了K. Soundararajan扩展到L系列。
Multiplicative functions supported on the $k$-free integers with small partial sums
我们提供了在$k$自由整数上支持的乘性函数$f$的例子，使得在素数$f(p)=\pm 1$处，并且使得$f$到$x$的部分和是$o(x^{1/k})$ .此外，如果我们假设广义黎曼假设，那么我们可以改进指数$1/k$：有这样的例子，部分和$x$是$o(x^{1/(k+\frac{1}{2})+ε})$，对所有$ε>0$。这推广到$k$ -自由整数的结果Aymone，"A note on乘性函数similar the {M}öbius function '“，J. Number Theory，212（2020），pp. 113--121.
Zeros of partial sums of the Dedekind zeta function of a cyclotomic field
本文研究了由截断狄利克雷级数\[ ζ_{K, X} (s) = \sum_{\|\mathfrak{a}\| \leq X} \frac{1}{\|\mathfrak{a}\|^{s}}, \]定义的分圆域$K$的戴德金ζ函数的部分和的零点，其中和是在$K$的非零整理想$\mathfrak{a}$上取的，$\|\mathfrak{a}\|$表示$\mathfrak{a}$的绝对范数.具体来说，我们建立了$ζ_{K, X} (s)$的无零区域，并估计了高达$T$高度的$ζ_{K, X} (s)$的零的数量。
Partial sums of the Gibonacci sequence
最近，Chu研究了序列$P^k(F_n)$的部分和的一些性质，其中$P(F_n)=\big(\sum_{i=1}^nF_i\big)_{n\geq1}$和$(F_n)_{n\geq1}$是Fibonacci序列，并给出了它的组合解释。我们推广了这些结果，引入了色Schreier集，并通过格路给出了另一个等价的组合解释。
Sums of Laurent series with bounded partial quotients
本文研究洛朗级数中具有有界部分商的实数表示问题，提出新的结果以扩展Hall和Cusick的经典结论。
Congruences for partial sums of the generating series for $\binom{3k}{k}$
我们对范围$0\le k<q$和$0\le k<q/3$上的和$\sum_k\binom{3k}{k}x^k$产生模素数$p>3$的同余，其中$q$是$p$的幂。这里$x$等于$c^2/(1-c)^3$或$4s^2/\bigl(27(s^2-1)\bigr)$，其中$c$和$s$是不确定的。在前一种情况下，我们更一般地处理移位二项式系数$\binom{3k+e}{k}$。我们的方法直接从相应系列的封闭形式推导出这样的同余式。
Zeros of $L$-functions and large partial sums of Dirichlet coefficients
该研究针对满足弱广义Ramanujan猜想的$L$-函数，证明其Dirichlet系数的大偏和会排斥低零点远离临界线，拓展并定量改进了前人相关研究成果。
An explicit Pólya-Vinogradov inequality via Partial Gaussian sums
本文给出了无平方模的Pólya-Vinogradov不等式的一个新的完全显式常数.给定一个本原字符$χ$到无平方模$q$，我们证明了下面的上界\begin{align*} \left| \sum_{1 \le n\le N} χ(n) \right|\le c \sqrt{q} \log q, \end{align*}，其中$c=1/(2π^2)+o(1)$用于偶数字符，$c=1/(4π)+o(1)$用于奇数字符，具有显式$o(1)$项。这改进了Frolenkov和Soundararajan对于大$q$的结果。我们继续通过部分高斯和，而不是通常的蒙哥马利和沃恩的指数和乘法系数的方法。这允许在次弧上节省功率，而不是如先前方法中的$\log{q}$因子，并且是完全显式边界的重要因子。
Zeroes of partial sums of the zeta-function
本文考虑半平面$\Re(s)>1$中$ζ_{N}(s) = \sum_{n=1}^{N} n^{-s}$为零的正整数$N$。在早期结果的基础上，我们证明了$1\leq N\leq 18$和$N=20, 21, 28$不存在零。对于所有其他的$N$，有无穷多个零。
Representations of integers as sums of four polygonal numbers and partial theta functions
研究整数作为最多四个不同m边形数之和的表示，证明非负参数下的表示数与任意整数参数下的表示数在渐进行为上相同。
Partial Gaussian sums and the Pólya--Vinogradov inequality for primitive characters
本文给出了本原特征标的Pólya-Vinogradov不等式的一个新的完全显式常数.给定一个原始字符$χ$模$q$，我们证明了以下上界\begin{align*} \left| \sum_{1 \le n\le N} χ(n) \right|\le c \sqrt{q} \log q, \end{align*}，其中$c=3/(4π^2)+o_q(1)$为偶数字符和$c=3/(8π)+o_q(1)$为奇数字符，显式$o_q(1)$条款。这改进了Frolenkov和Soundararajan对于大$q$的结果。我们继续进行，以下希尔德布兰德，获得明确的版本的结果蒙哥马利-沃恩部分高斯和明确的伯吉斯一样的结果卷积狄利克雷字符。
Reduction on the congruences of partial sums of P-recursive sequences
本文简化了P-递归序列部分和同余式的证明方法，放宽望远镜算子要求，利用序列同余性质，确认了孙的猜想并发现中心三项式系数的新同余式。
Partial Sums of the Fibonacci Sequence
设$(F_n)_{n\ge 1}$为斐波那契数列。定义$P(F_n): = (\sum_{i=1}^n F_i)_{n\ge 1}$ ;即，函数$P$给出$(F_n)$的部分和序列。本文首先给出一个涉及$P^k(F_n)$的恒等式，它是将$P$应用于$(F_n)$ $k$次的结果序列.其次，我们提供了一个组合的解释$P^k(F_n)$中的数字。
Proofs of Two Conjectural Identities on Partial Nahm Sums
本文证明 Wang 和 Zeng 关于部分 Nahm 和剩余模族提出的两个 Rogers–Ramanujan 型猜想恒等式，通过 Bailey 对变换公式及两种不同方法将其转化为 Hecke 型级数并最终化为模无穷乘积。
Zeros of partial sums of $L$-functions
考虑一类乘法函数$f: \mathbb N \rightarrow \mathbb C$ .设$F(s)= \sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}$为相应的Dirichlet级数，$F_N(s)= \sum_{n\le N} f(n)n^{-s}$为截断的Dirichlet级数。在这种情况下，我们得到新的Halász型结果的对数平均值的$f$。更确切地说，我们证明估计的总和$\sum_{n=1}^x f(n)/n$的大小$|F(1+1/\log x)|$，并表明这些估计是尖锐的。作为我们的平均值估计的结果，我们建立非平凡的零自由区域，这些部分和$F_N(s)$。特别地，我们研究了数域$K$的Dedekind zeta函数的部分和的零分布。更准确地说，我们给出了一些改进的结果，零的数量高达高度$T$以及新的零密度结果的零的数量高达高度$T$，躺在右边的$\Re(s) =σ$，其中$σ> 1/2$。
Partial sums of the cotangent function
我们认为存在一种用于形成$\sum_{m=1}^{k-1} f(\frac{m}k) \cot(π\frac{mh}k)$的规则公式，因此，$f$是一种由morceaux组成的基本$C^1$，它满足了一种在经典$f(x) = x$中没有出现的交替现象。我们对这些数字的主要部分进行了分解，这些部分是$h/k$的分数连续的。我们证明了存在的互惠公式的形式$\sum_{m=1}^{k-1}f(\frac{m}{k})\cot(π\frac{m h}k)$ $f$是一个分段$C^1$功能，具有交替的现象是不可见的经典情况下，$f(x)=x$的总和。我们推导出这些总和的连分数展开的$h/k$方面的界限。
On some properties of patial sums
给出了有理数序列部分和不是有理函数和不是代数函数的一些判别准则。作为应用，我们研究了数学分析中与数论有关的一些著名的有理数序列的部分和。
The sequence of partial sums of a unimodular power series is not ultraflat
本文证明了满足模为1的复数序列所构成的单模多项式部分和序列不是超平坦序列，回答了 Zachary Chase 提出的问题。
Smooth arithmetical sums over k-free integers
本文利用部分zeta函数分析了光滑无k整数上某些光滑算术和的渐近性态。
The structure of multiplicative functions with small partial sums
Landau-Selberg-Delange方法给出了一个乘积函数的部分和的渐近公式，该函数的素数平均值是一个固定的复数$v$。这个渐近的形状意味着，$f$可以得到非常小的平均只有当$v=0,-1,-2,\dots$。此外，如果是$v<0$，则与$f$相关联的狄利克雷级数必须在$s=1$处具有重数$-v$的零。在本文中，我们证明了一个相反的结果，该结果表明，如果$f$是一个由适当的约数函数限制的乘法函数，并且$f$具有非常小的部分和，则必须有有限个实数$γ_1$、$\dots$、$γ_m$，使得平均而言$f(p)\approx -p^{iγ_1}-\cdots-p^{-iγ_m}$。数字$γ_j$对应于与$f$相关联的狄利克雷级数的零的坐标，以多重性计数。这概括了第一作者，谁处理的情况下，$|f|\le 1$在以前的工作的结果。
A remark on partial sums involving the Mobius function
设$<¶> \subset \N$是由任意素数集$¶$（有限或无限）生成的自然数$\N = \{1,2,3,...\}$的乘法子半群.给出了部分和$\sum_{n \in < ¶>: n \leq x} \frac{μ(n)}{n}$的大小有界性的初等证明.借助于素数定理，我们还证明了这些和收敛到$\prod_{p \in ¶} (1 - \frac{1}{p})$（$¶$是所有素数的情况是Landau的一个著名的观察）。有趣的是，这种收敛甚至在相关zeta函数$ζ_¶(s) := \prod_{p \in ¶} (1-\frac{1}{p^s})^{-1}$的非平凡零点和极点存在于线$\{\Re(s)=1\}$上时也成立。作为第一个不等式的等价形式，对于所有$m,x,N,P \geq 1$，我们有$|\sum_{n \leq x: (n,P)=1} \frac{μ(n)}{n}| \leq 1$、$|\sum_{n|N: n \leq x} \frac{μ(n)}{n}| \leq 1$和$|\sum_{n \leq x} \frac{μ(mn)}{n}| \leq 1$。
Zeta Series Generating Function Transformations Related to Generalized Stirling Numbers and Partial Sums of the Hurwitz Zeta Function
我们定义了一个广义类的修改zeta级数变换生成的部分和的Hurwitz zeta函数和系列扩展的Lerch超越函数。我们在文章中定义的新的变换系数满足广义调和数列的扩展，或赫维茨zeta函数的部分和，这类似于第一类斯特林数的已知性质，以及用于枚举多对数函数系列变体的已知变换系数。我们在文章中证明的新结果的应用包括新的系列扩展的狄利克雷β函数，勒让德chi函数，BBP型系列身份的特殊常数，交替和外来的欧拉和变量，交替zeta函数与权力的二次幂，和特定的系列定义特殊情况下的黎曼ζ函数常数在正整数$s \geq 3$。
On multiplicative functions with small partial sums
该研究聚焦解析数论中积性函数素数取值与平均值的反向关联，证明了除数有界且部分和小的积性函数，其素数平均取值可由对应Dirichlet级数在ℜ(s)=1上的零点虚部表示，推广了已有相关结果。
Partial Franel sums
该研究针对特定N推导了Farey序列中不可约分数的位置解析表达式与更优误差下界的渐近行为，定义了部分Franel和并得出其增长阶，还探索了其他部分Franel和，为黎曼假设相关研究提供了新的数论结果。
$p$-adic Theory for Partial Toric Exponential Sums
本文通过Dwork方法提出$p$-adic证明，展示部分$L$-函数可表示为交替乘积的扭曲Fredholm行列式，并构造$p$-adic上同调理论及公式，证明其具有唯一的$p$-adic单位根。
The distribution of partial sums of random multiplicative functions with a large prime factor
本文研究 Steinhaus 随机可乘函数在限制最大素因子大于 $\sqrt{x}$ 时的归一化部分和，证明其依分布收敛，并刻画极限分布为临界高斯可乘混沌积分平方根与独立标准复正态变量的乘积。
Partial sums of random multiplicative functions and extreme values of a model for the Riemann zeta function
我们考虑加权Steinhaus随机乘法函数的部分和，并认为这是一个模型的黎曼ζ函数。我们给出了这个对象的尾巴和高时刻的描述。使用这些，我们确定可能的最大值$T \log T$独立采样副本我们的总和，并发现这是在协议的猜想农民-戈内克-休斯的最大值的黎曼ζ函数。我们还考虑了几乎必然界的问题。我们确定上界的水平上的平方根取消和下界，这表明一个程度的取消比大于，我们推测是根据欧拉产品的影响。
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function III: Average
本文研究 Rademacher 随机乘性函数部分和符号变化的平均次数，利用 Harper 的小矩估计证明了其下界至少为 (log x)(log log x)^{-1/2-ε}，并将 Erdős–Hunt 关于独立同分布情形符号变化的经典结果推广到更广泛的相依随机变量系统。
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function II
该研究针对两类Rademacher随机乘性函数模型，证明其对应部分和几乎必然无限次变号，同时指出一类相关部分和的变号问题仍待解决，且其存在有限次变号的正概率可能。
Fibonacci Partial Sums Tricks
本文研究类斐波那契数列部分和的可除性，揭示前十项和等于第7项乘以11的魔术原理，并推广到其他二阶递推，证明类Pell数列存在类似技巧而类Jacobsthal数列不存在。
On the positivity of some weighted partial sums of a random multiplicative function
本研究针对Rademacher随机乘性函数的加权和，在σ趋近于1/2正方向的区间内证明了其对所有x≥x_σ≥1为正的概率存在正下界，补充了σ≤1/2时该概率为零的已有结论。
Oscillation of partial sums of the Möbius function and zeros of Riemann's zeta function
该研究围绕莫比乌斯函数部分和M(x)的振荡，证明其平均阶随Y趋向无穷大，且对大Y与黎曼-冯·曼戈尔特素数公式的最大误差项高度吻合。
Partially Ordinal Sums and $P$-partitions
给出了偏序集$P$的$P$ -划分的生成函数$f_P(\x)$的一种计算方法。其思想是在偏序集上引入两种变换，并通过递归地应用这些变换来计算$f_P(\x)$。作为应用，我们考虑了偏序集的$n$拷贝的部分序和$P_n$，它推广了直和序数和.我们证明了序列$\{f_{P_n}(\x)\}_{n\ge 1}$满足关于$n$的递归关系的有限系统。我们通过几个例子来说明这个方法，包括一类三棱偏序集和多立方偏序集。
Counting sign changes of partial sums of random multiplicative functions
本文研究 Rademacher 随机乘性函数部分和的符号变化次数，证明对任意 c>2，其增长几乎必然至少为 (log log log x)^{1/c} 量级。
Uniform bounds for lattice point counting and partial sums of zeta functions
本文证明格点球内计数渐近式与 Landau 型 zeta 函数部分和渐近式的一致版本，使误差项隐含常数分别只依赖维数和函数方程形状。
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