Finite Products are Biproducts in a Compact Closed Category
Robin Houston
如果一个紧闭范畴有有限的乘积或有限的上乘积，那么它实际上有有限的双乘积，因此是半可加的。
If a compact closed category has finite products or finite coproducts then it in fact has finite biproducts, and so is semi-additive.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Biproducts without pointedness
我们展示了如何定义双产品同构在任意类别，而无需假设任何丰富。当所有二元双积存在或范畴被适当地充实时，所得到的概念与通常的定义相一致，否则会导致适度而严格的推广。我们还刻画了当一个范畴的所有二元双积的ambientus的附加。最后，我们给出了一些新的例子，我们的定义承认的双产品。
Semi-biproducts of monoids
证明了么半群的范畴\emph{semi-biproducts}等价于范畴\emph{pseudo-actions} .幺半群的半双积是通过推广交换幺半群的双积而得到的一个新概念。通过去掉交换性并要求双积图中的某些同态仅仅是保恒等映射，我们得到了半双积。伪动作也是一个新概念。它由三个部分组成：一个预先行动，一个因素系统和一个校正系统。在群的群范畴中，所有的校正系都是平凡的。据作者所知，这也许就是为什么以前从未考虑过这一概念的原因。
Coherence for closed categories with biproducts
本文给出了具有双积的对称monoidal闭范畴的一个相干结果。解释了如何使用相同的技术证明具有双积的紧闭范畴和具有匕首双积的匕首紧闭范畴的连贯性。
Hopf Monads on Biproducts
本文研究具有有限双积的对称幺半范畴上的Hopf monad，证明其可由满足三条公理的额外自然变换（融合逆子）精确刻画，并在三种特殊情况下将验证简化为一个等式。
When coproducts are biproducts
在具有有限余积的右闭幺半范畴中，我们把具有有限双积的范畴看作是始对象和单位与自身的余积都允许右闭的范畴。这推广了休斯顿的结果，即任何具有有限余积的紧闭范畴都允许双积。
Semi-biproducts in monoids
证明了么半群中的半双积范畴等价于一类伪作用。幺半群中的半双积同时也是群中的半直积和交换幺半群中的双积的推广。么半群的每一个Schreier扩张都可以看作是半双积的一个实例;也就是说，一个半双积，其相关的伪作用有一个平凡的校正系统。修正系统是一个新的成分，必须插入，以获得一个伪行动的预行动和因素系统。在群体中，每个纠正系统都是微不足道的。因此，那里的半双积和半直积与因子系是一样的，它们只不过是群的扩张。试图建立一个一般的上下文中定义半双积。结果，从一个具有2-胞腔结构的范畴中得到了一个新的映射变换结构。实例和第一基本属性进行了简要探讨。
Generalised Proof-Nets for Compact Categories with Biproducts
正如传统的函数程序可以被理解为直觉主义逻辑中的证明一样，量子过程也可以被视为合适逻辑中的证明。我们描述这样一个逻辑，紧凑的闭范畴和biproducts的逻辑，提出了作为一个微积分和作为一个系统的证明网。这种逻辑捕捉了在经典控制下表示量子过程所需的大部分必要结构，同时对细节保持不可知论。我们演示了如何表示量子过程的证明网，并表明量子过程的动态行为被捕获的逻辑的削减消除过程。我们表明，削减消除程序是强烈规范化：也就是说，每一个法律的简化证明网络的方式导致相同的，唯一的，正常的形式。最后，采取一些初始的操作作为非逻辑公理，我们表明，由此产生的类别的证明网是一个表示的自由紧凑的闭范畴与这些操作所产生的双产品。
Pointed semibiproducts of monoids
这里引入幺半群的半双积作为双积（交换阿贝尔群）和半直积（群）的一个普通推广，以探索一类广泛的幺半群扩张。更一般地说，抽象的半双积存在于任何具体的范畴中，在这些范畴中，映射加法是有意义的，从而重新解释了Mac Lane的相对双积。在指出的情况下，他们产生了一类特殊的扩展称为半双积扩展。不是所有的么半群扩张都是半双积扩张，但所有的群扩张都是。建立了幺半群的点半双积范畴与点幺半群作用系统范畴之间的范畴等价性，并由此产生了一个新的作用范畴。与经典扩张理论的主要区别在于，半双积扩张与分裂扩张的处理方式相同，即使截面映射可能不是同态。给出了二元幺半群的14个半双积扩张的列表。
Convex Biproducts, Stochastic Matrices and Tape Diagrams
研究引入具有凸双积的范畴，指出其与有限双积范畴在矩阵演算上的差异，产生适用于概率设置的框架，利用此联系建立同构支撑概率带图，并对公理概率布尔电路有效。
A diagrammatic calculus for categorical quantum protocols
本文提出一种基于一维配边和自由生成群的图形语言范畴，证明其具有双积的dagger紧致闭结构，并利用相干性结果，仅通过绘图即可验证量子隐形传态、纠缠交换和超密编码等量子协议的有效性。
Internal Neighbourhood Structures III: Finite Sum of Subobjects
在\cite{2020}中，提出了在具有有限余积和真$(\mathsf{E}, \mathsf{M})$系统的完备范畴上的内预邻域空间的概念，使得对于每个对象$X$，$X$的$\mathsf{M}$ -子范畴的集合是完全格.在\cite{2021-clos}中研究了闭包算子、闭态射及其近似关系的概念。本文给出了三元组$(\mathbb{A}, \mathsf{E}, \mathsf{M})$（$\mathbb{A}$外延）等价于有限和闭对象的$\mathsf{M}$ -子代数集的结构条件.给出了闭嵌入（闭态射）在有限和下闭的等价条件。当容许子格（闭嵌入）在有限和下闭时，证明了有限和的容许子格（闭嵌入）的联半格是其分支联半格的双积.最后，它表明，只要一套封闭态射是封闭的有限总和，一套适当的（分别，分离）态射也是封闭的有限总和。这导致了紧（分别为Hausdorff）预邻域空间的满子范畴在有限和下封闭的等价条件。
The category of categories with pullbacks is cartesian closed
我们证明了具有拉回和拉回保持函子的范畴的范畴是carlington闭的。
Enriched Morita theory of monoids in a closed symmetric monoidal category
本文在丰富范畴论框架下，针对闭对称幺半范畴中的幺半群建立了Morita理论，拓展了经典代数中的Morita等价研究方法。
The category of 3-computads is not cartesian closed
利用Eckmann-Hilton论证证明了3-computads范畴是非闭范畴.作为推论，我们得到，当n>2时，所有计算的范畴和n-计算的范畴都不形成局部carr闭范畴，因此也不形成初等范畴。
Pre-Hilbert $*$-categories: The Hilbert-space analogue of abelian categories
该研究提出准希尔伯特$*$-范畴作为阿贝尔范畴的希尔伯特空间类似物，基于对合反变自函子等结构推导其加性、拟阿贝尔等同调性质，并给出多个相关范畴实例。
A direct proof that the category of 3-computads is not cartesian closed
我们通过反例证明了3-计算范畴不是Carnival闭的，这一结果最初是由Makkai和Zawadowski证明的.我们给出一个3-可计算的B，并通过给出一个不被它保持的余均衡器，证明函子_ x B没有右伴随.
Closed categories vs. closed multicategories
证明了Eilenberg和Kelly闭范畴的2-范畴等价于闭多范畴的2-范畴的一个适当的满2-子范畴。
Learners are Almost Free Compact Closed
本文通过更粗的等价关系简化学习者范畴，并利用其商范畴构造对称幺半范畴上的自由紧闭范畴。
Cylinder, Tensor and Tensor-Closed Module
本文的目的是证明，如果$\mathcal{V}$是一个闭幺半范畴，则下列三个概念是等价的。(1)带有$\mathcal{V}$的类别-结构和气缸。(2)张紧$\mathcal{V}$ -类别。(3)张量闭$\mathcal{V}$ -模块。作为一个应用，我们将证明，如果$\mathcal{V}$是闭的和对称的，那么给定一个范畴$\mathcal{S}$，在Quillen所引入的$\mathcal{S}$上的带柱面和路的$\mathcal{V}$ -结构的集合和Hovey所引入的$\mathcal{S}$上的闭$\mathcal{V}$ -模结构的集合之间存在一一对应.
Grothendieck prelopologies: towards a closed monoidal sheaf category
本文推广 Grothendieck 预拓扑至半笛卡尔范畴，通过不保持有限极限的层化过程，构造闭幺半群层范畴，并受量子格上层概念的启发。
Compact closed categories and $Γ$-categories (with an appendix by André Joyal)
本文在同伦代数的背景下研究紧闭范畴。通过局部化两个对称幺半范畴（Quillen等价）模型范畴，构造了两个新的模型范畴结构，目的是在局部化模型范畴中建立一个生成元上的自由紧闭范畴，作为一个生成元上的自由对称幺半范畴的一个替代.我们继续表明，在我们的模型类别的canderant对象是紧凑的闭范畴。
Cohomology of Small Cartesian Closed Categories
该研究证明了笛卡儿闭合范畴的奎伦上同调与巴乌斯-维尔斯钦格上同调的同构性，并扩展了此前关于小范畴和具有有限积的小范畴的结果。
Mackey functors on compact closed categories
作为丰富范畴论的一个应用，我们发展和推广了Mackey函子理论。本文在扩张范畴$\E$上定义了Mackey函子，并研究了$\E$上Mackey函子范畴的性质.我们证明了它是一个幺半范畴范畴，并且它的么半群是Green函子.麦基函子被看作是提供了一种设置，在这种设置中，在群论中出现的仅仅是数值方程可以被给予一个结构基础。我们得到一个明确的描述对象的柯西完成monoidal函子，并应用此审查森田等价的格林函子。
Closed categories
我们正在检查以集合的集范畴开始并以范畴的范畴结束的闭范畴。新颖之处在于将伴随函子的概念推广到有向图范畴中的联合函子对。我们已经描述了什么条件下，我们得到一个双射名称映射图运输。图不是范畴的实例，但是我们相信函子联合对的新概念对于范畴的研究也将变得重要。作为未来应用的一个例子，我们介绍了一些张量积的概念。
Locally subcartesian closed categories
该研究引入局部次笛卡尔闭范畴，发展其基本理论，扩展多项式理论，通过Lawvere quantale和名义集范畴举例说明，为外延依赖仿射类型理论提供了自然的范畴语义。
External triangulation of the homotopy category of exact quasi-category
外三角范畴公理化了三角范畴的扩张闭子范畴。证明了正合拟范畴的同伦范畴可以具有自然的外三角化结构。
Continuity is an adjoint functor
对于拓扑空间$X$和$Y$，一个（不一定是连续的）函数$f:X \rightarrow Y$自然地将一个函子从$X$的闭子集范畴（带有由包含给出的态射）导出到$Y$的闭子集范畴。函数$f$也自然地从$Y$的闭子集范畴导出一个函子到$X$的闭子集范畴。我们的目的是证明函数$f$是连续的当且仅当上述两个函子中的第一个是第二个函子的左伴随。因此，我们获得了伴随对的基本例子（显然）不是这个问题的标准介绍性治疗的一部分。
Higher comparison maps for the spectrum of a tensor triangulated category
对于每个对象在张量三角范畴，我们构建一个自然的连续映射，从对象的支持-一个闭子集的范畴的三角形谱-的Zapriki谱的某个交换环的自同态。当应用于单位对象时，这恢复了P. Balmer的构造。这些地图提供了一个迭代的方法来理解张量三角范畴的频谱，从单位对象的比较地图开始，通过“更高”的比较地图迭代地分析这个地图的纤维。我们说明这种方法的稳定同伦范畴的有限谱。事实上，相同的底层构造产生了一整套新的比较映射，包括与三角谱的每个闭子集相关联（并在其上定义）的映射。这些后者的地图提供了一种替代的策略，用于分析频谱，通过迭代地建立一个过滤的封闭的子集，通过拉回过滤的仿射计划。
A Topologically Enriched Probability Monad on the Cartesian Closed Category of CGWH Spaces
本文在CGWH空间范畴上构造了拓扑富集的里斯概率单子，其扩展了经典拉东与吉里单子，限制到特定子范畴时具强仿射性，保障独立性与确定性的预期交互。
Cartesian closed and stable subconstructs of [0,1]-Cat
该研究针对单位区间上连续三角模下的实富集范畴，给出其笛卡尔闭稳定子构造的等价刻画，并证明取值于幂等元集的Yoneda完备实富集范畴与Yoneda连续[0,1]-函子构成笛卡尔闭范畴。
Closed categories, star-autonomy, and monoidal comonads
本文确定了幺半范畴范畴C中的内homs对于C上的幺半群余单子G提升到Eilenberg-Moore余代数范畴C^G所需的结构。我们应用这一点来提升星自治，以期重铸量子广群的定义。
Chu representations of categories related to constructive mathematics
如果C是一个闭对称幺半范畴，则C上的Chu范畴Chu（C，g）及其对象g被Chu定义为从C生成的 *-自治范畴。毕晓普引入了集合的补集范畴，以克服在建设性测度论中使用否定所产生的问题。舒尔曼提到，毕晓普的补子集大致对应于朱构造。在本文中，我们解释了这种对应关系表明，有一个楚表示（一个完整的嵌入）的范畴的补充子集的集合X到楚（集，X x X）。本文给出了Bishop空间范畴在Chu（Set，R）中的Chu表示，它与拓扑空间拓扑空间范畴在Chu（Set，2）中的标准Chu表示是构造性的类似.为了表示谓词范畴（带宾语对（X，A），其中A是X的子集）和补语范畴（带宾语对（X，A），其中A是X的补语子集），我们通过定义范畴C上的Chu范畴和C上的endofunctor来推广Chu构造.最后，我们在一个积范畴和一个反变集值函子上引入了反平行的Grothendieck构造，其中Chu构造是它的一个特例，当C是一个局部小范畴时.
Skew-closed categories
在科尔内尔·斯拉切尼发现的松散幺半范畴的新例子的激励下，作者觉得是时候发表一份对艾伦伯格-凯利关于封闭范畴的原始论文的修改稿了，这篇论文适合于松散的上下文。新的例子与bialgebroids。与Stephen Lack一起，我们也用这个概念给出了量子范畴和量子广群的另一种定义。Szlachányi称lax概念为{ \em skew monoidal}。本文定义了{ \em斜闭范畴}，证明了在斜闭范畴上扩充的Yoneda引理，并研究了闭余补.
Cartesian closed exact completions in topology
本文利用广义充实范畴，证明了Rosicksberg关于拓扑空间范畴的精确完备的Carnival闭性的证明可以推广到$\mathsf{Set}$上的许多拓扑范畴，如度量空间、逼近空间、超度量空间、概率度量空间和双拓扑空间.为了做到这一点，我们证明了一个充分的准则，指数的$(\mathbb{T},V)$ -范畴，并表明，在适当的条件下，每一个$(\mathbb{T},V)$ -内射范畴是指数在$(\mathbb{T},V)\text{-}\mathsf{Cat}$。
A Construction of Colimits in Monoidal Closed Categories
我们证明了一个范畴，这是对称的（放松）monoidal封闭的，（小）完全的，良好的权力，并有一个小的共同生成的家庭，是共同完成的。
Closed symmetric monoidal structures on the category of graphs
本文研究了图分类的闭合对称单子结构，证明其存在盒积和范畴积两种闭合对称单子积。
Bayesian Inference using the Symmetric Monoidal Closed Category Structure
利用可测空间范畴的对称monoidal闭范畴结构，结合我们证明是强monad的Giry monad，我们分析了与张量积概率有关的贝叶斯推理映射及其构造.这种观点允许推理映射被看作是一个拉回构造。
Algebraic exponentiation for Lie algebras
已知环上的李代数范畴有代数指数。本文的目的是表明，同样的情况下，在一个加性的，余完备的，对称的，封闭的，幺半范畴范畴的内部李代数的范畴。通过这种方式，我们增加了一些新的例子，以简短的列表中已知的局部代数carlobular闭范畴，包括类别的李超代数和微分阶化李代数等。
The symmetric monoidal 2-category of permutative categories
本文为置换范畴定义张量积，证明其使置换范畴的2-范畴成为闭对称幺半双范畴，奠定了相关结构的基础。
Lemme de Yoneda pour les foncteurs à valeurs monoidales
本研究针对闭对称幺半范畴$\u2716M$，证明小范畴$I$对应的函子范畴$\u2716M^I$是闭$\u2716M$-模，重写幺半值函子的米田引理，推导伴随函子定理并验证$\u2716M^I$为闭对称幺半范畴。
Monoidal Adjunctions - Linearity and Duality
本文在两个么半群对称闭范畴$\mathscr{A}$和$\mathscr{E}$以及么半群函子$F: \mathscr{E}\to \mathscr{A}$和$G: \mathscr{A}\to \mathscr{E}$的数据上解释了两个相关的构造。第一部分回顾并部分推广了A.科克：如果$F$是$G$的左伴随，并且这个伴随是monoidal的，我们可以给Eilenberg-Moore范畴$\mathscr{E}^T$配备对称monoidal闭范畴的结构，只要$\mathscr{E}$有均衡器和$\mathscr{E}^T$余均衡器，因为$T$是与这个伴随相关联的规范monad.在第二部分中，受Chu-结构的启发，我们建立了一个范畴$\mathscr{R}_{G}$，它也是对称monoidal闭的，条件是$\mathscr{E}$有回调。类似地，我们建立了一个范畴$\mathscr{L}^{F}$，它在$\mathscr{A}$具有我们称之为$F$ -推出和$F$ -拉回的条件下是对称monoidal闭的。当$F \dashv G$是一个Monoidal附加范畴时，我们证明了$\mathscr{L}^{F}$和$\mathscr{R}_{G}$同构为对称Monoidal闭范畴.我们还显示了$\mathscr{E}^T$是如何与两者。
Tangent bundles in differential lambda-categories
微分类范畴是由布恰雷利等人引入的，作为埃尔哈德和雷尼尔的微分类范畴演算的简单类型化版本的模型。微分微分范畴是Blute等人的一个闭微分范畴，其中的微分算子与闭结构相容。我们证明了任何微分范畴都有一个正则强交换单子，它的构造类似于光滑流形范畴中切丛的构造。本文的大部分结果在任意的Carnival微分范畴中仍然有效。我们的重点是微分类范畴的动机是预期的应用程序的理论发展在本说明中的设计和语义的类演算扩展的推进操作。
Cartesian closed categories are distributive
范畴论中的一个民间传说的结果是，一个具有有限余积的（弱）笛卡尔闭范畴是分配的。通常，这个小结果的证明是利用指数函子与乘积函子右伴随的事实来进行的。而且，由于函子有一个右伴随保持余极限，结果如下立即。但是，当我们试图明确地构造箭头时，事情变得有点复杂。在极少数情况下，拥有使这种同构成立的确切箭头是非常有用的。这篇笔记的目的是发展显式证明，所有涉及的箭头都以显式的方式构造。
Constructing Coproducts in locally Cartesian closed $\infty$-Categories
本文证明了每一个带有子对象分类器的局部笛卡尔闭$\infty$ -范畴都有严格的始对象和不相交的泛二元余积。
Compact Closed Bicategories
紧闭双范畴是对称的么半群双范畴，其中每个对象都具有弱对偶。单位和计数单位满足紧闭范畴的通常的"之字形"恒等式，直到自然同构为止，并且同构服从一个凝聚律。我们给出了几个例子，紧闭bicategories，然后回顾以前的工作。特别是，日和街定义了紧凑的封闭bicategories间接通过灰色monoid，然后呼吁一个连贯性定理，以扩大概念bicategories，我们重申的定义直接。我们证明了给定一个具有有限乘积和弱拉回的2-范畴T，C的对象，跨距和跨距映射的同构类的双范畴是紧闭的。作为推论，集的跨度的双范畴和某些"电阻网络"的双范畴是紧闭的。
The classical homotopy category is cartesian closed
该研究证明所有拓扑空间与映射同伦类构成的经典同伦范畴是笛卡尔闭的，还指出其对应的(∞,1)-范畴局部化后也满足该性质，通过特定拓扑空间建模指数对象并以弱同伦等价验证泛性质。
Finitary Cartesian closed varieties and semigroup actions
本文通过布尔左限制单oid的结构，将有限Cartesian闭品种与半群作用联系起来，揭示了两者之间的等价关系。
A closed model structure on the category of weakly unital dg categories, II
在本文中，我们继续研究域$\Bbbk$上的弱单位dg范畴（在Kontsevich-Soibelman [KS]的意义下）的范畴$\mathrm{Cat}_{\mathrm{dgwu}}(\Bbbk)$的闭模型结构.在[PS]中，我们在弱单位dg范畴上构造了一个封闭的模型结构，给弱单位dg范畴加了一个技术条件，即对任何对象$x$都有$\mathrm{id}_x\cdot \mathrm{id}_x=\mathrm{id}_x$.虽然这个条件使我们大大简化，但它是多余的，必须放弃。在这里，我们摆脱了这种情况，并提供了一个封闭的模型结构，在充分的一般性。新的闭模型范畴也是上纤生成的，并证明它与Tabuada [表1]给出的$\Bbbk$上（严格单位）dg范畴的闭模型范畴$\mathrm{Cat}_\mathrm{dg}(\Bbbk)$是Quillen等价的.删除条件$\mathrm{id}_x^2=\mathrm{id}_x$会使闭合模型结构的构造与loc.cit.更加疏远，并且需要新的构造。其中之一是一个wu dg范畴的预三角壳，这反过来又被证明是一个wu dg范畴。自然出现的弱单位dg范畴的一个例子是dg范畴的棒棒分解。本文给出了严格酉dg范畴的经典bar-cobar分解的一个改进（附录B）。类似的构造可以应用于在$\mathrm{Cat}_\mathrm{dgwu}(\Bbbk)$…
The category of nominal sets is locally monoidal closed
本文证明名义集合范畴Nom上的每个幺半群闭结构都能诱导所有切片范畴上的相应结构，从而Nom是局部分离闭的。
Relevant Categories and Partial Functions
一个相关范畴是一个具有对角自然变换且满足某些相干条件的对称么半群闭范畴。在这个意义上，每一个卡氏闭范畴都是一个相关范畴。“相关”这个名称来自于与相关逻辑的联系。证明了同构于点集范畴的部分函数的集范畴是一个相关范畴，但它不是一个闭范畴。
An interpretation of dependent type theory in a model category of locally cartesian closed categories
局部范畴闭范畴是外延依赖类型理论的自然范畴模型。本文介绍了“类”的lcc范畴的语义：而不是在一个给定的个别lcc范畴的解释，我们表明，所有的lcc范畴的范畴也可以被赋予依赖类型理论的模型的结构。然后可以通过切片恢复单个lcc类别中的原始解释。在最初的解释中，我们面临着连贯性的问题：范畴结构通常只在同构之前被函子保留，而句法替换严格地与所有类型论结构交换。我们的解决方案包括一个合适的介绍高阶范畴的lcc类别作为模型类别。为此，我们构造了一个lcc sketches的模型范畴，从这个模型范畴中，我们通过代数（共）交对象的形式化得到严格lcc范畴的模型范畴，进而得到代数（共）交严格lcc范畴。后者是我们的依赖类型理论模型。
An exotic finite pretriangulated category over any algebraically closed field
该研究在任意特征代数闭域上，构造了广义 Dynkin 型预投射代数 $\tilde{A}_2$ 的有限维投射模范畴的三角化结构，证明其既非代数也非拓扑三角化范畴，拓展了三角化范畴的存在性结论。
A monoidal analogue of the 2-category anti-equivalence between ABEX and DEF
证明了具有正合么半群结构的极小阿贝尔范畴的2-范畴与满足正合准则的fp-hom-闭可定义加法范畴的2-范畴是反等价的。对于一个固定的可达范畴$\mathcal{C}$，其乘积和monoidal结构满足适当的假设，我们给出了$\mathcal{C}$的fp-hom闭可定义子范畴、$\mathcal{C}^{\mathrm{fp}}\hbox{-}\mathrm{mod}$的Serre张量理想和Ziegler型拓扑的闭子集之间的双射.对于一个极小的预加范畴$\mathcal{A}$，我们证明了初等对偶诱导了$\mathrm{Mod}\hbox{-}\mathcal{A}$的fp-hom-闭可定义子范畴与$\mathcal{A}\hbox{-}\mathrm{Mod}$的可定义张量理想之间的双射.
Purity and flatness in symmetric monoidal closed exact categories
设A是对称monoidal闭正合范畴。这一范畴是一个自然的框架来定义纯度和平坦性的概念。我们证明了A中的对象F是平坦的当且仅当以F结尾的任何合并是纯的。此外，我们还证明了A.在A是拟阿贝尔范畴的情况下，我们证明了A有足够多的纯内射对象。
Skew structures in 2-category theory and homotopy theory
我们研究Quillen模型范畴配备了一个monoidal斜闭结构，下降到一个真正的monoidal闭结构的同伦范畴。我们的例子是2-范畴的，包括置换范畴和双范畴。使用斜框架，我们适应艾伦伯格和凯利的定理有关monoidal和封闭的结构同伦设置。这是适用于建设monoidal双范畴所产生的伪交换2单子的Hyland和权力。
A note on the category of c-spaces
本文证明了c-空间范畴及局部有限紧空间范畴均非笛卡尔闭，给出了相关范畴论性质的一个否定结果。
Closed Model Categories for Presheaves of Simplicial Groupoids and Presheaves of 2-Groupoids
证明了单纯群胚的预层范畴和2-群胚的预层范畴具有Quillen闭模型结构。此外，它们的同伦范畴分别等价于单纯预层和同伦2-型的同伦范畴。
The de Rham homotopy theory and differential graded category
本文是arXiv：0810.0808的推广。我们开发的德拉姆同伦理论不一定幂零空间，使用封闭的DG-范畴和等变DG-代数。我们看到这两个代数对象以某种方式相对应。证明了图式同伦类型的同伦范畴与闭dg-范畴的同伦范畴之间的等价性。本文用极小模型刻画了空间的同伦不变量。在这种情况下，极小模型的行为很像沙利文的极小模型。我们还提供了一些例子。我们证明了纤维合理化和封闭的dg范畴与辅助数据之间的等价性。
Every homotopy theory of simplicial algebras admits a proper model
我们证明了代数理论上的单纯代数的任何闭模型范畴都与一个真闭模型范畴Quillen等价。所谓“单纯代数”，我们指的是单纯代数理论上的任何代数范畴，它允许是多排序的。这些结果对局部化模型范畴结构的构造具有应用价值。
Closed injective systems and its fundamental limit spaces
本文对拓扑空间的所谓闭注入系统引入极限空间和基本极限空间的概念。给出了极限空间存在唯一性的主要结果和几个具体例子。在正文的主要部分，我们表明，封闭内射系统可以被认为是一个范畴的对象，其态射是所谓的顺式态射。此外，到基本极限空间的过渡可以被认为是从这个范畴到拓扑空间拓扑空间范畴的函子。随后，我们给出了归纳闭内射系统和基本极限空间的函子和反函子的性质。最后给出了一些特殊系统的基本极限空间的刻划结果，并研究了所谓的完美性质。
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