On Estimates of the Number of Collisions for Billiards in Polyhedral Angles
Lizhou Chen
利用表征多面体角的正定矩阵的最小特征值，得到了任意台球轨迹在多面角内碰撞次数的一个上界。矩阵的元素是角的面的单位法向量之间的标量积。
We obtain an upper bound of the number of collisions of any billiard trajectory in a polyhedral angle in terms of the minimal eigenvalue of a positive definite matrix which characterizes the angle. Elements of the matrix are scalar products between the unit normal vectors of faces of the angle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Entropy of polyhedral billiard
本文考虑$\mathbb{R}^3$的凸多面体上的台球映射，证明了它的拓扑熵为零。
Polyhedral billiards, eigenfunction concentration and almost periodic control
我们研究了凸多面体上台球流的动力学性质，远离边界的非光滑部分的邻域，称为“口袋”。我们证明了只有1000多个浸没的周期管缺少口袋，并建立了一个新的定量估计，这种管的长度。这推广了维度$2$中的已知结果。然后，我们应用这些动力学的结果来证明一个定量的拉普拉斯本征函数质量浓度附近的口袋凸多面体台球。作为证明我们在无理多面体上的集中结果的技术工具，我们在具有几乎周期边界条件的积空间上建立了一个控制论估计。这扩展了以前已知的控制估计周期边界条件，似乎是独立的利益。
Counting Collisions in an $N$-Billiard System Using Angles Between Collision Subspaces
计算了$d$维欧几里得空间中$N$ -台球系统中二元碰撞子空间之间的主夹角.这些角度是针对相等质量和任意质量计算的。然后，我们提供了一个约束的平面3台球系统的问题中的碰撞次数。比较这一结果与已知的台球碰撞边界在较低的维度进行了讨论。
Splitting time for irrational triangle billiards
我们找到了一个上估计分裂时间的薄平行梁无理三角形台球的一些数论函数的角度。对于某些角度类别，我们提供了该函数的上限估计。
Chaos in the square billiard with a modified reflection law
本文研究了具有非标准反射律的正方形弹子球的动力学问题，使得质点的反射角是入射角的线性收缩。我们提出的数值和分析参数，这台球的nonwandering集分解成三个不变集，抛物吸引子，混沌吸引子和一组由几个马蹄铁。这种情况意味着台球的拓扑熵为正，这一性质与标准反射定律下正方形台球的可积性形成鲜明对比。
Arnold Diffusion in Multi-Dimensional Convex Billiards
考虑严格凸域中的台球动力学，并考虑以与边界成小正角的速度矢量开始的轨迹。拉祖特金证明，在二维空间中，这个角度不可能沿着轨迹趋于零。我们证明了这样的轨迹可以存在于更高的维度。也就是说，使用几何技术的Arnold扩散，我们表明，在三维或更多维，假设测地流的边界上的域有一个双曲周期轨道和横同宿，存在的轨迹渐近接近台球边界是一个普遍的现象，在实解析拓扑。
Billiards in convex bodies with acute angles
本文研究了不一定光滑的凸体中闭台球轨线的存在性。特别是，我们表明，如果一个机构$K\subset \mathbb{R}^d$的所有非光滑点$q\in \partial K$的切锥是尖锐的（在一定意义上），那么有一个封闭的台球轨迹在$K$。
Hyperbolic polygonal billiards with finitely many ergodic SRB measures
我们研究多边形台球与反射法收缩的反射角朝向正常。证明了如果一个多边形没有平行边，则相应的台球映射有2个遍历SRB测度，其盆域覆盖一个完整的勒贝格测度集.
Hyperbolic polygonal billiards close to 1-dimensional piecewise expanding maps
我们考虑多边形台球与碰撞收缩的反射角朝向正常的边界表。在以前的工作中，我们证明了这样的台球有有限个遍历SRB测度支持双曲广义吸引子。在这里，我们研究这些措施的关系与遍历绝对连续不变的概率测度（acips）的拍打地图，1维地图从台球地图时，反射角总是等于零。我们的主要结果表明，对于一般多边形，如果反射律的Lipschitz常数足够小，则台球映射的各态历经SRB测度与相应拍击映射的各态历经acip之间存在一一对应，而且每个各态历经SRB测度的Bernoulli分量的个数等于相应各态历经acip的确切分量的个数.详细研究了台球在正多边形和三角形中的情形。
On some random billiards in a tube with superdiffusion
本文研究管中反射角随机的台球系统，证明粒子水平位移满足一个非标准中心极限定理，且该位移相对于不变测度恰好缺少二阶矩，呈现超扩散行为。
Capillary floating and the billiard ball problem
我们建立了毛细管之间的连接浮动在中性平衡和台球问题。这使我们能够减少问题的浮动在中性平衡在任何方向与规定的接触角无限均匀的圆柱体的问题有关台球焦散线的正交横截面。我们解决了台球问题。作为一个应用程序，我们描述了可能的接触角，并展示了一个无限的家庭真正的分析非圆形的圆柱体，浮动在中性平衡，在任何方向与恒定的接触角。
Remarks on magnetic flows and magnetic billiards, Finsler metrics and a magnetic analog of Hilbert's fourth problem
我们解释磁性台球芬斯勒的，并描述了一个类似的磁性台球的字符串建设。描述了“入射角等于反射角”定律的芬斯勒台球。我们刻画了平面上的Finsler度量，其测地线是一个固定半径的圆。这是一个磁性模拟希尔伯特的第四个问题，要求描述芬斯勒度量的测地线是直线。
Billiard characterization of spheres
本文研究了满足Gutkin性质的高维凸台球。一个凸超曲面$S$满足这个性质，如果任何弦$[p,q]$与$p$处的切超平面形成角$δ$，与$q$处的切超平面具有相同的角$δ$。我们的主要结果是：在$\mathbf{R}^d, d\geq 3$中唯一具有这种性质的凸超曲面是一个圆球.这推广了以前在\cite{B0}中得到的关于Gutkin台球的结果。
Stability of periodic orbits in no-slip billiards
在一组自然的物理要求下，二维刚体碰撞贴图可以分为两种类型：标准镜面反射贴图和第二种，我们称之为Broomhead和Gutkin之后的无滑移贴图。这导致研究无滑台球-平面台球系统中的移动粒子是一个磁盘（旋转对称的质量分布），其平移和旋转速度都可以改变在每次碰撞的边界的台球域。在本文中，我们大大扩展了以前的结果（Broomhead和Gutkin）的有界性和线性稳定性的Sinai型台球（Wojtkowski）的无滑台球的周期轨道。我们证明了：（i）对于具有分段光滑边界和至少一个内角小于$π$的平面上的台球区域，无滑移台球动力学总是包含椭圆周期- $2$轨道;（ii）多边形无滑移台球总是允许小的不变开集，因此关于正则不变台球测度不能遍历;（三）无滑动版本的西奈台球必须包含线性稳定的周期轨道的周期$2$，更一般地说，我们提供了一个曲率阈值，在此通常发生的周期- $2$轨道从双曲线转移到椭圆形;（四）最后，我们提出了一些意见关于周期轨道在一类多边形台球。
Pseudo-integrable billiards and arithmetic dynamics
我们引入了一类新的平面台球系统，其边界由许多共焦二次曲线的弧形成，使得它们包含一些反射角。基本动力学，拓扑，几何和算术性质的台球进行了研究。由边界反射角所引起的新现象，导致了与Liouville-Arnold定理不同的高等属的不变叶和动力学行为。它的类似物来自于测量叶理的迈尔定理。给出了Poncelet定理的局部形式，并给出了周期性的代数几何条件。与区间交换变换的联系与Keane型极小性条件一起建立。证明了该动力学只依赖于旋转数的算术运算，而不依赖于给定的共焦二次曲线束的几何形状。
Periodic Orbits on Obtuse Edge Tessellating Polygons
无摩擦台球桌上的周期轨道是台球的分段线性路径，其开始和结束于具有相同入射角的相同点。原始周期轨道的周期是球在其轨道上恰好经过一次时撞击桌子一侧的次数。在本文中，我们发现和分类的周期轨道的形状为120-等腰三角形，60-菱形，60-90-120-风筝，和30-直角三角形的台球桌。在每一种情况下，我们使用图形生成的平面的边缘镶嵌（也称为平铺）将周期轨道展开为直线段，并导出其周期的公式，以初始角度和初始位置表示。
Bifurcations of periodic and chaotic attractors in pinball billiards with focusing boundaries
我们研究了台球模型的动力学与修改的碰撞规则：从碰撞传出的角度是一个统一的收缩，由一个因子λ，入射角。这些弹球台球插入之间的一维映射时，λ =0和经典的弹性碰撞的哈密顿情况下，λ =1。对于所有λ <1，动力学是耗散的，因此会产生吸引子，吸引子可能是周期性的或混沌的。受最近Markarian，Pujals和Sambarino的严格结果的启发，我们数值研究并证明了当收缩参数变化时所产生的吸引子的分叉。有些台球只表现出周期吸引子，有些只表现出混沌吸引子，还有一些台球则是两种吸引子共存。
On conjugacy of convex billiards
给定$\R^2$中的严格凸域$Ω$，有一种自然的方式来定义其中的台球映射：一条到达边界的直线路径反射，使得反射角等于入射角。在本文中，我们回答一个相对古老的问题Guillemin。我们证明了如果两个台球映射在边界附近是$C^{1,α}$ -共轭的，对于某些$α> 1/2$，则相应的域是相似的，即它们可以通过重新标度和等距从另一个中得到.作为应用，我们证明了Birkhoff猜想关于平面台球可积性的一个条件版本，并证明了原来的猜想等价于我们所说的“扩张问题”.非常有趣的是，我们的结果和一个积极的解决方案，这个扩展问题将提供一个答案，一个密切相关的问题，在谱理论：如果标记长度谱的两个域是相同的，是真的，他们是等距的？
Lower bounds on the number of closed trajectories of generalized billiards
给定一个区域，或者更一般地说，一个有边界的黎曼流形，台球是一个质点在没有力场的情况下的运动。这种运动的轨迹是域内的测地线;粒子从边界反射，使入射角等于反射角。当台球反弹k次，然后以与开始时相同的速度向量到达初始位置时，台球运动可以恰好是封闭的（或周期性的）运动。研究封闭台球轨迹是由于乔治伯克霍夫谁在1927年证明了较低的估计数封闭台球轨迹的一定时期k。我们考虑台球从欧几里得空间的任意子流形反射的最一般的情况。我们证明了Morse不等式在这种情况下，并应用它们找到一个较低的估计的数量封闭台球轨迹的任何素数时期的贝蒂数的给定的流形。
Right-angled billiards and volumes of moduli spaces of quadratic differentials on $\mathbb{C}P^1$
利用黎曼球面上至多具有单极点的亚纯二次微分层的体积与具有奇点的相关平坦度规中的闭测地线的（带）数的计数函数之间的关系，证明了M所确定的每一个这样的层的体积的一个非常明确的公式。十年前的孔采维奇。证明是基于模空间上的测地流的李雅普诺夫指数的公式，该公式给出了一个可以恢复体积的递归公式。一个由Jon Chaika证明的遍历定理的附录被添加到当前版本。应用这一遍历定理的Teichmueller测地流，我们获得精确的二次渐近的封闭轨迹（带）的数量和广义对角线的数量在几乎所有的直角台球。渐进式中的所有系数（用相关的西格尔-维奇常数表示）都是显式计算的。
Pensive billiards, point vortices, and the silver ratio
本文提出一类新的平面台球系统“沉思台球”，推广了冰球台球和涡旋台球，证明了其变分起源与辛结构不变性，研究了扭转映射条件与周期轨道存在性，并揭示了黄金比例与白银比例在涡旋背景下的出现。
Structure and evolution of strange attractors in non-elastic triangular billiards
研究了等边三角形桌上弹球台球的动力学问题。在这样的动力学中，与壁的碰撞是非弹性的：与边界的法向量的出射角是$λ< 1$的均匀因子，其小于入射角。这导致连续碰撞之间的离散时间动力学在相空间中的收缩，并且因此导致勒贝格测度为零的吸引子，由于膨胀机制的存在，这些吸引子几乎总是具有混沌动力学的分形奇异吸引子。我们研究了这些奇异吸引子的结构及其随收缩参数$λ$变化的演化。对于$λ$在区间（0，1/3），我们严格证明了吸引子的康托尔集倍的间隔的结构，而对于较大的值的$λ$的台球动力学产生不可访问的区域在相空间。当$λ$接近于1时，吸引子分裂为三个传递分量，其吸引盆具有分形盆边界.
Counting problem on wind-tree models
我们研究周期性风树模型，台球在平面上赋予$\mathbb{Z}^2$ -周期性位于相同的连接对称直角障碍。我们显示渐近公式的数量（合痕类）封闭台球轨迹（$\mathbb{Z}^2$ -翻译）的风树台球。我们还明确计算相关的Siegel-Veech常数为通用风树台球取决于障碍物上的角的数量。
Divergent directions in some periodic wind-tree models
周期性风树模型是平面上的台球族T（a，b），其中大小为axb的相同矩形散射体布置在每个整数点处。Hubert，S. Lelièvre和S. Troubetzkoy（arXiv：0912.2891v1）指出，对于剩余的一组参数（a，b），T（a，b）中的台球流几乎在每个方向上都是递归的。本文证明了对于多个参数（a，b），存在一个正豪斯多夫维数的角集合S，使得T（a，b）中的所有初始角在S中的台球轨迹都是自回避的.特别地，在方向S上的流动是发散的。
On Chaotic Dynamics in Rational Polygonal Billiards
我们讨论了有理多边形台球中与可积性和混沌特征相关的分段线正则边界效应和顶角奇异边界效应之间的相互作用。多边形中规则和不规则运动的有争议的问题的处理方法是在确定性和随机性的框架内进行的。分析的台球壁碰撞分布和粒子的生存概率，分别在封闭和弱开多边形模拟。在多顶点多边形中，后期的壁碰撞事件导致圆形的规则的周期性轨迹（滑动轨道），这在开放台球的情况下可能被转化为幸存的集体激发（涡）。在弱开多边形中，滑动轨道和涡旋与相应的圆台球中的规则轨道没有拓扑相似性，通过普适和非普适弛豫动力学可以很好地区分滑动轨道和涡旋.
Counting special Lagrangian fibrations in twistor families of K3 surfaces
在一个有理角多边形中，闭合的台球轨迹的数量随长度成二次方增长。本文通过考虑特殊的拉格朗日环面，给出了K3曲面上的一个类似。台球轨迹的角度的类似物是扭量球上的一个点，并且允许具有由$ V $限定的体积的特殊拉格朗日环面纤维化的方向的数量像具有节能项的$ V^{20} $那样增长。Bergeron-Matheus已经明确地估计了误差项的指数为$ {20-\frac{4}{697633} }$。K3曲面上的计数结果是由不定格点上的本原迷向向量的计数导出的，而本原各向同性向量的计数又是由齐次动力学中的等分布结果导出的.
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