The category of 3-computads is not cartesian closed
Mihaly Makkai, Marek Zawadowski
利用Eckmann-Hilton论证证明了3-computads范畴是非闭范畴.作为推论，我们得到，当n>2时，所有计算的范畴和n-计算的范畴都不形成局部carr闭范畴，因此也不形成初等范畴。
We show, using Eckmann-Hilton argument, that the category of 3-computads is not cartesian closed. As a corollary we get that neither the category of all computads nor the category of n-computads, for n>2, do form locally cartesian closed categories, and hence elementary toposes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A direct proof that the category of 3-computads is not cartesian closed
我们通过反例证明了3-计算范畴不是Carnival闭的，这一结果最初是由Makkai和Zawadowski证明的.我们给出一个3-可计算的B，并通过给出一个不被它保持的余均衡器，证明函子_ x B没有右伴随.
Computads and Multitopic Sets
我们比较computads与多主题集。这两种结构都有n维对象（分别称为n单元和n粘贴图）。计算集形成了更熟悉的omega-范畴类的一个子类，而多主题集已经被Hermida，Makkai和Power设计为定义弱omega-范畴概念的工具。我们的主要结果表明，多主题集范畴等价于多对一计算子范畴，即所有计算子范畴的某个满子范畴。
Computads for generalised signatures
本文引入种类构成直接范畴的广义签名，研究其computads，证明其构成预层范畴，并展示自由代数为余纤维对象，涵盖多类结构、弱ω-范畴等应用。
Computads for weak $ω$-categories as an inductive type
本文通过自由词的显式归纳定义给出弱 $\omega$-范畴的 computads 新描述，避免球状操作技术，并证明新定义与 Batanin-Leinster 及 Garner 的结果一致。
CaTT contexts are finite computads
本文比较了弱ω-范畴的两种类型论描述，证明CaTT语法范畴与有限computads范畴等价，并建立了模型范畴与球状集合上单态代数范畴的直接联系。
Computads and string diagrams for $n$-sesquicategories
本文为定义 n-半严格范畴的单子 $T_n^{D^s}$ 给出计算元的显式刻画，证明其计算元范畴是预层范畴，并据此建立表示任意复合的弦图记号，推动半严格 n-范畴的弦图理论发展。
The category of categories with pullbacks is cartesian closed
我们证明了具有拉回和拉回保持函子的范畴的范畴是carlington闭的。
Cartesian closedness of the category of real-valued sets, I
本文研究了实值集范畴的笛卡儿闭性，证明其当且仅当所用的t-范数为最小t-范数。
Cartesian differential categories as skew enriched categories
本文将笛卡尔微分范畴刻画为基于斜幺半范畴的充实范畴，并证明每个小笛卡尔微分范畴可完全保持结构地嵌入由微分模态诱导的范畴，从而解决了该领域的一个公开问题。
Cartesian Double Categories with an Emphasis on Characterizing Spans
在这篇论文中，我们引入了笛卡尔双范畴，其动机是Carboni，Kelly，Walters和Wood关于笛卡尔双范畴的工作。从双范畴转移到稍微更一般化的双范畴概念，使我们能够将整个理论置于双范畴的受欢迎的2-范畴内，并克服在一般双范畴内处理左伴随伴随所引起的技术问题。我们特别感兴趣的是也是互逆的笛卡尔双范畴。本文在描述了笛卡尔双范畴和非笛卡尔双范畴的一些重要性质之后，给出了Spans双范畴是笛卡尔双范畴的一个刻划。最后，我们讨论了profunctors，并给出了一个潜在的框架，他们的特征笛卡尔双范畴。
Properties and Characterisations of Cofree Cartesian Differential Categories
本文研究余自由笛卡尔微分范畴的刻画问题，提出在不指定基范畴的情况下，利用导数为零的微分常数，通过完备超度量空间和单子代数两种方式对其进行刻画，并探讨了其基本性质。
Cartesian double theories: A double-categorical framework for categorical doctrines
本文提出基于双重范畴理论的笛卡尔双重理论框架，统一刻画范畴、幺半范畴等多种范畴结构，并证明其模型构成虚双重范畴或装备，且易于由生成元和关系呈现。
A Tangent Category Alternative to the Faà di Bruno Construction
由Cockett和Seely引入的Faà di Bruno构造，构造了一个共单$\mathsf{Fa{\grave{a}}}$，它的余代数恰好是笛卡尔微分范畴。换句话说，对于笛卡尔左加性范畴$\mathbb{X}$，$\mathsf{Fa{\grave{a}}}(\mathbb{X})$是$\mathbb{X}$上的上自由笛卡尔微分范畴。这些上自由笛卡尔微分范畴的复合是基于Faà di Bruno公式，并且对应于微分形式的复合。然而，这种组合物有些复杂，难以处理。在本文中，我们提供了一个替代的建设cofree笛卡尔微分范畴的启发切范畴。特别地，这里定义的复合是基于这样一个事实，即笛卡尔微分范畴的链式法则可以用正切函子来表示，这简化了高阶链式法则的公式化。
Cartesian closedness of the category of real-valued sets, II
本文证明实值集合范畴 $[0,1]_*\text{-}\mathbf{Set}$ 的笛卡尔闭性等价于 t-范数为最小 t-范数，将分类从连续情形推广至左连续情形。
Cohomology of Small Cartesian Closed Categories
该研究证明了笛卡儿闭合范畴的奎伦上同调与巴乌斯-维尔斯钦格上同调的同构性，并扩展了此前关于小范畴和具有有限积的小范畴的结果。
Cartesian differential categories revisited
我们重新审视笛卡尔微分范畴的定义，表明一个稍微更一般的版本是有用的，原因有很多。作为一个应用，我们证明了这些一般微分范畴是笛卡尔范畴上的余单进范畴，使得每个笛卡尔范畴都有一个相关的余自由微分范畴。当所涉及的范畴具有限制结构时，我们也得到了相应的结果，并证明了这些范畴在分裂限制幂等元下是闭的。
Cartesian Differential Storage Categories
笛卡尔微分范畴被引入来提供可微函数范畴的抽象公理化。基本的例子是这样一个范畴，它的对象是欧几里得空间，而它的箭头是光滑映射。张量微分范畴为微分线性逻辑的范畴模型提供了框架。任何张量微分范畴的coKleisli范畴总是笛卡尔微分范畴。笛卡尔微分范畴，除了作为coKleisli范畴以这种方式产生之外，还以许多不同的和相当独立的方式出现。因此，如何从笛卡尔微分范畴回到张量微分范畴并不明显。本文给出了笛卡尔微分范畴的线性映射形成张量微分范畴的自然条件。这是一个具有一定实际重要性的问题，因为现代微分几何的大部分机械都是基于隐含地允许这种通道的模型，因此该领域的结果和工具往往可以自由地假设进入这种结构。本文的目的是要明确这两类微分范畴之间的联系。作为一个前奏，然而，这是方便的，有一个一般的理论，其中涉及的行为“线性”地图在笛卡尔范畴的结构西利类别。后者的发展是为了提供使用“存储”模态的线性逻辑（片段）的范畴语义。存储的一般理论是上述结果的基础，它在本文的开头部分得到了发展，然后应用于微分范畴的情况。
Fibrations of predicates and bicategories of relations
我们调和了谓词逻辑中正则理论的两种不同的范畴论语义。构造了一个2-类的“正则纤维化”，以及一个2-类的“正则proarrow设备”，并证明了两者是等价的。正则设备是满足某些公理的“笛卡尔设备”，而笛卡尔设备是笛卡尔双范畴的略微推广。这是通过定义一个三范畴Biprof来完成的，该三范畴Biprof的对象是双范畴，其态射是范畴值的原函子，然后将一个设备定义为该三范畴中的伪单子。由此产生的设备的概念相比，现有的几个。最重要的是，这涉及到证明Biprof中的每个伪单子都有一个Kleisli对象。在局部离散基双范畴上，识别出一个严格的2-范畴设备，并将车载设备定义为该2-范畴中的车载对象。因此，Carbohydrate设备本身形成一个2-范畴，这是承认一个2-完全-忠实函子从2-范畴的正规纤维化。在这个函子的图像中的carbohydrate设备的特点是那些满足某些公理，因此，一个2-类的“定期设备”被确定为是等价的定期纤维化。然后，它表明，一个经常纤维承认理解谓词当且仅当其相应的经常设备承认制表态射，并进一步指出，存在的制表态射是等价于存在的Eilenberg-摩尔对象的合作单子。最后，我们根据上述情况，通过triposes和通过assemblies对有效topos的两种不同结构进行了简要的检查。
Cartesian closed and stable subconstructs of [0,1]-Cat
该研究针对单位区间上连续三角模下的实富集范畴，给出其笛卡尔闭稳定子构造的等价刻画，并证明取值于幂等元集的Yoneda完备实富集范畴与Yoneda连续[0,1]-函子构成笛卡尔闭范畴。
A convenient category of locales
本文将最初用于构造T1基空间上紧生成纤维拓扑空间笛卡尔闭范畴的Kan可扩张子范畴框架，推广应用于locale领域，证明紧生成强Hausdorff locale范畴同样是笛卡尔闭的。
A Topologically Enriched Probability Monad on the Cartesian Closed Category of CGWH Spaces
本文在CGWH空间范畴上构造了拓扑富集的里斯概率单子，其扩展了经典拉东与吉里单子，限制到特定子范畴时具强仿射性，保障独立性与确定性的预期交互。
Cartesian closed exact completions in topology
本文利用广义充实范畴，证明了Rosicksberg关于拓扑空间范畴的精确完备的Carnival闭性的证明可以推广到$\mathsf{Set}$上的许多拓扑范畴，如度量空间、逼近空间、超度量空间、概率度量空间和双拓扑空间.为了做到这一点，我们证明了一个充分的准则，指数的$(\mathbb{T},V)$ -范畴，并表明，在适当的条件下，每一个$(\mathbb{T},V)$ -内射范畴是指数在$(\mathbb{T},V)\text{-}\mathsf{Cat}$。
Constructing Coproducts in locally Cartesian closed $\infty$-Categories
本文证明了每一个带有子对象分类器的局部笛卡尔闭$\infty$ -范畴都有严格的始对象和不相交的泛二元余积。
Locally Cartesian Closed Categories
本文解释了如何在局部笛卡尔闭范畴中用基变函子的伴随来解释相关和与相关积。努力解开所有的定义，使新的学习者更透明的概念。
Cartesian closed categories are distributive
范畴论中的一个民间传说的结果是，一个具有有限余积的（弱）笛卡尔闭范畴是分配的。通常，这个小结果的证明是利用指数函子与乘积函子右伴随的事实来进行的。而且，由于函子有一个右伴随保持余极限，结果如下立即。但是，当我们试图明确地构造箭头时，事情变得有点复杂。在极少数情况下，拥有使这种同构成立的确切箭头是非常有用的。这篇笔记的目的是发展显式证明，所有涉及的箭头都以显式的方式构造。
Cartesian Differential Kleisli Categories
本文引入笛卡尔微分单子，通过从基范畴提升微分组合子使单子的Kleisli范畴成为笛卡尔微分范畴，并利用抽象Kleisli范畴给出精确刻画，证明其Eilenberg-Moore范畴为切范畴。
Semi-Cartesian squares and the Snake Lemma
著名的snake引理完全在范畴论中得到了证明，而没有借助“在.“对格罗滕迪克来说，也不是像古列尔梅蒂和扎甘什那样的伪元素。相反，我们定义并使用一致的半卡丁车广场，这是由C。谢瓦利
An Ultrametric for Cartesian Differential Categories for Taylor Series Convergence
本文在任意笛卡尔微分范畴中建立了无需极限或无穷和的泰勒级数形式理论，通过泰勒多项式诱导超度量，证明了泰勒范畴中泰勒级数收敛于原映射，统一了微分学与微分λ-演算的展开。
Finitary Cartesian closed varieties and semigroup actions
本文通过布尔左限制单oid的结构，将有限Cartesian闭品种与半群作用联系起来，揭示了两者之间的等价关系。
The classical homotopy category is cartesian closed
该研究证明所有拓扑空间与映射同伦类构成的经典同伦范畴是笛卡尔闭的，还指出其对应的(∞,1)-范畴局部化后也满足该性质，通过特定拓扑空间建模指数对象并以弱同伦等价验证泛性质。
Algebraic exponentiation and action representability for V-groups
本文研究了V群范畴在产品V-范畴结构下的代数笛卡尔闭性及作用可表示性，揭示了点与富集函子之间的对应关系。
On the local cartesian closure of exact completions
本文给出了一类具有弱有限极限的范畴的精确完备化是（局部）笛卡尔闭的一个充要条件。卡尔博尼和罗索利尼的一篇论文已经用基范畴的一个不同性质来证明了这样一个特征，但我们将证明弱有限极限不足以让他们的证明通过。我们还将指出如何加强假设，使证明有效。很明显，在ex/lex完成的情况下，它们的特征仍然有效，并且与这里提出的特征一致。
Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'
正则逻辑是由$=$、$\top$、$\wedge$和$\exists$生成的一阶逻辑的片段。这种逻辑的一个关键特征是，它是表达二元关系的组合所需的最小片段;另一个特征是，它是正则范畴的内部逻辑。这两个事实之间的联系是，在任何正则范畴中，人们都可以用联合一元跨度来构造二元关系的概念;这导致了所谓的正则范畴的关系的二元范畴。在本文中，我们提供了一个直接的公理化的双范畴的关系，我们称之为关系PO范畴，重新解释早期的工作，卡尔博尼和沃尔特斯沿着这些路线。我们的主要贡献是一个明确的证明，2范畴的正则范畴是等价的关系PO范畴。贯穿全文，我们强调关系po范畴的图形本质。
When is Cat(Q) cartesian closed?
本文研究了哪些量词oids Q 使得Cat(Q)为笛卡儿闭合，并统一了已知结果并提供了新例子。
Cartesian Difference Categories: Extended Report
笛卡尔微分范畴是具有微分组合子的范畴，微分组合子公理化了方向导数。笛卡尔微分范畴的重要模型包括光滑函数的经典微分学和微分范畴的范畴模型。然而，笛卡尔微分范畴不能解释其他有趣的微分概念，如有限差分演算或布尔微分演算。另一方面，变革行动模式已被证明可以抓住这些例子以及更“奇特”的差异化例子。然而，变更行为模型非常通用，并且不具有笛卡尔微分范畴的良好特性。在本文中，我们引入笛卡尔差范畴之间的笛卡尔微分范畴和变化的行动模型的桥梁。我们表明，每一个笛卡尔微分范畴是一个笛卡尔差分范畴，以及如何某些行为良好的变化动作模型是笛卡尔差分范畴。特别是，笛卡尔差分范畴模型光滑函数的微分和有限差分的微积分。此外，每个笛卡尔差范畴都配备有切丛单子，其Kleisli范畴也是笛卡尔差范畴。
A cartesian presentation of weak n-categories
提出了弱（n+k，n）-范畴的概念，称之为（n+k，n）-Theta-空间。（n+k，n）-Theta-空间正是Joyal范畴Theta_n上的单纯集的预层范畴上的某种模型范畴结构的映射对象。这个概念是完备Segal空间（确切地说是（infty，1）-Theta-空间）的推广。我们的主要结果是，上述模型类别是carnival。
Sequential multicategories
我们研究了对称多范畴的么半群闭范畴，特别是它的Carnival结构和序列多范畴（其箭头是给定范畴中的并发箭头的序列）的关系。然后，我们考虑carbohydrate多范畴在一个类似的角度和发展一些特殊的项目，如代数产品。当所涉及的多范畴中的某些范畴是可表示的时，作为这种分析的结果，出现了几个经典的事实。
Cartesian Difference Categories
本文提出笛卡尔差分范畴，作为笛卡尔微分范畴与变化作用模型的桥梁，统一建模光滑函数微分与有限差分，并证明其具有切丛单子结构。
Tangent bundles in differential lambda-categories
微分类范畴是由布恰雷利等人引入的，作为埃尔哈德和雷尼尔的微分类范畴演算的简单类型化版本的模型。微分微分范畴是Blute等人的一个闭微分范畴，其中的微分算子与闭结构相容。我们证明了任何微分范畴都有一个正则强交换单子，它的构造类似于光滑流形范畴中切丛的构造。本文的大部分结果在任意的Carnival微分范畴中仍然有效。我们的重点是微分类范畴的动机是预期的应用程序的理论发展在本说明中的设计和语义的类演算扩展的推进操作。
Exponentiability in categories of relational structures
对于一个关系霍恩理论$\mathbb{T}$，我们提供了有用的充分条件指数的对象和态射的类别$\mathbb{T}\text{-}\mathsf{Mod}$的$\mathbb{T}$模型;众所周知的例子，这样的类别，最近发现的应用程序设计语言语义的研究，包括类别的预序集和（扩展）度量空间。因此，我们得到了有用的充分条件$\mathbb{T}\text{-}\mathsf{Mod}$是carbohydrate封闭的，局部carbohydrate封闭的，甚至是一个quasitopos，特别是，我们提供了两种不同的解释carbohydrate封闭的类别的预序集和偏序集。我们的结果恢复了Niefield和Clementino-Hofmann所证明的某些条件的充分性，这些条件刻画了偏序集范畴和小$V$ -范畴范畴$V\text{-}\mathsf{Cat}$对某些可交换酉量子$V$的指数性.
An interpretation of dependent type theory in a model category of locally cartesian closed categories
局部范畴闭范畴是外延依赖类型理论的自然范畴模型。本文介绍了“类”的lcc范畴的语义：而不是在一个给定的个别lcc范畴的解释，我们表明，所有的lcc范畴的范畴也可以被赋予依赖类型理论的模型的结构。然后可以通过切片恢复单个lcc类别中的原始解释。在最初的解释中，我们面临着连贯性的问题：范畴结构通常只在同构之前被函子保留，而句法替换严格地与所有类型论结构交换。我们的解决方案包括一个合适的介绍高阶范畴的lcc类别作为模型类别。为此，我们构造了一个lcc sketches的模型范畴，从这个模型范畴中，我们通过代数（共）交对象的形式化得到严格lcc范畴的模型范畴，进而得到代数（共）交严格lcc范畴。后者是我们的依赖类型理论模型。
Nbd is not cartesian closed
本文证明了邻域空间范畴不是Cartesian闭的。
How nice are free completions of categories?
每个范畴$\mathcal K$在上极限下都有一个自由完成$\mathcal P \mathcal K$，在余积下都有一个自由完成$Σ\mathcal K$。$\mathcal K$的许多性质转移到$\mathcal P \mathcal K$和$Σ\mathcal K$（例如，完全性或完全封闭性）。我们证明了$\mathcal P\mathcal K$总是一个pretopos，但是，对于$\mathcal K$大的，很少是topos.此外，对于完备范畴$\mathcal K$，只要$\mathcal K$是可加范畴、可闭范畴或扩张范畴的对偶范畴，我们证明了$\mathcal P\mathcal K$是局部可闭范畴.我们还研究了$\mathcal P \mathcal K$是否具有（共同）良好的功效。对于“集合类”范畴，答案是肯定的。但是对于一些类别$\mathcal K$，答案是否定的。
Chu representations of categories related to constructive mathematics
如果C是一个闭对称幺半范畴，则C上的Chu范畴Chu（C，g）及其对象g被Chu定义为从C生成的 *-自治范畴。毕晓普引入了集合的补集范畴，以克服在建设性测度论中使用否定所产生的问题。舒尔曼提到，毕晓普的补子集大致对应于朱构造。在本文中，我们解释了这种对应关系表明，有一个楚表示（一个完整的嵌入）的范畴的补充子集的集合X到楚（集，X x X）。本文给出了Bishop空间范畴在Chu（Set，R）中的Chu表示，它与拓扑空间拓扑空间范畴在Chu（Set，2）中的标准Chu表示是构造性的类似.为了表示谓词范畴（带宾语对（X，A），其中A是X的子集）和补语范畴（带宾语对（X，A），其中A是X的补语子集），我们通过定义范畴C上的Chu范畴和C上的endofunctor来推广Chu构造.最后，我们在一个积范畴和一个反变集值函子上引入了反平行的Grothendieck构造，其中Chu构造是它的一个特例，当C是一个局部小范畴时.
Categories for Me, and You?
关于范畴论的一个非自包含的笔记集，包括局部范畴闭范畴的定义，切片范畴的范畴结构，或Eilenberg-Moore范畴的伪范畴结构。据我所知，有时第一次提供参考和证据。
Cartesian Linearly Distributive Categories: Revisited
本文重新审视笛卡尔线性分配范畴，证明其强结构性质，并研究了正则分配范畴和半加性范畴等关键例子，同时指出某些之前认为是CLDCs的类别实际上并非如此。
A note on the category of c-spaces
本文证明了c-空间范畴及局部有限紧空间范畴均非笛卡尔闭，给出了相关范畴论性质的一个否定结果。
Relevant Categories and Partial Functions
一个相关范畴是一个具有对角自然变换且满足某些相干条件的对称么半群闭范畴。在这个意义上，每一个卡氏闭范畴都是一个相关范畴。“相关”这个名称来自于与相关逻辑的联系。证明了同构于点集范畴的部分函数的集范畴是一个相关范畴，但它不是一个闭范畴。
Univalence in locally cartesian closed infinity-categories
在发展了可表示的局部carriage闭无穷范畴的局部carriage局部化的基本理论之后，我们建立了等价的可表示性，并证明了Voevodsky意义下的单叶族与Lurie意义下的有界局部类的偏序集同构。由此可见，每一个无穷拓扑都有一个由正则基数索引的“泛”单价族的层次结构，而n拓扑也有分类（n-2）-截断映射的单价族。我们发现，单价家庭被保存（和检测）的右伴随，以本地carbohydrate本地化，并利用这展示某些典型的单价家庭在无限拟拓扑（某些无限范畴的“分离的预层”，这里介绍）。我们还展示了一些更奇特的例子，单价家庭，说明一个单价家庭在一个n-topos不需要（n-2）-截断，以及一些单价家庭的Morel-Voevodsky无穷大范畴的motivic空间，一个实例的局部carnival封闭的无穷大范畴，这不是一个n-topos任何$0\leq n\leq\infty$。最后，我们证明了任何可表示的局部Carnival闭无穷范畴都可以用组合类型论模型范畴来建模，反之，组合类型论模型范畴所对应的无穷范畴也是可表示的局部Carnival闭的。在这种对应下，可表示的局部Carnival闭无穷范畴中的单叶族对应于组合类型论模型范畴中的单叶纤维化。
Cartesian factorization systems and pointed cartesian fibrations of $\infty$-categories
本文的目的是证明$\infty$ -范畴的Carnival分解系统的$(\infty,2)$-范畴与$\infty$ -范畴的点Carnival纤维化系统的等价性。这推广了普通范畴的一个类似结果，并揭示了这两个看似遥远的概念之间的相互作用。
A symmetric monoidal Comparison Lemma
本文证明比较引理的对称幺半版本，建立松弛与强对称幺半超层范畴间的等价，并用于获得紧支撑上同调理论结果的松弛对称幺半推广。
Cartesian effect categories are Freyd-categories
大多数情况下，在程序设计语言的范畴语义中，项的替换由组合和有限乘积表示。然而，这并不涉及参数的评估顺序，当有副作用时，这可能会产生重大后果。为了解决这个问题，本文引入了笛卡尔效应范畴，并将其与强单子、自由范畴和Haskell的箭进行了比较。证明了笛卡尔效应范畴是一个自由范畴，其中预么半群结构由一种二元积提供，称为序列积。序列积的泛性质为笛卡尔效应范畴的构造和证明提供了有力的工具。据我们所知，效应范畴和序贯乘积都是新概念。
Cartesian modules over representations of small categories
本文在伪函子$R$上引入了从小范畴到小预加范畴范畴的Carnival模的新概念。当$R$是一个取值于交换环范畴的（严格）函子时，这种情况已经足以涵盖一个概型上模的拟凝聚层的经典构造。另一方面，我们的一般设置允许一个很好的理论逆变添加剂局部平坦函子，提供了一个几何意义的扩展克劳利-Boevey的表示定理。作为应用，我们联系和推广了一些关于概型的纯导出范畴的构造。
$W$-Types in Categories of Coalgebras
本文在余代数范畴中构造了一个Carnival余单子的$W$ -型。本文将$W$型的构造推广到预层型和胶合型。
Algebraic exponentiation for Lie algebras
已知环上的李代数范畴有代数指数。本文的目的是表明，同样的情况下，在一个加性的，余完备的，对称的，封闭的，幺半范畴范畴的内部李代数的范畴。通过这种方式，我们增加了一些新的例子，以简短的列表中已知的局部代数carlobular闭范畴，包括类别的李超代数和微分阶化李代数等。
Double Categories of Relations
一个双范畴的关系本质上是一个具有强的、离散的和函子表的Carnival设备，并且某些局部乘积满足Frobenius定律。一个双关系范畴等价于一个双范畴，它的前矢是某个普通范畴上的关系，该范畴允许一个真的稳定的因子分解系统。这种表征是密切基于最近的表征双类别的跨度由于Aleiferi。整体的发展可以被看作是一个双范畴的版本的概念，一个“表寓言”或“功能完整的双范畴的关系。"
Locally (co)Cartesian fibrations as realisation fibrations and the classifying space of cospans
我们证明了Steimle的"协边范畴的可加性定理"中的条件可以被削弱到只需要\emph{locally}（co）笛卡尔纤维化，使得它适用于更大的一类函子.作为应用，我们计算了有限集余跨距的无穷范畴与其同伦范畴在分类空间上的差别。
The Biequivalence of Locally Cartesian Closed Categories and Martin-Löf Type Theories
Seely的论文“Locally Carnival closed categories and type theory“包含了范畴类型论中一个著名的结果：局部Carnival closed categories等价于Martin-Löf类型论中的Pi-类型、Sigma-类型和外延恒等式。然而，Seely的证明依赖于一个有问题的假设，即类型中的替换可以通过回调来解释。在这里，我们证明了西利定理的一个修正版本：马丁-洛夫类型论的Bénabou-Hofmann解释在局部范畴闭范畴中产生2-范畴的双等价。为了促进技术的发展，我们采用了具有族的范畴来代替句法的马丁-洛夫类型论。作为第二个结果，我们证明了，如果我们删除PI型所产生的类别与家庭是双等价的左正合范畴。
Linearizing Combinators
在2017年，Bauer，Johnson，Osborne，Riehl和Tebbe（BJORT）证明了阿贝尔函子演算提供了笛卡尔微分范畴的一个例子。笛卡尔微分范畴的定义是基于微分组合子，它直接形式化了多变量微积分的全导数。然而，在上述工作中，作者使用的技术从古德威利的函子演算，以建立一个线性化过程中，他们然后得出一个微分组合。这就提出了一个问题，线性化和差分组合器之间的精确关系可能是什么。在本文中，我们引入了线性化组合子的概念，它抽象了阿贝尔函子演算中的线性化。然后，我们用它来提供另一种公理化的笛卡尔微分范畴。每一个笛卡尔微分范畴都配备了一个通过在零处微分得到的标准线性化组合子。相反，当在每个上下文中都有一个部分线性化组合子系统时，可以构造一个微分组合子。因此，虽然线性化组合子确实提供了笛卡尔微分范畴的另一种公理化，但需要部分线性化的明确概念。这与微分组合器的情况相反，在微分组合器中，在全微分的情况下，偏微分是自动的。从全线性化组合子形成部分线性化组合子的系统的能力，虽然通常是不可能的，但当设置是笛卡尔闭合时是可能的。
Internal languages of locally cartesian closed $(\infty,1)$-categories
本文证明局部笛卡尔闭$(\infty,1)$-范畴的内部语言为马丁-洛夫类型论，包含依赖求和、内涵相等类型和依赖积。
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