Perelman's Stability Theorem
Vitali Kapovitch
我们给出了著名的Perelman稳定性定理的一个证明，证明了对于一个曲率小于Gromov-Hausdorff的Alexandrov空间的非塌缩序列$X_i$收敛到紧致Alexandrov空间$X$，对于所有大的$i$，$X_i$同胚于$X$.
We give a proof of the celebrated stability theorem of Perelman stating that for a noncollapsing sequence $X_i$ of Alexandrov spaces with curvature bounded below Gromov-Hausdorff converging to a compact Alexandrov space $X$, $X_i$ is homeomorphic to $X$ for all large $i$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some elementary consequences of Perelman's canonical neighborhood theorem
在这个纯粹的简要说明中，我们回顾了三维奇点模型的一些已知性质。这些性质是三维里奇流的Perelman正则邻域定理和三维Kappa解的紧性定理的直接结果。
An $ε$-regularity theorem for Perelman's reduced volume
本文研究Ricci流中Perelman约化体积的正则性，证明当其接近1时基点曲率半径具有下界。
A note on Perelman's no shrinking breather theorem
作为熵公式的一个应用，Perelman证明了每个紧收缩呼吸子都是收缩梯度Ricci孤子。利用Perelman的$\mathcal{L}$ -几何给出了完全非紧情形的一个证明.我们的证明遵循了鲁和郑构造一个古老的解决方案的论点，并删除了他们所做的技术假设。
Perelman's W-functional and stability of Kähler-Ricci flow
本文研究了Kähler-Ricci孤子下Perelman熵在Kahler度量空间上的二阶变分.我们证明了熵在变分意义下是稳定的。特别地，Perelman熵沿着Kähler-里奇流是稳定的。这篇笔记的中文版已经出现在一本纪念张国祥教授的书中（Scientia Sinica Math.，46（2016），685-696）。
A note on Morse's index theorem for Perelman's $\mathcal{L}$-length
这基本上是一个说明第7节佩雷尔曼的第一篇论文的里奇流。给出了Perelman $ \mathcal{L} $ -长度的指数形式的一些基本性质，这些性质类似于Riemann情形（度量固定）的指数形式，并观察到Perelman $\mathcal{L}$ -长度的Morse指数定理成立.作为推论，我们得到了有限$\mathcal{L}$ -测地线上的$\mathcal{L}$ -共轭点个数的有限性.
New proofs of Perelman's theorem on shrinking Breathers in Ricci flow
利用I型解的奇异模型是收缩梯度Ricci孤子和非坍缩的I型古解的尺度极限是收缩梯度Ricci孤子的事实，给出了Perelman定理的两个新的证明：闭流形上里奇流的收缩呼吸子是梯度Ricci孤子.
Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow
本文证明了具有约化体积的里奇流的任何古解，只要其渐近极限足够接近高斯孤子的渐近极限，则它对任何时间都等距于欧几里得空间.这是Anderson关于Ricci平坦流形的结果的推广。作为推论，得到了梯度收缩Ricci孤子的能隙定理.
Linear stability of Perelman's $ν$-entropy on symmetric spaces of compact type
该文研究正Ricci曲率Einstein流形上Perelman $\ u$-熵的线性稳定性，证明其横向无迹对称2张量上的线性稳定性与Einstein流形关于Hilbert作用的稳定性等价，并完整分类了紧型对称空间上的该稳定性，给出了更多相关实例。
A simple proof of Perelman's collapsing theorem for 3-manifolds
我们将简化由Shioya-Yamaguchi和Morgan-Tian给出的关于三维流形的Perelman坍缩定理的早期证明。除其他外，我们使用佩雷尔曼的临界点理论（例如，多锥奇异性理论和他的纤维化理论）的Alexandrov空间，以构建所需的局部塞弗特纤维化结构的折叠3-流形。Perelman坍缩定理的证明是Perelman证明Thurston关于三维流形分类的几何化猜想的最后一步。我们对佩雷尔曼坍缩定理的证明几乎是独立的，非专家和高级研究生都可以使用。Perelman三维流形的坍缩定理可以看作是隐函数定理的推广
An optimal extension of Perelman's comparison theorem for quadrangles and its applications
本文讨论了Perelman比较法在四边形上的推广。在这个新的比较定理的应用中，我们研究了具有非负曲率的Alexandrov空间中超曲面的等距演化。我们证明了，在某些情况下，超曲面的等距演化相对于更大的子域成为全凸的。在非负曲率的情况下，导出了Petrunin关于测地线的第二变分公式的一个最佳推广。此外，我们还引入了Alexandrov空间中子集的广义第二基本形式。利用这个新的概念，我们将提出一种方法来研究Alexandrov几何中的两个开放问题。
Perelman-type no breather theorem for noncompact Ricci flows
本文首先证明了具有里奇曲率的完全收缩呼吸子是收缩梯度Ricci孤子。这个结果有几个应用。首先，我们可以分类所有完整的$3$维收缩呼吸子。其次，我们证明了每一个具有里奇曲率的完全收缩里奇孤子都是梯度的，这是Naber结果的推广。此外，我们还得到了渐近收缩梯度Ricci孤子存在的一般条件，这将有助于古解的研究。
Perelman's collapsing theorem for 3-manifolds
本文将简化Shioya-Yamaguchi和Morgan-Tian给出的三维流形的Perelman坍缩定理的早期证明。除此之外，我们使用Perelman的距离函数的半凸分析来构造所需的局部塞弗特纤维化结构的折叠3-流形。Perelman坍缩定理的证明是Perelman证明Thurston关于三维流形分类的几何化猜想的最后一步。我们对佩雷尔曼坍缩定理的证明几乎是完备的。我们相信我们对这个坍缩定理的证明对于非专家和高级研究生来说是容易理解的。
Perelman's lambda-functional and the stability of Ricci-flat metrics
在这篇文章中，我们介绍了一种新的方法（基于Perelman的Gradida泛函）来研究紧Ricci平坦度量的稳定性。在所有无穷小Ricci-平坦形变都是可积的假设下，我们证明了：（A）Ricci-平坦度量是λ在C^2，α意义下的局部极大化子当且仅当它的Lichnerowicz Laplacian是非正的，（B）λ满足Lojasiewicz-Simon梯度不等式，（C）里奇流在规范方向上不过度运动.作为结果，我们得到了一个刚性结果，一个新的证明Sesum的动态稳定性定理，和一个动态不稳定性定理。
A generalization of the Perelman gluing theorem and applications
本文将Perelman正Ricci曲率粘合定理推广到从正标量曲率到正截面曲率的正中间曲率条件，并应用于证明观察者模空间具有非平凡高阶同伦群及给出带全测地边界的正中间Ricci曲率度量存在性充分条件。
Linear stability of Perelman's $ν$-entropy of standard Einstein manifolds
本文针对标准爱因斯坦流形，估计拉普拉斯-贝尔特拉米算子最小正特征值，证明Schwahn发现的112个稳定爱因斯坦流形中除7个外均满足条件，故对佩雷尔曼ν-熵线性稳定。
Concavity of Perelman's $\mathcal{W}$-functional over the space of Kähler potentials
该研究指出Perelman的$\u0026mathcal{W}$泛函在Kähler势空间中Kähler-Ricci孤立子邻域的凹性可由Kähler-Ricci孤立子变分稳定性的已有结论直接推出，并利用前期工作的初等公式给出了简洁证明。
A Lean Formalization of the Hamilton--Perelman Proof of the Three-Dimensional Poincaré Conjecture
本文用 Lean 形式化证明了三维庞加莱猜想，结合 Moise 定理，采用 Ricci 流与手术及有限时间消没的 Hamilton–Perelman 方法。
On second variation of Perelman's Ricci shrinker entropy
本文给出Perelman的ν-熵第二变分公式的详细证明，纠正了已有文献中稳定性算子的错误，并通过相关Lichnerowicz型算子的最小特征值及其重数得到线性稳定收缩子的必要条件。
An extension of Perelman's soul theorem for singular spaces
本文研究具有非负曲率的开完全度量空间。其中，我们建立了Perelman灵魂定理在可能奇异空间中的推广：“设X是一个完备的、非紧的、有限维的Alexandrov空间，具有非负曲率。设X在非空开子集上无边界且有正曲率。则X一定是一个可缩空间“。这个结果的证明使用了距离函数和Busemann函数在具有非负曲率的奇异空间上的性质的详细分析。我们将引入一类角过剩函数来度量奇异空间中凸超曲面的凸性和外曲率。我们还得到了一个新的比较，在非负弯曲的空间，这导致了我们的新的灵魂定理的证明所需的凸性估计。
From the Boltzmann $H$-theorem to Perelman's $W$-entropy formula for the Ricci flow
19世纪70年代，L.玻尔兹曼证明了气体运动论中玻尔兹曼方程的著名的$H$ -定理，并给出了热力学熵的统计解释。2002年，G. Perelman引入了$W$ -熵的概念，并证明了里奇流的$W$ -熵公式.这在证明非局部坍缩定理以及最终解决庞加莱猜测和Thurston的几何化猜想中起着至关重要的作用。在我们以前的论文\cite{Li11a}中，作者用Boltzmann-Shannon-Nash熵给出了$W$ -熵的概率解释。本文通过对玻尔兹曼方程的$H$ -定理和里奇流的Perelman $W$-熵公式的比较，进一步加深了对$W$ -熵的理解.我们还提出了一种方法来构造“态密度”的措施，玻尔兹曼$H$ -熵正是$W$ -熵的里奇流。
On sigma model RG flow, "central charge" action and Perelman's entropy
Zamolodchikov的c-定理类型论证（以及弦论有效作用量构造）意味着2d西格玛模型中的RG流应该是梯度1到所有循环阶。然而，目标空间度量流的单调性并不明显，因为度量空间上的度量是不确定的。当RG流仅仅是Ricci流时，对于前导（单圈）阶，Perelman（math.dg/0211159）通过构造一个“熵”泛函证明了单调性，该泛函本质上是在目标空间体积固定的条件下，相对于Ricci子极值化的度量Ricci子作用。我们讨论了如何将Perelman的构造推广到所有的循环阶（即所有的阶在“O”中）。由此产生的“熵”等于减去不动点处的中心荷，与c定理的一般主张一致。
Entropies in $μ$-framework of canonical metrics and K-stability, I -- Archimedean aspect: Perelman's W-entropy and $μ$-cscK metrics
这是从arXiv：2004.06393和这第一篇文章中观察到的新视角研究mu-cscK度量和muK稳定性的两篇系列论文中的第一篇。第一篇论文是关于μ-cscK度量的Perelman的W-熵$\check{W}^λ$的表征。我们把Perelman的W-熵看作是给定K“ahler类$L$中K“ahler度量空间$\mathcal{H} (X, L)$的切丛$T \mathcal{H} (X, L)$上的泛函. $\check{W}^λ$的临界点是$μ^λ$ -cscK指标。当$λ\le 0$时，沿着纤维的上确界给出了$\mathcal{H} (X, L)$上的光滑泛函，我们称之为μ熵。然后将$μ^λ$ -cscK度量刻画为该泛函的临界点，类似于将极值度量刻画为Calabi泛函的临界点.我们还证明了W-熵沿测地线是单调的，以下Berman-Berglessson的亚谐性参数。研究了W-熵的极限，得到了μ-熵的一个下界。这个界限不仅是类似的，但确实有关唐纳森的下限卡拉比功能的极值极限$λ\to -\infty$。
Deformations of Lipschitz Homeomorphisms
本文将Perelman证明稳定性定理时所用Siebenmann同胚形变结果推广至Lipschitz情形，建立Lipschitz版粘合定理及带常数追踪的形变理论。
Uniqueness and stability of Ricci flow through singularities
我们验证了Perelman的一个猜想，即从任意紧致黎曼三维流形出发，存在一个通过奇点的正则里奇流。我们的主要结果是一个唯一性定理，这样的流量，其中，连同早先的存在定理的洛特和第二命名的作者，意味着佩雷尔曼的猜想。我们还表明，通过奇点的流动连续依赖于它的初始条件，它可以得到作为一个极限的里奇流与手术。我们的结果有应用程序的研究的非同构群的三个流形-特别是广义Smale猜想-这将出现在随后的文件。
Stability and Finiteness of Wasserstein Spaces
本文在Gromov--Hausdorff收敛及其等变形式下，证明Wasserstein空间在奇异与非奇异空间类上的稳定性，并给出Perelman稳定性定理的Wasserstein空间版本。
Eigenvalues and energy functionals with monotonicity formulae under Ricci flow
本文构造了Perelman的$\mathcal{F}$ -泛函和$\mathcal{W}$ -泛函型泛函族.我们证明了这些新泛函在里奇流下是非减的。作为应用，我们证明了紧致定常Ricci呼吸子必为Ricci平坦的定理。利用这些新的泛函，我们也给出了Perelman非平凡扩张呼吸子定理的一个新的证明。此外，我们还用直接法证明了紧膨胀Ricci呼吸子必为Einstein呼吸子。在本文中，我们还推广了X. Cao的特征值\cite{C}方法，改进了其结果.
Local curvature bound in Ricci flow
本文给出了与“里奇流的熵公式及其几何应用”一文第10.3节中Perelman定理有关的一个结果的证明。
The local entropy along Ricci flow---Part A: the no-local-collapsing theorems
我们将G的熵泛函局部化。Perelman推广了他的非局部坍缩定理和伪局部性定理。我们的推广在技术上受到进一步发展的李-丘估计沿里奇流。它可以用来证明Kähler里奇流在一般型极小射影流形上的格罗莫夫-豪斯多夫收敛。
Geometrisation of 3-manifolds
本文概述了瑟斯顿在1980年代猜想、佩雷尔曼在2000年代证明的三维流形几何化定理，解释了定理内容及其在不同情境下的影响。
Area and boundary length of surfaces diffeomorphic to annuli
本文证明了Perelman关于里奇流的有限消亡时的一个结论。我们的证明借鉴了不同的技术，从摩根田的论述，是外在的性质，它依赖于共同面积公式，而不是高斯-邦纳定理，并有可能推广到更高的维度。
Diffeomorphism Stability and Codimension Three
给定$k\in \mathbb{R},$ $v,$ $D>0,$和$n\in \mathbb{N},$设$\left\{ M_{α}\right\} _{α=1}^{\infty }$是具有截面曲率$\geq k,$体积$>v,$和直径$\leq D.$的黎曼$n$ -流形的Gromov-Hausdorff收敛序列Perelman的稳定性定理意味着除了100%以外所有的$M_{α}$都是同胚的。微分同胚稳定性问题询问除了有限多个$ M_{α}$之外是否所有都是微分同胚的。我们肯定地回答这个问题的特殊情况下，当所有的奇点的极限空间发生沿光滑和等距嵌入黎曼流形的余维$\leq 3$。然后，我们描述了几个应用程序。例如，如果极限空间是一个轨道空间，它的奇异层在$\leq 3,$上是余维的，那么除了100%之外，所有的$M_{α}$都是同构的。
Another proof of Ricci flow on incomplete surfaces with bounded above Gauss curvature
本文在不使用Shi关于完备非紧曲面上里奇流存在性定理和G.Perelman [P1]关于里奇流的伪局部性定理的情况下，给出了G.Giesen和P.M.Topping [GiT1]，[GiT2]关于Gauss曲率以上有界的不完备曲面上里奇流存在性结果的一个简单证明.我们还将给出P.M.Topping [T]存在性定理的一个特例的简单证明，而不用W.X.Shi [S1]的存在性定理。
Stability and moduli space of generalized Ricci solitons
本文研究了广义里奇流形的稳定性与模空间，通过分析规范变换群和新连接，推导出二阶变分公式，并证明毕许特平坦流形的稳定性及变形特性。
A counterexample to gluing theorems for MCP metric measure spaces
佩雷尔曼的加倍定理断言，通过沿着边界粘合两个具有曲率$\geq κ$的亚历山德罗夫空间的副本而获得的度量空间是具有相同维数并满足相同曲率下界的亚历山德罗夫空间。我们证明了这个结果不能推广到满足$\mathrm{MCP}$意义下的合成里奇曲率界的度量测度空间。反例由Grushin半平面给出，它满足$\mathrm{MCP}(0,N)$当且仅当$N\geq 4$，而它的双平面满足$\mathrm{MCP}(0,N)$当且仅当$N\geq 5$。
A pseudolocality theorem for Ricci flow
本文给出了对P.Lu关于里奇流的伪局部性的一个结果的一个修正，而不用Perelman [P1]的伪局部性定理10.1.我们还得到了Hamilton关于在里奇流下演化的完备点黎曼流形序列$\{(M_k,g_k(t),x_k)\}_{k=1}^{\infty}$关于度量$[0,T]$具有一致有界截面曲率和$x_k$上的内射半径的一致正下界的紧性的结果的推广.
A volume stability theorem on toric manifolds with positive Ricci curvature
本文证明了一个体积稳定性定理：如果n维复曲面流形$M$有一个不变量Kähler度量$\mathbb{T}^n$且其里奇曲率不小于1，且其体积接近于$\mathbb{CP}^n$的体积，则$M$是$\mathbb{CP}^n$的双全纯.
Almost euclidean Isoperimetric Inequalities in spaces satisfying local Ricci curvature lower bounds
受Perelman关于里奇流的伪局部性定理的启发，我们证明了：如果黎曼流形的里奇曲率在一个度量球中有下界，并且这个度量球的体积几乎是最大的，那么在一个更小的球中（在一个量化的意义上）它有一个几乎欧几里德等周不等式.结果实际上是建立在更一般的框架内的非光滑空间满足局部里奇曲率下界在综合意义上通过最佳运输。
Differentiable stability and sphere theorems for manifolds and Einstein manifolds with positive scalar curvature
Leon Green对具有大共轭半径和/或内射半径的正数量曲率流形得到了显著的刚性结果。利用$C^{k,α}$收敛技巧，我们证明了这些结果的几个可微稳定性和球面定理版本，并将其应用于爱因斯坦流形的研究。
Stability of the positive mass theorem and torus rigidity theorems under integral curvature bounds
D的工作。Stern和Bray-Kazaras-Khuri-Stern提供了微分几何恒等式，它将黎曼3-流形的数量曲率与整体不变量以调和函数的形式联系起来。这些定量公式是有用的稳定性的结果，并显示出更多的这种类型的应用前景。本文分析了平坦模型空间上的调和映射，讨论了正质量定理和Geroch猜想的几何稳定性。通过施加积分里奇曲率和等周边界，我们利用前面提到的公式建立这些调和映射的强控制。当渐进平坦流形的质量足够小时，或者当Riemannian torus具有几乎非负的数量曲率时，我们将映射升级为微分同胚，并给出模型空间的量化Hölder贴近度。
Stability of the Riemannian positive mass theorem in all dimensions
该研究将黎曼正质量定理的Dong-Song稳定性定理推广到高维自旋流形，通过构造全局极小图的坐标并利用旋子控制度量缺陷，证明对应外部区域在特定拓扑下收敛于欧氏空间。
On the uniqueness of Ricci flows from certain Alexandrov spaces
本研究证明从奇异Reifenberg空间出发、满足尺度不变曲率界等条件的Ricci流唯一性，并据此在极限空间上规范定义光滑结构，推广了Perelman稳定性定理。
Stability of Hyperkähler Flow
本文研究了超卡拉西莫夫流的稳定性，扩展了Wang和Tsai关于极小曲面均曲率流的结论，得出了超卡拉西莫夫流的动态稳定性定理。
Stability properties and gap theorem for complete $f$-minimal hypersurfaces
本文研究完全定向$f$ -极小超曲面在圆柱收缩孤子$(\mathbb{S}^n\times \mathbb{R}, \bar{g}, f)$中的适当浸入。证明了这样的$L_f$指数为1的超曲面必定是$\mathbb{S}^n\times\{0\}$或$\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{R}$，其中$\mathbb{S}^{n-1}$表示$\mathbb{S}^{n}$中具有相同半径的球面.并证明了它们的一个拼挤定理。
Gromov-Hausdorff instability of the positive mass theorem for Kähler manifolds
本文构造了一序列Kähler度量，其ADM质量趋于零但不收敛于欧几里得空间，证明Klemmensen稳定性结果中切除条件的必要性。
Product theorem for K-stability
证明了$δ$ -不变量的乘积公式，作为应用，证明了K-（半，多）稳定Fano簇的乘积也是K-（半，多）稳定的.
Stability for Serrin's problem and Alexandroff's theorem in warped product manifolds
本文证明了几何偏微分方程多个结果的定量版本，包括空间形式中 Serrin 超定问题的双重稳定性定理及扭曲积空间中相关不等式与分类的稳定性定理。
Stability of Positive Mass Theorem for Static Quasi-Local Energy of Compact (Locally) Hyperbolic Graphical Manifolds
该研究针对（局部）双曲静态空间上的紧致带边界图流形，证明了其外边界静态拟局部Brown-York能量的正质量定理在Federer–Fleming平坦距离下的稳定性。
Stability of Llarull's theorem in all dimensions
本文研究Llarull定理的稳定性，证明标量曲率接近n(n−1)的spin流形除小坏集外C^0接近于有限多个球面，从而完全解决Gromov球面稳定性问题。
Stability of the positive mass theorem under Ricci curvature lower bounds
在里奇曲率下界的假设下，建立了黎曼正质量定理的Gromov-Hausdorff稳定性.更精确地说，考虑一类可定向的完备一致渐近平坦黎曼3-流形，它具有非负数量曲率，第二同调为零，并且里奇曲率有一个一致下界。我们证明了，如果一列这样的流形的ADM质量接近零，那么它必须在点Gromov-Hausdorff意义下收敛到欧氏3-空间。特别地，这证实了Huisken和Ilmanen关于正质量定理在上述假设下的稳定性的猜想。证明是基于调和水平集的方法来证明正质量定理，结合Cheeger和Colding的几乎分裂定理的证明中使用的技术。此外，我们还证明了在更一般的数量曲率下界下，同样的结果也成立。
Goto's generalized Kaehler stability theorem
本文给出了Goto的广义Kaehler稳定性定理的简短且更直接的证明，表明在J_2由无处为零的闭形式确定时，J_1与J_2的小变形可耦合以保持广义Kaehler结构。
Stability of the Cut Locus and a Central Limit Theorem for Fréchet Means of Riemannian Manifolds
我们得到了闭黎曼流形的一个中心极限定理，澄清了Bhattacharya和Lin's Omnibus中心极限定理中一些假设的几何意义。我们得到我们的CLT假设一定的稳定性假设的割迹，这总是保持当流形是紧的，但可能不满足在非紧的情况下。
Stability of the Positive Mass Theorem for Axisymmetric Manifolds
远离中心轴，我们证明了正质量定理在$W^{1,p}$意义下的稳定性，对于渐近平坦的轴对称流形，非负数量曲率满足一些附加的技术假设.我们还推导出估计的体积的区域，面积的轴对称表面，和点之间的距离内的流形。
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