Depth of Boolean algebras
Saharon Shelah, Shimon Garti
证明了一个关于布尔代数的超积除以超滤子的深度与每个分支的深度的乘积之间关系的定理。这（部分）回答了蒙克的一个公开问题。
We prove a Theorem about the relationship between the Depth of the ultraproduct of Boolean algebras, divided by an ultrafilter, and the products of the depths of each component. This answers (partly) an open problem of Monk.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The depth of ultraproducts of Boolean Algebras
在ZFC中，我们证明了布尔代数的超积的深度可以大于这些布尔代数的深度的超积。
On DEPTH and DEPTH^+ of Boolean Algebras
我们证明了布尔代数的超积的深度^+不能以一个以上的基数跳过每个分支的深度^+。因此，对于深度不变量，我们可以得到类似的结果。
Semi-Cohen Boolean algebras
我们调查类的布尔代数有关的概念，迫使科恩reals。A >>Cohen代数<<是一个在自由布尔代数的完备化中稠密的布尔代数。介绍并研究了Cohen代数的推广：半Cohen代数、伪Cohen代数和潜在Cohen代数。这些布尔代数类在完备化下是闭的。
The completeness and congruences of quasi-Boolean algebras
本文研究拟布尔代数的完备性与同余关系，刻画了有限不可约拟布尔代数，证明了标准完备性及同余扩张性质，并完整描述了同余的扩张方式。
Measures on Boolean algebras
本文给出了布尔代数带有可加测度的一个充要条件。
Spectra of Tukey types of ultrafilters on Boolean algebras
将最近在$\mathcal{P}(ω)$上对Tukey型超滤子结构的研究推广到一般的布尔代数，我们对几类布尔代数的Tukey型超滤子的谱进行了分类，包括区间代数、树代数和伪树代数.
The small index property for countable superatomic boolean algebras
证明了有限秩的可数超原子布尔代数都具有小指数性质。
The number of openly generated Boolean algebras
本文主要讨论了射影布尔代数的两种不同的推广：开生成的布尔代数和紧σ滤除的布尔代数。证明了对任意不可数的正则基数kappa，只要存在一个kappa大小的几乎自由非自由阿尔贝群，就存在2 ^kappa大小为kappa > aleph_1的两两非同构的开生成布尔代数.这里构造的开生成布尔代数几乎是自由的。此外，对于每一个无限的正则基数kappa，我们构造了大小为kappa的2 ^kappa两两非同构的布尔代数，这些代数是紧sigma过滤的和c.c.c. c。这两个结果与Koppelberg的定理帽形成了很好的对比，对于每一个不可数的正则基数kappa，大小为kappa的投射布尔代数只有2^{< kappa}个同构类型。
Boolean Algebras and Logic
本文研究了布尔代数的概念和基本性质，证明了Stone表示定理。研究了布尔代数与逻辑和集合论的关系，特别是利用布尔代数中的Stone定理给出了命题逻辑中完备性定理的简洁证明。
Simple Complete Boolean Algebras
对于每一个正则基数kappa，存在一个具有kappa生成元的简单完备布尔代数。
Convergence and submeasures in Boolean algebras
一个布尔代数带有严格正的穷举子测度当且仅当它有一个一致Frechet的序列拓扑。
Existence of Endo-Rigid Boolean Algebras
一个布尔代数有多少个自同态？我们能找到自同态尽可能少的布尔代数吗？当然，从布尔代数的任何超滤子中，我们都可以定义一个自同态，并且我们可以以某种合理的方式组合许多这样的自同态。证明了在任意基数lambda=lambda^ {aleph_0}中存在一个没有其他自同态的布尔代数.为此，我们使用所谓的“黑匣子”，但在一个自我包含的方式。我们评论如何必要的限制红衣主教。
On Countably Closed Complete Boolean Algebras
可数闭完备布尔代数的每个完备子代数都是可数闭的是不可证明的。
Complete ccc Boolean algebras, the order sequential topology, and a problem of von Neumann
每个弱分配完备ccc布尔代数都有严格正的Maharam子测度是相容的。
A complete Boolean algebra that has no proper atomless complete subalgebra
存在一个完备无原子布尔代数，它不存在真的无原子完备子代数。
Amalgmation in Boolean algebras with operators
研究了带运算的布尔代数的各种形式的合并。我们也将有机会削弱处理MV和BL代数与运营商的布尔结构。
Some notes concerning the homogeneity of Boolean algebras and Boolean spaces
研究了具有可数生成的非主超滤子的布尔代数的齐次性，证明了一个布尔代数B是齐次的，如果它是可数生成的非主超滤子的并，并且有一个稠密子集D，使得对于D中的每一个a，相对代数B的限制a：= {b in B：b <= a}与B同构.特别地，原子布尔代数的可数个副本的自由积是齐次的。此外，一个布尔代数B是齐次的，如果它满足下列条件：（i）B有一个可数生成的超滤子，（ii）B不是c.c.c.，和（iii）对于B集减{0}中的每个a，有n个自同构h_1，.，h_n满足1=h_1（a）cup. cup h_n（a）.
Wider Thin-Very Tall Superatomic Boolean Algebras
对于每个正则基数k > w，我们证明了一个宽度为k的薄的非常高的超原子布尔代数的一致存在性.
Irredundant Sets in Atomic Boolean Algebras
在GCH的假设下，我们构造了一个原子布尔代数，它的pi-权严格小于极大无冗族的最小规模。
Boolean algebras with prescribed topological densities
给出了M的一个定理的简化证明。Rabus和S. Shelah声称，对于每个基数μ，都存在一个具有拓扑密度μ的c.c.c布尔代数。
Variations of Independence in Boolean Algebras
我们给出了推广自由布尔代数的几类布尔代数的定义，它们满足一个泛性质，即某些函数可推广到同态。我们给出了这类代数的生成集的一个组合性质，称之为n -独立的.研究了这些类（n-free和omega-free布尔代数）的性质。这些包括连接到超图理论和基数不变量对这些代数。引入并研究了相关的基数函数nInd，它是n-独立子集基数的上确界; i_n，极大n -独立子集的最小尺寸; i_omega，omega-独立子集的最小尺寸。P（omega）/fin上的i_n和i_omega的值与ZFC无关。同时考虑了理想独立性，证明了无穷布尔代数的基数函数p <= s_mm.我们还定义和考虑适度生成的布尔代数，即那些布尔代数，有一个生成集的元素，分裂的布尔代数的许多元素。
Functional reducts of Boolean algebras
本文对可数无原子布尔代数的一些特殊约简进行了分类，称之为泛函约简。我们证明，有确切的$13$这样的结构，一阶互定义。
Concerning problems about cardinal invariants on Boolean algebras
介绍了我的著作《布尔代数上的基数不变量》（Birkhauser 1996）中所讨论问题的现状，给出了解或部分解的描述，并附有参考文献。
Simple and sub-directly irreducible double Boolean algebras
本文研究双布尔代数，证明纯且平凡等价于两个布尔代数的粘合和，刻画简单双布尔代数，并分类某些子类中的子直不可约代数。
On noncommutative generalisations of Boolean algebras
斜布尔代数（skew BA）和类布尔代数（nBA）分别是布尔代数的单点和n点非交换推广。我们表明，任何nBA是一个集群的n同构的右手斜BA，公理化这里作为各种斜星代数。各种斜星代数被证明是长期等价的各种NBAs。我们使用斜BA，以发展一个一般的理论，多交易NBAs。我们还提供了一个表示定理的右手斜BA在nBA的n-分区。
On tightness and depth in superatomic Boolean algebras
本文引入了一个与L相容的大基数性质，并证明了对每个超原子布尔代数B和每个具有大基数性质的基数λ，如果紧密度^+（B）>= λ ^+，则深度（B）>= λ.这改进了Dow和Monk的一个定理。
Superatomic Boolean Algebras: maximal rigidity
证明了对于基数>beth_omega的超原子布尔代数，存在移动不可数个原子的自同构.同样的，对于更大的红衣主教。这些结果基本上都是最好的。
Minimal Axiomatization of Boolean Algebras
本文提出布尔代数的极小公理化新公理系统，揭示对称差与模差的代数相似性，并给出布尔代数中等价关系证明的新方法。
Depth^+ and Length^+ of Boolean algebras
设inv表示布尔代数上的基数不变量Depth^+和Length^+。对于许多奇异基数，我们在inv值的乘积和乘积代数的inv之间创建严格的不等式。证明在ZFC中成立。
On atomicity of free algebras in Boolean algebras with operators, and a new result on Pinter's free algebras
本文给出了关于带算子的布尔代数簇的自由代数的一般定理，并对Pinter置换代数得到了一个新的结果。对于n \geq 3，且m>1，存在由m个元素自由生成的自由代数的生成集，它不是生成元的自由集.
Axiomatization of Boolean algebras via weak dicomplementations
本文给出了基于弱双补格的布尔代数的一个公理化：$(2,2,1)$型的代数$(L,\wedge,\vee,\tu)$是布尔代数当且仅当$(L,\wedge,\vee)$是非空格，且对所有$x,y\in L$都是$(x\wedge y)\vee(x\wedge y\tu)=(x\vee y)\wedge(x\vee y\tu)$.这提供了一个唯一的方程来编码格上的分配性和互补性。
Building complicated index models and Boolean algebras
利用不可区分模型子结构构建κ≥λ的模型及更复杂结构，并应用于构造多种布尔代数。
A new look at Ternary Boolean Algebras
提出了一种新的三值布尔代数的构造方法，其中否定是由三值运算导出的。关键的方面是完全交换性的其他公理，不需要三进制操作是对称的替代。
Forcing a Boolean Algebra with predesigned automorphism group
对于适当的群G，我们将证明，可以通过强制使得Aut（B）几乎同构于G来添加一个布尔代数B。特别地，我们将肯定地回答J.Roitman提出的问题：aleph_{omega}是富布尔代数的自同构的可能个数吗？
Order and interval topologies on complete Boolean algebras
我们介绍和研究一般偏序集上的序收敛和区间拓扑。问题76伯克霍夫的“格理论”问是否为完整的布尔代数的秩序拓扑和区间拓扑一致。我们对这个问题的回答是否定的。
On Boolean algebras with strictly positive measures
本文研究了带有严格正可加测度的布尔代数的SPM类上的反射型问题。我们表明，特别是，在可构造的宇宙中有一个布尔代数$\mathfrak A$这是不是在SPM，但每个子代数的$\mathfrak A$的基数$\mathfrak c$承认一个严格的积极措施。这一结果主要是由于法拉和维利科维奇。
Notes on countably generated complete Boolean algebras
本文给出了无原子布尔代数可数生成的一个充要条件，并利用它对Gaifman-Hales和Solovay以及Jech，Kunen和Magidor的一些已知事实给出了新的证明.我们还表明，詹森的编码定理可以用来提供基数保持可数生成的完全布尔代数的任意大的基数。这回答了Jech [5]在1976年提出的一个问题。
Constructive Stone representations for separated swap and Boolean algebras
本文构造性地证明了(II)型分离交换代数的Stone表示定理，并推广了布尔代数的Stone-Čech定理，引入带布尔不等式的集合以在最小逻辑中证明该定理。
On the isomorphism problem for measures on Boolean algebras
本文研究了Maharam定理的可能推广，支持一个可加性测度的布尔代数的分类。证明了支持非原子一致正则测度的布尔代数度量同构于具有勒贝格测度的Jordan代数的子代数.我们给出了一些部分的类似物，用于分类的代数，支持一个更高的一致正则数的非原子测度的可加性。我们表明，一些自然诱导的等价关系连接到度量同构是相当复杂的，即使在Cantor代数，因此，我们可能不能希望一个很好的一般分类定理的可加性措施。我们给出了一个只支持可分测度而不支持一致正则测度的布尔代数的例子。
Constructive version of Boolean algebra
G. Sambin提供了完备布尔代数的构造性版本。在这里，我们首先显示一些性质有关重叠代数：我们证明了重叠态射的概念对应于经典的地图保持任意连接;我们提供了一个描述的原子集为基础的重叠代数的语言形式的拓扑，从而给出了一个谓词性的特点离散locale;我们表明，一个集合的幂集是自由重叠代数join-generated从集合。然后，我们推广重叠代数和重叠态射的概念，以各种方式提供建设性的版本的类别的布尔代数与地图保持任意现有的连接。
A note on infinite partitions of free products of Boolean algebras
如果$A$是一个无限布尔代数，则基数不变量$\mathfrak{a}(A)$被定义为$A$的无限划分的最小尺寸。基数$\mathfrak{a}(A\oplus B)$，其中$A\oplus B$是布尔代数$A$和$B$的自由积（其对偶拓扑空间是$A$和$B$的对偶拓扑空间的积），低于$\mathfrak{a}(A)$和$\mathfrak{a}(B)$。等式$\mathfrak{a}(A\oplus B)=\min\lbrace\mathfrak{a}(A),\mathfrak{a}(B)\rbrace$并不适用于所有无限布尔代数$A$和$B$。这里提供了$\mathfrak{a}(A\oplus B)$的一些下界。
On submeasures on Boolean algebras
我们提出了一个关于布尔代数上的子测度的观察和结果的集合。他们都是由Maharam的问题和Talagrand的建设，解决了它的动机。
Towards a Simplified Theory of Double Boolean Algebras: Axioms and Topological Representation
本文提出简化双布尔代数公理系统，并通过拓扑表示定理证明其等价性，同时发展了简化逻辑系统以提升结构结果。
The sequential topology on complete Boolean algebras
研究了由$B$中代数收敛序列确定的完备布尔代数$B$上的序列拓扑$τ_s$.我们显示的作用，弱分配性的$B$在分离公理的顺序拓扑。主要结果是：$B$带有严格正Maharam子测度的充要条件是$B$是ccc，空间$(B,τ_s)$是Hausdorff.我们还刻画了序贯基数。
A Boolean Algebraic Approach to Semiproper Iterations
这些说明提出了一个紧凑和自足的方法迭代强迫特别强调半正常强迫。我们试图使我们的介绍访问任何学者谁有一些熟悉的强迫和布尔值模型和完整的细节，所有的证据。我们的重点介绍使用布尔代数语言和定义的迭代系统作为一个有向和交换系统的完整和单同态之间的完整和无原子的布尔代数。众所周知，布尔代数方法的强制和迭代是完全等价的标准。虽然有几个专着强迫介绍了通过布尔值模型，据我们所知，没有详细的帐户迭代强迫布尔代数方法尚未出现。我们相信，这种不同的方法是富有成效的，因为丰富的代数语言简化了许多计算和定义，其中的RCS限制。这种方法的一些优点已经由Donder和Fuchs在http://arxiv.org/abs/math/9207204中概述。这些笔记的第一部分提出了在布尔代数语言中发展迭代强迫系统的极限概念所需的一般框架。第二部分证明了Shelah关于半真迭代的主要结果，即半真迭代的RCS-极限是半真的。
Reaping Numbers of Boolean Algebras
布尔代数$B$的子集$A$被称为$(n,m)$ -reaped，如果存在大小为$n$的单位$P \subset B$的划分，使得对于所有$a\in A$，$\{b \in P: b \wedge a \neq \emptyset\}$的基数大于或等于$m$。布尔代数$B$的收割数$r_{n,m}(B)$是不能被$(n,m)$收割的集合$A \subset B\setminus \{0\}$的最小基数.证明了对于每个$n \in ω$，存在一个布尔代数$B$使得$r_{n+1,2}(B) \neq r_{n,2}(B)$ .此外，$\{r_{n,m}(B) : \{n,m\}\subseteqω\}$最多由两个连续整数组成。本文还讨论了布尔代数$B$的存在性，使得$r_{n,m}(B) \neq r_{n',m'}(B)$等价于有限组合数学中的一个语句。
Orderings of ultrafilters on Boolean algebras
研究了完备布尔代数上Rudin-Keisler序到超滤子的两种推广.为了突出它们之间的差异，我们开发了新的技术来构建无与伦比的超滤波器在这种设置。进一步讨论了它与Tukey约化的关系，证明了在连续统假设下，Cohen代数上存在RK-等价但Tukey-不可比的超滤子，这与经典的情形形成了鲜明的对比.
Special subsets of {}^{cf(mu)} mu, Boolean algebras and Maharam measure algebras
本文的主旨是证明"存在< eta_alpha：alpha< lambda >是理想序列< I_i：i的（lambda，J）-序列<delta >“。这可以被认为是对Luzin集和Sierpinski集的推广，但是对于乘积prod_{i< delta} Dom（I_i），存在性证明与pcf有关。第二个主题是什么时候布尔代数B有自由口径lambda（即如果X子集B和|X| = lambda，那么对于某个Y子集X和|Y| = lambda，Y是独立的）。我们认为它是一个Maharam测度代数，或B的（小）产品的自由布尔代数，和kappa-cc布尔代数。一个中心情况是lambda =（beth_omega）^+，或者更一般地，lambda = mu^+，对于"小“共尾性的mu强极限奇异。第二个是mu = mu^{< kappa}< lambda < 2^mu ;主要情况是lambda正则的，但我们也有关于奇异情况的东西要说。最后，我们讨论了布尔代数关于irr（-）和s（-）等的超积。
On ultraproducts of Boolean Algebras and irr
证明了irr（prod limits_{i<kappa} B_i/D）< prod limits_{i<kappa} irr（B_i）/D的相容性，其中D是kappa上的超滤子，每个B_i是一个布尔代数.这解决了僧侣问题列表中的最后一个问题，即第35个问题。该解决方案适用于许多其他属性，例如，Souslinity。接下来，我们得到了类似的结果与kappa = aleph_1（很容易，我们不能有它为kappa=aleph_0）和布尔代数B_i（i< kappa）的基数< beth_{omega_1}。
Enrichments of Boolean Algebras: a uniform treatment of some classical and some novel examples
我们给出了无限原子布尔代数的各种丰富的模型论的统一处理，特别注意量词消除，完全公理化和可判定性。一个经典的例子是丰富的谓词的理想有限集，和一个新的一个涉及谓词给出同余条件的基数有限集。我们集中在三个例子，并按表达能力进行分类。
Reduction of Database Independence to Dividing in Atomless Boolean Algebras
本文证明了在数据库理论和独立逻辑中起作用的条件独立性的形式可约简为无原子布尔代数理论中的一阶除法演算。这在数据库理论中的独立性和随机独立性之间建立了有趣的联系。事实上，根据本-雅科夫[4]的上述简化和最近的工作，前者的独立性可以被视为后者的离散版本。
Congruence Boolean Lifting Property
本文引入并研究了同余分配泛代数的同余布尔提升性质（CBLP），以及与CBLP有关的一个性质，我们称之为$(\star )$ . CBLP是对MV-代数、BL-代数和剩余格的布尔提升性质（BLP）的推广，但在有界分配格上与BLP不同.重要的泛代数类，如泛簇，满足CBLP。本文的主要结果包括具有CBLP的同余分配代数的一个特征定理和具有CBLP的半局部算术代数的一个结构定理。当我们将CBLP特殊化到剩余格类和有界分配格类中，并研究它与这些代数的其他布尔提升性质的关系时，揭示了关于这些类之间的网状函子的图像的有趣结果。
Characterising projective and weakly projective Boolean algebras by coherent Freese--Nation separations
本文利用Freese-Nation性质的变体，给出了射影和弱射影布尔代数的刻画。
A model in which every infinite Boolean algebra has many subalgebras
我们证明了与ZFC（相对于大基数）是一致的：每个无限布尔代数B都有一个非冗余子集A使得2^{ |A| } = 2^{ |B| }.这特别地暗示B有2个^{ |B| }子代数。我们还讨论了代数的子代数和自由子集的一些更一般的问题。关于布尔代数中子代数个数的结果解决了Monk的一个问题。这份文件的目的是尽可能使一般读者都能查阅，特别是我们将技术性较强的材料限制在最后的“黑盒”中。这个证明涉及到Foreman和Woodin模型的一个变体，其中GCH处处失败。
On pseudo-irreducibility and Boolean lifting property of filters in residuated lattices
本文在剩余格中定义伪不可约滤子，刻画滤子及滤子根的布尔提升性质，并引入弱MTL代数等推广结构，从而以代数与拓扑方法解决相关开放问题。
Superatomic Boolean algebras constructed from strongly unbounded functions
利用Koszmider的强无界函数，我们证明了以下相容性结果：假设$κ,λ$是无穷基数使得$κ^{+++} \leq λ$，$κ^{<κ}=κ$和$2^κ= κ^+$，并且$η$是一个序数，其中有$κ^+\leq η<κ^{++}$和$cf(η) = κ^+$ .然后，在某个保基数一般扩张中存在超原子布尔代数$B$，使得- $ht(B) = η+ 1$，-对于每个$α<η$，$B$的$α$第层的基数是$κ$，-并且$B$的$η$第层的基数是$λ$特别地，$\<ω\>_{ω_1}\concatenation \<ω_3\>$和$\<ω_1\>_{ω_2}\concatenation \<ω_4\>$可以是超原子布尔代数的基数序列.
Stone and double Stone algebras: Boolean and Rough Set Representations, 3-valued and 4-valued Logics
Moisil在1941年，在构造n值逻辑的代数模型时定义了集合$B^{[n]}$，其中$B$是一个布尔代数，“n”是一个自然数。进而Moisil自己证明了n-值Mukasiewicz Moisil代数的$B^{[n]}$表示.在这篇文章中，结构表示结果的石头，双石和双石代数证明类似于Moisil的工作，这些代数的元素可以看作是单调有序元组的集合。3-提出了Stone代数的逻辑值语义、对偶Stone代数和对偶Stone代数的逻辑4值语义，并建立了可靠性和完备性结果。
On derivations of MV-algebras
本文研究了MV-代数中一些特殊导子的相关性质，给出了MV-代数中可加导子的一些刻画。然后，我们得到了加法导子的不动点集仍然是MV-代数。此外，我们还研究了布尔可加导子及其伴随导子。特别地，我们得到了布尔加法导子的不动点与其伴随导子的不动点同构。证明了MV-代数同构于布尔可加导子的不动点集与其伴随导子的不动点集的直积。最后，我们证明了布尔代数的结构完全由它的所有布尔可加（蕴涵）导子的集合决定。
Quantifier-free formulas and quantifier alternation depth in doctrines
本文在布尔学说的代数框架中引入无量词片段和QA分层布尔学说，分别公理化模理论的无量词公式集合与按量词交替深度的公式分层，并建立了二者与带量词布尔学说之间的对应关系。
Quantum Boolean Algebras
我们引入量子布尔代数，它是布尔仿射空间的Weyl代数的类似物。我们从逻辑和集合论的角度研究量子布尔代数。
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