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arXiv math/9204210math.LO
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布尔代数的收获数

Reaping Numbers of Boolean Algebras

A. Dow, J Steprāns, W. S. Watson

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摘要：

布尔代数$B$的子集$A$被称为$(n,m)$ -reaped，如果存在大小为$n$的单位$P \subset B$的划分，使得对于所有$a\in A$，$\{b \in P: b \wedge a \neq \emptyset\}$的基数大于或等于$m$。布尔代数$B$的收割数$r_{n,m}(B)$是不能被$(n,m)$收割的集合$A \subset B\setminus \{0\}$的最小基数.证明了对于每个$n \in ω$，存在一个布尔代数$B$使得$r_{n+1,2}(B) \neq r_{n,2}(B)$ .此外，$\{r_{n,m}(B) : \{n,m\}\subseteqω\}$最多由两个连续整数组成。本文还讨论了布尔代数$B$的存在性，使得$r_{n,m}(B) \neq r_{n',m'}(B)$等价于有限组合数学中的一个语句。

英文摘要：

A subset $A$ of a Boolean algebra $B$ is said to be $(n,m)$-reaped if there is a partition of unity $P \subset B$ of size $n$ such that the cardinality of $\{b \in P: b \wedge a \neq \emptyset\}$ is greater than or equal to $m$ for all $a\in A$. The reaping number $r_{n,m}(B)$ of a Boolean algebra $B$ is the minimum cardinality of a set $A \subset B\setminus \{0\}$ such which cannot be $(n,m)$-reaped. It is shown that, for each $n \in ω$, there is a Boolean algebra $B$ such that $r_{n+1,2}(B) \neq r_{n,2}(B)$. Also, $\{r_{n,m}(B) : \{n,m\}\subseteqω\}$ consists of at most two consecutive integers. The existence of a Boolean algebra $B$ such that $r_{n,m}(B) \neq r_{n',m'}(B)$ is equivalent to a statement in finite combinatorics which is also discussed.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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