Growth of periodic orbits and generalized diagonals for typical triangle billiards
Dmitri Scheglov
对于典型的三角形台球，我们给出了周期轨道和广义对角线增长率的显式次指数估计。
We give an explicit sub-exponential estimate on the growth rate of periodic orbits and generalized diagonals for typical triangle billiards.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Lower bounds on directional complexity for irrational triangle billiards
我们给出了一类无理三角形台球在典型方向上复杂性增长的显式下估计
Periodic billiard orbits in right triangles II
周期台球轨道在无理直角三角形的相空间中是稠密的。一个更强的逐点密度结果也被证明。
Periodic billiard orbits in right triangle
存在一个开的直角三角形集合，使得对于这个集合中的每个无理三角形，（i）周期台球轨道在相空间中是稠密的，（ii）存在唯一的非奇异的垂直台球轨道，它不是周期的，并且（iii）垂直的周期轨道填充相应的不变曲面。
Splitting time for irrational triangle billiards
我们找到了一个上估计分裂时间的薄平行梁无理三角形台球的一些数论函数的角度。对于某些角度类别，我们提供了该函数的上限估计。
Billiards in Nearly Isosceles Triangles
证明了等腰三角形的任意充分小的扰动都有周期的台球路径.我们的证明涉及到与三角形台球有关的傅里叶级数的某些无限族的分析，并揭示了无理三角形台球中的一些自相似现象.我们的分析说明了一个令人惊讶的事实，即台球的三角形附近的维奇三角形是非常复杂的，即使台球的维奇三角形是非常好的理解。
Periodic Billiards in Isosceles Triangles
等腰三角形上的任何周期性轨迹都会产生通过识别原始三角形的两半而获得的直角三角形上的周期性轨迹。我们研究了在等腰三角形上的周期轨道和在直角三角形上的轨道之间的关系，以及这种关系对在等腰三角形上存在稳定轨道的影响和它们的轨道瓦片的性质。
Star-shaped trajectories of certain billiards around a triangle
本研究在Beltrami-Klein模型框架下，基于已有研究考察双曲平面中三角形外台球映射旋转数为2/5的情况，给出充分条件并证明其对大等腰三角形的必要性，最后提出相关猜想。
Digit sequences of rational billiards on tables which tile $\mathbb{R}^2$
本文对由周期台球轨道产生的周期数字串在反射下平铺$\mathbb{R}^2$的四个凸$n$ -凸$Δ$上进行分类，回答了Baxter和Umble提出的一个问题. $Δ$是等边三角形、$45-45-90$三角形、$30-60-90$、三角形或矩形。
Billiards in a circle with trajectories circumscribing a triangle
本文在双曲几何的Klein-Beltrami模型中，以欧几里得几何方式重新表述了三角形被归类为“大”的条件，提出并评估了其欧几里得大小度量，并为等腰三角形给出显式公式。
Triangle tiling billiards and the exceptional family of their escaping trajectories: circumcenters and Rauzy gasket
考虑一个平面的周期性三角形镶嵌，它是由等边镶嵌通过线性变换得到的。我们研究了以下瓷砖台球：一个球遵循直线段和反弹的瓷砖的边界到相邻的瓷砖在这样一种方式，折射系数等于-1。我们表明，几乎所有的轨迹，这样的台球要么关闭或逃逸线性，并为关闭的轨迹，我们证明了他们的周期属于4 N +2。我们还给出了一个精确的描述的特殊家庭的轨迹（零措施）：这些轨迹逃逸非线性到无穷大，并接近分形集。我们表明，这个特殊的家庭是参数化的著名的Rauzy垫片。这证明了前面提到的三角形瓷砖台球的几个问题。在这项工作中，我们也给出了一个更精确的理解完全翻转的最小交换变换3和4的间隔，证明他们属于一个特殊的超曲面。我们的证明是基于研究的Rauzy图的区间交换变换翻转。
Billiards in right triangles and orbit closures in genus zero strata
计算了任意有理直角三角形和等腰三角形的开折轨道的闭合性，并导出了周期台球轨迹在这些三角形中的渐近数。这如下分类所有轨道闭包的秩至少两个超椭圆分量的地层阿贝尔和二次微分。另外，给定一组固定的角度，所有单位面积的有理平行四边形，等腰梯形，右外的一个离散集的轨道封闭的展开确定。
Central symmetries of periodic billiard orbits in right triangles
这篇论文有一个严重的错误。在修复错误的文件的重点已经完全改变，因此值得一个新的名称：“周期轨道在直角三角形”。我已经用这个名字向arXiv提交了一个新的提交。
Explicit Families and Distribution of Triangular Billiards of Weakly Exponential Growth
本文构造了第一个显式的无限族三角形，其组合复杂度函数具有弱指数增长，并找到了单参数族使得一般参数下复杂度弱指数增长。
Knudsen's law and random billiards in irrational triangles
本文证明了在由无理三角形组成的锯齿形管壁的二维管道中自由弹跳的气体粒子的克努森定律。动力学随机扰动和相应的随机映射下的斜型确定性表示，这是遍历和准确的研究。
Periodic Orbits of Billiards on an Equilateral Triangle
给出了等边三角形上周期轨道的发现、分类和计数问题的完整解。证明了Fagnano的周期3轨道是唯一的奇周期轨道。一个周期轨道要么是素数，要么是素数的某个d重素数。我们通过对$n$的某个划分的双射来计数周期为$2n$的素数和非素数周期轨道，然后利用$n$的素数分解来只计数素数轨道.
Snell meets Fagnano. Path optimization through an imperfect mirror
本文研究了在不完美镜面中通过 Snell 法则优化路径的问题，提出了一种基于加权周长的三角形优化方法。
On the incenters of triangular orbits in elliptic billiard
我们考虑椭圆台球中的3-周期轨道。Dan Reznik进行的数值实验表明，相应三角形的内切圆的中心轨迹是椭圆。我们证明了这一事实的复杂化的问题加上复杂的法律或rfelection。
On the Local Theory of Billiards in Polygons
多边形台球桌上的周期性轨迹是稳定的，如果它在任何足够小的扰动下持续存在。一个标准的结果是，$n$ -边形上的周期轨迹以自然的方式产生$n$ -穿孔球面上的闭路，并且该轨迹是稳定的当且仅当该路径是零同调的。我们提出了一个新的证明，这一结果的语言覆盖空间，它概括到一个多边形的邻域中的稳定轨迹的特征。利用这一点，我们分类的稳定周期轨道附近的30-60-90三角形，给出了一个新的证明施瓦茨的结果，没有邻居的三角形可以覆盖一个有限的联盟的轨道瓦片。推广了Hooper和Schwartz关于等腰Veech三角形$V_n$不允许$n=2^m,m\ge 2$有周期轨道的结果，并检验了他们关于$V_n$的邻域不可能被多个轨道瓦片覆盖的猜想.
The Ballet of Triangle Centers on the Elliptic Billiard
在椭圆台球中，3-D系列的动态几何形状令人费解。除了周长和内外径比守恒外，它还有一个驻点。此外，它的三角形中心扫出迷人的轨迹，包括椭圆，四次曲线，圆形和其他一些更复杂的曲线。在这里，我们探索了一系列新的现象，涉及（i）3-Bounds的形状和（ii）某些三角形中心约束到台球边界的运动学，特别是一些可以显示相对于3-Bounds的非单调运动。催眠是两个这样的非单调中心的联合运动，其许多停止和去类似于芭蕾舞。
Trees and flowers on a billiard table
在这项工作中，我们完全描述了三角形瓷砖台球的动力学。在第一部分中，我们提出了一种几何方法的动力学，通过引入自然叶理与它相关联。在第二部分中，我们利用三角形瓷砖台球和家庭的完全翻转$3$ -区间交换变换的圆。我们通过重整化给出了动力学的一种组合方法。将这两种方法结合起来，我们证明了三角形平铺台球的动力学的几个定理。首先证明了Baird-Smith，Davis，Fromm和Iyer关于周期轨线符号动力学的树猜想和4 n +2猜想。其次，我们研究了一类与极小Arnoux-Rauzy映射的轨道密切相关的例外轨线。我们证明，所有这些特殊的轨迹通过所有的瓷砖，这证实了我们自己的猜想与P.休伯特对他们的非线性逃逸。此外，我们使用平铺台球证明的收敛性，重新标度，算术轨道的Arnoux-Yoccoz映射的Rauzy分形，由Hooper和Weiss所示。在过去三年中，所有这些声明都已发表。
Periodic billiard trajectories in polyhedra
我们考虑多面体内的台球映射。我们给出了周期轨线稳定的条件。我们把这个结果应用于四面体的情形。我们导出了具有长度为4的周期轨道的四面体的开集的存在性（三角形的Fagnano轨道的推广），并且我们可以完全研究沿着这个编码的点的轨道.
Related by Similiarity: Poristic Triangles and 3-Periodics in the Elliptic Billiard
Poristic族由William Chapple于1746年发现，是一组具有公共内圆和外接圆的可变周长三角形。根据定义，该族具有恒定的内径与外接圆半径比。有趣的是，这种不变性也适用于椭圆台球中的3-D族，尽管这里的内半径和外半径是可变的，周长是恒定的。事实上，我们显示一个家庭映射到其他通过不同的相似性变换。这意味着在一个族中观察到的任何无标度量和不变量必须在另一个族中保持不变。
Dissipative outer billiards: a case study
研究耗散多边形外台球，即关于凸多边形的具有压缩反射律的外台球。我们证明了关于任意三角形和正方形的耗散外台球是渐近周期的，即它们有2个全局吸引周期轨道。给出了周期轨道随收缩率变化的分岔的完整描述。对于正方形台球，我们还证明了在顶点和收缩率的小扰动下，渐近周期行为是鲁棒的。最后，我们描述了一些数值实验表明，耗散外台球约正多边形是一般渐近周期。
Non-periodic not everywhere dense trajectories in triangular billiards
利用诱导映射与区间交换变换，构造等腰三角形单参数族，其非周期轨迹非处处稠密，从而否定性解决三角台球中长期未决的稠密性问题。
Is every triangle a trajectory of an elliptical billiard?
本文运用 Marden 定理证明每个三角形、平行四边形及“Darboux butterflies”自交折线均为某唯一椭圆内的台球轨迹，并有效计算出边界椭圆的焦点，揭示了 Marden 定理与 Poncelet Porism 间的联系。
On non-periodic and non-dense billiard trajectories Part 1 and Part 2
本文证明了自1983年以来在文献中被广泛接受的构造三角形中非稠密非周期轨道的Galperin方法永远不可能成立。这是通过表明，所有可能的例子，可以产生的加尔佩林的方法，其中有无限多的所有产生一个周期性的轨迹。
Odd and even Maass cusp forms for Hecke triangle groups, and the billiard flow
用转移算子方法研究了上有限Hecke三角群的Maass尖点形式和Selberg zeta函数，M.穆勒和作者发现了一个因子分解的塞尔伯格zeta函数到产品的弗雷德霍姆行列式的转移运营商一样的家庭：$Z(s) = \det(1-\mc L_s^+)\det(1-\mc L_s^-)$。在这篇文章中，我们证明了算子族$\mc L_s^\pm$是作为Hecke三角形群下面的三角形群的转移算子族而产生的，并且对于$s\in\C$，$\Rea s=\tfrac12$，算子$\mc L_s^+$（分别为. $\mc L_s^-$）有1-本征函数当且仅当存在偶数（分别为奇）Maass尖点形式，特征值为$s(1-s)$。对于非算术的Hecke三角群，这个结果提供了关于偶Maass尖点形式不存在的Phillips-Sarnak猜想的一个新的表述.
Complexity and growth for polygonal billiards
我们建立了一个多边形台球的字的复杂性和广义对角线的数量之间的关系。我们得出结论，在合理的情况下，复杂性函数有立方的上界和下界。在平铺的情况下，复杂性有立方渐近增长。
Arithmetic and pseudo-arithmetic billiards
算术三角形台球是经典的混沌，但具有泊松能级统计，表面上违反了BGS猜想。我们发现，其周期轨道的长度谱分为不同的子谱的奇偶性的反射次数从三角形的两侧;在量子治疗，奇偶定义的反射相位的轨道贡献的Gutzwiller公式的能级密度。我们将这些结果应用于所有85个算术三角形，并建立了量子台球是真正算术\textquotedblleft的边界条件，即。例如，具有泊松水平统计;否则台球是“伪算术”，属于GOE普适类
Loci of 3-periodics in an Elliptic Billiard: why so many ellipses?
三角形的中心，如圆心、重心等，由三次和循环地应用于旁瓣和/或角度的函数指定。考虑椭圆台球中的一维3-π族，以及它的三角形中心的轨迹。有些将扫描椭圆，而另一些将扫描更高次数的代数曲线。我们提出了两种严格的方法来证明如果一个给定的中心的轨迹是一个椭圆：一个基于计算机代数，另一个基于代数几何方法。我们还证明了如果三角形中心函数在边长上是有理的，则轨迹是代数的
Centers of inscribed circles in triangular orbits of an elliptic billiard
三角形中的内切圆的圆心轨迹，即椭圆台球的3周期轨道，也是椭圆。本文得到了该椭圆的正则方程，补充了O。Romaskevich
Shortest closed billiard orbits on convex tables
给定平面紧凸台球桌$T$，给出了求$T$上最短广义闭台球轨道的算法.（如果$T$具有光滑边界，则广义台球轨道是通常台球轨道。）如果$T$是多边形，则该算法是有限的，并且提供了一般的近似方案。作为一个例子，我们证明了正则$n$ -gon $R_n$中的最短广义闭台球轨道是$n \ge 4$的2-bounce，其长度是$R_n$宽度的两倍.作为应用，我们得到了在标准辛向量空间$\mathbb{R}^4$中计算四维域$T \times B^2$的Ekeland-Hohnder-Zehnder容量的算法.我们的方法是基于Bezdek-Bezdek的工作和Fagnano三角形在锐角三角形中的唯一性。它的作品，更一般地说，平面闵可夫斯基台球。
Periodic Orbits on Obtuse Edge Tessellating Polygons
无摩擦台球桌上的周期轨道是台球的分段线性路径，其开始和结束于具有相同入射角的相同点。原始周期轨道的周期是球在其轨道上恰好经过一次时撞击桌子一侧的次数。在本文中，我们发现和分类的周期轨道的形状为120-等腰三角形，60-菱形，60-90-120-风筝，和30-直角三角形的台球桌。在每一种情况下，我们使用图形生成的平面的边缘镶嵌（也称为平铺）将周期轨道展开为直线段，并导出其周期的公式，以初始角度和初始位置表示。
Aperiodic points for outer billiards
本文证明非三角形、正方形或六边形的正多边形上的欧几里得外弹球座存在非周期点，解决了R. Schwartz在ICM 2022提出的问题。
One Hundred and Twelve Point Three Degree Theorem
自1775年法尼亚诺以来，人们已经知道，一个锐角三角形总是有一个周期性的台球路径，即正交三角形。2006年，Schwartz证明了每个钝角不超过100度的钝角三角形都有一条周期路径，本文的目的是利用计算机辅助证明每个钝角不超过112.3度的钝角三角形都有一条周期路径。
Circum- and Inconic Invariants of 3-Periodics in the Elliptic Billiard
圆周圆锥曲线通过三角形的顶点，而反圆锥曲线与三角形的边线相切。本文研究了椭圆台球中一类由一维3-π族导出的二次曲线的变几何性质。有些显示出有趣的不变性，例如纵横比和成对的焦距比。
A piecewise contractive map on triangles
研究 $\mathbb{R}^2$ 中三条直线上分段压缩映射的动力学，证明任意初始点轨道必收敛于不动点或周期轨道，且存在无穷多种依赖于空间参数的周期轨道。
Polygon recutting as a cluster integrable system
重切是对平面多边形的一种操作，其定义为沿对角线切割多边形以移除三角形，然后沿同一对角线但以相反方向重新连接三角形。沿着不同对角线的再切割生成仿射对称群在多边形空间上的作用。我们表明，这一行动是由集群变换，是完全可积的。可积性的证明是基于对四元数多项式重构的再切割的解释。
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