Groups, Wavelets, and Wavelet Sets
在过去的十年里，小波和框架已经成为数学、物理和应用科学中广泛使用的工具。本文综述了关于连续和离散小波变换及作用于$\mathbb{R}^n$的群的一些著名结果。我们还展示了如何这个行动可以引起小波，特别是MSF小波）在$L^2(\mathbb{R}^n)$。
2003-07-23 math.FA
Wavelet sets without groups
大多数小波集的例子都是针对作为群的伸缩集。我们找到了一个充要条件下，子空间小波集存在的膨胀集的形式$A B$，这不一定是群体。我们通过几个例子来解释这种结构。
2007-10-18 math.FA
Wavelet sets for crystallographic groups
单小波集，因此单小波，存在的行动下的所有晶体群对$\mathbb R^2$的所有整数膨胀。这样的集合满足额外的要求，他们是有限工会的凸集的例子提出了根据膨胀的两个组。
2020-05-04 math.FA
Coxeter Groups and Wavelet Sets
传统的小波是可分希尔伯特空间中的向量的特殊情况，其在根据平移和伸缩操作定义的酉算子系统的作用下生成基。Coxeter/分形表面小波是通过在可折叠图形上定义分形表面来获得的，这些图形通过其边界超平面中的反射而不是通过沿着晶格的平移来细分嵌入空间。虽然这两种理论看起来不同，在他们的开始，存在的连接和共同性，这是在这个半暂时的文件中展示。特别是，有一个自然的概念膨胀反射小波集。我们证明了任意扩张矩阵的伸缩-反射小波集的存在性，与传统的伸缩-平移小波理论相平行。存在某些可测集，它们可以同时作为伸缩平移小波集和伸缩反射小波集，尽管这两种理论产生的正交结构有很大的不同。
2007-10-19 math.FA
Fractal Hypersurfaces, Wavelet Sets and Affine Weyl Groups
在这些讲义中，我们提出了迭代函数系统理论之间的联系，特别是那些吸引子是多元实值分形函数，可折叠图形和仿射外尔群，和小波集的图形。
2013-09-01 math.FA
Simple wavelet sets in R^n
在$\mathbb R^n$、$n\geq 2$中构造了作为凸集的有限并集的小波集，用于通过具有等于标量乘以单位元的幂并且还具有大于$\sqrt n$的所有奇异值的任何扩展矩阵进行膨胀。特别是，我们产生简单的小波集在任何维度的膨胀由任何真正的标量大于1。
2013-11-10 math.FA
Orthonormal dilations of non-tight frames
我们建立了具有附加结构的非紧框架的扩张定理，即，由酉算子群和射影酉表示生成的标架。这推广了以前的扩张结果Parseval框架由于汉和拉森和Gabardo和汉。我们还扩展了Parseval小波的扩张定理，由于Dutkay，韩，Picioroaga，和太阳，通过确定最佳类的框架小波的扩张成正交小波是可能的。
2010-04-20 math.FA
Large classes of minimally supported frequency wavelets of L^2(\R) and H^2(\R)
本文介绍了构造Hardy空间H^2（\R）的MSF小波和L^2（\R）的对称MSF小波的方法，并讨论了这类小波的分类.作为应用，我们证明了L^2（\R）和H^2（\R）的小波集是可数多的.我们还列举了L^2（\R）中所有在正轴上最多有3个区间的对称小波以及H^2（\R）中的3-区间小波集。最后，我们构造了L^2（\R）的MSF小波族，其傅里叶变换在原点的任何邻域内都不为零。
2002-07-17 math.FA
Positive definite maps, representations and frames
我们提出了一个单一的方法来建设的表示和交织运营商。我们把它应用到$C^*$ -代数、群、Gabor型酉系和小波上。我们给我们的方法的框架理论的应用程序，我们证明了一般的膨胀定理，这反过来又适用于特定的情况下，我们得到这样的小波膨胀定理。
2005-11-05 math.FA
Riesz Wavelets, Tiling and Spectral Sets in LCA Groups
本文研究了局部紧阿贝尔群上小波和Riesz小波集的几何性质。我们研究的催化剂是Wang（[32]，定理1.1）在欧几里德小波理论中的结果。在这里，我们将结果推广到无限局部紧阿贝尔群中集合的小波和Riesz小波集。
2017-03-20 math.FA math.RT
Decomposition of wavelet representations and Martin boundaries
我们研究了一类酉表示与小波分析，小波表示的分解问题，但我们的框架是更广泛的，并已应用到多尺度扩展动力系统理论中产生的不可逆自同态。我们的主要结果提供了一个直接的积分分解的一般小波表示，我们解决了朱迪思包装所提出的问题。这需要一个直接的整体分解的一般小波表示。我们进一步给出了一个详细的分析的措施，有助于分解成不可约表示。我们证明结果相关的马丁边界，相关的小波滤波器和诱导随机行走的理解，以及类的调和函数。我们的设置需要表示建立从某些有限到一的自同态$r$在紧度量空间$X$，我们研究了它们的膨胀诱导的自同构。我们的小波表示是由扩张自同构形成的协变系统。它们依赖于分配的措施$μ$对$X$。已知当数据$(X, r, μ)$被给定时，相关的小波表示通常是可约的。通过引入与$(X, r)$相关的小波滤波器，我们在$X$中建立随机游动、路径空间测度、调和函数和相关的Martin边界。我们构造的螺线管$(X_\infty, r_\infty)$，从$(X, r)$构建的措施。证明了$r_\infty$在Hilbert空间$\H$和代数$L^\infty(X)$的表示$π$上诱导酉算子$U$，使得对$(U, r_\infty)$与相应的表示$π$一起形成$C^*$ -代数意义下的叉积.我们注意到，传统的小波表示属于这个更广泛的框架内的$(\H, U, π)$协变交叉产品。
2011-10-26 math.FA
Interpolation maps and congruence domains for wavelet sets
证明了如果两个小波集之间的插值映射保持两个小波集的并，则该对一定是插值对。我们还构造了一个例子，一对小波集的相关的插值映射和它的逆的同余域是相等的，但对是不是一个插值对。第一个结果肯定地解决了第二作者几年前提出的一个问题，第二个结果解决了D.韩这个反例的关键是构造小波集的一个特殊技术引理。文中还给出了这一结果的其它几个应用。此外，还提出了一些问题。我们也借此机会给一些一般性的阐述小波集和小波算子理论插值。
2007-10-29 math.FA math.OA
Lacunary wavelet series on Cantor sets
本文对Cantor集上的缺项小波级数进行多重分形分析，通过引入尺度去同步化构建不满足传统多重分形形式化的随机过程，并提出利用数值量检测形式化失效的方法。
2024-06-05 math.FA math.PR
Orthonormal dilations of Parseval wavelets
证明了任何Parseval小波框架都是Baumslag-Solitar群$$BS(1,2)=< u,t | utu^{-1}=t^2>.$$的一个表示的正交小波基的投影，并在某些特殊情况下给出了这种表示的精确描述，同时证明了对于小波集，它与符号动力学有关.我们表明，表示的结构取决于相关的符号动力学的某些有限轨道的分析。我们给出具体的Parseval小波的例子，我们计算的正交膨胀的细节，我们表明，有Parseval小波集的例子，有无限多个非同构的正交膨胀。
2007-10-29 math.FA
Rotated time-frequency lattices are sets of stable sampling for continuous wavelet systems
本文构造了二维格的生成矩阵，证明对任意光滑局部化的母小波，其生成的连续小波系统在旋转时频格上具有稳定采样性，并结合一般共轨道理论的振荡方法给出了格点数量的估计。
2024-04-23 math.FA
A characterization of wavelet sets on Vilenkin groups with its application to construction of MRA wavelets
本文在Vilenkin群上建立小波集的特征刻画，为小波构造提供新方法，并阐明多分辨分析与小波集确定的小波之间的关系，正面回答了Mahapatra和Singh提出的一个问题。
2024-05-07 math.AP math.CA math.FA
Unitary Representations of Wavelet Groups and Encoding of Iterated Function Systems in Solenoids
对于$d$实维度中的点，我们引入了一般数字集的几何。我们介绍了一个位置数系统，我们的表示的基础是一个固定的$d$由$d$矩阵在$\bz$。我们的出发点是给定的对$(A, \mathcal D)$，其中矩阵$A$假定为扩展的，并且$\mathcal D$是所选择的完整数字集，即，与$\bz^d/A^T\bz^d$中的点双射对应。我们从$\mathcal D$中给出了一个显式的几何表示和无限单词的字母编码。我们证明了基于$(A,\mathcal D)$的仿射迭代函数系统（IFS）的吸引子$X(A^T,\mathcal D)$是$\br^d$中的点的数字表示的一组分数。此外，我们的位置“数字表示”的形式明确的IFS编码的紧凑型螺线管$\sa$与对$(A,\mathcal D)$。复杂的部分（定理\ref{thenccycl}）由初始$(A,\mathcal D)$ -IFS的$\bz^d$中的循环来完成。使用这些循环，我们能够写下两个映射的公式，这两个映射在我们的位置$\mathcal D$表示中进行编码和解码。我们展示了如何小波表示可以实现螺线管，符号空间。
2008-10-07 math.FA math.NT
On B-spline framelets derived from the unitary extension principle
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
样条小波的Ron-Shen紧框架在基于框架的图像分析和处理中得到了广泛的应用。然而，除了紧框架性质和截断级数的逼近阶外，这类样条小波紧框架的其他性质很少被人所知。本文提出了这个家庭的一些新的性质，将提供进一步的理解，并希望，给出一些迹象，为什么它是有效的图像分析和解释。特别地，给出了由低阶样条小波紧框架生成高阶样条小波紧框架的递推公式。我们还把样条小波紧框架的每一个生成元表示为某个一元箱样条的某一阶导数。由此，我们进一步证明了充分高阶样条小波紧框架的每个生成元都接近于适当尺度的高斯函数的右阶导数。这导致了这样的结果，即由适当尺度的高斯函数的许多连续导数生成的小波系统形成了一个框架，其框架边界几乎是紧的。
2012-01-12 cs.CV cs.IT math.FA
Gabor fields and wavelet sets for the Heisenberg group
我们研究了$\Bbb R^2$上的单生成小波系统，这些系统与海森堡群$N$上的秩一小波系统自然相关。我们证明了生成元上的一个必要条件，使得任何这样的系统都是Parseval框架.给定$N$的对偶的一个合适的子集$I$，我们给出了与$I$相关的Parseval框架小波的一个显式构造.我们称$g\in L^2(I\times \Bbb R)$是$I$上的Gabor域，如果对a.e. $λ\in I$，$|λ|^{1/2} g(λ,\cdot)$是$L^2(\Bbb R)$的Parseval框架的Gabor生成器，并且如果$I$上的每个Gabor域都是$L^2(\Bbb R^2)$的Parseval框架（母）小波，则$I$是海森堡小波集。证明了$I$是Heisenberg小波集的充要条件是$I$既与单位区间的子集平移同余又与Shannon集伸缩同余.
2009-05-19 math.CA math.FA
Tight Wavelet Frame Sets in Finite Vector Spaces
设$q\geq 2$为整数，$\Bbb F_q^d$，$d\geq 1$为循环空间$\Bbb F_q$上的向量空间。本文件有两个目的。首先，我们得到了关于$E \subset \Bbb F_q^d$的充分条件，使得$1_E$的逆傅里叶变换在$L^2(\Bbb F_q^d)$中产生一个紧小波框架。我们称这些集合为（紧）小波框架集。这些条件是用乘法和平移平铺的形式给出的，在有限域的情形下，这类似于Wang的定理1.1（[20]）。本文的第二部分给出了在$\Bbb F_q^d$，$d\geq 2$，$q$（一个奇素数）和$q\equiv 3$（mod 4）中构造紧小波框架集的方法。
2017-03-20 math.FA math.NT math.RT
Semi-orthogonal Parseval wavelets associated to GMRAs on local fields of positive characteristics
本文建立了正特征局部域广义多分辨分析的半正交Parseval小波理论。利用GMRA核空间上的平移不变空间的性质，得到了半正交Parseval小波在LFPC下的一致性方程的一个刻画。作为结果，我们得到了一个正交（多）小波的重数函数以及维数函数的MRA相关联的一个特征。进一步，我们提供了Parseval尺度函数，尺度集和带限小波的特征，以及LFPC的Shannon型多小波。
2015-11-18 math.FA
Super-wavelets on local fields of positive characteristic
超小波的概念是由Balan，Han和Larson在实数领域中提出的，它不仅在工程领域，而且在数学的各个领域都有着广泛的应用。为了发展这一概念的局部域具有积极的特点，我们得到的特征的超小波的有限长度以及Parseval框架多小波集的有穷级在这种设置。利用基于陪集表示的群论方法，在此基础上建立了Shannon型多小波，并给出了Parseval框架（多）小波和Parseval框架（超）小波的例子.此外，我们还得到了Parseval框架小波与Parseval框架超小波相联系的可分解可扩的必要条件.
2017-08-25 math.FA
Three-way tiling sets in two dimensions
本文证明了在有限测度平面上存在可测集W，在扩张矩阵A，仿射外尔群W和满秩格G的作用下，W以可测方式平铺平面.本文是对第一作者和第二作者的早期文章“Coxeter groups and wavelet sets”的后续研究，也与M. Dobrescu和第三作者。在完成这两篇文章后，三位作者参加了2006年12月2日至7日在班夫中心举办的“分形分析、小波和动力系统中的算子方法”研讨会。Bratteli，P. Jorgensen，D. Krribs，G. Olafsson和S. Silvestrov，并讨论了文章之间的相互关系和差异，并在Larson-Massopust文章中提出的两个开放问题上进行了工作。我们解决了问题2的一部分，包括一个令人惊讶的正解，提出了一个猜想，我们在这篇文章中提出我们的结果。
2007-10-18 math.FA
Weyl-Heisenberg Frame Wavelets with Basic Supports
令$a$、$b$为两个固定的非零常数。如果函数$g=χ_{E}$在由$b$调制并由$a$平移的情况下生成$L^2(\mathbb{R})$的Weyl-Heisenberg框架，则可测集$E\subset \mathbb{R}$被称为$(a, b)$的Weyl-Heisenberg框架集，即，$\{e^{imbt}g(t-na\}_{m,n\in\mathbb{Z}}$是$L^2(\mathbb{R})$的帧。如何刻画一个给定对$(a,b)$的所有框架集是一个开放性问题。在$a=2π$和$b=1$的情况下，Casazza和Kalton的结果表明，集合$F=\bigcup_{j=1}^{k}([0,2π)+2n_{j}π)$（其中$\{n_{1}<n_{2}<...<n_{k}\}$是整数）是$(2π,1)$的Weyl-Heisenberg标架集合的条件等价于多项式$f(z)=\sum_{j=1}^{k}z^{n_{j}}$在复平面中没有任何单位根的条件。在本文中，我们表明，这一结果可以推广到一类更一般的可测集（称为基本支撑集）和集理论函数和连续函数定义在这样的集合。
2005-07-29 math.FA
A duality approach to representations of Baumslag-Solitar groups
我们给出了一个运营商理论的方法，多分辨率的建设，因为它们被用于在一些基础建设小波，并在希尔伯特空间的分形。我们的方法从以下版本的经典Baumslag-Solitar关系$u t = t^2 u$开始，其中$t$是希尔伯特空间$\mathcal H$中的酉算子，$u$是$\mathcal H$中的等距算子。有等距膨胀的这个系统到一个更大的希尔伯特空间，相关的小波。对于各种仔细选择的膨胀，“更大”的希尔伯特空间可以是$L^2(\br)$，并且膨胀算子可以是定义$L^2(\br)$的二进小波多分辨的酉算子，其中子空间$\mathcal H$用作相应的分辨率子空间。也就是说，由小波尺度函数生成的初始化分辨率。在扩张的希尔伯特空间中，鲍姆斯拉格-索利塔关系则采用更熟悉的形式$u t u^{-1} = t^2$。我们提供了一个运营商的理论框架，包括标准的建设，我们展示了如何表示某些离散半直接群产品的分类的可能性。为此，我们分析和比较几种类型的酉表示这些半直积：诱导表示在Mackey的理论，小波表示的$L^2(\br)$，不可约表示的对偶，有限维表示，和正则表示。
2007-06-25 math.FA math.OA
On unitary invariants of quotient Hilbert modules along smooth complex analytic sets
设$Ω\subset \mathbb{C}^m$是一个开的连通有界集，$\mathcal{A}(Ω)$是$Ω$上全纯函数的函数代数.本文研究拟自由Hilbert模$\mathcal{M}$的子模的商Hilbert模，该子模由$\mathcal{M}$中的函数沿余维至少为$2$的光滑不可约复解析集$\mathcal{Z}\subsetΩ$消失到$k$阶而构成.我们的动机是调查这样的商模的酉不变量。我们完全确定了上述商模的酉等价，并将其与Hermitian全纯向量丛的几何不变量联系起来。然后，作为应用，我们用由在$\mathbb{D}^m$中沿对角线消失到$2$阶的函数的子模所产生的商模的酉等价类刻划了$\mathcal{A}(\mathbb{D}^m)$上加权Bergman模的酉等价类.
2021-04-05 math.FA
p-Adic Scaling Set and Generalized Scaling Set
本文旨在 L2(Qp) 中发展 MRA 与小波理论，探讨了尺度集的必要条件，并通过实例刻画了广义尺度集。
2021-07-05 math.FA
Some equations relating multiwavelets and multiscaling functions
在\cite{Dut}中引入的局部迹函数被用来推导出在广义多分辨率分析的背景下与多小波和多尺度函数相关的方程，而不需要使用滤波器。给出了规范紧框架小波的一种构造方法。具体的例子包括规范化紧框架和正交小波集的建设。
2005-11-06 math.FA
A Direct Integral Decomposition of the Wavelet Representation
本文利用X. Dai和D. Larson的方法，将与任意$n \times n$整数伸缩矩阵相关联的离散群的小波表示分解为不可约单项表示的直接积分。这样我们推广了F. Martin和A. Valette，其中他们表明，小波表示是弱等价的正则表示的Baumslag-Solitar群。
2001-12-13 math.FA math.RT
Nonuniform Periodic Wavelet Frames on Non-Archimedean Fields
National Institute of Technology, Srinagar（斯利那加国家技术学院）
本文研究了非阿基米德域上的非均匀周期小波框架，通过傅里叶变换技术和正交扩展原理，提出了一种构造方法。
2026-05-17 math-ph math.FA math.MP
Construction of Nonuniform Wavelet Frames on Non-Archimedean Fields
National Institute of Technology, Srinagar（斯利那加国家技术学院）
本文提出非阿基米德局部域上非均匀小波框架的构造方法，发展了斜扩展和正交扩展原理，并展示了应用示例。
2026-05-10 hep-th math-ph math.FA
