Closed categories vs. closed multicategories
Oleksandr Manzyuk
证明了Eilenberg和Kelly闭范畴的2-范畴等价于闭多范畴的2-范畴的一个适当的满2-子范畴。
We prove that the 2-category of closed categories of Eilenberg and Kelly is equivalent to a suitable full 2-subcategory of the 2-category of closed multicategories.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Skew monoidal categories and skew multicategories
我们描述了一个完美的对应关系之间的斜幺半范畴范畴和某些广义multicategories，称为斜multicategories，出现在自然界中。
Some remarks on multicategories and additive categories
范畴通过“离散上锥”结构共反射地嵌入到多范畴中，右伴随由么半群结构给出。此外，附加升降机的“carling-level”：preadditive范畴是coreflectively嵌入（作为理论的许多排序模块）carling-multicategories（一般代数理论）。特别是，人们可以在两种考虑钻机上的模块的方式之间建立直接联系，即作为交换幺半群中的加性函子或作为钻机本身生成的理论模型。
Multicategories from Symmetric Monoidal Categories
本文研究对称幺半范畴的底层多范畴，证明其在典范融贯同构下唯一，定义了对应遗忘函子并证明其有弱左伴随，且伴随单子给出严格化构造。
Gray (skew) multicategories: double and Gray-categorical cases
本文统一构造了双重范畴与 Gray-范畴上的 Gray（斜）多重范畴，证明其封闭性与可表示性，并由此得出相应严格函子范畴具有斜幺半或幺半结构。
fc-multicategories
FC-多范畴是一种非常普遍的二维结构，包括双范畴、幺半范畴、双范畴和普通多范畴。我们定义它们，并解释它们如何为两个熟悉的分类概念提供一个自然的环境。第一个是双模构造，传统上在适当的共完全双范畴上进行，但也许更自然地在fc-多范畴上进行。二是丰富：有一种关于范畴在FC-多范畴中富集的理论，它扩展了通常的关于范畴在幺半范畴中富集的理论。最后，我们指出这项工作只是一个更大现象中最简单的案例。
A unified treatment of commuting tensor products of categories, operads, symmetric multicategories and their bimodules
本文统一处理了富集范畴张量积、操作子及对称多范畴的Boardman-Vogt张量积等交换张量积，推广了相关学者的结果，构造了对称多范畴相关双范畴并证明其对称oplax幺半群结构，应用源于幺半群双范畴交换张量积的一般构造。
A finite approach to representable multicategories and related structures
本文针对可表示多重范畴缺乏有限定义的问题，提出短多重范畴这一仅含至多四维多映射的新有限结构，并证明其在经典与斜两种情形下可刻画各类可表示多重范畴。
Quantale-Enriched Multicategories Via Actions
在这篇文章中，一个经典的结果，涉及cocomplete quantale丰富的类别，模块在quantale的动机，我们证明了一个类似的结果quantale丰富的multicategories。
A model category structure on the category of simplicial multicategories
在对称单纯多范畴范畴上建立了Quillen模型范畴结构。这个模型结构扩展了J. Bergner的模型结构。
Representations of multicategories of planar diagrams and tensor categories
我们将讨论多范畴及其线性表示的概念是如何与张量范畴相联系的。当我们把重点放在平面图的代数化上时，它特别意味着平面代数和单生成双范畴之间存在着自然的一一对应。
Generalized Enrichment for Categories and Multicategories
在本文中，我们回答了这样一个问题：“什么样的结构可以丰富的一般多范畴？”“答案是，在某种意义上说是准确的，一种类型的多类别可以在上一级的多类别中丰富。在普通范畴的情况下，这就简化成了令人惊讶的事情：一个范畴可以在一个“fc-多范畴”中得到丰富，这是一种非常普遍的二维结构，包括幺半范畴、普通多范畴、双范畴和双范畴。(It事实证明，FC-多范畴也为双模构造提供了自然的设置。一个扩展的应用程序：宽松的multicategories的Borcherds和Soibelman的丰富方面的解释。
Categories enriched over symmetric closed multicategories
本文构造了从对称闭完备多范畴生成其富集范畴多范畴的机器，并以短空间和集合范畴为例说明其应用。
Generalized enrichment of categories
我们定义了短语“类别丰富的FC-多类别”，并探讨了一些例子。fc-多范畴是一种非常普遍的二维结构，其特例是双范畴、双范畴、幺半范畴和普通多范畴。在fc-多范畴中的富集扩展了在幺半范畴、双范畴和多范畴中的富集理论（或多或少为人所知）。此外，fc-multicategories提供了一个自然的设置双模建设，传统上进行适当的cocomplete bicategories。虽然本文是基本的和自足的，我们也解释了为什么，从一个角度来看，fc-多范畴是自然的结构，丰富的范畴。
Bi-representable bi-multicategories
本文证明了Hermida等价结果的二维版本，分类了更严格版本，并推广了Slattery关于Kleisli双范畴的双多范畴结构，涵盖双可表示性。
Homotopy Equivalent Algebraic Structures in Multicategories and Permutative Categories
我们证明了从多范畴到置换范畴的自由构造是一个范畴丰富的非对称多函子。我们的主要结果表明，诱导函子之间的代数范畴是同伦理论的等价。我们描述了一个应用程序的环类。
Sequential multicategories
我们研究了对称多范畴的么半群闭范畴，特别是它的Carnival结构和序列多范畴（其箭头是给定范畴中的并发箭头的序列）的关系。然后，我们考虑carbohydrate多范畴在一个类似的角度和发展一些特殊的项目，如代数产品。当所涉及的多范畴中的某些范畴是可表示的时，作为这种分析的结果，出现了几个经典的事实。
Weak n-categories: comparing opetopic foundations
我们定义了整齐对称多范畴范畴。对每一个整齐对称多范畴Q构造了一个Carnummonad（E_Q，T_Q），并将这个赋值推广到函子上.我们展示了对称multicategories片建设之间的关系，和“自由操作”单子建设合适的单子。我们用这个给一个明确的描述Baez-Dolan和Leinster opetopes之间的关系。
Generalized multicategories: change-of-base, embedding, and descent
本文在广义多范畴之间构造并研究了一个伴随对，证明了左伴随的完全忠实性与拉回保持性，并将其应用于广义富集多范畴结构的下降理论。
Symmetric weak multicategories
本文提出了一种具有弱对称群作用的弱多类别结构，通过自然同构代替通常等式，扩展了多类别的定义范围。
Multicategories Model All Connective Spectra
从多范畴到置换范畴有一个自由结构，自同态多范畴结构有左伴随。主要结果表明，这些函子诱导同伦理论的等价性。这一结果推广了Mrsason的一个类似结果，即置换范畴模型化了所有的联结谱。
Descent for internal multicategory functors
本文提出两种方法研究广义内部多范畴范畴中的有效下降态射，给出充分条件，分别基于等化子构造和扩展Le Creurer的技术。
Feynman graphs, and nerve theorem for compact symmetric multicategories (extended abstract)
我们描述一类费曼图，并显示它如何涉及到紧凑的对称multicategories（彩色模块操作），就像线性订单涉及到类别和有根树涉及到multicategories。更具体地说，我们得到以下神经定理：紧凑的对称multicategories可以被描述为preheaves的费曼图的范畴受到西格尔条件。本文是第二位作者的QPL 6演讲的总结;对这些材料的更详细的描述将出现在其他地方。
Representable (T, V)-categories
在$(T, V)$ -范畴的框架下，对于对称的monoidal闭范畴$V$和monad（不一定是carnival）$T$，我们给出了一边是序紧T2空间和稳定紧空间，另一边是幺半范畴和可表示的多范畴的一个共同的解释.在这种情况下，我们引入了$(T, V)$ -范畴的对偶概念。
Exponentiable Virtual Double Categories and Representability of Exponentials
本文研究了虚拟双范畴的可指数性，通过细胞分解的存在性给出了等价刻画，并证明了余弦的虚拟双范畴、伪双范畴以及可指数多范畴的可指数性，同时给出了虚拟双范畴的虚拟双函子的复合条件。
LNL polycategories and doctrines of linear logic
本文定义并研究了抽象经典线性逻辑判断结构的 LNL polycategories，并提出 LNL doctrine 概念以统一表示多种现有结构，证明其自由代数可由序列演算呈现且态射能诱导伴随关系。
Categories of operators and actions of group operads
我们提出了一个新的模型与对称性的多范畴与张的组操作。完全忠实嵌入的类别的组操作到交叉区间组的使用，它表明，每一个multicategory产生纤维化，在某种意义上说，在商的总类别的组操作。对称结构可以表示为小范畴范畴内部的范畴上的内部预层结构，换句话说，是一个双重范畴。
Operads for Symmetric Monoidal Categories
本文显式构造了以对称幺半范畴为代数的范畴operad，并将其嵌入四个operad的序列，从而得到四种逐级更严格的对称幺半范畴概念。
Nerves of generalized multicategories
本文研究了广义多范畴的神经构造及其在范畴理论中的应用，展示了T- simplicial对象的性质以及相关范畴的局部有限可现性。
Contravariance through enrichment
在2-范畴上定义了严格对合和弱对偶对合，并证明了一个相干定理，即每一个具有弱对偶对合的双范畴都等价于一个具有严格对偶对合的2-范畴.为此，我们引入了“具有逆变性的2-范畴”，这是一种以“逆变态射”为基本概念的增强的2-范畴，它既可以被看作是广义多范畴，也可以被看作是丰富范畴。这使得对偶对合使用绝对加权共极限的一个普遍的特征，导致相干定理的概念性证明。
Higher operad structure for Fukaya categories
本文提出了一种基于$\mathbf{fc}$-多范畴的统一框架，用于描述Fukaya范畴中各种$A_\infty$-型结构。
Weak n-categories: opetopic and multitopic foundations
我们概括的概念介绍了贝兹和多兰定义opetopes从对称操作类，而不是一组，对象。我们描述的1级广义multicategories类，Hermida，Makkai和电源引入的概念的特殊情况下，并展示了一个完整的嵌入这一类的对称运算类的对象。作为一个类比的贝兹-多兰切片建设，我们展示了一定的multicategory的功能替换作为一个切片建设的多主题设置，并使用它来构建多主题。我们给出了一个明确的描述opetopes和multitopes之间的关系。
Kleisli categories, T-categories and internal categories
本文研究单子的 Kleisli 范畴及其拉回性质，证明笛卡尔单子情形下 Burroni 的 T-范畴等价于 KlT 中的特殊内部范畴，并揭示其对 operads、multicategories 及 n-范畴的意义。
Familial Monads as Higher Category Theories
本文明确描述了预层范畴上族可表示单子代数所定义的高阶范畴结构所需信息，利用范畴多项式理论避免繁琐自然性论证，并给出了分裂opfibration拉回等运算的分类函子描述。
Coherence for Categorified Operadic Theories
给定一个代数理论，它可以描述一个（可能是对称的）操作$P$，我们提出了一个定义的\emph{weakening}（或\emph{categorification}）的理论，其中严格为$P$ -代数的方程只持有到相干同构。推广了幺半范畴和对称幺半范畴的理论以及文献中定义的几个相关概念。利用这个定义，我们推广了所有幺半范畴都与严格幺半范畴等价的结果，并证明了严格化函子具有一个有趣的泛性质，即从严格$P$ -范畴到弱$P$ -范畴的遗忘函子的左伴随.我们进一步表明，得到的分类是独立的，我们选择的介绍$P$，并扩展我们的一些结果，许多排序的理论，使用multicategories。
How strict is strictification?
本文的主题是严格化附加的高级结构，它联系了三维范畴论的两个基本基础：$2$-范畴的$\mathbf{Gray}$-范畴和双范畴的三范畴。我们表明，-远远不需要充分的弱点所提供的定义的tricategory理论-这个附加可以$\textit{strictly}$丰富的对称封闭multicategory的bicategories定义的Verity。此外，我们表明，这个附加的基础上的附加的双范畴丰富的对称multicategories。附录介绍了伪双范畴的对称闭多范畴，Verity的双范畴的对称多范畴完全嵌入其中。
Structures in higher-dimensional category theory
这篇论文写于1998年，主要通过广义操作和多范畴理论来阐明各种高级范畴结构。第一章和第二章讨论了这个理论及其在弱n-范畴定义中的应用，这两章在很大程度上被我的论文（math.CT/0011106）所取代，但第三章和第四章没有在其他地方出现。第三章的主要结果是小灰范畴可以被刻画为2-范畴、同态、强变换和修改的三范畴的子三范畴;在更高的维度上也有一个关于相干性的猜想。第四章定义了opetopes和一个对于每个n的n-粘贴图的范畴，在n=2的情况下，它是树的范畴的定义。
Operads in Higher-Dimensional Category Theory
本文的目的是建立一个广义运算和多范畴理论，并以此为语言给出弱n-范畴的定义。包括一个完整的解释，为什么建议的定义n-范畴是一个合理的，当n=2时会发生什么。广义运算和多范畴在高维代数中也扮演着其他角色，其中一些在这里概述：例如，它们可以用来简化贝兹、多兰和其他人阐述的n-范畴的opetopic方法，并且是讨论范畴结构丰富性的自然语言。
HilbMult: A Banach-Enriched Multicategory for Operator Algebras
本文探索范畴与多重范畴理论和算子理论的协同作用，开发整合两者的综合范畴框架，引入希尔伯特空间的对称幺半群多重范畴，为算子代数提供统一语言并奠定跨领域研究基础。
Coherence for closed categories with biproducts
本文给出了具有双积的对称monoidal闭范畴的一个相干结果。解释了如何使用相同的技术证明具有双积的紧闭范畴和具有匕首双积的匕首紧闭范畴的连贯性。
Compact closed categories and $Γ$-categories (with an appendix by André Joyal)
本文在同伦代数的背景下研究紧闭范畴。通过局部化两个对称幺半范畴（Quillen等价）模型范畴，构造了两个新的模型范畴结构，目的是在局部化模型范畴中建立一个生成元上的自由紧闭范畴，作为一个生成元上的自由对称幺半范畴的一个替代.我们继续表明，在我们的模型类别的canderant对象是紧凑的闭范畴。
Cartesian double theories: A double-categorical framework for categorical doctrines
本文提出基于双重范畴理论的笛卡尔双重理论框架，统一刻画范畴、幺半范畴等多种范畴结构，并证明其模型构成虚双重范畴或装备，且易于由生成元和关系呈现。
The category of categories with pullbacks is cartesian closed
我们证明了具有拉回和拉回保持函子的范畴的范畴是carlington闭的。
Clones, closed categories, and combinatory logic
本文用多元结构阐释简单类型λ演算的语义，引入外延SK-克隆并证明其可靠完备，进而证明不含产品的简单类型λ演算是SK-范畴的内部语言。
A Construction of Colimits in Monoidal Closed Categories
我们证明了一个范畴，这是对称的（放松）monoidal封闭的，（小）完全的，良好的权力，并有一个小的共同生成的家庭，是共同完成的。
Constructing Coproducts in locally Cartesian closed $\infty$-Categories
本文证明了每一个带有子对象分类器的局部笛卡尔闭$\infty$ -范畴都有严格的始对象和不相交的泛二元余积。
Locally Cartesian Closed Categories
本文解释了如何在局部笛卡尔闭范畴中用基变函子的伴随来解释相关和与相关积。努力解开所有的定义，使新的学习者更透明的概念。
Closed categories
我们正在检查以集合的集范畴开始并以范畴的范畴结束的闭范畴。新颖之处在于将伴随函子的概念推广到有向图范畴中的联合函子对。我们已经描述了什么条件下，我们得到一个双射名称映射图运输。图不是范畴的实例，但是我们相信函子联合对的新概念对于范畴的研究也将变得重要。作为未来应用的一个例子，我们介绍了一些张量积的概念。
Cohomology of Small Cartesian Closed Categories
该研究证明了笛卡儿闭合范畴的奎伦上同调与巴乌斯-维尔斯钦格上同调的同构性，并扩展了此前关于小范畴和具有有限积的小范畴的结果。
Semidirect Products of Monoidal Categories
我们引入斜幺半范畴的半直积作为幺半群（或者更熟悉的是群）的半直积的范畴化。我们还讨论了这种结构如何与monoidal，自治和封闭monoidal结构相互作用。最后，我们给出了一些左闭而非右闭的幺半范畴的例子。
Locally subcartesian closed categories
该研究引入局部次笛卡尔闭范畴，发展其基本理论，扩展多项式理论，通过Lawvere quantale和名义集范畴举例说明，为外延依赖仿射类型理论提供了自然的范畴语义。
Closed categories, star-autonomy, and monoidal comonads
本文确定了幺半范畴范畴C中的内homs对于C上的幺半群余单子G提升到Eilenberg-Moore余代数范畴C^G所需的结构。我们应用这一点来提升星自治，以期重铸量子广群的定义。
Skew-closed categories
在科尔内尔·斯拉切尼发现的松散幺半范畴的新例子的激励下，作者觉得是时候发表一份对艾伦伯格-凯利关于封闭范畴的原始论文的修改稿了，这篇论文适合于松散的上下文。新的例子与bialgebroids。与Stephen Lack一起，我们也用这个概念给出了量子范畴和量子广群的另一种定义。Szlachányi称lax概念为{ \em skew monoidal}。本文定义了{ \em斜闭范畴}，证明了在斜闭范畴上扩充的Yoneda引理，并研究了闭余补.
Presheaves on lax double functors; or, Instances of models of double theories
本文引入了松弛双函子的余sheaf概念，定义了双范畴逻辑中双理论模型的实例，并建立了实例与各类范畴、 profunctors 等之间的关系，同时给出了实例与离散反纤维之间的对应关系。
Locally bounded enriched categories
本文定义并研究了局部有界对称monoidal闭范畴上的局部有界丰富范畴的概念，推广了Freyd和Kelly的局部有界普通范畴.除了证明几个一般性的结果，构造局部有界的丰富的范畴和局部有界的封闭范畴的例子，我们证明了局部有界的丰富的范畴承认充分丰富的类似物的许多方便的结果享有局部有界的普通范畴。特别是，我们证明了充分丰富的Freyd和凯利的反射率和局部有界性结果的正交子类别和类别的模型草图和理论。我们还提供了丰富的预层范畴的局部有界丰富范畴的特征结果，我们表明，局部有界丰富范畴承认有用的伴随函子定理和表示定理。我们还定义并研究了$α$ -有界小加权极限在局部$α$ -有界闭范畴中的富集概念，它与Kelly的$α$ -小加权极限在局部$α$ -可表示闭范畴中的富集概念相似，并且证明了$α$ -有界小加权极限理论模型的富集范畴是局部$α$ -有界的.
On strict extensional reflexivity in compact closed categories
本文研究了阿布拉姆斯基，Haghverdi，和斯科特的无类型线性组合代数的范畴设置，并涉及到最近的工作阿布拉姆斯基和Heunen对Frobenius代数在无限设置。这其中的关键是外延自反性（一个对象与它自己的内部hom同构的属性）。$N\cong [N\rightarrow N]$）。我们在紧凑的封闭范畴的扩展自反性，并考虑如何这可能是“严格”给monoidally等价范畴的同构表现出自反性的身份箭头。这导致两个对象的紧凑封闭范畴由一个单位对象和一个非单位的外延自反对象组成。我们从代数的角度研究了这种“严格外延自反”对象的自同态幺半群。它们必然包含一个有趣的幺半群，可以被认为是理查德·汤普森的象群F和半群理论中的双圈幺半群，两者之间的非平凡相互作用来自于弗罗贝纽斯代数恒等式。我们声称这是一个重要的例子（unitless）Frobenius代数的Abramsky和Heunen。然后，我们给出具体的例子，基于代数和范畴论背后的相互作用几何计划。这些都是基于部分注入的跟踪幺半范畴，以及应用Int或GoI构造所产生的紧凑闭范畴中的自反对象。我们给紧凑的封闭范畴，monoidally相当于紧凑的封闭的子范畴的Int（pInj），其中这种自反性是由身份箭头，并显示如何上述代数结构（汤普森的F，双环幺半群，和Frobenius代数）出现在一个基本的方式。
Cartesian closed categories are distributive
范畴论中的一个民间传说的结果是，一个具有有限余积的（弱）笛卡尔闭范畴是分配的。通常，这个小结果的证明是利用指数函子与乘积函子右伴随的事实来进行的。而且，由于函子有一个右伴随保持余极限，结果如下立即。但是，当我们试图明确地构造箭头时，事情变得有点复杂。在极少数情况下，拥有使这种同构成立的确切箭头是非常有用的。这篇笔记的目的是发展显式证明，所有涉及的箭头都以显式的方式构造。
Categories enriched over oplax monoidal categories
本文定义了一个在oplax monoidal范畴$V$上富集的范畴的概念，推广了通常的在幺半范畴上富集的范畴的定义.即使oplax monoidal结构涉及无限多个函子$V^n\to V$，定义在$V$上丰富的范畴只需要低元数映射$(n \leq 3)$，类似于monoidal的情况。在oplax的例子中，富集理论的焦点从$V$ -范畴（由对象和hom-object的集合以及组合和单位映射给出）的概念转移到在$V$上富集的范畴（配备有附加结构的真正范畴）的概念。在$V$上丰富的范畴概念的优点之一是，定义丰富的函子和自然变换变得简单明了。此外，我们表明，由此产生的2-范畴$\mathsf{Cat}_V$可以放在对应（通过理论的分销商）与2-范畴的模块在$V$。我们给出了一个例子，这样一个丰富的范畴的框架内的操作：每一个共同完成的对称幺半范畴$C$是丰富的序列的范畴在$C$赋予一个oplax monoidal结构源于通常的操作合成产品，其monoids仍然是操作。作为2-函子$V\mapsto\mathsf{Cat}_V$研究的一个应用，我们证明了当$V$也被赋予一个相容的松弛monoidal结构时--从而形成一个松弛-oplax duoidal范畴--2-范畴$\mathsf{Cat}_V$继承了一个松弛的2-monoidal结构，从而推广了当富集基是一个辫状幺半范畴时的相应结果.我…
Mackey functors on compact closed categories
作为丰富范畴论的一个应用，我们发展和推广了Mackey函子理论。本文在扩张范畴$\E$上定义了Mackey函子，并研究了$\E$上Mackey函子范畴的性质.我们证明了它是一个幺半范畴范畴，并且它的么半群是Green函子.麦基函子被看作是提供了一种设置，在这种设置中，在群论中出现的仅仅是数值方程可以被给予一个结构基础。我们得到一个明确的描述对象的柯西完成monoidal函子，并应用此审查森田等价的格林函子。
Cartesian closed exact completions in topology
本文利用广义充实范畴，证明了Rosicksberg关于拓扑空间范畴的精确完备的Carnival闭性的证明可以推广到$\mathsf{Set}$上的许多拓扑范畴，如度量空间、逼近空间、超度量空间、概率度量空间和双拓扑空间.为了做到这一点，我们证明了一个充分的准则，指数的$(\mathbb{T},V)$ -范畴，并表明，在适当的条件下，每一个$(\mathbb{T},V)$ -内射范畴是指数在$(\mathbb{T},V)\text{-}\mathsf{Cat}$。
How nice are free completions of categories?
每个范畴$\mathcal K$在上极限下都有一个自由完成$\mathcal P \mathcal K$，在余积下都有一个自由完成$Σ\mathcal K$。$\mathcal K$的许多性质转移到$\mathcal P \mathcal K$和$Σ\mathcal K$（例如，完全性或完全封闭性）。我们证明了$\mathcal P\mathcal K$总是一个pretopos，但是，对于$\mathcal K$大的，很少是topos.此外，对于完备范畴$\mathcal K$，只要$\mathcal K$是可加范畴、可闭范畴或扩张范畴的对偶范畴，我们证明了$\mathcal P\mathcal K$是局部可闭范畴.我们还研究了$\mathcal P \mathcal K$是否具有（共同）良好的功效。对于“集合类”范畴，答案是肯定的。但是对于一些类别$\mathcal K$，答案是否定的。
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