On stable norm in word hyperbolic groups
Jean-Philippe Preaux
本文研究Gromov定义的词双曲群的稳定范数。本文给出了双曲群稳定范数的一个基本性质，即稳定范数的可计算一致非零下界的存在性的一个简单初等证明。
This work is concerned with the stable norm in word hyperbolic groups as defined by Gromov. We give a short elementary proof of one of its basic property, that is existence of a computable uniform non null lower bound for stable norm in a word hyperbolic group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Word Hyperbolic Semigroups
字双曲群的研究是几何群论中的一个重要课题，然而字双曲群是由一个几何条件定义的，这个几何条件不能自然地推广到半群。我们提出一个语言定义。如果一个半群的乘法表是上下文无关语言，那么这个半群就是词双曲半群。对于群，这个定义等价于原始的几何定义。我们还简要地考虑了半群的字问题。
The compressed word problem in relatively hyperbolic groups
我们证明了压缩字问题在一组是双曲相对于自由阿贝尔子群的集合是可解的多项式时间。
On the Definition of Word Hyperbolic Groups
本文研究了基于有限生成群乘法表的形式语言，并利用它给出了词双曲群的语言特征。
Central Extensions of Word Hyperbolic Groups
瑟斯顿声称（未发表），中央扩展字双曲群由number-generated阿贝尔群是自动的。我们表明，它们实际上是双自动的。进一步，我们证明了字双曲群上的每一个二维上同调类都可以用一个有界2-上循环表示。这给格罗莫夫的主张增加了分量，即对于一个词双曲群，在每个维度上的上同调都是有界的。
On Residual Properties of Word Hyperbolic Groups
对于固定字双曲群，我们比较了与拟凸子群相关的不同剩余性质。
Context-free rewriting systems and word-hyperbolic structures with uniqueness
本文证明了由合流上下文无关一元重写系统表示的任何幺半群都是词双曲幺半群。这个结果然后应用于回答邓肯和吉尔曼提出的一个问题，展示了一个词-双曲幺半群的例子，这个例子不允许一个词-双曲结构具有唯一性（也就是说，其中的语言代表映射到幺半群上的双射）。
A note on quotients of word hyperbolic groups with Property (T)
每个具有Kazhdan性质（T）的离散群都是具有性质（T）的无挠字双曲群的商。
Short, highly imprimitive words yield hyperbolic one-relator groups
本文为 Louder 和 Wilton 的猜想提供了实验支持，验证了非本原秩大于二的字能生成双曲单关系群。
The generalised word problem in hyperbolic and relatively hyperbolic groups
我们证明了，对于一个有限生成群相对于虚拟交换子群，广义字问题的抛物子群是一个实时图灵机的语言。然后，对于一个双曲群，我们证明了广义字问题的拟凸子群是一个实时语言的两个额外的假设下的子群。通过推广Muller-Schupp定理，我们证明了一个广义字问题的一个广义生成的子群的一个广义生成的虚拟自由群是上下文无关的。相反，我们证明了一个双曲群必须是虚拟自由的，如果它有一个挠自由拟凸子群的无限指标与上下文无关的广义字问题。
An example of a non-quasiconvex subgroup of a word hyperbolic group with exotic limit set
构造了一个无挠的自由不可分解的双曲群$G$的拟凸子群$H$的例子，使得$H$的极限集不是$G$的拟凸子群的极限集.特别地，这给出了G.Swarup猜想的一个反例：一个字双曲群的一个单端子群是拟凸的当且仅当它在其虚正规化子中有有限指标。
The generalised word problem for subgroups of hyperbolic groups
证明了双曲生成的虚自由群的广义拟凸子群的广义字问题是上下文无关的，证明了双曲群必是虚自由的，如果它有一个无穷指数的无挠拟凸子群，且其广义字问题是上下文无关的，并且证明了对于任意双曲群，无挠拟凸子群的广义字问题可由实时图灵机识别.
Subgroups of word hyperbolic groups in dimension 2 over arbitrary rings
本文利用任意环上的等周不等式将Gersten关于2维字双曲群子群的双曲性结果推广至任意环，并给出了高阶双曲群的子群保持同阶双曲性的条件及组合定义。
A series of word-hyperbolic Coxeter groups
对于每个正整数$k$，我们给出了Coxeter系统$(G_k,S_k)$的一个例子，使得$G_k$是一个字双曲Coxeter群，对于任意两个生成反射$s,t\in S_k$，乘积$st$具有有限阶，并且$S_k$的Coxeter图具有等于$k$的负惯性指数.特别地，对于任何$n$，$G_k$不能被嵌入到伪正交群$O(n,k-1)$中作为反射群，其中生成集是关于. $(G_k,S_k)$
Subgroups of word hyperbolic groups in rational dimension 2
Gersten的一个结果指出，如果$G$是一个双曲群的积分上同调维数$\mathsf{cd}_{\mathbb{Z}}(G)=2$，那么每一个子群都是双曲的。我们将这个结果推广到有理情形$\mathsf{cd}_{\mathbb{Q}}(G)=2$。特别地，我们的结果适用于无挠双曲群类$G$与$\mathsf{cd}_{\mathbb{Z}}(G)=3$和$\mathsf{cd}_{\mathbb{Q}}(G)=2$发现的Besthold和Mess。
Hyperbolic groups and free constructions
我们调查的自由建设（合并产品和HNN扩展）在词双曲群产生的群体，再次词双曲。当合并子群是虚循环群时，得到了一个完整的答案。特别地，应用这些结果表明无挠双曲群的${\bf Q}$ -完备化有可解的字问题和共轭问题。
Decision problems for word-hyperbolic semigroups
本文研究了Duncan & Gilman意义下的字双曲半群的判定问题。一个基本的研究表明，“词-双曲结构”的自然定义必须稍微加强，以定义一个唯一的半群同构。证明了字双曲半群的同构问题是不可判定的（与字双曲群的情形相反）。证明了词-双曲半群是自动的、异步自动的、双自动的还是异步双自动的是不可判定的。（这些性质一般不适用于字双曲半群。证明了字-双曲半群的一致字问题在多项式时间内可解（改进了以前的指数时间算法）。给出了判定字双曲半群是么半群、群、完全单半群、Clifford半群还是自由半群的算法。
A non-quasiconvexity embedding theorem for hyperbolic groups
证明了若$G$是一个非初等无挠字双曲群，则存在另一个字双曲群$G^*$，使得$G$是$G^*$的一个子群，但$G$不是$G^*$中的拟凸.
Stable commutator length in word-hyperbolic groups
本文获得了字双曲群和作用于双曲空间的某些群（即作用于曲线复形的映射类群和作用于Bass-Serre树的合并自由积）中稳定换位子长度的一致正下界。若G是一个关于对称生成集S为δ双曲的字双曲群，则存在一个仅依赖于δ和|S|的正常数C，使得G的每个元素或者有一个与其逆共轭的幂，或者稳定换位子长度至少等于C.由Bavard定理，这些稳定的换向器长度的下界意味着存在的拟同构与统一控制的缺陷，但是，我们展示了如何直接构建这样的拟同构。我们还证明了各种分离定理，建设齐次拟同构（再次统一估计），这是积极的一些规定的元素，而消失的一些家庭的独立元素的平移长度是一致有界的。最后证明了无挠字双曲群中稳定换位子长的第一聚点包含在1/12和1/2之间。这给出了双曲群中的共轭类具有小的稳定换位子长度的普遍意义，并且可以被认为是一种“同调马古利斯引理”。
Computation in word-hyperbolic groups
我们描述了一个程序，它验证了一组由发电机和relators是字双曲。这个过程总是适用于一个组是字双曲，提供了足够的内存和时间致力于这个问题。如果该组不是词双曲的，则该过程无限地继续。我们还描述了一个程序，计算的薄的测地线三角形的凯莱图的字双曲群。同样，如果有足够的内存和时间，这个过程一定会起作用。
Torsion-free Word Hyperbolic Groups are Noncommutatively Slender
在本说明中，我们证明了标题中给出的要求。一个群G是非交换细长群，如果每个从Hawaiian Earring的基本群到G的映射通过投影到一个标准自由子群而因子化.格雷厄姆·希格曼在他1952年的开创性论文中证明了自由群是非交换的细长群。这类群首先由K. EDA.埃达曾问过哪些非交换性的群体是苗条的。这一结果证明了在Gromov的少联系子意义下的随机群是非交换细长群.
Engulfing in word-hyperbolic groups
我们研究了字双曲群的剩余性质，采用Darren Long介绍的方法来研究Kleinian群的剩余性质。
Multiplication tables and word-hyperbolicity in free products of semigroups, monoids, and groups
本文研究了Duncan & Gilman定义的关于正则梳的具有上下文无关乘法表的词双曲半群和幺半群的性质。特别地，考虑了在取自由积的情况下保持词双曲性的问题。在所涉及的半群的较弱条件下，例如由幺半群或正则半群所满足，我们证明了两个字双曲半群的半群自由积也是字双曲的。类似地，与一个温和的条件的唯一性表示的单位元，满足例如由团体，我们证明了幺半群自由积的两个字双曲幺半群是字双曲。这些方法在语言理论上是通用的，并且同样适用于半群、幺半群或具有$\mathbf{C}$ -乘法表的群，其中$\mathbf{C}$是任何逆闭超$\operatorname{AFL}$，在格雷巴赫意义上。特别地，我们推出了两个分别具有$\operatorname{ET0L}$的群的自由积.索引乘法表同样具有$\operatorname{ET0L}$，索引乘法表
A word-hyperbolic special monoid with undecidable Diophantine problem
幺半群$M$的丢番图问题是判定任何给定的方程组在$M$中是否有解的判定问题。本文给出了一个简单的例子，证明了一个上下文无关的，词双曲的，双曲表示的，具有平凡单位群的特殊幺半群$M$，使得丢番图问题在$M$中不可判定.这回答了Garreta & Gray在2019年提出的两个问题，并表明Dahmani & Guirardel证明的双曲群中丢番图问题的可判定性并不能推广到词双曲幺半群。
Boundaries of hyperbolic groups
本文综述了关于词双曲群边界的已知结果。
Non-noise sensitivity for word hyperbolic groups
该研究针对字双曲群上的非初等随机游走，证明其在小噪声参数、有限一阶矩条件下具备强非噪声敏感性，拓展了群论与随机过程的相关结论。
Linearity and indiscreteness of amalgamated products of hyperbolic groups
讨论了线性字-双曲群的合并积的线性性和离散性。特别是，我们证明了双Anosov组沿一个最大的循环子群总是线性的，我们构建这样的群体不承认任何离散和忠实的表示秩1的例子。我们还建立了新的非线性词双曲组的例子，阐述了以前的工作金丝雀-斯托弗-Tsouvalas。
Algorithmic properties of inverse monoids with hyperbolic and tree-like Schützenberger graphs
证明了Schützenberger图拟等距于树的逆幺半群类存在一致可解的字问题，而且其Schützenberger自动机的语言是上下文无关的.另一方面，我们证明了双曲Schützenberger图的逆幺半群存在一个无解的字问题。
Word hyperbolic extensions of surface groups
设S是亏格至少为2的闭曲面。证明了S的基本群H的扩张的有限生成群G是字双曲的当且仅当商群G/H在曲线复形上的轨道映射是拟等距嵌入，这等价于G/H在Farb和Mosher意义下是凸余紧的.
The word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups
研究缺双曲群（简称LHG）中的字与共轭问题。特别地，我们描述了LHG中字问题可判定的一个充要条件。然后，基于Olshanskii的分次小消去理论，我们发展了一个一般框架，使我们能够构造缺双曲群的字和共轭问题高度可控和灵活的可计算性和计算复杂性。作为一个应用程序，我们表明，对于任何递归可重复的子集$\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$，其中$\mathcal{A}^*$是一组字在任意选择的非空有限字母表$\mathcal{A}$，存在一个缺双曲群$G_{\mathcal{L}}$，使$ \mathcal{L}$的成员资格问题是“几乎”线性时间等价于共轭问题$G_{\mathcal{L}}$。此外，对于上述组的字和个人的共轭问题是可判定的“几乎”线性时间。另一个应用是建设一个缺双曲群与“几乎”线性时间字问题和所有的个人共轭问题是不可判定的字问题。作为另一个应用程序的开发框架，我们构建无限的口头完全群和扭转免费塔斯基怪物，即无限扭转免费组的所有真子群是循环的，“几乎”线性时间字和多项式时间共轭问题。这些群被构造为任意给定的非初等无挠双曲群的代数，并且是缺双曲群。最后，作为主要结果的结果，我们回答了一些开放的问题。
Compressed decision problems in hyperbolic groups
本文研究了双曲群中的压缩判定问题，证明了压缩字问题与压缩同时共轭问题在多项式时间内可解，且任意无限双曲群中的压缩背包问题是 NP 完全的。
Entropy and drift for word metric on relatively hyperbolic groups
本文研究了赋字度量的相对双曲群上的容许随机游动的Guivarc 'h不等式.证明了对于具有有限超指数矩的随机游动，如果这个不等式是一个等式，那么Green距离大致类似于距离，推广了Blach{è}re，Ha{ssinsky}和Mathieu关于双曲群的结果[4].我们的主要应用是相对双曲群关于几乎阿贝尔子群的秩至少为2。我们证明了，对于这样的群体，Guivarc 'h不等式关于一个字的距离和一个支持随机游动总是严格的。
The Frattini subgroup for subgroups of hyperbolic groups
本文证明了：对于字双曲群$H$的一个生成子群$H$，$H$的弗拉蒂尼子群$F(H)$是有限的.
Complexity of word problems for HNN-extensions
研究了HNN-群的群扩张中字问题的计算复杂性。HNN-扩张是组合群论的一个基本构造。证明了群H的升HNN-扩张的字问题在对数空间可约化为H的压缩字问题.本文的主要结果是：具有循环伴随子群的双曲群H的HNN-扩张的字问题可以在多项式时间内得到解决。这个结果可以很容易地推广到具有双曲顶点群和循环棱道群的群的图的基本群。
Virtually compact special hyperbolic groups are conjugacy separable
我们证明了，任何字双曲群，这是几乎紧特殊（在意义上的Haglund和Wise）是共轭可分的。由此我们推出了所有的双曲Coxeter群和许多经典的小消去群都是共轭可分的。为了得到主要结果，我们建立了一个新的素数阶元素共轭可区别的判据。这个标准是独立的利益，它的证明是基于离散和profinite（co）同调论的组合。
Word hyperbolic Dehn surgery
本文的目的是证明在一个尖点双曲三维流形上的许多Dehn填充产生一个三维流形，它是不可约的，超环面的，非Seifert流形，并且具有无限的，字双曲基本群.我们建立了Thurston-Gromov $2π$定理的一个推广，证明了如果每个填充坡的长度大于6，则所得到的3-流形具有上述所有性质.我们还给出了一个组合版本的$2π$定理，涉及角理想三角剖分。我们应用这些技术，通过研究手术沿交替链接。
Invariant measures on the space of horofunctions of a word hyperbolic group
本文在单位元为0的双曲群的时函数空间$\sH_0$上引入了一个自然等价关系。我们证明了在这种关系下只有1000多个遍历测度是不变的。这可以看作是鲍文-马库斯定理的一个离散模拟。此外，如果$η$是这样的一个措施和$G$作用在一个空间$(X,μ)$的p. m. p.转换，然后$η\times μ$是遍历相对于一个自然等价关系$\sH_0\times X$。这与Howe-Moore定理的一个特例相当。应用这些结果证明了有限空间上双曲群球平均的一个新的遍历定理。
Exponentially generic subsets of groups
在本文中，我们研究了泛型，即，典型的，行为的双曲群的生成子群，也是一般的行为的字问题的顺从群体。我们证明了非初等字双曲群的元素的随机集很可能是一个很好嵌入的自由子群的自由生成元的集合。我们还展示了一些非线性提出的顺从群体的限制的字问题是无法解决的每一个足够大的子集的话。
Metric characterizations of superreflexivity in terms of word hyperbolic groups and finite graphs
我们证明了超自反性可以用词双曲群的bilipschitz可嵌入性来刻画。我们比较了钻石图和二叉树的超自反性的特征。我们发现，存在序列的串联平行图的拓扑复杂性增加，承认一致bilipschitz嵌入到希尔伯特空间，因此不表征超自反。
Hyperbolicity of T(6) Cyclically Presented Groups
我们考虑由循环表示定义的群，其中定义词的长度为3，并且循环表示满足T（6）小消去条件。当这些群是双曲群时我们进行分类。当与已知结果相结合时，这完全分类了双曲T（6）循环表示群。
The conjugacy problem in hyperbolic groups for finite lists of group elements
设G是一个具有给定有限生成集的字双曲群，G的各种标准结构和常数都已预先计算好。一个（非实用）算法描述，作为输入两个列表A和B，每个组成的m字的发电机和其逆，确定是否列表共轭G，并返回一个共轭元素应该存在。该算法运行时间为O（m mu）$，其中mu是两个列表中元素长度的上界。类似地，概述了一种算法，该算法计算A的中心化器的生成器，具有相同的运行时间界限。
On hyperbolicity and virtual freeness of automorphism groups
我们表明，字双曲的自同构群的图产品$G_Γ$和Coxeter群$W_Γ$强烈依赖于定义图$Γ$的形状。我们还根据实际上是自由的$Γ$来表征那些$Aut(G_Γ)$和$Aut(W_Γ)$。
Polygonal words in free groups
一个长期存在的问题格罗莫夫问是否每一个单端字双曲群包含一个子群同构的基本群的封闭双曲曲面。通过取沿着不是真幂的词合并的自由群的加倍，可以得到词双曲群的无限族。我们在有限秩的自由群中定义了一组多边形词，并证明了合并词的连续性保证了相关的平方复形实际上包含一个$π_1$ -内射闭曲面.我们提供了许多具体的例子类多边形的话。例如，在秩为2的情况下，我们建立了没有孤立生成器的单词的连续性，以及几乎所有简单高度为1的单词的连续性，包括用于$pq\ne0$的Baumslag-Solitar relator $a^p (a^q)^b$。
Quasiconvexity and Amalgams
得到了两字双曲群的合并自由积的子群沿虚循环子群的拟凸性的一个判别准则。本文的结果提供了一种构造（Q）类中新词双曲群的方法，即使其所有的双曲生成子群都是拟凸的.已知自由群、双曲曲面群和大多数三维Kleinian群都具有（Q）性质。我们也给出了我们的结果的一些应用到单关系群和指数群。
Cubulating hyperbolic free-by-cyclic groups: the general case
设$Φ:F\rightarrow F$是有限秩自由群$F$的自同构。假设$G=F\rtimes_Φ\mathbb Z$是字双曲的。然后$G$自由地作用于CAT（0）立方体复形上，并与之协紧.
Polynomial-time proofs that groups are hyperbolic
一般来说，一个给定的双曲群是否是字双曲群是不可判定的。我们使用的概念pregroups，介绍了Stallings，定义了一类新的van Kampen图，它代表了几乎自由群的代理群。然后，我们提出了一个多项式时间的程序，分析这些图，并返回一个显式的线性Dehn函数的演示文稿，或返回失败，连同其失败的原因。此外，如果我们的过程成功，我们通常能够在多项式时间内产生一个字问题求解器，用于在线性时间内运行的演示。我们的算法已经实现，往往比KBMAG，唯一可比的公开可用的软件快许多数量级。
On operator norms for hyperbolic groups
本文估计双曲群上径向非负函数的算子范数，并证明哈格鲁普不等式的多种形式具有最优性。
Cubulating hyperbolic free-by-cyclic groups: the irreducible case
设$V$是一个有限图，$ϕ:V\rightarrow V$是一个不可约的训练轨道图，其映射环面具有字双曲基本群$G$ .则$G$在CAT（0）立方体复形上自由余紧作用.
Combination of quasiconvex subgroups of relatively hyperbolic groups
对于相对双曲群，研究了由两个拟凸子群$Q$和$R$生成的子群是拟凸且同构于$Q \ast_{Q\cap R} R$的条件.我们的结果推广了字双曲群的拟凸子群的已知组合定理。一些应用。
Small Kazhdan constants for small generating sets of linear groups
本文证明线性群及具有非初等收敛作用的有限生成群，存在大小仅比生成元数多2的生成集，其Kazhdan常数可任意小。
Statistical hyperbolicity in groups
在本文中，我们介绍了一个几何统计称为“蔓延”的一组相对于一个发电机组，基于平均距离的字度量之间的字对长度相等。这种蔓延量化了对双曲线的某种阻碍。具有最大蔓延的组演示文稿（即，没有这个障碍）被称为统计双曲线。我们首先蔓延曲率和非初等双曲群是统计双曲，然后给出一些结果的产品，迪斯特尔领导人图和lampighter组。在自由阿尔贝群中，字度量渐近地逼近由凸多胞体导出的范数，使得对蔓延的研究归结为凸几何中的问题。我们提出了一个算法，计算蔓延准确地为任何发电机组，从而量化失败的各种介绍Z^d是双曲线。这导致了一个关于极值的猜想，与经典的马勒猜想有关。
Groups whose word problems are not semilinear
设G是一个有限生成群，W是定义G中单位元的词的形式语言.证明了如果G是幂零群、有限体积双曲三流形的基本群或图位于某个无限类中的直角Artin群，则W不是多重上下文自由语言.
A note on growth of hyperbolic groups
下面的简短说明提供了Coornaert的一个结果的另一种证明：即，给定一个非初等字双曲群$G$与一个有限生成集$X$，存在常数$λ,D > 1$使得对所有$n \geq 0$有\[ D^{-1}λ^n \leq |B_{G,X}(n)| \leq D λ^n \]，其中$B_{G,X}(n)$是Cayley图$Γ(G,X)$中半径为$n$的球。
Local $C^0$-semi-rigidity of meandering-hyperbolic actions
研究蜿蜒双曲作用的局部 $C^0$-半刚性问题，通过证明其在该拓扑下的局部半刚性，将稳定性理论从利普希茨 $C^0$ 拓扑扩展到完整 $C^0$ 拓扑，进而从单一原理恢复相关作用及格的 $C^0$-局部半刚性。
The word problem in verbal products of groups
本文研究群的言语乘积的字问题，证明幂零与亚交换乘积保持可判定性，并构造可解乘积不可判定的反例，同时给出导出子群成员问题不可判定的双曲群。
Sublinear projection tracking in acylindrically hyperbolic groups
研究非圆柱双曲群字度量中的投影现象，对斜驶WPD元素证明相关最短投影性质，借此得到增长函数上界、构造真商群，还证明了受限子群的增长 - 余增长不等式。
Groups acting on hyperbolic spaces with a locally finite orbit
一个在某个双曲空间上具有几何作用的群必然是字双曲的，但另一方面，每个可数群在局部有限双曲图上通过等距作用（度量）。在本文中，我们考虑当一个群等距地作用在一类受限的双曲空间，例如拟树上时会发生什么。我们得到了强有力的结论，群结构的作用有一个局部有限轨道，特别是如果该集团是双生成的。我们还研究了拟树有限积上的群作用，其中我们的作用可能是由自同构或等距，包括Leary - Minasyan群。
Negligibility of parabolic elements in relatively hyperbolic groups
本文研究了关于字度量的双曲生成的相对双曲群$G$中抛物元的稠密性。我们证明了这个密度为零（除了退化的情况下）和极限定义的密度以指数速度收敛，这是最近独立证明的W。杨作为推论，我们得到了$G^2$中交换元素对集合的类似结果，证明了$G$的交换度等于零.
Hyperbolic Immersions of Free Groups
证明了图浸入的映射环面具有字双曲基本群当且仅当对应的自同态不产生Baumslag-Solitar子群。由于Reynolds的一个结果，这个定理适用于$F_2$的所有内射自同态和$F_n$的非满射完全不可约自同态。我们还给出了一个框架，将定理推广到所有的单射自同态的$F_n$。
Conjugacy in normal subgroups of hyperbolic groups
设N是Gromov双曲群G的一个N-生成正规子群.根据G/N的相应性质，建立了N有可解共轭问题和共轭可分的判据。证明了F. Haglund's和D.怀斯版本的里普斯构造是遗传共轭可分的。然后，我们使用这种结构产生的第一个例子，生成和提出的共轭可分群，包含非（共轭可分）子群的有限指数。
Hyperbolic surface subgroups of one-ended doubles of free groups
格罗莫夫问是否每个单端字双曲组包含一个双曲曲面组。我们证明了：如果（1）自由群的秩为2，或（2）每个生成元在合并字中的使用次数相同，则自由群的每个单端double都有一个双曲曲面子群。为了证明这一点，我们制定了一个更强的陈述Whitehead图和证明其特殊化的组合归纳法（1）和完美匹配多面体的特征埃德蒙兹（2）。
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