Class field theory for a product of curves over a local field
Takao Yamazaki
证明了$p$ -adic域上曲线乘积的互易映射的核是可分的。我们还考虑了数域上曲线乘积的$K_1$。
We prove that the the kernel of the reciprocity map for a product of curves over a $p$-adic field with split semi-stable reduction is divisible. We also consider the $K_1$ of a product of curves over a number field.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Massey products for elliptic curves of rank 1
对于解析秩为1的Q上的椭圆曲线，利用二级Selmer簇和二次上同调积，得到了p-adic点集内整体积分点的显式解析定义方程.
Universal triple Massey products on elliptic curves and Hecke's indefinite theta series
推广数学AG/0003076，我们用Hecke不定θ级数表示椭圆曲线上的线丛之间的泛三重Massey积。我们表明，所有Hecke的不定θ系列出现在这种方式。
Principal polarizations on products of elliptic curves
一个阿贝尔簇只允许有限个主极化的同构类。本文给出了这个数的一个解释，在产品的椭圆曲线没有复乘的情况下，在确定的埃尔米特形式的类数。在椭圆曲线的自积的情况下，以及在二维的情况下，经典的类数计算可以应用于确定这个数。
CM points on products of Drinfeld modular curves
设X是奇特征一般基环A上Drinfeld模曲线的乘积.我们对X的包含CM点的Zurkiki稠密集的那些子簇进行分类。这是安德烈-奥尔特猜想的一个类比。作为应用，我们构造了整体函数域上模椭圆曲线上的非平凡高Heegner点族.
Rational points and ramified covers of products of two elliptic curves
Corvaja和Zannier证明了数域上的阿贝尔簇满足希尔伯特性质的一个修改版本。利用Kawamata关于交换阿贝尔簇的分歧覆盖的结构结果和Faltings关于高阶亏格曲线上有理点的有限性定理，研究了他们关于椭圆曲线乘积的猜想.
On $K_1$ of a self-product of a curve
我们提出的元素$H^1(C\ti C, K_2)$某些特定的曲线C.图像的元素下的边界映射所产生的本地化序列的K-理论是图的Frobenius自同态的减少曲线模3。
On the generalised Tate conjecture for products of elliptic curves over finite fields
本文通过对M的一个自变量稍加修改，证明了有限域上椭圆曲线乘积的H^3的广义Tate猜想。关于泰特猜想的间谍。当椭圆曲线至多在3个等距类之间运行时，我们充分证明了这一点。我们还展示了从H^4开始，对于3个以上的Islam类，事情是如何变得更加复杂的。
The fullness conjectures for products of elliptic curves
本文证明了伊夫·安德烈 motive 著作第7章中所有猜想在椭圆曲线乘积情形下成立，且证明比已知情形的先前证明更简单统一。
On arithmetic intersection numbers on self-products of curves
给出了数域上曲线雅可比行列式上重言积分环的Néron-Tate高度的一个封闭公式，并利用张氏不变量$φ$给出了曲线对偶层的算术自相交数$\hatω^2$的一个新的下界.作为应用，我们得到了重言式圈的一个有效的Bogomolov型结果。我们推导出这些结果从一个更一般的组合计算的算术相交数的高阶自积曲线，这是线性组合的线丛的回调曲线和对角束。
Triple Massey products for higher genus curves
针对数域上绝对不可约光滑射影曲线，本文构造各亏格 $g>1$ 与素数 $\ell>3$ 下的超椭圆曲线，证明存在不含 $0$ 的非空 $\mathbb{Z}/\ell$ 系数三重 Massey 积。
K1 of products of Drinfeld Modular Curves and Special Values of L-functions
设$X_0(I)$是具有水平$I$结构的Drinfeld模曲线，其中$I$是$\F_{q}[T]$中的一元无平方理想.本文证明了在原动机上同调群$H^3_{\M}(X_0(I) \times X_0(I),\Q(2))$中存在一个元素，其调节子与Ranking-Selberg卷积$L$ -函数的一个特殊值有关.这个结果是模曲线的自积的Beilinson定理的函数域模拟。
The Zilber--Pink conjecture for products of curves with highly degenerate reduction
研究曲线\(X\)的\(n\)重自乘积在其雅可比自乘积内的齐尔伯 - 平克猜想，在\(X\)有适当坏约化等条件下，依据卡茨等人工作给出证明。
K_1 of products of Drinfeld modular curves and special values of L-functions
贝林森得到了一个公式，将模曲线乘积的H ^2的L-函数的特殊值与动机上同调群的一个元素的调节器联系起来--从而为他关于L函数的特殊值的一般理论提供了证据。本文证明了两条Drinfeld模曲线乘积的L-函数的一个类似公式，为函数域上的一个类似猜想提供了证据。
Density of algebraic points on products of curves
本文系统研究了曲面上代数点的密度，给出了密度次数集在有效渐近范围内由指数决定的正则行为，并通过亏格2曲线乘积等显式例子展示了小次数下密度对曲线算术性质的依赖，最后将结果应用于阿贝尔曲面秩增长等相关问题。
Arithmetic level raising on triple product of Shimura curves and Gross-Schoen Diagonal cycles I: Ramified case
本文研究了Shimura曲线的三重积在坏约化处的Gross-Schoen对角环。我们将Abel-Jacobi映射下的对角环的图像与Garrett-Rankin型三重积$L$ -函数的中心临界值的周期积分通过升阶同余联系起来。作为应用，我们证明了一定的秩$0$情况下的Bloch-Kato猜想的对称立方体动机的重量$2$模形式。
An analogue of cyclotomic units for products of elliptic curves
构造了积分模上同调群$H^3_{\cal M}(E \times E',\Q(2))_{\ZZ}$中的某些元素，其中$E$和$E'$是$\Q$上的椭圆曲线.当$E$不是$E'$的同构时，这些元素类似于实二次域中的“分圆单位”，因为它们来自椭圆曲线的模参数化。然后，我们找到一个类似的类数公式的实二次域。最后利用$E \times E'$的Beilinson公式推导出$n$椭圆曲线乘积的Beilinson公式。这份文件中有一部分是临时性的。
Massey products and elliptic curves
本文研究完美域上绝对不可约光滑射影曲线中系数为 $\mathbb{Z}/\ell$ 的高阶 Massey 积消失问题，并完整刻画椭圆曲线上三重 Massey 积非消失的条件。
Unlikely intersections in products of families of elliptic curves and the multiplicative group
令$E_λ$为方程$Y^2=X(X-1)(X-λ)$的勒让德椭圆曲线。我们最近证明了，给定$n$上的线性无关点$P_1(λ), \dots,P_n(λ)$，其坐标在$\bar{\mathbb{Q}(λ)}$中，至多有1000个复数$λ_0$使得点$P_1(λ_0), \dots,P_n(λ_0)$满足$E_{λ_0}$上的两个独立关系.在这篇文章中，我们继续我们的调查不可能相交的家庭的交换品种，并考虑的情况下，在产品的两个非等距族的椭圆曲线和家庭的分裂半交换品种的曲线。
Height pairings for algebraic cycles on the product of a curve and a surface
本文在数域上曲线与曲面乘积上无条件构造了 Beilinson--Bloch 型高度配对，并通过嵌入定义算术对角闭链，推广了 Gross 和 Schoen 的先前结果。
Torsion properties of modified diagonal classes on triple products of modular curves
考虑权$2$和素水平$p$的三个归一化尖点特征形。在三重积$L$ -函数的整体根数为$+1$的假设下，证明了Gross-Kudla-Schoen的修正对角圈在模曲线$X_0(p)$的三重积上的复Abel-Jacobi像在Griffiths中间Jacobian的相应Hecke同构分量中是挠的.同样的结果也适用于复阿贝尔-雅可比映射被它的对应物所取代。作为应用，我们得到了素数水平椭圆曲线上与修正对角圈相关的Chow-Heegner点的挠性质，并给出了分裂乘性约化的结果.该方法也适用于复合平方自由水平的情况。
Special points on products of modular curves
在广义黎曼假设下，证明了关于模曲线任意乘积的Shimura簇的特殊点的Andre-Oort猜想.更明确地说，这意味着以下内容。设n是正整数，S是C^n（其中C是复数）的一个子集，它由所有坐标都是椭圆曲线的j-不变量的点组成，这些点具有复乘。然后，我们证明（在GRH下）S的Zebriki闭包的不可约分量是“特殊子变量”，即，由坐标和坐标对上的等距条件确定。一个较弱的变种被证明是无条件的。
An algorithm for a Massey triple product of a smooth projective plane curve
对于域上由齐次多项式$G(\underline x)$定义的光滑射影平面曲线$X$，我们给出了一个计算相对于定义系统的Massey三重积的显式算法.其主要思想是使用描述（由于卡尔森和格里菲斯）的杯产品$H^1(X,\mathbb{C})$在乘法的雅可比环内的$G(\underline x)$和Cech-deRham复杂的$X$。我们的算法在Massey三重积的一个特殊的非平凡定义系统下给出了$H^2(X)$中Massey三重积是否为零的一个判别准则，从而可以看作是Carlson和Griffiths的$H^2(X)$中杯积为零判别准则的推广.基于我们的算法，我们通过运行计算机程序提供了显式的数值例子。
Zilber-Pink in a product of modular curves assuming multiplicative degeneration
本文证明了$Y(1)^n$中的曲线的Zilber-Pink猜想，其中$Y(1)^n$中的Zerki闭包通过点$(\infty, \ldots, \infty)$，超越了Habegger和Pila的不对称条件.我们的证明是基于André的G-函数方法的高度界。主要的新颖性是，我们利用无限多的非阿基米德的地方G-函数的评价之间的关系。
Fiber products of hyperelliptic curves
设$k$是数域，$S$是$k$的整数环的极大理想的有限集.在他1962年的ICM地址，Shafarevich问，如果只有1000多$k$ -同构类代数曲线的一个固定的属$g\ge 1$良好的减少外$S$。他验证了这一点$g=1$减少问题西格尔的定理。Parshin将这一论点扩展到所有的超椭圆曲线（参见也是Oort的作品）。一般情况下解决了法尔明斯的著名工作。本文利用de Franchis定理和关于超椭圆方程判别式的标准事实，将Shafarevich猜想简化为$g=1$的情形，给出了关于超椭圆曲线的猜想的一个简短证明.
The Andre-Oort conjecture for products of Drinfeld modular curves
设$Z=X_1\times...\times X_n$是Drinfeld模曲线的乘积。我们刻画了包含CM点的Zerkiki-稠密集的代数子簇$X \subset Z$，CM点即对应于具有复乘的Drinfeld模的$n$ -元组的点（以及合适的水平结构）.这是一个典型的$p$类似物的一个特殊情况的安德烈-奥尔特猜想。我们严格遵循Bas Edixhoven在特性零点中使用的方法，参见math.NT/0302138。注意，在本文中，我们假设特征$p$是奇数的，我们只处理Drinfeld $F_q[T]$ -模的情况。
An explicit open image theorem for products of elliptic curves
设$K$是数域，$E_1, \ldots, E_n$是$K$上的椭圆曲线，是$\overline{K}$上的两两非同构的，是$\overline{K}$上的无复乘的曲线.研究了自然附着在$E_1 \times \cdots \times E_n$上的$K$的绝对伽罗瓦群的三角表示的象.主要结果是一个明确的界限，这个形象的索引在$\left\{ (x_1,\ldots,x_n) \in \operatorname{GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})^n \bigm\vert \det x_i = \det x_j \;\; \forall i,j \right\}$。
Class field theory for products of open curves over a local field
研究了局部域上开曲线乘积的类域理论。特别地，我们确定了互易同态的核。
Zero-cycles on a product of elliptic curves over a $p$-adic field
我们考虑椭圆曲线在$\mathbb{Q}_p$的有限扩张$K$上的乘积$X=E_1\times\cdots\times E_d$，它具有良好的或分裂的乘性约化的组合.我们假设至多有一条椭圆曲线具有超奇异约化。在这些假设下，我们证明了$X$的Albanese内核是一个有限群和一个可分群的直和，扩展工作的Raskind和Spiess的情况下，包括超奇异现象。我们的方法包括研究循环图$CH_0(X)/p^n\rightarrow H^{2d}_{\text{ét}}(X, μ_{p^n}^{\otimes d})$的核。我们给出了具体的标准，保证这个地图是单射的每一个$n\geq 1$。当所有曲线有良好的普通减少，我们表明，它足以扩展到一个特定的有限扩展$L$的$K$，这些标准得到满足。这扩展了山崎和平之内以前的工作。
Arithmetic Siegel--Weil formula on the product of modular curves
该研究证明了两条模曲线乘积上带任意奇异系数的完整生成级数算术Siegel–Weil公式，对应Kudla纲领的GSpin(2,2)情形。
Irreducibility criteria for the preimages of a transverse variety under endomorphisms of products of elliptic curves
本文针对椭圆曲线乘积中横截子簇在对角自同态下的原像，给出了两种不可约性证明（算术与几何），并应用于多项式族不可约性、高度估计及本质极小值下界。
Motivic distribution of rational curves and twisted products of toric varieties
本文研究光滑射影曲线上一族代数截面模空间的渐近稳定化，提出有理曲线情形的 Batyrev-Manin-Peyre 原理类比，并证明等分布性质对分裂环面簇成立，应用于扭曲乘积。
Rational Equivalences on Products of Elliptic Curves in a Family
给定域$k$上的一对椭圆曲线$E_1,E_2$，我们有一个自然映射$\text{CH}^1(E_1)_0\otimes\text{CH}^1(E_2)_0\to\text{CH}^2(E_1\times E_2)$，并且Beilinson的一个猜想预言，当$k$是数域时，这个映射的像是有限的。我们构造了一个$2$参数族的椭圆曲线，可用于产生的例子对$E_1,E_2$，这个图像是有限的。该族的构造是为了保证通过$E_1\times E_2$的Kummer曲面中指定点的有理曲线的存在性。
Statistics for products of traces of high powers of the frobenius class of hyperelliptic curves
研究了固定有限域上亏格为g的超椭圆曲线的Frobenius类的高次幂迹的平均.我们证明了当亏格g增大时，这些乘积的极限期望等于曲线在酉辛群USp（2 g）上变化时的期望.我们还考虑了超椭圆曲线的Frobenius类特征相位的线性统计量的标度极限，并证明了它们的前几阶矩是高斯的。
Elliptic K3 surfaces associated with the product of two elliptic curves: Mordell-Weil lattices and their fields of definition
对于一对椭圆曲线，人们可以自然地附加两个K3曲面：它们乘积的库默尔曲面和它的双重覆盖，称为Inose曲面。它们在代数几何和数论中的许多有趣的构造中都有突出的特点。还有几个相关的椭圆K3曲面，通过基的变化的Inose表面;这些以前已经研究了Kuwata。我们给出了一个明确的描述的几何Mordell-Weil群的每一个这些椭圆曲面的一般情况下（当椭圆曲线是非同构的）。在非一般情况下，我们描述了一种方法来明确地计算Mordell-Weil群的有限指数子群，它可以是饱和的，以给出完全群。我们的方法依赖于几个有趣的群作用，使用合理的椭圆曲面，以及连接到几何的低度曲线的三次和四次曲面。我们应用我们的技术来计算充分的Mordell-Weil组在几个例子的算术兴趣，所产生的同源椭圆曲线与复乘，这些K3表面是奇异的。
A short proof of de Shalit's cup product formula
本文给出了de Shalit用Coleman积分和留数表示Mumford曲线上两个第二类向量值1型的上积公式的一个简短证明。证明使用曲线上的双指数及其互反律的概念。
$p$-adic Equidistribution of Special Loci in a Product of Modular Curves
该论文研究定义在ℂₚ上的光滑曲线C与模子簇Y₀(n)交轨迹的p进等分布性，给出等分布成立的条件，证明对应交集合非离散，并给出等分布不成立的典型例子。
Triple product formula and mass equidistribution on modular curves of level N
在以往的工作中，我们证明了与权$k$和水平$q$的全纯新形式相关联的测度将弱地趋向于水平1模曲线上的Haar测度，如$qk\rightarrow \infty$ .本文证明了这一现象在一般N阶模曲线上也成立。
On elliptic curves whose conductor is a product of two prime powers
我们找到了所有定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，它们具有一个有理点$N$，$N\ge 4$，并且其导体是$p^aq^b$的形式，其中p，q是两个不同的素数，a，b是两个正整数。特别是，我们证明了Szpiro猜想持有这些椭圆曲线。
The Lang-Trotter Conjecture for products of non-CM elliptic curves
受Lang-Trotter关于定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的具有固定Frobenius迹的素数的密度的工作以及随后Cojocaru-Davis-Silverberg-Stange对一般阿贝尔簇的推广的启发，我们研究了与$\mathbb{Q}$上的非CM椭圆曲线的乘积同构的阿贝尔曲面的类似问题.我们制定相应的几何渐近，提供上界，并明确计算（当椭圆曲线位于一个薄集外）的算术显着常数出现在渐近。这使我们能够提供计算证据的猜想。
Selmer groups of Hecke characters and Chow groups of self products of CM elliptic curves
通过适当的$L$ -值，我们将CM椭圆曲线的Grossen特征标上的Selmer群进行了绑定.我们的方法是使用加藤的显式互易定律和鲁宾证明的主要猜想。这些结果与韩的工作和Nekovar的基本结果一起被用来约束CM椭圆曲线的自积的$p$ -adic循环类映射的像的挠率。我们的结果对几乎所有$p$的任意余维Chow群都是有效的.
Bounding cubic-triple product Selmer groups of elliptic curves
设$E$是全实三次域上的模椭圆曲线.我们有一个由$E$通过乘法归纳构造的$\mathbb{Q}$上的三重积动机;它的秩为$8$。我们表明，在一定的假设下，$E$，非零的中心临界值的$L$ -功能连接到动机意味着相关的Bloch-Kato Selmer群的维数是$0$。
Natural boundaries for Euler products of Igusa zeta functions of elliptic curves
本文研究了由定义椭圆曲线的整数多项式给出的Igusa积分的广义形式的解析性质。通过应用对称幂L-函数的亚纯延拓和Sato-Tate代数的结果，证明了这些全局Igusazeta函数在自然边界之前有一定的亚纯延拓，超过自然边界则不可能延拓.
Integral elements of K-theory and products of modular curves II
我们讨论了在Beilinson和Bloch-Kato代数中出现的动机上同调/K-理论中不同的“整性”概念之间的关系，并证明了它们在某些情况下对于曲线的乘积是等价的（在作者在本系列的前一篇论文中使用过），以及得到了一个由Jannsen首先证明的一般结果（未发表），该结果将它们的等价性还原为算术代数几何中的标准代数。
Tamagawa products of elliptic curves over $\mathbb{Q}$
本文明确地构造了狄利克雷级数$$L_{\mathrm{Tam}}(s):=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{P_{\mathrm{Tam}}(m)}{m^s},$$，其中$P_{\mathrm{Tam}}(m)$是短Weierstrass形式的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$与Tamagawa乘积$m.$的比例。虽然不存在处处好约化的$E/\mathbb{Q}$，但我们证明了平凡Tamagawa乘积的比例是$P_{\mathrm{Tam}}(1)=0.5053\dots.$。我们发现$L_{\mathrm{Tam}}(-1)=1.8193\dots$是$\mathbb{Q}.$上椭圆曲线的平均Tamagawa积。我们给出了这些结果在正则和Weil高度上的应用。
Rational points on elliptic curves and representations of rational numbers as the product of two rational factors
在本文中，我证明了任何一对（m，n）的非零和不同的有理数可能有，最多，四个表示为两个合理的因素，使m的因素之和与n的因素之和重合的产品。本文的第二部分给出了三次曲线有满足这个性质的有理根的椭圆曲线的性质
On the cycle map for products of elliptic curves over a $p$-adic field
研究了$p$ -adic域上椭圆曲线乘积上的$0$ -圈的Chow群.对于这个阿贝尔簇，它是由循环类映射决定的，该结构的图像的阿尔巴尼亚核。
A note on equidistribution on a product of Shimura curves and André--Oort
应用Aka-Luethi-Michel-Wieser的adelic环面包等分布定理，证明在r≥2个非同构Shimura曲线乘积上CM点的Galois轨道等分布，并推导出这些曲线乘积的André-Oort猜想，用Linnik型分裂条件替代GRH。
The Relative Bogomolov Conjecture for Fibered Products of Elliptic Curves
本文从作者最近提出的关于阿贝尔簇族的等分布定理出发，推导出椭圆曲线族纤维积中非退化子簇的Bogomolov猜想的一个类似结果.推广了DeMarco和Mavraki的结果，并将Masser和Zannier证明的Manin-Mumford型的某些结果改进为Bogomolov型的结果，得到了关于具有平凡迹的阿贝尔簇族中相对维数为$>1$的子簇的这类结果.
On Effective Sato-Tate Distributions for Surfaces Arising from Products of Elliptic Curves
本文证明了两族由椭圆曲线乘积产生的曲面（单参数K3曲面和双二次曲面）的Sato-Tate分布，并给出无条件有效误差界，同时完善了Thorner关于联合Sato-Tate分布的工作。
Triple product p-adic L-functions for Shimura curves over totally real number fields
设F是全实数域。利用Andreatta和Iovita最近提出的一种几何方法，我们构造了F上有限斜率四元数自守形式的多元p-adic族。它是通过插值定义在一些辅助酉志村曲线上的模层来实现的。其次，我们将p-adic L函数附加到普通p-adic四元数自守本征形族的三元组上。这是通过将三线性周期与酉志村曲线上的三线性乘积相关联来完成的，这些曲线可以被插值以适应刘-张-张的工作。
Polarized products of elliptic curves with complex multiplication and field of moduli $\mathbb{Q}$
本文建立了由二次虚域极大序$R$复乘法的椭圆曲线乘积型极化阿贝尔簇范畴与整埃尔米特$R$-格范畴的等价性，并应用该等价枚举了模域为$\boldsymbol{\rm{Q}}$、雅可比同构于上述椭圆曲线乘积的亏格2和3曲线。
Locally Recoverable Codes with Availability $t\geq 2$ from Fiber Products of Curves
本文利用曲线的纤维积的结构，将Barg，Tamo和Vlaud Duffel给出的代数曲线上的局部可恢复码的构造推广到具有任意多个恢复集的代数曲线上.采用极大曲线，我们创建了几个新的家庭的本地可恢复的代码与多个恢复集，包括代码与两个恢复集的广义Giulietti和Kommarros（GK）曲线和铃木曲线，和新的本地可恢复的代码与许多恢复集的基础上的Hermitian曲线，使用一个纤维积建设的van der Geer和van der Vlugt。此外，我们考虑局部误差恢复和全局误差校正之间的关系，以及本地恢复任何固定数量的擦除模式所需的可用性。
Distinguishing elliptic curves modulo $p$ and identifying images of product representations
该研究针对定义在ℚ上的两条椭圆曲线与有理素数p，借助古尔萨引理刻画其剩余伽罗瓦表示乘积的所有可能像，定义见证比率并阐明其计算效用及与斯特姆界的关联。
The combinatorial Chow ring of products of graphs
证明了与图的乘积相关的Chow环的结构，该结果来自于离散赋值环上正则半稳定曲线乘积的Gross-Schoen去奇异化.通过Johannes Kolb和张守武的工作，这个环控制了非阿基米德域上光滑真曲线乘积上的非阿基米德高度对的行为。给出了度映射的完整描述，证明了消元结果，证实了Kolb的一个猜想，并结合他的工作，给出了完备离散域上曲线乘积上的广义度量化线丛的算术相交数的解析公式.
A Manin-Mumford theorem for the maximal compact subgroup of a universal vectorial extension of a product of elliptic curves
研究了代数簇与椭圆曲线乘积的泛向量扩张的极大紧子群的交。对于这个交集，我们展示了Manin-Mumford类型语句。这回答了一些问题所提出的Corvaja，马瑟，Zannier这产生了与他们的调查交叉的曲线与真正的解析子群的各种代数群。他们证明了有限的情况下，一个单一的椭圆曲线。使用Khovanskii的零估计相结合的分层结果的Gabrielov Vorobjov和最近的工作的作者，我们得到有效的界限，这个交叉只依赖于程度的代数簇，和组的维数。这似乎是新的，即使仅限于经典的Manin-Mumford声明。
Fibre Products of Supersingular Curves and the Enumeration of Irreducible Polynomials with Prescribed Coefficients
对任意正整数$n\geq 3, r\geq 1$，给出了有限域$\mathbb{F}_{2^r}$上不可约多项式次数多项式$n$的个数公式，其中$x^{n-1}$，$x^{n-2}$和$x^{n-3}$的系数均为零.我们的证明涉及到有限域上某些代数曲线上的点数的计数，这是一种从对$\mathbb{F}_2$基域情形的已知公式进行傅立叶分析中产生的技术，通过逆向工程得到一个经济的新证明，然后将其推广，这种方法产生了超奇异曲线的纤维积，并明确了为什么这些公式在$n$中有周期$24$.
Partitions with equal products and elliptic curves
设$a,b,c$是不同的正整数。设置$M=a+b+c$和$N=abc$。给出了$\Q$上椭圆曲线$\displaystyle E_{(M,N)}:y^2-Mxy-Ny=x^3$的Mordell-Weil群的一个显式描述.特别地，我们确定了$E_{(M,N)}(\Q)$的挠子群，并证明了它的秩是正的。此外，有无穷多个正整数$M$可以用$n$不同的方式来写，$n\in\{2,3\}$，因为具有相同乘积$N$和$E_{(M,N)}(\Q)$的三个不同正整数的和具有至少$n$的秩。
Minimum Distance and Parameter Ranges of Locally Recoverable Codes with Availability from Fiber Products of Curves
利用曲线的纤维积构造了具有可用性$t\geq 2$的局部可恢复码族，确定了许多局部可恢复码族的精确最小距离，并证明了这类码族最小距离的一个一般定理.最后，本文探讨了这些家庭和纤维产品的建设更普遍的代码的参数。我们表明，纤维产品代码可以实现任意大的速率和任意小的相对缺陷，并从文献中已知的界限和重要的建设。
Mean-Value of Product of Shifted Multiplicative Functions and Average Number of Points on Elliptic Curves
本文考虑两个实值乘性函数的乘积的均值，并给出了它们的移位变元。所考虑的函数$F$和$G$接近于两个表现良好的函数$A$和$B$，使得$A(n-h)B(n)$在任何算术级数上的平均值仅取决于级数的公差。我们使用这种方法的问题，找到平均值的$K(N)$，其中$K(N)/\log N$是素数的期望数量，使得一个随机椭圆曲线在有理数有$N$点时，减少了这些素数。
An Explicit Manin-Dem'janenko theorem in elliptic curves
设C是嵌入椭圆曲线乘积的亏格至少为2的曲线。给出了C与某余维的所有代数子群并的交中的点的一个显式上界。作为推论，我们得到了某些曲线族有理点高度的一个显式上界和椭圆曲线乘积的Manin-Dem'janenko方法的一个显式形式
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