Finite subgroups of arithmetic lattices in U(2,1)
D. B. McReynolds
本文的主要结果是确定了U（2，1）中算术格的可能有限子群。
The principle result of this article is the determination of the possible finite subgroups of arithmetic lattices in U(2,1).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Thin surface subgroups of non-uniform arithmetic lattices in $\rm{SO}^+(n,1)$
研究显示，n≥4的非紧致算术超几何n流形的基本群包含薄表面子群，同时证明双倍紧致算术超几何n流形的基本群可嵌入到SO^(n+1,1)中作为GFERF子群。
Abelian subgroup structure of square complex groups and arithmetic of quaternions
正方形复形是由正方形粘合在一起形成的2-复形。本文研究与四元数代数有关的非正曲率平方复形的基本群$Γ$。对$Γ$的交换子群结构进行了详细的研究。
The limit set of subgroups of arithmetic groups in $PSL(2,C)^q \times PSL(2,R)^r$
虽然半单李群中的格被研究得很好，但对无限余体积的离散子群却知之甚少。主要的例子是肖特基群。在这里，我们研究一些新的例子。考虑了具有$q+r>1$的$PSL(2,C)^q \times PSL(2,R)^r$中算术群的子群$Γ$及其极限集.我们证明了一个非初等生成的$Γ$的投射极限集只包含一个点当且仅当$Γ$到$PSL(2,C)^q \times PSL(2,R)^r$的单因子的投影是算术Fuchsian群或Kleinian群的子群.进一步研究了$Γ$的整个极限集的拓扑.特别地，我们给出了极限集同胚于圆的一个充要条件。
Commensurated subgroups of arithmetic groups, totally disconnected groups and adelic rigidity
调查和周围的一个30岁的猜想格雷戈里马古利斯和罗伯特齐默对subgroups的S-算术群。
Quotients of trees for arithmetic subgroups of PGL2 over a rational function field
本文计算了PGL 2的算术子群的相应Bruhat-Tits树上的作用关于有理函数域的任意位置的基本区。
Statistically characterized subgroups related to arithmetic-type sequence of integers
本文研究了更广泛的算术型整数序列相关的统计子群，总结了其在算术序列和某些非算术序列中的特殊性质，并展示了该类别的显著不同行为。
An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group
本文的主要目的是应用我们在前一篇论文\cite{13}中发展的算术方法来确定有限阿贝尔群的某些类型的子群的个数。
Arithmeticity of discrete subgroups containing horospherical lattices
设$G$是实秩至少为2的半单实代数李群，$U$是非平凡抛物子群的幂幺根.我们证明了$G$的一个离散Zerkiki稠密子群包含$U$的一个不可约格是$G$的一个算术格。这解决了Margulis的一个猜想，并扩展了Hee Oh以前的工作。
Commensurators of normal subgroups of lattices
本文肯定回答了Greenberg-Shalom关于半单李群离散子群算术性的问题，证明格的正常子群具有稠密共度化子时是算术的，推广了SO(n,1)和SU(n,1)中的已有结果。
Maximal amenable subgroups of arithmetic groups
通过对特征为零的整体域上的代数群的$S$ -极大顺从子群进行分类，得到了相应算术群的极大顺从子群的一个完全分类.此外，我们证明了这些可证明的极大顺从子群是奇异的，因此产生极大顺从von Neumann子代数。
Centrality of the congruence subgroup kernel of higher rank non-uniform arithmetic groups
本文给出了高阶迷向情形下同余子群核的中心性的一个简单证明。
Algorithms for arithmetic groups with the congruence subgroup property
我们开发实用的技术来计算与算术组$H\leq \mathrm{SL}(n,\mathbb{Q})$为$n>2$。我们的方法依赖于在$H$中构造一个主同余子群。解决了$H$的隶属度检验、$H$的次正规结构分析和$H$的轨道稳定问题。有效的计算与子群的$\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z}_m)$是至关重要的这项工作。所有算法都已在GAP中实现。
Counting maximal arithmetic subgroups
本文推广Borel和Prasad的方法，研究了半单李群中有界余体积的极大算术子群个数的增长率.
On automorphisms of arithmetic subgroups of unipotent groups in positive characteristic
设F是局部正特征域，G是F上的Heisenberg群或F上的某个（非交换的）二维幂幺群.如果H是G的一个算术子群，我们给出了H的每一个自同构的显式描述。从这一描述可以得出，H的每一个自同构实质上都扩张为G的一个虚自同构。
Erratum to "On the cuspidal cohomology of $S$-arithmetic subgroups of reductive groups over number fields "
本文纠正了A. Borel，J.- P. Labesse，J. Schwermer，出现在Compositio Mathematica，102（1996），1-40。
Higher finiteness properties of reductive arithmetic groups in positive characteristic: the rank theorem
证明了整体函数域上的非交换迷向绝对几乎单群$G$中的$S$ -算术子群$Γ$的有限长度小于$G$在$S$中的局部秩之和.这决定了迷向约化群中算术子群的有限性，从而证实了这类群的有限性。我们的主要工具是贝尔-哈德约化理论，我们根据欧几里得建筑的度量结构重新构建了该理论。
Characterizing infinite torsion subgroups of the circle through arithmetic-type sequences
本研究在已有算术型序列刻画子群结构研究的基础上，证明算术型序列对应的刻画子群可数等价于其为挠群，且圆周群的任意无限挠子群都可由有界比算术型序列刻画，同时指出Eggleston定理的算术序列二分性无法推广到算术型序列。
Constructing arithmetic subgroups of unipotent groups
设G是定义在Q上的某个GL_m（C）的幂幺代数子群.本文给出了一个求子群G（Z）= G \cap GL_m（Z）的生成元的有限集的算法。这是基于一个新的证明的结果（在更一般的形式，由于博雷尔和哈里什-钱德拉），这样一个有限的生成集存在。
Bounded generation of S-arithmetic subgroups of isotropic orthogonal groups over number fields
设f是数域K上至少5元的非退化二次型，S是K的一个包含所有阿基米德赋值的有限集.证明了若f的Witt指数至少为2或为1且S包含非阿基米德赋值，则f的特殊正交群的S-算术子群有界生成.这些群提供了一系列在迷向但非拟分裂代数群中有界生成的S-算术群的例子。
Non-arithmetic hybrid lattices in $\mathrm{PU}(2,1)$
本文研究了$\mathrm{PU}(2,1)$中某些非算术格的混合子群。我们表明，所有的Mostow的格几乎是混合动力车，而且，我们表明，这些非算术格的混合动力车的两个不可分的算术格$\mathrm{PU}(1,1)$。
Residual finiteness of extensions of arithmetic subgroups of SU(d,1) with cusps
设$Γ$是$SU(d,1)$的带尖点的算术子群，$X_Γ$是相应的局部对称空间。证明了若第一内上同调群$H^1_!(X_Γ,\mathbb{C})$不为零，则在$SU(d,1)$的每个连通覆盖中$Γ$的原像是剩余有限的.我们还给出了这样一个群$Γ$的例子，其中$H^1_!(X_Γ,\mathbb{C})$是非零的。
Weakly commensurable S-arithmetic subgroups in almost simple algebraic groups of types B and C
设G和G'分别是定义在数域K上秩至少为3的B型和C型绝对几乎单代数群。我们确定了当G和G'有相同的同构或同构类的极大K-环面。这就得到了G和G'的两个Zerkiki稠密S-等差子群弱可交换的充要条件。
Finiteness properties of arithmetic groups over function fields
通过比较实半单李群中格的大尺度几何，我们确定了定义在整体函数域上的约化群的算术子群何时为FP_ \infty型.
Statistically characterized subgroups related to some non-arithmetic sequence of integers
本文研究非算术整数序列诱导的统计特征化子群，证明其通常具有基数 $\mathfrak{c}$ 且行为异于经典特征化子群，并解决了一个相关公开问题。
Finiteness properties of soluble arithmetic groups over global function fields
设G是Chevalley群概型，B<=G是博雷尔子群概型，均定义在Z上.设K是整体函数域，S是K上的有限非空集，O_S是相应的S-算术环.则S-算术群B（O_S）是F_{|S|-1}型的，但不是FP_{|S|}型的。此外，我们可以推导出几何不变量B ^m（B（O_S））的上下界上界。如果G的秩为1，则它们是尖锐的。对于较高的秩，估计意味着B（O_S）的具有交换子群的正规子群一般满足强有限性条件。
S-arithmetic groups of SL_2 type
对数域K，若card（S）> 1，则SL_2（K）的任意S-等差子群包含一个由三个元素生成的有限指标子群.
Thin subgroups isomorphic to Gromov--Piatetski-Shapiro lattices
在本文中，我们产生了许多例子的薄子群的特殊线性群是同构的基本群的非算术双曲流形。具体地说，我们证明了由Gromov和Piatetski-Shapiro构造的$\mathrm{SO}(n,1)$中的非算术格可以嵌入到$\mathrm{SL}_{n+1}(\mathbb{R})$中，使得它们的像是薄子群
Finite arithmetic subgroups of GL_n
讨论了Kitaoka的猜想：若$GL_{n}(O_{K})$的有限子群$G$在$Gal(K/\Bbb Q)$作用下不变，则它包含在$GL_{n}(K^{ab})$中.这里$O_{K}$是$\Bbb Q$的有限伽罗瓦扩张$K$中的整数环，而$K^{ab}$是$K$的最大阿贝尔子扩张。我们的主要结果将这个猜想归结为初等交换$p-$群$G$的一个特例。此外，我们构造了一些新的例子，否定地回答了Kitaoka的一个问题。
Non-coherence of arithmetic hyperbolic lattices
在算术双曲三维流形的虚纤维化猜想的假设下，证明了O（n，1），n> 4，且不等于7的所有算术格都是非凝聚的.我们还建立了SU（n，1）中最简单类型的一致算术格（n> 1）和SU（2，1）中具有无限阿贝尔化的一致格的非相干性。
Some applications of arithmetic groups in cryptography
本文将给出线性群中指数畸变子群的各种例子，包括$n \ge 3$的$SL_n(\mathbb{Z}[x])$的子群的一些新例子，并展示它们如何用于构造公钥密码平台。
Quasi-isometric rigidity of higher rank S-arithmetic lattices
证明了半单李群中不含秩1因子的S-算术格是拟等距刚性的。
Quasi-arithmeticity of lattices in PO(n,1)
我们证明了Belolipetsky和Thomson（2011）的PO（n，1）中的非算术格是Vinberg意义下的拟算术格，而著名的Gromov和Piatetski-Shapiro的非算术格不是拟算术格，这些非算术格是作为具有短收缩期的闭双曲流形的基本群得到的.这一点的一个推论是，对于所有的$n\geq 2$，PO（n，1）中存在不可与Gromov-Piatetski-Shapiro格相比拟的非算术格。
Effective virtual and residual properties of some arithmetic hyperbolic 3-manifolds
对于由二次型构造得到的算术双曲3-流形群，我们给出了嵌入固定6维直角反射群的子群的最小指数的一个有效上界，从而稳定了全测地子空间.特别地，对于任何固定的可积类中的流形群，我们证明了这样的子群的指数渐近小于流形的体积的任何分数幂。我们还给出了全测地浸入非紧直角反射轨道的闭双曲流形的测地剩余有限增长的有效界，推广了第三作者在紧情形下的工作.第一个结果给出了第二个适用的例子，并为这些我们给出明确的界限测地线剩余有限性增长。
A hyperbolic lattice in each dimension with Zariski-dense surface subgroups
对于每一个整数$n \geq 3$，我们展示了一个非均匀的算术格在$\mathrm{SO}(n,1)$包含Zagliki-密集的表面子群。
Statistically characterized subgroups related to some non-arithmetic sequence of integers II (a quest for countable subgroups)
本研究针对一类非算术序列，证明统计特征子群与特征子群重合，并识别出使统计特征子群可数无限的序列类，从而否定了相关开放问题中的猜想。
Quasi-isometries of rank one S-arithmetic lattices
通过证明特征为零的非离散局部紧域上半单李群中秩为1的S-算术格的拟等距是到一个算子的上范数上的有限距离，完成了特征为零的非离散局部紧域上半单李群中不可约格的拟等距分类.
Quotients of the Bruhat-Tits tree by arithmetic subgroups of special unitary groups
设$K$是曲线$C$在奇特征或零特征的域$\mathbb{F}$上的函数域。继Serre和Mason在$\mathrm{SL}_2$上的工作之后，我们研究了$\mathrm{SU}(3)$的算术子群在与$K$的适当完备化相关联的相应Bruhat-Tits树上的作用.更确切地说，我们证明了商图“看起来像一个蜘蛛”，在这个意义上说，它是一组尖点射线（“腿”），参数化的一个明确的皮卡德组，连接到一个连通图（“身体”）的工会。我们使用这种描述，以描述这些算术子群的合并产品和研究他们的同源性。在$\mathbb{F}$是一个有限域的情况下，我们使用Bux，Köhl和Witzel的一个结果来证明“体”是一个有限图，这使我们能够得到更精确的应用。
Arithmetic subgroups of Chevalley group schemes over function fields II: Conjugacy classes of maximal unipotent subgroups
本文研究函数域上 $\mathcal{S}$-算术子群的极大幂单子群共轭类，利用 Picard 群与群秩加以参数化，并通过 Bruhat–Tits 建筑扇形稳定子刻画其结构。
Unisingular representations in arithmetic and Lie theory
设G是GL（V）的子群，其中V是特征p >0的有限域上的有限维向量空间.若对所有g \in G，det（g-1）= 0，则称G为GL（V）的不动点子群.受算术和线性群问题的启发，我们对Sp_8（2）的所有不可约不动点子群进行了分类，并给出了辛群Sp_m（2）的不可约不动点子群的新无穷级数，其中m是由李型群的某些表示产生的.
Arithmetic subgroups of Chevalley group schemes over function fields I: quotients of the Bruhat-Tits building by $\{P\}$-arithmetic subgroups
本文研究函数域上 Chevalley 群概形的 A-点算术子群在 Bruhat-Tits 建筑上的作用，证明其轨道空间可描述为闭连通 CW-复形与由 Picard 群和群秩参数化的扇形腔室的粘合，并刻画了可嵌入轨道空间的子扇形面。
Arithmetic graphs and the products of finite groups
$G$的Hawkes图$Γ_H(G)$是指点集与$π(G)$重合的有向图，且只要$q\inπ(G/O_{p',p}(G))$，它就有边$(p, q)$. $G$的Sylow图$Γ_s(G)$是顶点集为$π(G)$的有向图，$(p, q)$是$Γ_s(G)$的边，只要对$G$的某Sylow $p$ -子群$P$有$q \inπ(N_G(P)/PC_G(P))$.群$G$的$N$ -临界图$Γ_{Nc}(G)$是其顶点集与$π(G)$重合的有向图，使得只要$G$包含Schmidt $(p, q)$ -子群，即Schmidt $\{p, q\}$ -子群与正规Sylow $p$ -子群，$(p, q)$就是$Γ_{Nc}(G)$的边.本文研究了完全可置换、相互可置换和$\mathfrak{N}$ -连通子群的积的Hawkes、Sylow和$N$ -临界图。
Isotropic nonarchimedean S-arithmetic groups are not left orderable
设A = Z[c]，其中c是平方有理数的无理数，或设A = Z[1/r]，其中r > 1是无平方自然数。我们证明了SL（2，A）的有限指标子群都不是左可序的。（等价地，这些子群在实直线上没有非平凡的方向保持作用。这意味着，如果G是代数数域F上的迷向F-单代数群，则G的非阿基米德S-算术子群都不是左可序的。我们的证明是基于B.Liehl证明的SL（2，A）的每个元素都是有界数量的初等矩阵的乘积这一事实。
Arithmetic group symmetry and finiteness properties of Torelli groups
我们研究群体的共振品种，特征品种和西格玛不变量有一个自然的算术群对称性，我们探讨各种有限性的子群的影响。计算了Torelli群的共振簇、特征簇和Alexander多项式，证明了当亏格至少为4时，所有包含Johnson核的子群都有有限的第一贝蒂数.我们还证明了，在这个范围内，$I$-进完成的亚历山大不变量是有限维的，和Kahler财产的Torelli群意味着有限代的约翰逊内核。
Relative homology of arithmetic subgroups of $\mathrm{SU}(3)$
本文通过 Euler-Poincaré 特征描述了定义于函数环上的 $\mathrm{SU}(3)$ 算术子群模极大幂零子群共轭类代表系的相对同调群，度量了其同调群与幂零子群同调群余积的差异。
Freeness and $S$-arithmeticity of rational Möbius groups
我们提出了一个新的计算方法来解决一个经典问题：证明$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Q})$的（$2$-生成器，抛物）莫比乌斯子群的非自由性。所使用的主要工具是Zagliki稠密群的算法和用于计算$\mathbb{Z}$的本地化$R= \mathbb{Z}[\frac{1}{b}]$的$\mathrm{SL}(2, R)$的表示的算法。证明了一个Möbius子群$G$在相应的$\mathrm{SL}(2, R)$中具有有限指数，从而证明了它是不自由的.进一步的信息，$G$的结构得到，例如，我们计算的最小子群的有限指数在$\mathrm{SL}(2,R)$包含$G$。
Normalizers of lattices and isometry groups of arithmetic hyperbolic manifolds
该研究证明PSL(2,C)及PO(n,1)中算术格的子格正规化子性质，推导投射有限柔性格的集合特征，还证实有限群均可作为算术双曲流形的等距群，证明依赖格正规化子与子群增长理论。
Integrality and arithmeticity of solvable linear groups
给出了判定可解代数群$G$的可解生成子群是否为算术群的一个实用算法。这包括一个程序来计算一个生成集的算术子群的$G$。我们还提供了一个简单的新算法的完整性测试的可解的有限线性群在有理数域上。该算法已在{ \sc Magma}中实现。
Reidemeister numbers for arithmetic Borel subgroups in type A
研究类型A中算术Borel子群的Reidemeister数，揭示其与线性代数群的行为差异。
Homogeneous number of free generators
我们回答西蒙·托马斯的两个问题。首先，我们证明了对于任意n>2，可以找到SLn（Z）的一个四生成自由子群，它是概率稠密的。更一般地，我们证明了一个允许同余子群性质的算术群Γ，有一个其秩有一个显式界的伪稠密自由子群。其次，我们证明了这样一个算术群Γ的局部自由子群的集合是不可数的。
Globally maximal arithmetic groups
本文首先回顾了单单连通复李群及其李代数的结构，描述了整数上的Chevalley格及其相应的分裂群。这就给出了p-adic李群的一个超特殊极大紧子群，并从这个超特殊子群出发描述了其它极大仿射子群及其李代数.然后，我们考虑的Chevalley格上的Killing形式，并证明它是可分的2倍的对偶Coxeter数。这同样适用于其他极大仿射的李代数。我们计算所得的缩放形式的判别式。最后我们考虑例外群的Jordan子群。我们证明了这些Jordan子群是全局极大的，并确定了它们在p-adic李群中的极大紧扩群。最后一节讨论了典型群的Jordan子群。
On arithmetic properties of solvable Baumslag-Solitar groups
对于$0<α\le 1$，如果存在一个常数$C>0$使得$\mathrm{diam}(X_k)\ge C\cdot|X_k|^α$，则称$d$ -正则图的序列$(X_k)_{k>0}$具有性质$D_α$.研究可解Baumslag-Solitar群$BS(1,m)$（with $m\geq 2$）的算术盒空间的性质$D_α$：这些盒空间是通过将$BS(1,m)$嵌入$GL_2(\mathbb{Z}[1/m])$中的上三角矩阵中并与$GL_2(\mathbb{Z}[1/m])$的同余子群族$M_{N_k}$相交而得到的，其中$N_k$与$m$和$N_k|N_{k+1}$互质.我们证明：- 如果算术盒空间有$D_α$，则$α\le\frac{1}{2}$ ~; -如果水平族$(N_k)_k$支持在多个素数上，则相应的算术盒空间有$D_{1/2}$ ~; -如果水平族$(N_k)_k$支持在具有正解析本原密度的素数族上，则相应的算术盒空间对每个$α>0$不具有$D_α$。证明了若将$BS(1,m)$嵌入可逆上三角矩阵群$T_n(\mathbb{Z}[1/m])$中，则嵌入的每个有限指数子群都包含一个同余子群。这是一个版本的同余子群属性（CSP）。
Arithmetic quotients of the mapping class group
对于有限群$H$的每一个$Q$ -不可约表示$r$，都有一个$Q[H]$的单因子$A$与一个对合$τ$相对应。对于这对$(A,τ)$，我们将由$A^{op}$的自然序上的所有$(2g-2)\times (2g-2)$矩阵组成的算术群$Ω$关联起来，该自然序保留了$A^{2g-2}$上的自然斜埃尔米特半双线性形式。证明了如果$H$是由少于$g$的元素生成的，则$Ω$是映射类群$Mod(Σ_g)$的虚商，即$Ω$的有限指标子群是$\Mod(Σ_g)$的有限指标子群的商.这表明，映射类群具有丰富的算术商族（和“Torelli子群”），其中经典商$Sp(2g, Z)$只是列表中的第一种情况，这种情况对应于平凡群$H$和平凡表示。其他的$H$和$r$对产生了许多新的$Mod(Σ_g)$的算术代数，它们被定义在各种分圆域（的子域）上，并且对于任意大的$m$是$Sp(2m), SO(2m,2m),$和$SU(m,m)$类型。
Finite index subgroups in Chevalley groups are bounded: an addendum to "On bi-invariant word metrics"
证明了S-算术Chevalley群中的有限指数子群是有界的。
The $Σ$-invariants of $S$-arithmetic subgroups of Borel groups
给定经典型Chevalley群$\mathcal{G}$和Borel子群$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{G}$，计算$S$ -算术群$\mathcal{B}(\mathbb{Z}[1/N])$的$Σ$ -不变量，其中$N$是足够大素数的乘积.为此，我们让$\mathcal{B}(\mathbb{Z}[1/N])$作用于由与$\mathcal{G}$相关联的Bruhat-Tits建筑物$X_p$的乘积给出的欧几里得建筑物$X$，其中$p$运行在素数上划分$N$。在证明过程中，我们引入了$\mbox{CAT(0)}$ -空间上凸函数连续的充要条件。我们应用这些条件相关联的每个单形在无穷大$τ\subset \partial_{\infty} X$其所谓的抛物线建筑物$X^τ$，我们从几何的角度来研究。此外，我们引入新的技术组合莫尔斯理论，这使我们能够利用的概念，基本$n$ -连接，而不是实际的$n$ -连接。我们的大多数建筑理论的结果证明在一般框架的球形和欧几里得建筑。例如，我们证明了在一个球形建筑$Δ$中的每个腔室对面的复合体包含一个公寓，只要$Δ$足够厚，并且$\mbox{Aut}(Δ)$在$Δ$上传递作用于腔室。
Arithmetic progressions in finite groups
本文描述了元素阶或真（交换）子群阶构成比率等差数列$r\geq 2$的有限群的结构。这扩展了在以前的论文\cite{1,8,4}中研究的$r=1$的情况。
Automorphisms of Partially Commutative Groups I: Linear Subgroups
本文的目的是构造和描述部分交换群的自同构群的某些算术子群。更准确地说，给定任意有限图$Γ$，我们构造算术子群$St(L(G))$，表示为$GL(n,Z)$的子群，其中$n$是图$Γ$的顶点数。在本文的最后一节中，我们给出了自同构群$St^{conj}(L(G))$作为共轭自同构群$Conj(G)$和$St(L(G))$的半直积的分解的描述。这个结果与论文arXiv：0710.2573v1的定理1.4密切相关。
Thin right-angled Coxeter groups in some uniform arithmetic lattices
使用一个未发表的参数由于Agol的变体，我们表明，不可约的直角Coxeter组的${n \geq 3}$顶点嵌入作为一个薄子群的均匀算术格在一个不定正交群$\mathrm{O}(p, q)$的一些$p, q \geq 1$满足$p+q=n$。
Generators for Arithmetic Groups
证明了高阶半单李群中的非余紧不可约格都含有一个有限指标子群，它有三个生成元。
Asymptotic behaviour of analytic torsion and cohomological torsion for $\mathbb{Q}$-rank $1$ arithmetic groups
本文扩展了先前工作中关于 SL(n) 同余子群的解析 torsion 的精细渐进行为，应用于获得 SL(2, O_F) 同余子群和 SO(n,1) 同余子群的上同调 torsion 增长的新渐进行为和界。
Arithmetic Monodromy in Sp(2n)
在Singh-Venkataramana的基础上，Bajpai-Dona-Singh-Singh给出了Sp（2n，Z）的离散Zerkiki-稠密子群是格的一个判别准则.我们调整了这一标准，使其可以用于以前被排除在外的一些情况。我们适用于适应的方法，以子群的Sp（6，Z）和Sp（4，Z）出现的单值群的超几何微分方程。特别是，我们证明了40个最大幂幺Sp（6）超几何群中有一半以上是算术群，回答了Katz的一个否定问题。
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