Splitting time for irrational triangle billiards
Dmitri Scheglov
我们找到了一个上估计分裂时间的薄平行梁无理三角形台球的一些数论函数的角度。对于某些角度类别，我们提供了该函数的上限估计。
We find an upper estimate for a splitting time of a thin parallel beam for irrational triangle billiards in terms of some number-theoretic function of angles. We provide an upper estimate on this function for some class of angles.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lower bounds on directional complexity for irrational triangle billiards
我们给出了一类无理三角形台球在典型方向上复杂性增长的显式下估计
Infinite genus surfaces and irrational polygonal billiards
我们证明了与无理多边形桌子上的台球游戏相关联的自然不变曲面与尼斯湖水怪同胚，即唯一可定向的具有恰好一端的无限亏格拓扑实曲面。
Veech groups, irrational billiards and stable abelian differentials
我们描述Veech集团的平面所产生的非理性的角度多边形台球或不可约的稳定阿贝尔微分。对于无理多边形台球，我们证明了这些群是SO（2，R）的非离散子群，并计算了它们的秩。
Periodic billiard orbits in right triangles II
周期台球轨道在无理直角三角形的相空间中是稠密的。一个更强的逐点密度结果也被证明。
Growth of periodic orbits and generalized diagonals for typical triangle billiards
对于典型的三角形台球，我们给出了周期轨道和广义对角线增长率的显式次指数估计。
Periodic billiard orbits in right triangle
存在一个开的直角三角形集合，使得对于这个集合中的每个无理三角形，（i）周期台球轨道在相空间中是稠密的，（ii）存在唯一的非奇异的垂直台球轨道，它不是周期的，并且（iii）垂直的周期轨道填充相应的不变曲面。
Billiards in Nearly Isosceles Triangles
证明了等腰三角形的任意充分小的扰动都有周期的台球路径.我们的证明涉及到与三角形台球有关的傅里叶级数的某些无限族的分析，并揭示了无理三角形台球中的一些自相似现象.我们的分析说明了一个令人惊讶的事实，即台球的三角形附近的维奇三角形是非常复杂的，即使台球的维奇三角形是非常好的理解。
Periodic Billiards in Isosceles Triangles
等腰三角形上的任何周期性轨迹都会产生通过识别原始三角形的两半而获得的直角三角形上的周期性轨迹。我们研究了在等腰三角形上的周期轨道和在直角三角形上的轨道之间的关系，以及这种关系对在等腰三角形上存在稳定轨道的影响和它们的轨道瓦片的性质。
Star-shaped trajectories of certain billiards around a triangle
本研究在Beltrami-Klein模型框架下，基于已有研究考察双曲平面中三角形外台球映射旋转数为2/5的情况，给出充分条件并证明其对大等腰三角形的必要性，最后提出相关猜想。
Knudsen's law and random billiards in irrational triangles
本文证明了在由无理三角形组成的锯齿形管壁的二维管道中自由弹跳的气体粒子的克努森定律。动力学随机扰动和相应的随机映射下的斜型确定性表示，这是遍历和准确的研究。
Digit sequences of rational billiards on tables which tile $\mathbb{R}^2$
本文对由周期台球轨道产生的周期数字串在反射下平铺$\mathbb{R}^2$的四个凸$n$ -凸$Δ$上进行分类，回答了Baxter和Umble提出的一个问题. $Δ$是等边三角形、$45-45-90$三角形、$30-60-90$、三角形或矩形。
Billiards in a circle with trajectories circumscribing a triangle
本文在双曲几何的Klein-Beltrami模型中，以欧几里得几何方式重新表述了三角形被归类为“大”的条件，提出并评估了其欧几里得大小度量，并为等腰三角形给出显式公式。
Triangle tiling billiards and the exceptional family of their escaping trajectories: circumcenters and Rauzy gasket
考虑一个平面的周期性三角形镶嵌，它是由等边镶嵌通过线性变换得到的。我们研究了以下瓷砖台球：一个球遵循直线段和反弹的瓷砖的边界到相邻的瓷砖在这样一种方式，折射系数等于-1。我们表明，几乎所有的轨迹，这样的台球要么关闭或逃逸线性，并为关闭的轨迹，我们证明了他们的周期属于4 N +2。我们还给出了一个精确的描述的特殊家庭的轨迹（零措施）：这些轨迹逃逸非线性到无穷大，并接近分形集。我们表明，这个特殊的家庭是参数化的著名的Rauzy垫片。这证明了前面提到的三角形瓷砖台球的几个问题。在这项工作中，我们也给出了一个更精确的理解完全翻转的最小交换变换3和4的间隔，证明他们属于一个特殊的超曲面。我们的证明是基于研究的Rauzy图的区间交换变换翻转。
Convex billiards on convex spheres
本文研究了二维凸球面上的动态台球问题。研究了一般凸球面上凸台球的一般性质。证明了$C^\infty$的周期点一般都是双曲或椭圆的，且具有无理旋转数.此外，每个双曲周期点都有横截同宿交点。在我们的方法中的一个新的成分是，我们使用赫尔曼的结果丢番图不变曲线证明了椭圆周期点的凸台球稠密子集的非线性稳定性。
Billiards in right triangles and orbit closures in genus zero strata
计算了任意有理直角三角形和等腰三角形的开折轨道的闭合性，并导出了周期台球轨迹在这些三角形中的渐近数。这如下分类所有轨道闭包的秩至少两个超椭圆分量的地层阿贝尔和二次微分。另外，给定一组固定的角度，所有单位面积的有理平行四边形，等腰梯形，右外的一个离散集的轨道封闭的展开确定。
Explicit Families and Distribution of Triangular Billiards of Weakly Exponential Growth
本文构造了第一个显式的无限族三角形，其组合复杂度函数具有弱指数增长，并找到了单参数族使得一般参数下复杂度弱指数增长。
Central symmetries of periodic billiard orbits in right triangles
这篇论文有一个严重的错误。在修复错误的文件的重点已经完全改变，因此值得一个新的名称：“周期轨道在直角三角形”。我已经用这个名字向arXiv提交了一个新的提交。
Snell meets Fagnano. Path optimization through an imperfect mirror
本文研究了在不完美镜面中通过 Snell 法则优化路径的问题，提出了一种基于加权周长的三角形优化方法。
On the Local Theory of Billiards in Polygons
多边形台球桌上的周期性轨迹是稳定的，如果它在任何足够小的扰动下持续存在。一个标准的结果是，$n$ -边形上的周期轨迹以自然的方式产生$n$ -穿孔球面上的闭路，并且该轨迹是稳定的当且仅当该路径是零同调的。我们提出了一个新的证明，这一结果的语言覆盖空间，它概括到一个多边形的邻域中的稳定轨迹的特征。利用这一点，我们分类的稳定周期轨道附近的30-60-90三角形，给出了一个新的证明施瓦茨的结果，没有邻居的三角形可以覆盖一个有限的联盟的轨道瓦片。推广了Hooper和Schwartz关于等腰Veech三角形$V_n$不允许$n=2^m,m\ge 2$有周期轨道的结果，并检验了他们关于$V_n$的邻域不可能被多个轨道瓦片覆盖的猜想.
Periodic Orbits of Billiards on an Equilateral Triangle
给出了等边三角形上周期轨道的发现、分类和计数问题的完整解。证明了Fagnano的周期3轨道是唯一的奇周期轨道。一个周期轨道要么是素数，要么是素数的某个d重素数。我们通过对$n$的某个划分的双射来计数周期为$2n$的素数和非素数周期轨道，然后利用$n$的素数分解来只计数素数轨道.
Trees and flowers on a billiard table
在这项工作中，我们完全描述了三角形瓷砖台球的动力学。在第一部分中，我们提出了一种几何方法的动力学，通过引入自然叶理与它相关联。在第二部分中，我们利用三角形瓷砖台球和家庭的完全翻转$3$ -区间交换变换的圆。我们通过重整化给出了动力学的一种组合方法。将这两种方法结合起来，我们证明了三角形平铺台球的动力学的几个定理。首先证明了Baird-Smith，Davis，Fromm和Iyer关于周期轨线符号动力学的树猜想和4 n +2猜想。其次，我们研究了一类与极小Arnoux-Rauzy映射的轨道密切相关的例外轨线。我们证明，所有这些特殊的轨迹通过所有的瓷砖，这证实了我们自己的猜想与P.休伯特对他们的非线性逃逸。此外，我们使用平铺台球证明的收敛性，重新标度，算术轨道的Arnoux-Yoccoz映射的Rauzy分形，由Hooper和Weiss所示。在过去三年中，所有这些声明都已发表。
Limit Sets of Convex non Elastic Billiards
受Pujals和Sambarino关于支配分裂的工作的启发，我们提出了具有修改的反射定律的台球，该反射定律构成了具有支配分裂的极限集的动力系统的简单示例，并且其中动力学是理性或非理性旋转。
The Ballet of Triangle Centers on the Elliptic Billiard
在椭圆台球中，3-D系列的动态几何形状令人费解。除了周长和内外径比守恒外，它还有一个驻点。此外，它的三角形中心扫出迷人的轨迹，包括椭圆，四次曲线，圆形和其他一些更复杂的曲线。在这里，我们探索了一系列新的现象，涉及（i）3-Bounds的形状和（ii）某些三角形中心约束到台球边界的运动学，特别是一些可以显示相对于3-Bounds的非单调运动。催眠是两个这样的非单调中心的联合运动，其许多停止和去类似于芭蕾舞。
Related by Similiarity: Poristic Triangles and 3-Periodics in the Elliptic Billiard
Poristic族由William Chapple于1746年发现，是一组具有公共内圆和外接圆的可变周长三角形。根据定义，该族具有恒定的内径与外接圆半径比。有趣的是，这种不变性也适用于椭圆台球中的3-D族，尽管这里的内半径和外半径是可变的，周长是恒定的。事实上，我们显示一个家庭映射到其他通过不同的相似性变换。这意味着在一个族中观察到的任何无标度量和不变量必须在另一个族中保持不变。
Is every triangle a trajectory of an elliptical billiard?
本文运用 Marden 定理证明每个三角形、平行四边形及“Darboux butterflies”自交折线均为某唯一椭圆内的台球轨迹，并有效计算出边界椭圆的焦点，揭示了 Marden 定理与 Poncelet Porism 间的联系。
Odd and even Maass cusp forms for Hecke triangle groups, and the billiard flow
用转移算子方法研究了上有限Hecke三角群的Maass尖点形式和Selberg zeta函数，M.穆勒和作者发现了一个因子分解的塞尔伯格zeta函数到产品的弗雷德霍姆行列式的转移运营商一样的家庭：$Z(s) = \det(1-\mc L_s^+)\det(1-\mc L_s^-)$。在这篇文章中，我们证明了算子族$\mc L_s^\pm$是作为Hecke三角形群下面的三角形群的转移算子族而产生的，并且对于$s\in\C$，$\Rea s=\tfrac12$，算子$\mc L_s^+$（分别为. $\mc L_s^-$）有1-本征函数当且仅当存在偶数（分别为奇）Maass尖点形式，特征值为$s(1-s)$。对于非算术的Hecke三角群，这个结果提供了关于偶Maass尖点形式不存在的Phillips-Sarnak猜想的一个新的表述.
Centers of inscribed circles in triangular orbits of an elliptic billiard
三角形中的内切圆的圆心轨迹，即椭圆台球的3周期轨道，也是椭圆。本文得到了该椭圆的正则方程，补充了O。Romaskevich
Loci of 3-periodics in an Elliptic Billiard: why so many ellipses?
三角形的中心，如圆心、重心等，由三次和循环地应用于旁瓣和/或角度的函数指定。考虑椭圆台球中的一维3-π族，以及它的三角形中心的轨迹。有些将扫描椭圆，而另一些将扫描更高次数的代数曲线。我们提出了两种严格的方法来证明如果一个给定的中心的轨迹是一个椭圆：一个基于计算机代数，另一个基于代数几何方法。我们还证明了如果三角形中心函数在边长上是有理的，则轨迹是代数的
Periodic Orbits on Obtuse Edge Tessellating Polygons
无摩擦台球桌上的周期轨道是台球的分段线性路径，其开始和结束于具有相同入射角的相同点。原始周期轨道的周期是球在其轨道上恰好经过一次时撞击桌子一侧的次数。在本文中，我们发现和分类的周期轨道的形状为120-等腰三角形，60-菱形，60-90-120-风筝，和30-直角三角形的台球桌。在每一种情况下，我们使用图形生成的平面的边缘镶嵌（也称为平铺）将周期轨道展开为直线段，并导出其周期的公式，以初始角度和初始位置表示。
One Hundred and Twelve Point Three Degree Theorem
自1775年法尼亚诺以来，人们已经知道，一个锐角三角形总是有一个周期性的台球路径，即正交三角形。2006年，Schwartz证明了每个钝角不超过100度的钝角三角形都有一条周期路径，本文的目的是利用计算机辅助证明每个钝角不超过112.3度的钝角三角形都有一条周期路径。
Aperiodic points for outer billiards
本文证明非三角形、正方形或六边形的正多边形上的欧几里得外弹球座存在非周期点，解决了R. Schwartz在ICM 2022提出的问题。
Perfect Retroreflectors and Billiard Dynamics
我们构造了半无限台球域，它反转了大多数入射粒子的方向。我们证明，几乎所有的粒子将离开开放台球域后，有限数量的反射。此外，出口速度与入口速度完全相反的概率很高，并且粒子的出口点任意接近其初始位置。该方法是基于统计的入口时间的一个小区间的非理性圆旋转的渐近分析。当迭代次数趋于无穷大且区间长度为零时，重新标度的入口时间具有极限分布。主要结果的证明来自于对相关极限分布及其正则性的研究。
Polyhedral billiards, eigenfunction concentration and almost periodic control
我们研究了凸多面体上台球流的动力学性质，远离边界的非光滑部分的邻域，称为“口袋”。我们证明了只有1000多个浸没的周期管缺少口袋，并建立了一个新的定量估计，这种管的长度。这推广了维度$2$中的已知结果。然后，我们应用这些动力学的结果来证明一个定量的拉普拉斯本征函数质量浓度附近的口袋凸多面体台球。作为证明我们在无理多面体上的集中结果的技术工具，我们在具有几乎周期边界条件的积空间上建立了一个控制论估计。这扩展了以前已知的控制估计周期边界条件，似乎是独立的利益。
Binomial-coefficient multiples of irrationals
用$x$表示帕斯卡三角形图中的随机无限路径（左转弯和右转弯以固定概率独立选择），并用$d_n(x)$表示沿路径$x$的$n$第一级的二项式系数。则对于$θ$在单位区间内的稠密$G_δ$集，$\{d_n(x)θ\}$几乎必然稠密但模1不均匀分布.
Circum- and Inconic Invariants of 3-Periodics in the Elliptic Billiard
圆周圆锥曲线通过三角形的顶点，而反圆锥曲线与三角形的边线相切。本文研究了椭圆台球中一类由一维3-π族导出的二次曲线的变几何性质。有些显示出有趣的不变性，例如纵横比和成对的焦距比。
A thermodynamic formalism approach to the Selberg zeta function for Hecke triangle surfaces of infinite area
我们提供了一个明确的截面的测地流上的无限区域Hecke三角形表面，使我们能够进行一个转移算子的方法Selberg zeta函数的建设。此外，我们构建密切相关的横截面的台球流相关的三角形表面上，并赋予所产生的离散动力系统和转移算子家族的两个权函数，这大概编码Dirichlet分别Neumann边界条件。这些转移算子族的弗雷德霍姆行列式构成了动态zeta函数，它提供了Hecke三角形曲面的Selberg zeta函数的因式分解。
Diffuse Behaviour of Ergodic Sums Over Rotations
对于圆上的无理$α$和BV函数$φ$的旋转，我们研究了遍历和$S_L φ(x) := \sum_{j=0}^{L -1} \, φ(x + jα)$的方差。当$α$不是常数类型时，我们构造序列$(L_N)$，使得在某些尺度上，遍历和$S_{L_N} φ$满足ASIP。显式非退化的例子，与应用程序的矩形周期台球在平面上。
Symbolic dynamics, automorphic functions, and Selberg zeta functions with unitary representations
以Hecke三角形表面的有限和无限区域为例，我们提出了技术的热力学形式主义的方法Selberg zeta函数与酉有限维表示$(V,χ)$双曲曲面（orbifolds）$Γ\backslash\mathbb{H}$以及转移算子技术开发周期函数的$(Γ,χ)$ -自守尖点形式。这导致了几个自然的结果。我们进一步展示了如何将这些结果推广到底层三角曲面上的台球流，并研究了转移算子沿Hecke三角群序列的收敛性。
Billiards on pythagorean triples and their Minkowski functions
人们早就知道，原始毕达哥拉斯三元组的集合可以通过某些三元树的下降来枚举。我们统一这些治疗考虑双曲台球桌的庞加莱磁盘模型。我们的表有m>=3个理想顶点，并且受到这样的限制，即表壁中的反射是由三角形群PSU^ \pm_{1,1} \Zbb [i]中的矩阵引起的。由此得到的台球映射\tilde B作用在de Sitter空间x_1 ^2 + x_2 ^2-x_3 ^2 =1上，并且在单位圆上有一个自然因子B，勾股三元组作为不动点的B-原像出现。我们计算了这些映射的不变密度，并证明了拉格朗日定理和伽罗瓦定理：当一个单位模的复数在Q（i）上是二次的（并且通过台球墙与其共轭隔离）时，它精确地具有预周期（纯周期）B轨道。如上所述的每个B是圆的（m-1）对1方向反转的覆叠映射，这是群字符T（z）=z^{-（m-1）}共享的性质。我们证明了存在一个同胚Phi，唯一的直到后复合的元素在一个二面体群，共轭B与T;特别是Phi -其原型是经典的闵可夫斯基问号函数-建立一个双射之间的一组点的程度<=2在Q（i）和扭转子群的圆。我们提供了一个明确的公式Φ，并证明了Φ是奇异的和霍尔德连续的指数log（m-1）除以最大周期平均自由程在相关的台球桌。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。