Strictification tensor product of 2-categories
给定2-范畴$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$，令$\textrm{Lax}(\mathcal{C},\mathcal{D})$表示松弛函子、松弛自然变换和修改的2-范畴，$[\mathcal{C},\mathcal{D}]_\mathrm{lnt}$表示它的（严格）2-函子的完全子2-范畴。给出了满足$\textrm{Lax}(\mathcal{C},\textrm{Lax}(\mathcal{D},\mathcal{E})) \cong [\mathcal{C}\boxtimes \mathcal{D},\mathcal{E}]_\mathrm{lnt}$的2-范畴$\mathcal{C}\boxtimes\mathcal{D}$的两个同构构造，从而推广了自由分配律$1\boxtimes 1$的情形.我们还讨论了对偶结构。
2018-10-29 math.CT
String diagrams for Strictification and Coherence
本文提出非严格幺半范畴弦图的生成元与关系表示，证明其正确性，并由此给出Mac Lane严格性定理与相干性定理的新图形证明，支持数字电路与编程语言等应用。
2024-10-28 math.CT
A common misinterpretation of Isbell's obstruction to monoidal strictification
幺半范畴有一个自然的同构$α_{A,B,C}\colon(A\otimes B)\otimes C\to A\times (B\otimes C)$，称为结合子。在对象$(A\otimes B)\otimes C$和$A\otimes(B\otimes C)$相等的情况下，自然会问这个映射是否可以被视为身份。Isbell提出了一个论点，为严格的组成部分的协会的carnival幺半范畴在一个对象$C=C\times C$。这一论点被广泛复制，并且通常被误解为证明联结者的自然性是严格化的真正障碍。我们考虑了这个论点中隐藏的假设，给出了一个不依赖于自然性而是依赖于隐藏假设的新论点，并最终表明自然性本身并不是问题所在--相反，伊斯贝尔论点的关键涉及一个关于积锥的隐藏假设。通过这一分析，我们还解决了，不能有一般的障碍，严格的一个组成部分的结合子，即使在这样一个对象$C$，在一个范畴幺半范畴。
2021-06-07 math.CT
Strictification of etale stacky Lie groups
我们定义stacky李群为2-范畴的可微栈中的群对象。本文证明了每一个连通单连通Stacky李群都等价于一个形式为（H，G）的交叉模，这里H是给定Stacky李群的基本群，G是积分了Stacky李群的李代数的连通单连通李群.我们的结果与Baez和Lauda的严格化结果密切相关。
2010-06-07 math.CT math.DG
Parsummable categories as a strictification of symmetric monoidal categories
证明了Schwede定义的parsummable范畴的同伦理论关于范畴的基本等价于通常的对称幺半范畴的同伦理论.特别是，这产生了一个对称的幺半范畴范畴的模型，这些范畴配备了严格的交换、结合和酉（但只是部分定义的）运算。
2021-05-12 math.AT math.CT
Semi-strictification of $(\infty, n)$-categories
本文证明了$(\infty, n)$-范畴的弱非代数模型与半严格代数模型间的首个等价性，通过非循环余纤维化实现自然的半严格化，并基于正则有向复形给出了满足同伦假设的显式组合构造。
2025-06-30 math.AT math.CO math.CT
Strictifying Operational Coherences and Weak Functor Classifiers in Low Dimensions
本文将三范畴严格化推广到三自然变换、三修改和扰动，区分可严格化的操作相干性与保持弱性的球面输入相干性，并引入广义路径对象以简化三维证明，最终给出预期的半严格化四面伴随的同态三等价。
2023-07-04 math.CT
An Enriched Approach to the Strictification of $(\infty,1)$-Categories
Cornell University（康奈尔大学）
研究如何对$(\infty,1)$-范畴严格化，核心方法是先将其建模为$\infty$-群胚丰富的范畴，经局部和全局严格化得到$(\omega,1)$-范畴，证明了相关函子保守性，还解释了对同调怀特海德定理的推广。
2026-07-14 math.AT math.CT
Weak units, universal cells, and coherence via universality for bicategories
多-双范畴推广平面多范畴的方式与双范畴推广幺半范畴的方式相同。在多双范畴中，存在足够多的满足某些泛性质（可表示性）的2-胞，在单输入单输出2-胞的2-图上诱导出相干代数结构。这个理论的一个特例被Hermida用来证明双范畴的严格化。对于更高维的范畴，完全严格化是不可能的，似乎是由于具有退化边界的2-胞腔的问题;它由C. Simpson认为排除单位的半严格化是可能的。我们研究多bicategories 2细胞退化的边界被禁止，并表明，我们可以通过不同的建设弱单位恢复的bicategory的结构。证明了这些单位的存在性等价于满足低维泛性质的1-胞腔的存在性，并研究了单位的保持性与泛胞腔的关系.然后，我们引入合并双范畴，多双范畴的一个变种，具有更多的组合操作，它承认一个自然的monoidal封闭结构，使访问更高的态射。我们推导出可表示的合并双范畴和相应的双范畴概念的态射，变换和修改之间的等价关系。最后，我们证明了一个半严格化定理的可表示合并双范畴的复合材料和单位的选择。
2019-09-27 math.CT
Bifunctor Theorem and strictification tensor product for double categories with lax double functors
本文为严格双范畴与松弛双函子的范畴引入内部 hom 候选对象，证明双函子定理并构造严格化松弛双拟函子的张量积，同时揭示了其与 Street 单子自然变换规范的联系。
2023-03-30 math.CT
On pushouts of strict symmetric monoidal categories
Oregon State University（俄勒冈州立大学）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文为严格对称幺半范畴的推出给出显式构造，证明辫子强幺半函子强保持中心幂等元，并推论其中心幂等元格与严格化版本同构，服务于计算并发建模。
2026-09-09 math.CT
Coherence for Categorified Operadic Theories
我们早就知道，每个弱monoidal范畴A通过monoidal函子和monoidal自然变换等价于严格的幺半范畴st（A）。推广了弱幺半范畴范畴的定义，给出了强正则（运算）理论P的弱P-范畴的定义，并证明了每个弱P-范畴通过P-函子和P-变换等价于严格P-范畴.这个严格函子，然后被证明有一个有趣的泛性质。
2006-07-18 math.CT
Morita Bicategories of Algebras and Duality Involutions
双范畴上的弱对偶对合的概念最近由Shulman在[arXiv：1606.05058]中引入。我们在有限维k-代数的Morita双范畴$\text{Alg}$的完全可对偶部分上构造了一个弱对偶对合。Kapranov-Voevodsky k-向量空间的2-范畴$\text{KV}$可以具有规范严格对偶对合.证明了发送代数到有限维模范畴的伪函子$\text{Rep}: \text{Alg}^{fd} \to \text{KV}$可以正则地具有对偶伪函子的结构。因此，$\text{Rep}$是一个严格化在舒尔曼的严格化定理的意义上的双范畴与弱对偶对合。最后，我们给出了半单对称有限张量范畴中Morita双代数范畴上对偶对合的一般设置。
2019-02-13 math.CT math.QA
Coherence for Categorified Operadic Theories
给定一个代数理论，它可以描述一个（可能是对称的）操作$P$，我们提出了一个定义的\emph{weakening}（或\emph{categorification}）的理论，其中严格为$P$ -代数的方程只持有到相干同构。推广了幺半范畴和对称幺半范畴的理论以及文献中定义的几个相关概念。利用这个定义，我们推广了所有幺半范畴都与严格幺半范畴等价的结果，并证明了严格化函子具有一个有趣的泛性质，即从严格$P$ -范畴到弱$P$ -范畴的遗忘函子的左伴随.我们进一步表明，得到的分类是独立的，我们选择的介绍$P$，并扩展我们的一些结果，许多排序的理论，使用multicategories。
2010-02-04 math.CT
Multicategories from Symmetric Monoidal Categories
本文研究对称幺半范畴的底层多范畴，证明其在典范融贯同构下唯一，定义了对应遗忘函子并证明其有弱左伴随，且伴随单子给出严格化构造。
2025-08-01 math.CT
May's Conjecture on Bimonoidal Functors and Multiplicative Infinite Loop Space Theory
本文证明了关于双置换范畴间对称双幺半函子严格化的May猜想的较弱形式，并将其应用于May的乘法性无限环空间机器，实现了乘法强对称双幺半函子到严格对称双幺半函子的替换。
2024-05-17 math.AT math.CT math.KT
The DG-category of secondary cohomology operations
Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）；University of Regina（里贾纳大学）
本文研究了具有加法结构的跟踪范畴，并证明其在适当修正下可弱等价于1截断DG-范畴，从而推广了二次上同调操作的严格化理论。
2020-06-12 math.AT math.CT
Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories
通常会遇到对称的幺半范畴$\mathcal{C}$，其中每个对象都配备有代数结构，其方式与$\mathcal{C}$中的幺半群乘积和单位相容。我们正式地定义它，并说$\mathcal{C}$提供代数结构。例如，集合之间的关系范畴$\mathsf{Rel}$具有由笛卡儿积和不交并给出的monoidal结构，并且对于任何一个它都提供卡尔积。我们证明了几个事实的概念供应，例如，协会，unitors，和编织的$\mathcal{C}$自动同态的任何供应，是一致同构的任何强对称monoidal函子，保持供应。我们还证明了对称幺半范畴中的任何结构供给都可以扩展为该结构在其严格化上的供给。
2020-05-05 math.CT
Reedy Model Structures in Families
给定一个家庭的模型范畴$\cal E \to \cal R$在一个Reedy范畴，我们概述了一组条件，导致存在的一个Reedy模型结构的类别的部分${\sf Sect}(\cal R, \cal E)$。我们证明，对于广泛的一类例子，这种模型结构作为一个严格的$(\infty,1)$ -类别的部分，更高的分类家庭相关的$\cal E \to \cal R$。
2019-02-08 math.AG math.AT math.CT
A categorical model structure for generalized algebraic theories
该研究在广义代数理论范畴上构造了Quillen模型结构，比较了两类广义代数理论态射，证明了相关严格化结果，并刻画了模型的可严格化性，揭示了其语义行为。
2026-08-31 math.CT math.LO
Regular patterns, substitudes, Feynman categories and operads
我们证明了Getzler（2009）的正则模式与Day和Street（2003）的代换2-范畴形成2-范畴双等价，Kaufmann和Ward（2013）的Feynman范畴与有色运算2-范畴形成2-范畴双等价（具有可逆2-胞室）.这些双等价诱导了相应代数范畴之间的等价。在确定这些双等价值时有三个主要因素。第一个是严格化定理（利用功率的一般相干结果），它允许减少的情况下，结构映射是身份对象函子和严格monoidal。其次，我们subsidiaries的Getzler和Kaufmann-沃德遗传公理到概念的Guitart精确性，一般条件，确保某些左Kan扩展和一个给定的单子之间的兼容性，在这种情况下，自由对称monoidal类单子。最后，我们建立了一个替代和我们称之为pinned对称幺半范畴之间的biadjunction，从结果遵循的事实，遗传映射正是这个biadjunction的counit。
2018-03-05 math-ph math.AT math.CT
Categories for the practising physicist
在这一章中，我们将以一种有点非传统的方式来考察范畴论中的一些特殊主题。我们的主要重点将是monoidal范畴，主要是对称的，我们提出了一个物理解释。这些与量子基础和量子信息学特别相关。特别注意的范畴，其中有有限维希尔伯特空间作为对象，线性映射作为态射，张量积作为其monoidal结构（FdHilb）。我们还提供了一个详细的讨论范畴的集合作为对象，关系作为态射，和carnival产品作为其monoidal结构（Rel），第三，范畴与流形作为对象和cobordisms之间作为态射（2Cob）。虽然集合、希尔伯特空间和流形不共享任何非平凡的共同结构，但这三个类别实际上在结构上非常相似。共同的特点是图解演算，紧凑的封闭结构和特殊类型的内部commonies发挥了重要作用，在每一个。范畴FdHilb和Rel还允许范畴矩阵演算。这些特征一起引导我们走向拓扑量子场论。我们还讨论了姿态范畴，群表示如何实际上是范畴结构，以及monoidal范畴的严格化和连贯性是什么。为了补充现有的文献，我们省略了一些非常基本的主题。对于这些，我们建议读者参考其他可用的来源。
2009-10-12 math-ph math.CT math.MP
On strict extensional reflexivity in compact closed categories
本文研究了阿布拉姆斯基，Haghverdi，和斯科特的无类型线性组合代数的范畴设置，并涉及到最近的工作阿布拉姆斯基和Heunen对Frobenius代数在无限设置。这其中的关键是外延自反性（一个对象与它自己的内部hom同构的属性）。$N\cong [N\rightarrow N]$）。我们在紧凑的封闭范畴的扩展自反性，并考虑如何这可能是“严格”给monoidally等价范畴的同构表现出自反性的身份箭头。这导致两个对象的紧凑封闭范畴由一个单位对象和一个非单位的外延自反对象组成。我们从代数的角度研究了这种“严格外延自反”对象的自同态幺半群。它们必然包含一个有趣的幺半群，可以被认为是理查德·汤普森的象群F和半群理论中的双圈幺半群，两者之间的非平凡相互作用来自于弗罗贝纽斯代数恒等式。我们声称这是一个重要的例子（unitless）Frobenius代数的Abramsky和Heunen。然后，我们给出具体的例子，基于代数和范畴论背后的相互作用几何计划。这些都是基于部分注入的跟踪幺半范畴，以及应用Int或GoI构造所产生的紧凑闭范畴中的自反对象。我们给紧凑的封闭范畴，monoidally相当于紧凑的封闭的子范畴的Int（pInj），其中这种自反性是由身份箭头，并显示如何上述代数结构（汤普森的F，双环幺半群，和Frobenius代数）出现在一个基本的方式。
2022-02-16 math.CT
Unitary TQFTs, unitary disk-like $n$-categories, and higher Hilbert spaces
本文提出用完备有限酉圆盘状$n$-范畴定义有限$(n+1)$-希尔伯特空间，验证了$n=1,2$情形，并由此分类了低维酉TQFT。
2026-09-18 math-ph math.CT math.MP
Homotopy types of strict 3-groupoids
我们看看严格$n$ -群胚，并表明，如果$\Re$是任何实现函子从严格$n$ -群胚的范畴的空间满足同伦群的兼容性的最小属性的范畴，那么没有严格$n$ -群胚$G$，使$\Re (G)$是$n$ -型的$S^2$（为$n\geq 3$）。最后，我们推测如何解决这个问题，通过引入“snucategory”的概念，严格结合$n$ -范畴只有弱单位。
1998-10-09 math.AT math.CT math.QA
Notes on Multiple Higher Category Theory
这些说明如下的文章\cite{kamel, Cam, cam-cubique}显示如何强大的方法可以\textit{Stretchings}发起的\textit{Globular Geometry}由雅克Penon在\cite{penon}，以削弱\textit{strict higher structures}。在这里，我们适应这种方法，以削弱严格多重$\infty$范畴，严格多重$(\infty,m)$范畴，特别是我们得到的代数模型弱多重$\infty$-广群胚。
2017-02-17 math.CT math.KT
Strict stability of extension types
Chapman University（查普曼大学）
本文通过Voevodsky分裂方法证明扩展类型在Riehl-Shulman同伦类型论中严格稳定，从而为内∞-范畴提供语义基础。
2026-06-06 cs.LO math.CT math.LO
