Quasi-metric and metric spaces
Viktor Schroeder
本文简要地回顾了Frink关于从拟度量空间得到度量空间的一个构造。通过一个例子说明了这种构造的局限性。
We give a short review of a construction of Frink to obtain a metric space from a quasi-metric space. By an example we illustrate the limits of the construction.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Intrinsic quasi-metrics
证明了定义在整环$G\subsetneq\mathbb{R}^n$上的点对函数$p_G$是一个拟度量，并研究了它的其它性质.对于凸区域$G\subsetneq\mathbb{R}^n$，引入了一个新的内禀拟度量函数$w_G$.对这两个拟度量建立了一些尖锐的结果，并研究了它们与三角比度量的关系。
Approximation by uniform domains in doubling quasiconvex metric spaces
证明了在双重拟凸度量空间中的任何有界域都可以由一致域从内到外逼近。
Cones of weighted quasi-metrics, weighted quasi-hypermetrics and of oriented cuts
证明了加权n点拟度量锥WQMet_n、加权拟超度量锥WHyp_n和定向割锥OCut_n分别是沿度量锥Metn+1、超度量锥Hypn+1和割锥Cut_{n+1}的一条极射线的投影.这个投影是这样的，如果一个人知道原始圆锥的所有面，那么他就知道投影圆锥的所有面。
Quasihyperbolic metric and Gromov hyperbolic spaces I
本文引入短弧与长度映射概念，利用其性质刻画拟双曲度量空间的Gromov双曲性。
Compact domains with prescribed convex boundary metrics in quasi-Fuchsian manifolds
本文证明了拟Fuchsian流形中凸紧区域的存在性，使得其边界上的诱导度量与曲率度量$K\geq-1$在A. D.亚历山德罗夫
Boundary behavior of the quasi-hyperbolic metric
得到了准双曲度规在$\mathbb{R}^n$中区域边界的$\mathcal C^{1,1}$ -光滑部分附近的精确行为.
Stability of the q-hyperconvex hull of a quasi-metric space
本文研究了拟度量空间的q-超凸包的稳定性，推广了度量空间的超凸包的已有结果。为了实现这一目标，我们扩展了著名的度量概念，如Gromov-Hausdorff距离和粗糙等距，准度量空间的领域。特别地，我们证明了两个q-超凸包是接近的Gromov-Hausdorff距离，如果是原来的空间。此外，我们提供了一个内在的特征，这些空间是对称大的q-超凸包。
Duality of moduli and quasiconformal mappings in metric spaces
在一个完全度量空间中，证明了连接两个集合的曲线族和分离这两个集合的曲面族的模的对偶关系，该度量空间具有一个加倍测度并支持一个Poincaré不等式.然后，我们应用这一点来表明，拟共形映射的特点是，他们拟保持某些家庭的表面模的事实。
Alberti's rank one theorem and quasiconformal mappings in metric measure spaces
我们研究了Alberti秩一定理在Ahlfors正则度量空间中的一个版本，以及与拟共形映射的联系。更确切地说，我们给出了一个证明的秩一定理，部分遵循通常的步骤，但最关键的一步是在显示$f\in BV(X;Y)$，在$\Vert Df\Vert^s$ -a.e. $x\in X$，映射$f$ ``表现为非准共形''。
Quasiconformal, Lipschitz, and BV mappings in metric spaces
考虑两个度量测度空间之间的映射$f\colon X\to Y$。我们研究了局部Lipschitz数$\mathrm{Lip} f$以及用于定义拟共形映射的失真数$H_f$的广义版本。利用这些结果，我们给出了$f$是BV映射$f\in BV_{\mathrm{loc}}(X;Y)$或Newton-Sobolev映射$f\in N_{\mathrm{loc}}^{1,p}(X;Y)$的充分条件，其中有$1\le p<\infty$ .
Quasiopen sets, bounded variation and lower semicontinuity in metric spaces
在具有加倍测度和Poincaré不等式的度量空间中，证明了在每个$1$ -拟开集中，有界变差函数的全变差关于$L^1$ -收敛是下连续的.为了实现这一点，我们首先证明了$1$ -拟开集的全变差的一个新的特征。然后利用下半连续性证明了在严格意义下收敛的有界变差函数序列的变差测度关于$1$ -容度是一致绝对连续的.
Quasi-symmetries between metric spaces and rough quasi-isometries between their infinite hyperbolic cones
本文研究度量空间拟对称与无限双曲锥粗糙拟等距之间的对应关系，证明了三类推广结果：幂拟对称诱导粗糙拟等距、完备度量空间可实现为无限双曲锥的相对 Gromov 边界、可视 Gromov 双曲空间与其边界的无限双曲锥粗糙相似，从而将文献 [3] 中相关定理推广到无界空间和无限锥情形。
Quasiconformal and Sobolev mappings in non-Ahlfors regular metric spaces
证明了在适当的例外集外满足拟共形度量条件的映射$f\colon X\to Y$属于Newton-Sobolev类$N_{\textrm{loc}}^{1,1}(X;Y)$ .与以前的工作相反，我们只假设$X,Y$上Ahlfors正则性的渐近形式。这使得许多非阿尔福斯正则空间（例如加权空间和弗雷德·格林的领结）可以包含在理论中。出乎意料的是，已经在经典的设置未加权欧几里得空间，我们的理论检测到Sobolev映射，不承认以前的结果。
Discrete convolutions of BV functions in quasiopen sets in metric spaces
我们研究精细的位势论，特别是分区的单位在准开集的情况下$p=1$。使用这些，我们开发了一个模拟的离散卷积技术在准开（而不是开）集。我们应用这种技术表明，每一个有界变差函数（BV功能）可以近似BV和$L^{\infty}$规范的BV功能，其跳跃集是有限的Hausdorff措施。我们的结果似乎是新的，即使在欧几里得空间，但我们工作在一个更一般的完全度量空间，配备了一个加倍措施，并支持庞加莱不等式。
A new Cartan-type property and strict quasicoverings when $p=1$ in metric spaces
在完全度量空间中，证明了在$p=1$情形下的精细拓扑的一个新的Cartan型性质.然后利用这一性质证明了$1$ -细开集\emph{strict subsets}和$1$ -细开集的\emph{strict quasicoverings}的存在性。作为应用，我们研究了$p=1$情形下的精细索伯列夫空间，即定义在$1$ -精细开集上的索伯列夫空间.
Möbius structures, quasi-metrics, and completeness
本文从公理化角度研究交比，刻画拟度量诱导的交比，并将Cauchy序列与完备性推广至Möbius空间，证明在交比像的拓扑条件下存在唯一完备化。
Rigidity of Quasi-Einstein Metrics
如果$m$ -Bakry-Emery Ricci张量是度量张量的常数倍，则称度量为拟爱因斯坦。这是Einstein度规的推广，它包含梯度Ricci孤子，并且与构造翘曲乘积Einstein度规密切相关。研究了拟爱因斯坦度量的性质，证明了几个刚性结果。我们也给出了一些Kähler准爱因斯坦度量的分裂定理。
Fixed point theorems for generalized $θ-ϕ-$contraction mappings in rectangular quasi b-metric spaces
本研究在矩形拟b-度量空间（RQB-MS）框架下定义广义$(θ,ϕ)$-压缩映射，推导其不动点结论，推广了已有相关结果并给出示例佐证。
Quasiconformal Mappings and Curvatures on Metric Measure Spaces
为了在具有曲率条件的度量测度空间上建立高维拟共形映射，即从Ahlfors到Alexsandrov，我们证明了具有欧氏增长体积的非塌陷$\mathrm{RCD}(0,n)$空间（$n\geq2$）是$n$ -Loewner空间，并且满足无穷小到整体原理.
Nonhomogeneous Variational Problems and Quasi-Minimizers on Metric Spaces
证明了度量测度空间上非齐次能量泛函的拟极小元是局部Hölder连续的，并且满足Harnack不等式.我们假设空间是加倍的，并且支持一个庞加莱不等式。这个证明是基于De Giorgi方法，结合了“积极性的扩展”技术。
Lines in quasi-metric spaces with four points
欧几里得平面上的一组n个非共线点定义了至少n条不同的线。Chen和Chvátal在2008年证明了同样的结果在度量空间中也适用于线的充分定义。最近，这个猜想在准度量空间的背景下被研究。本文证明了在a，b，c，d四点上存在一个拟度量空间，其介数为B={（c，a，b），（a，b，c），（d，b，a），（b，a，d）}.那么，这个空间只有三条线，没有一条线有四个点。此外，我们还证明了具有这一性质的四点上的任何拟度量空间的介数同构于B。由于B不是度量空间，我们得到Chen和Chvátal猜想对任意四点上的度量空间成立.
Nonexistence of quasiconformal maps between certain metric measure spaces
我们提供了新的条件，确保两个度量测度空间是不拟共形等价。作为应用，我们证明了次黎曼海森堡群与旋转平移群之间不存在拟共形映射。
Quasi-symmetric invariant properties of Cantor metric spaces
对于度量空间，加倍性、一致不连通性和一致完备性被称为拟对称不变性质。大卫-塞姆斯一致化定理指出，如果一个紧度量空间满足所有这三个性质，那么它是拟对称等价于中间三分之一的康托尔集。我们说康托度量空间是标准的，如果它满足所有三个性质;否则，它是奇异的。本文证明了对于每一种奇异型，Cantor度量空间的共形规范类都具有连续势。作为我们研究的一个副产品，我们声明存在一个Cantor度量空间，它具有指定的豪斯多夫维数和Assouad维数。
Rigidity for Quasi-Möbius Actions on Fractal Metric Spaces
在\cite{BK02}中，M. Bonk和B. Kleiner证明了在具有拓扑维数$n$的Ahlfors $n$ -正则度量空间上扩张拟Möbius群作用的刚性定理.这自然地导致了CAT $(-1)$ -空间上的拟凸几何作用的刚性结果，可以看作是U. Hamenstädt和M.波登基于\cite{BK02}中的思想，我们建立了具有不同度量和拓扑维数的空间上某些扩展的拟莫比乌斯群作用的刚性定理.这是由粗略几何设置中的对应熵刚性结果激发的。
Quasisymmetric parametrizations of two-dimensional metric spheres
本文研究了2-球面的度量空间，并找到了它们与标准2-球面拟对称同胚的条件。作为我们的主要定理的应用，我们证明了Ahlfors 2-正则，线性局部可收缩度量2-球是准对称同胚的标准2-球，回答了一个问题的Heinonen和Semmes。
Potential theory and quasisymmetric maps between compact Ahlfors regular metric measure spaces via Besov functions: preliminary
利用紧Ahlfors正则度量测度空间的双曲填充，研究了该空间的Besov容性.这种方法是适用的，即使空间不支持任何庞加莱不等式。作为Besov容量估计的一个应用，我们证明了如果两个Ahlfors正则度量测度空间之间的同胚在某些附加的假设下保持一定的Besov类，那么这个同胚必然是一个拟对称映射.
Data mining for cones of metrics, quasi-metrics, hemi-metrics and super-metrics
利用邻接分解方法\cite{CR}和程序{ \it cdd}（~ \cite{Fu}）的某些改进，我们计算了在\cite{DR2}和\cite{DP}中引入的半度量和截半度量的$m$元和定向类似物的凸锥的第一个计算困难情况。我们还考虑了更一般的概念$(m,s)$ -超度量和相应的锥。相关锥体的数据--刻面数、极端射线数、轨道数和直径--收集在表\ref{tab:MainLovelyTable}中。我们还研究了这些锥的骨架的邻接准则和它们的对称性。文中还给出了一些极端射线族及其运算。
Gromov hyperbolicity of Denjoy domains with hyperbolic and quasihyperbolic metrics
我们得到明确和简单的条件，在许多情况下允许一个决定，是否Denjoy域赋予庞加莱或quasibl曲度量是Gromov双曲。该标准是基于欧几里德大小的补充。作为推论，主要定理允许推导出任何周期Denjoy域的非双曲性。
Quasi-isometric embedding of the fundamental group of an orthogonal graph-manifold into a product of metric trees
在每一维$n\ge 3$中，我们引入了一类正交图流形，并证明了任意正交图流形的基本群拟等距嵌入到$n$树的乘积中.由此得到了这类群的渐近维数和线性控制渐近维数都等于$n$ .
Toward a quasi-Möbius characterization of Invertible Homogeneous Metric Spaces
我们研究局部紧的度量空间，享有各种形式的齐性关于莫比乌斯自同胚。我们调查这种同质性和等距同质性与可逆性的结合之间的联系。特别地，我们给出了局部紧连通度量空间中非紧型秩一对称空间边界雪花的一个新刻画。此外，我们调查的一致强拟莫比乌斯自同胚的齐性度量的影响，连接这样的齐性与一致双Lipschitz齐性和拟可逆性的组合。在这种情况下，我们刻画空间包含一个切割点，并提供了几个度量性质的空间不包含割点。这些结果的动机是希望描述雪花的边界的秩一对称空间的双Lipschitz等价。
Uniformization Of Metric Surfaces Using Isothermal Coordinates
我们建立了度量曲面--具有局部有限Hausdorff 2-测度的拓扑曲面的度量空间的一致化结果。利用拟共形的几何定义，我们证明了一个度量曲面，可以覆盖的拟共形图像的欧几里得整环是拟共形等价的黎曼曲面。为了证明这一点，我们构造了合适的等温坐标。
Collapsing Maps and Quasi-Isometries
我们引入一个推广的b-度量，我们称之为（b，c）-度量。证明了若$X$是$(b,c)$ -度量空间且$ψ: X \longrightarrow Y$是拟等距空间，则$X$是$(b,c)$ -可度量化的.我们还定义了一种特殊的折叠映射，可以应用于任意的$(b,c)$ -度量空间。我们在这个坍缩映射的象上定义了一个距离函数，并由此证明了这个坍缩映射是一个拟等距映射。
The Quasi-hyperbolicity Constant of a Metric Space
我们引入了准双曲常数的度量空间，一个粗糙的等距不变量，衡量如何一个度量空间偏离Gromov双曲。对于无界空间，这个数位于闭区间$[1,2]$内。无界Gromov双曲空间的拟双曲常数等于1。对于CAT $(0)$ -空间，它由$\sqrt{2}$上界。一个至少是二维的Banach空间的拟双曲常数由$\sqrt{2}$从下有界，而对于一个非平凡的$L_p$ -空间，它正好是$\max\{2^{1/p},2^{1-1/p}\}$。如果$0 < α< 1$，则任何度量空间的$α$ -雪花的拟双曲常数从上到下由$2^α$界定。在欧氏实直线的$α$ -雪花情形下，给出了精确的计算.
Uniformization with infinitesimally metric measures
我们考虑拟共形映射的扩张和一致化定理到与$\mathbb R^2$同胚的度量空间$X$的情形。给定这样一个空间上的测度$μ$，我们引入$μ$ -拟共形映射$f:X \to \mathbb R^2$，它的定义涉及到曲线的长度由$μ$变形.我们证明了如果$μ$是一个无穷小度量测度，即，如果它满足David和Semmes度量加倍测度条件的无穷小版本，则存在这样的$μ$ -拟共形映射.我们应用这个结果给出了允许无穷小拟对称参数化的度量空间的一个刻划。
Geometric and analytic quasiconformality in metric measure spaces
我们证明了任意局部有限可分度量测度空间之间的同胚$f\colon X\rightarrow Y$的拟共形性的几何定义和解析定义之间的等价性，假设在任一空间上都没有度量假设。当$X$和$Y$有局部$Q$有界几何和$Y$包含在上面有界曲率的Alexandrov空间中时，我们的结果的尖锐性意味着，与经典情况一样，$\map$的模和逐点外代数与$K_O(f)= \operatorname{esssup} H_O(x,f)$有关。
Ahlfors-David regularity of intrinsically quasi-symmetric sections in metric spaces
在度量空间中引入了内在拟对称截面的定义，并证明了这类截面的Ahlfors-David正则性.我们遵循最近的一个结果，乐多恩和作者，我们推广的概念，本质上Lipschitz图的意义上的弗兰基，Serapioni和塞拉卡萨诺。我们通过将注意力集中在图形属性而不是映射属性上来做到这一点。
Intrinsically quasi-isometric sections in metric spaces
这是对大尺度几何学的一个贡献。更确切地说，我们引入内在准等距部分在度量空间，我们调查他们的性质：在大规模的Ahlfors-David正则性;以下Cheeger理论，它是可能的，以获得凸性，并定义合适的集是一个向量空间上的$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$这些部分;然而，以下Cheeger的想法，我们给这类部分的等价关系。在本文中，我们使用基本的数学工具。
The geodesic problem in quasimetric spaces
本文研究了广义度量空间中的测地线问题，其中距离函数满足一个松弛的三角不等式$d(x,y)\leq σ(d(x,z)+d(z,y))$，而不是通常的三角不等式，其中对某个常数$σ\geq 1$.这样的空间称为拟度量空间。证明了度量空间中的许多著名结果（如Ascoli-Arzelà定理）在拟度量空间中仍然成立.此外，我们探讨条件下，准度规将导致一个内在的度量。作为一个例子，我们在原子概率测度空间上引入了一族拟度量。由这些拟度规诱导的相关内禀度规与在分支最优输运中出现的分支结构研究中早期研究的$d_α$度规相一致。两个原子概率测度之间的最优输运路径通常具有“树形”分支结构。在这里，我们表明，这些最优输运路径原来是测地线在这些内在的度量空间。
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