Modular Double of Quantum Group
Ludvig Faddeev
描述了量子群的一个推广。我们建议统一参数为q的量子群和参数为q的模对偶的量子群。
An extension of Quantum Group is described. We propose to unite the quantum groups with parameter q and with parameter modularly dual to q.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Discrete series of representations for the modular double of U_q(sl(2,R))
具有变形参数q=e^{iπτ}的量子群U_q（sl（2））的模二重是一个显式考虑对偶τ-> 1/τ的自然对象。在CFT中使用模双允许考虑Virasoro代数的中心电荷的区域1<c<25，当|τ| =1。本文找到了U_q（sl（2，R））的模二重的一个新的离散表示级数。
R-operator, co-product and Haar-measure for the modular double of U_q(sl(2,R))
U_q（sl（2，R））的某类酉表示具有这样的性质：对于特定的波浪号{q}（q），它是U_{波浪号{q}}（sl（2，R））的一种表示。Faddeev曾提出把量子群U_q（sl（2，R））和U_{tilde{q}}（sl（2，R））统一到某个扩大的对象中，为此他创造了“模双”的名称。本文研究了U_q（sl（2，R））的模二重的R-算子、余积和Haar-测度，并建立了它们的主要性质。特别地，证明了[PT 2]中构造的Clebsch-Gordan映射对角化了这个R-算子.
Supersymmetry and the Modular Double
利用超对称量子力学构造了量子超代数$\cU_q(\osp(1|2))$的模二重的一个对应.我们还构造了作用于相应表象的$R$ -矩阵算子，并将其用量子双对数表示.
Character tables (modular data) for Drinfeld doubles of finite groups
鉴于共形域论或理论物理和数学的其他分支的应用，有限群（模数据）的德林费尔德双特征表的新例子可在网站上获得。
Finite-dimensional representations of the elliptic modular double
研究了依赖于自旋g的描述椭圆傅里叶变换的积分算子M（g）的核空间.算子M（g）是由一对Sklyanin代数构成的椭圆模偶的缠绕算子，其参数为$η$和$τ$，Im $ τ>0$，Im $η>0$ .对于具有无公度$1, 2η,τ$和整数$n,m>0$的二维格$g=nη+ mτ/2$和$g=1/2+nη+ mτ/2$，算子M（g）具有有限维核，该核由具有两个不同模参数的θ函数的乘积组成，并且在椭圆模双元的生成元的作用下是不变的.
On modular double of semisimple quantum groups
本文给出了半单单缀量子群的Weyl生成元的分幂复模拟的霍普夫代数的构造。这里我们把生成元看作正的自伴算子。特别地，我们将量子群的生成元的通常分幂的Lusztig关系推广到生成元的复分幂的情形。这些关系，其中一些是已知的，提供了完整的定义关系集。作为一个副产品的结果，Faddeev模双的情况下，半单的simply-laced量子群制定的纯代数定义。最后，我们介绍了无限维版本的Gelfand-Zetlin有限维表示的模双$M_{q,\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(N))$。
Elliptic modular double and 4d partition functions
我们考虑紧致流形上的4d超对称（特殊）酉$Γ$超规范理论，该流形是$S^2$上的$T^2$纤维化.证明了它们的配分函数是椭圆$W_{q,t;q'}(Γ)$代数的模二重形式的顶点算子和屏蔽荷的分解子。我们还考虑了支持在$T^2$上的BPS表面缺陷的生成函数，并表明它可以与椭圆海森堡代数上的Fock模中的特定相干态相识别。
Unitary representations of $U_{q}(\mathfrak{sl}(2,\RR))$, the modular double, and the multiparticle q-deformed Toda chains
本文研究了量子q变形Toda链的解析理论，所用的方法结合了表示论和量子逆散射方法。关键的现象，这是在审查的作用，模对偶概念（首先发现的L.法捷耶夫）在表示理论的非紧半单量子群。给出了用双正弦函数表示的Whittaker矢量的显式表达式，并将N粒子q变形开Toda链的波函数作为Mellin-Barnes型重积分给出.对于周期链，导出了两个对偶Baxter方程。
Ruijsenaars' hypergeometric function and the modular double of U_q(sl(2,C))
构造了两个Askey-Wilson二阶差分算子的同时本征函数作为量子化泛包络代数U_q（sl（2，C））的模倍的主级数表示的形式矩阵系数.在适当的参数对应下，证明了这些本征函数与Ruijsenaars的超几何函数相等.
Tetrahedron Equation and Quantum $R$ Matrices for modular double of $U_q(D^{(2)}_{n+1}), U_q(A^{(2)}_{2n})$ and $U_q(C^{(1)}_{n})$
引入了量子仿射代数$U_q(D^{(2)}_{n+1}), U_q(A^{(2)}_{2n}), U_q(C^{(1)}_{n})$到$q$ -振子代数${\mathcal A}_q$的$n$ -折叠张量积的同态.它们的作用与杨-巴克斯特方程的解可交换，而杨-巴克斯特方程的解是通过减少与${\mathcal A}_q$的模和Fock表示相关的四面体方程的解而得到的。在前一种情况下，这些量子仿射代数的模二重的交换性得到了增强。
Addendum to the paper "Combinatorics of the modular group II: the Kontsevich integrals"
补遗文件组合学的模群II的Kontsevich积分，第七/9201001，由C。Itzykson和J. - B. Zuber（3页）
$q$-Virasoro modular double and 3d partition functions
本文研究了紧致流形上三维$\mathcal{N}=2$ U（N）规范理论的配分函数，这些流形是$S^2$上的$S^1$纤维化.我们证明了配分函数是我们定义的$q$ -Virasoro模双的顶点算子和屏蔽电荷的自由场算子。在任意表示中包含超对称威尔逊圈，可以证明Wilson环真空期望值的生成函数满足$q$ -维拉索罗约束的两个SL（2，$\mathbb{Z}$）相关的交换集.我们将我们的构造推广到三维$\mathcal{N}=2$么正规范规范理论，并作为例子给出了ABJ（M）模型的自由玻色子实现.
Finite Group Modular Data
在各种各样的背景下，出现了与有限群相关的模数据。然而，与人们熟知的仿射代数模数据相比，这种有限群模数据的一般性质还没有得到很好的研究。在本文中，我们进行了这样的研究。我们确定了一些意义上的有限群数据是相似的，不同的，仿射数据。我们还考虑了从上同调扭曲所产生的数据，并明确地用与有限群直接相关的量来写下一般扭曲的模S和T矩阵，这似乎是第一次在印刷品中出现。
6j symbols for the modular double, quantum hyperbolic geometry, and supersymmetric gauge theories
我们从U_q（sl（2，R））的模二重中重新定义6j-符号，称为b-6j符号。我们的新结果是（i）特别自然的归一化条件的识别，和（ii）新的积分表示这个对象。这是用来简要讨论可能的应用量子双曲几何，并研究某些超对称规范理论。我们表明，特别是，B-6J符号具有领先的半经典渐近给出的体积的非理想四面体。此外，我们观察到一个密切的关系问题，以确定自然达布坐标的模空间的平坦连接的黎曼曲面相关的Fenchel-Nielsen坐标。我们的新的积分表示最终表明了b-6j符号作为三维N = 2超对称规范理论的配分函数的可能解释。
Quantum exponentials for the modular double and applications in gravity models
本文将 SL_q^+(2,R) 表示为 Faddeev 模对偶生成元的量子指数，构造其正则表示，并用于推进二维 Liouville 与三维纯引力振幅的 q-BF 表述。
Drinfeld double of quantum groups, tilting modules and $\mathbb{Z}$-modular data associated to complex reflection groups
本研究推广Lusztig与Malle关于复反射群幺正特征标及$\u2124$-模数据的工作，通过研究单复李代数Borel子代数量子包络代数Drinfeld double的倾斜模范畴，构造了部分对应数据的范畴化。
Group-theoretical properties of nilpotent modular categories
刻画了一类自然的素幂Frobenius-Perron维数模范畴作为有限p-群的扭双的表示范畴.我们还表明，幂零编织融合范畴C承认一个类似的Sylow分解。如果C的简单对象有积分Frobenius-Perron维数，则C是群论的。由此，我们得到了素数幂维数的半单拟霍普夫代数是群论的.我们的论点是基于重建扭曲群双拉格朗日子范畴的模块化范畴（这是让人想起双准李双代数的Manin对的特征）。
Turaev-Viro invariant from the modular double of $\mathrm {U}_{q}\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$
本文通过U_qsl(2;R)的模双的6j符号，定义了超几何3流形的Turaev-Viro型不变量，并证明其衰减率与双曲体积和adjoint扭转Reidemeister torsion相关。
The exoticness and realisability of twisted Haagerup-Izumi modular data
Haagerup子因子的量子双，第一个不可约的有限深度子因子，指数超过4，是最明显的候选人奇异的模块数据。我们表明，它的模块化数据DHg适合到一个家庭$D^ωHg_{2n+1}$，其中$n\ge 0$和$ω\in \bbZ_{2n+1}$。我们发现$D^0 Hg_{2n+1}$与Izumi假设与循环群$Z_{2n+1}$相关的子因子有关。他们的模块化数据配备了规范和对偶规范模块化不变量;我们计算了相应的α诱导等。此外，我们还证明了（分别）Izumi型$Z_7$、$Z_9$和$Z_3^2$的1、2、0子因子，并找到Izumi型$Z_{11},Z_{13},Z_{15},Z_{17},Z_{19}$的2、1、1、1、2子因子的数值证据（以前，Izumi已经证明了$Z_3$和$Z_5$的唯一性），我们确定了它们的模块化数据。我们解释了DHg（更一般地说是$D^ωHg_{2n+1}$）是量子双DSym（3）的移植物（分别是）。扭曲的双$D^ωD_{2n+1}$）通过仿射so（13）（分别地，所以（4n^2+ 4 n +5））。我们讨论了模数据$D^ωHg_{2n+1}$的顶点算子代数（或共形场论）实现。例如，我们证明了在中心电荷c=8时，Haagerup VOA正好有2个可能的特征向量（给出所有模块的分级维度）。从任何合理的意义上说，这些扭曲的Haagerup-Izumi模块化数据似乎都不…
A note on the automorphism group of the root lattice of the U-dual modular group
研究了量子变形的二维Yang-Mills根模到U-对偶模群的分次根模的包含系统。U-对偶模群的不可约表示是量子变形的黑膜喉。我们揭示了拓扑振幅的相干叠加与U-对偶模群的自守形式空间之间的同构。
Making nontrivially associated modular categories from finite groups
证明了由有限群的子群的左陪集表示构成的非平凡结合张量范畴是模范畴。我们还定义了带状范畴中对象的特征标，带状范畴是辫子霍普夫代数在带状范畴中的表示范畴。定义示出是伴随不变和乘法。给出了一个详细的例子。最后，我们证明了非平凡结合的double D与群D（X）的double的表示范畴之间的范畴等价性。
Modular invariants for group-theoretical modular data. I
我们分类不可分解的交换可分（特殊Frobenius）代数和（无扭）群论模范畴的局部模。这给出了群论模数据的模不变量的描述。作为一个双产品，我们提供了一个答案的问题时（以及在多少方面）两个群论模范畴相当于带状范畴。
Higher depth quantum modular forms, multiple Eichler integrals, and $\frak{sl}_3$ false theta functions
我们引入并研究了更高深度的量子模形式。我们构造了两类来自秩为2的伪θ函数的例子，它们在下半平面中的“同伴”也可以实现为双重Eichler积分和以“双重误差”函数值为系数的非全纯θ级数.特别地，我们证明了顶点代数$W^0(p)_{A_2}$的特征标中出现的$\frak{sl}_3$的假θ可以表示为正整数权的两个深度两个量子模形式之和.
Unphysical diagonal modular invariants
一个手征共形场论的模不变量是物理的，如果存在一个完整的共形场论，给定的手征半实现模不变量。最简单的模不变量是电荷共轭和对角模不变量。虽然电荷共轭模不变量总是物理的，但也有手性CFTs的对角模不变量不是物理的例子。本文给出了全纯共形域论的$G$ -轨折的对角模不变量是物理的一个充要条件。数学上，物理模不变量是拉格朗日代数在（手征）模范畴的乘积中的不变量。全纯共形场论的$G$ -orbifold的手征模范畴是有限群$G$的所谓（扭曲）Drinfeld中心${\cal Z}(G,α)$。证明了${\cal Z}(G)$的对角模不变量是物理的当且仅当群$G$有{ \em双类逆}自同构，这是一个自同构$ϕ:G\to G$，它具有这样的性质：对于任何交换的$x,y\in G$，都存在$g\in G$，使得没有双类反演自同构的$ϕ(x) = gx^{-1}g^{-1},\ ϕ(y) = gy^{-1}g^{-1}.$群是丰富的，并提供了对角模不变量是非物理的手征共形域论的例子。
Double Construction for Crossed Hopf Coalgebras
我们提供了一个模拟的Drinfeld量子双建设的背景下，介绍了Turaev的交叉Hopf群余代数。证明了在基群有限的条件下，半单交叉Hopf群余代数的对偶是模的和么模的.
A modular branching rule for the generalized symmetric groups
给出了一类圈积的模分支规则，作为对称群的Kleshchev模分支规则的推广。我们的结果包含了复反射群$G(m,1,n)$（通常称为广义对称群）在$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$的分裂域上的模分支规则.特别是对于$m=2$（这是$B$型外尔群的情形），我们可以给出任意域上的模分支规则.我们的证明是基本的，因为它基本上是一个组合的Frobenius互惠，麦基定理，克利福德的理论和Kleshchev的模块化分支规则。
Some Categorical Representations of the Modular Group
SL（2，Z）行动的例子微分分级范畴的定义和探讨。
Non-commutative covers and the modular group
我们利用非交换几何研究了模群SL（2，Z）的大量有限维表示。我们给出了由商奇点C^2/Z_6得到的6 n维表示的2n参数族。
Modular properties of matrix coefficients of corepresentations of a locally compact quantum group
给出了Kustermans和Vaes意义下量子群的余表示的模算符和模共轭的矩阵系数公式。因此，幺模量子群的模自同态群可以用矩阵系数表示。作为应用，我们确定了SU（1，1）正规化子在$SL(2,\mathbb{C}$中的量子群模拟的Duflo-Moore算符.
Presentations of Cluster Modular Groups and Generation by Cluster Dehn Twists
给出了饱和簇模群表示的一种计算方法。利用这一结果，我们得到了有限突变型$X_6$和$X_7$的饱和簇模群的有限表示.我们验证了有限突变型$\widetilde{E}_6$、$\widetilde{E}_7$、$\widetilde{E}_8$、$G_2^{(*,*)}$、$X_6$和$X_7$的簇模群实际上是由簇Dehn扭曲产生的.
Weight 2 blocks of general linear groups and modular Alvis-Curtis duality
给出了q-Schur代数的权2块和[2：1]-对的结构，并明确计算了有限一般线性群的权2块在非定义特征下的模Alvis-Curtis对偶.
On a Nielsen-Thurston classification theory for cluster modular groups
我们将簇模群的元素分为三种类型。我们刻画了它们的不动点性质的热带紧化与相应的集群合奏的行动。该刻画给出了曲面的映射类群上的Nielsen-Thurston分类理论的一个类比。
Modular Categories Associated to Unipotent Groups
设G是特征p > 0的代数闭域k上的幂幺代数群，l是不同于p的素数，e是G上G-等变（在共轭作用下）\bar{Q_l} -复形的幺半范畴D_G（G）中的极小幂等元.我们可以把G和e与模范畴M_{G,e}联系起来。在这篇文章中，我们证明了以这种方式从幂幺群中产生的模范畴正是类C_p^{ \pm }中的模范畴。
Hochschild Cohomology and the Modular Group
在以前的工作中已经表明，模群投射地作用在一个可因子分解带霍普夫代数的中心上。中心是第零Hochschild上同调群。本文将模群的投射作用推广到可分解带状霍普夫代数的任意Hochschild上同调群，实际上推广到同伦，甚至推广到整个Hochschild上链复形上的投射作用.
Modular Representation Theory of Symmetric Groups
综述了对称群及相关Hecke代数的模表示论的最新进展。本文讨论了群代数$FΣ_n$与Khovanov-Lauda-Rouquier代数的联系及其所揭示的群代数块上的分次，分次范畴与量子群和晶体基的联系，分次胞腔结构与分次Specht模，分次格腔结构与分次格腔结构之间的关系。仿射KLR代数的尖点系统和虚Schur-Weyl对偶，将这些代数的表示论与通常的小秩Schur代数联系起来.
Modular quasi-Hopf algebras and groups with one involution
在前一篇文章中，作者构造了一类与有限群$G$相关的拟霍普夫代数$D^ω(G, A)$，推广了扭曲量子偶构造.给出了模范畴$Rep(D^ω(G, A))$是模张量范畴的上同调充要条件.本文证明了群类$G$是\emph{contain a unique involution}的上同调条件，从而得到了一类新的模拟霍普夫代数的显式构造.我们发展了一般有限群$G$的基本理论，同时也发展了一个平行的理论，讨论了当$Rep(D^ω(G, A))$是超模而不是模时的问题。我们给出了一些涉及二元多面体群和零星单群的显式例子。
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