Mean Values of Zeta-Functions via Representation Theory
Yoichi Motohashi
本文的目的是通过李群的表示论的观点，特别是依赖于Kirillov模型，揭示两个基本zeta函数在它们的四次幂矩中共享的结构。它可能会促使人们思考超越的可能性。
The aim of the present article is to reveal a structure shared by two basic zeta-functions in their fourth power moments through the view point of representation theory of Lie groups, relying specifically upon the Kirillov model. It might induce one to ponder over the possibility to go beyond.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Maslanka's representation for the Riemann zeta-function
本文给出了K. K.发现的黎曼ζ函数的类超几何表示的严格证明。玛斯兰卡
On the mean values of the Barnes multiple zeta function
研究Barnes多重ζ函数均值的渐进行为，通过分析其与黎曼ζ函数的关系，揭示其渐近特性。
Integral representations of q-analogues of the Hurwitz zeta function
建立了Hurwitz zeta函数的q-模拟的两种整表示。每一个整表示使我们能够获得一个解析延拓也包括一个完整的描述极点和特殊的价值观在非正整数的q-模拟的赫维茨zeta函数，并研究经典的限制这个q-模拟。这里所展开的所有讨论与[4]中的先前工作完全不同。
A discrete mean value of the derivative of the Riemann zeta function
在这篇文章中，我们计算离散平均值的衍生物的黎曼ζ函数。该平均值对于关于$ζ'(ρ)$的大小的几个应用将是重要的，其中$ζ(s)$是黎曼ζ函数并且$ρ$是黎曼ζ函数的非平凡零点。
New identities for the family of Zeta function by using distributional representations
本研究借鉴Chaudhry和Qadir用于伽马函数的分布表示方法，将其应用于黎曼Zeta函数及其函数族，得到了新的恒等式，还顺带推导出涉及Dirichlet eta与Lambda函数的新恒等式，拓展了该方法的适用范围。
Series representation of a cotangent sum related to the Estermann zeta function
本文对Estermann zeta函数的余切和c 0（q/p）在q = 1时的特殊情形进行了研究，得到了其级数展开式的显式表达式，改进了文献[11]中的恒等式（2：1）定理（2：1）.
Novel integral representations of the Riemann zeta-function and Dirichlet eta-function, close expressions for Laurent series expansions of powers of trigonometric functions and digamma function, and summation rules
基于三角函数和双伽玛函数的幂，建立了黎曼ζ函数和Dirichlet eta函数的新的整表示，并利用这些表示求出了三角函数和双Γ函数的相同幂的洛朗级数展开式的封闭形式.这样得到的级数可以用来为黎曼zeta和相关函数和数的某些值找到许多求和规则，例如伯努利数和欧拉数。
Mean values of the Barnes double zeta-function
在黎曼ζ函数$ ζ(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} $的阶估计研究中，Lindelöf假设的求解是一个重要的课题。作为关系式之一，研究了均值的渐近性态。在此基础上，还研究了双zeta函数的均值理论，并对Euler-Zagier型双zeta函数和Mordell-Tornheim型双zeta函数的均值进行了研究.本文证明了Barnes双ζ-函数$ ζ_2 (s, α; v, w ) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty (α+vm+wn)^{-s} $关于$ \mathrm{Im}(s) $为$ \mathrm{Im}(s) \rightarrow + \infty $的均方值的渐近公式.
Mean Values of the Logarithmic Derivative of the zeta Function and the GUE Hypothesis
GUE假设涉及到黎曼ζ函数零点的分布，它被用来计算一些涉及zeta函数对数导数的积分。GUE假说与其他假说之间存在一定的联系。
A New Representation of the Riemann Zeta Function
本文提出 Riemann Zeta 函数的新表示，通过两个结构化二重和的极限差导出含最大值函数的新恒等式，连接经典分析与现代求和技术。
Discrete mean square of the Riemann zeta-function over imaginary parts of its zeros
假设黎曼假设。在临界带的右侧，我们得到了黎曼ζ函数在其零点的虚部上的离散均方的渐近公式。
A mean-square value of the Riemann zeta function over an arithmetic progression
得到了等差数列$\frac{1}{2} + in$上黎曼ζ函数二阶离散矩的一个渐近公式。它表明第一主项等于连续均值的第一主项。
On certain mean values of the double zeta-function
本文讨论了欧拉双zeta函数的三种均值。为了得到结果，我们介绍了三个近似公式，这个函数。
Mean value theorems for the Apostol-Vu double zeta-function and its application
该研究推导得出Apostol-Vu型及Mordell-Tornheim型双重ζ函数的均方值，为相关数论研究提供了中值定理层面的结果支撑。
Mean value theorems for the double zeta-function
我们证明了欧拉双ζ函数$ζ_2(s_0,s)$关于$\Im s$的均方值的渐近公式。这些公式使我们能够提出林德尔假设的双重类似物。
Mean values and upper bounds for the Hurwitz and Barnes multiple zeta functions
本文研究Hurwitz型和Barnes型多重ζ函数的均值平方值，通过线性组合经典Hurwitzζ函数的方法，建立参数σ的渐进行为和上界，揭示Barnes型参数向量的算术结构对均值平方值的影响。
Fast converging series for zeta numbers in terms of polynomial representations of Bernoulli numbers
在这项工作中，我们引入了一个新的多项式表示的伯努利数的多项式和允许一方面更详细地了解他们的数学结构，另一方面提供了一个计算$B_{2n}$作为一个功能的B $_{2n-2}$。此外，我们表明，直接计算的黎曼ζ函数和他们的衍生物在k $\in \mathbb Z$是可能的，在这些多项式表示。作为一个显式例子，我们的多项式Bernoulli数表示被应用于快速近似计算$ζ$（3），$ζ$（5）和$ζ$（7）。
Integral representations of the Riemann zeta function of odd argument
本研究借助Mikolas的双伽马函数表达式，推导出任意正整数p对应的奇数宗量黎曼ζ函数ζ(2p+1)的积分表示，给出了前几个宗量值的算例，部分结果与已有方法推导的结论一致。
The absolute Euler product representation of the absolute zeta function for a torsion free Noetherian $\mathbb{F}_1$-scheme
定义满足一定条件的$\mathbb{Z}$上有限型格式$X$的绝对zeta函数为$X\otimes\mathbb{F}_p$的同余zeta函数的极限$p\to 1$.在2016年，在计算了几个特定方案的绝对zeta函数后，黑川提出$\mathbb{Z}$上有限型一般方案的绝对zeta函数应该具有无穷乘积结构，他称之为绝对欧拉积。本文利用Connes和Consani定义的无挠的Noether $\mathbb{F}_1$ -格式，给出了他的建议的一个证明.此外，我们表明，每个因子的绝对欧拉积是来自计数函数的$\mathbb{F}_1$ -计划。
Strategies To Evaluate The Riemann Zeta Function
本文继续对黎曼ζ函数的收敛表示进行了一系列的研究。推广了涉及Riemann zeta函数的一些恒等式，并给出了关于zeta函数的新的级数和积分。结果源于试图通过经典手段在复平面上扩展zeta函数。这对于在复平面的给定区域中快速收敛的表示，或者为了使误差界可用的目的，特别感兴趣。
Analytic Continuation for Multiple Zeta Values using Symbolic Representations
我们引入了负指数下$r$ -重调和和的符号表示。这种表示使我们能够恢复和扩展Duchamp等人最近的一些结果，例如这些和的递归关系和生成函数。这种方法也适用于研究家庭的扩展伯努利多项式，这出现在计算谐波和负指数。它还允许我们重新解释Raabe解析延拓的多重zeta函数作为一个常数项扩展的Faulhaber公式，并作为一个自然的重整化过程的Faulhaber公式的结果。
Analytic properties of representation zeta functions of groups of type $\mathsf{A_2}$
本文研究了诸如 $\textrm{SL}_3(\mathbb{Z})$ 等 $\mathsf{A}_2$ 型算术群的表示 zeta 函数的解析性质，发现了更多极点并确定了亚纯延拓的自然边界，同时分析了数域和函数域两种情况。
A New Series Representation Involving Root Of Unity For The Values Of Riemann Zeta Function At Integer Arguments
本文给出了黎曼ζ函数在整数变元上值的一种新的级数表示，即：$ ζ(m)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{m(-1)^{n-1}Γ(1-ω_{m}n)...Γ(1-ω_{m}^{m-1}n)}{n!n^m}$，其中$n$是大于$1$的整数，$ω$是$m$的单位根.这个级数收敛得相当快。它是通过某种无穷部分分式分解技术得到的。利用这一技巧，我们还建立了其它与Γ函数有关的实用公式。
Rapidly convergent series representations of symmetric Tornheim double zeta functions
在本文中，我们显示快速（或全球）收敛级数表示的Tornheim双zeta函数$T(s,t,u)$和（desingularized）对称Tornheim双zeta函数。作为推论，我们给出了关于$T(s,s,s)$在非正整数处的值和$T(s,s,s)$的极点位置的已知结果的一个新的证明。进一步证明了函数$T(s,s,s)$不能用$\sum_{k=1}^j c_k \prod_{r=1}^q ζ^{d_{kr}} (a_{kr} s + b_{kr})$形式的多项式表示，其中$a_{kr}, b_{kr}, c_k \in {\mathbb{C}}$和$d_{kr} \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ .
Yet another representation for the sum of reciprocals of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function
标题中的和的正性是X提出的黎曼假设有效性的著名判据中的第一个条件。J. Li.在本文中，这个值被表示为一个具有正和项的无穷和。
The Average Number of Goldbach Representations and Zero-Free Regions of the Riemann Zeta-Function
本文证明了Goldbach表示平均数的Fujii公式的无条件形式，揭示了公式误差与Riemann zeta-函数无零点区域之间的相互决定关系，并通过素数定理余项将误差与无零点区域联系起来。
On analytic properties of the standard zeta function attached to a vector valued modular form
证明了亏格为2的向量值Siegel Eisenstein级数$E_{l,0}^2$在群环$\mathbb{C}[(L'/L)^2]$上的一个Garrett-Böcherer分解，该级数用$\text{Sp}_2(\mathbb{Z})$的Weil表示变换.我们表明，标准zeta函数相关联的向量值的共同特征形$f$的Weil表示可以亚纯继续到整个$s$ -平面，它满足一个函数方程。证明是基于这个zeta函数在$f$和$E_{l,0}^2$方面的整表示。
A new integral representation for the Riemann Zeta function
导出了黎曼ζ函数的一种新的整表示。该表示法覆盖了复平面的重要区域，其中函数的辐角的实部位于0和1之间。利用这种表示，我们得到了黎曼ζ函数的新的函数恒等式.
A discrete mean-value theorem for the higher derivatives of the Riemann zeta function
通过给出黎曼zeta函数非平凡零点上导数和的完全渐近展开，证明了其n阶导数的均值在n为奇数时为正、偶数时为负。
Mean-square values of the Riemann zeta function on arithmetic progressions
本文研究了黎曼zeta函数在等差数列上的二阶离散矩，推导出其渐近公式，揭示了离散矩与连续矩的关系，并指出当a为正整数时主项相等。
On the Hurwitz Zeta Function
我们给新的积分和系列表示的赫维茨zeta函数。我们还提供了一个封闭形式的系数的Laurent展开的Hurwitz-zeta函数的任何点在复平面。
Infinitely many odd zeta values are irrational. By elementary means
在这个小笔记中，我们提供了一个基本的证明，证明了无穷多个奇zeta值是无理数。这个著名的定理第一次被Rivoal和Ball-Rivoal证明。原来的证明使用高度非初等的方法，如鞍点法和Nesterenko的线性独立准则。最近，Zudilin用初等方法重新证明了他的一个重要结果的一个稍弱的形式，即奇zeta值$ζ(5),ζ(7),ζ(9)$和$ζ(11)$中至少有一个是无理数。他的新的主要成分是某些“扭曲的一半”的超几何级数。推广这一'更高的曲折'使我们能够给一个纯粹的初等证明的结果Rivoal和球-Rivoal。
The Error in a Smooth Weighted Prime Number Formula and Zero-free Regions for the Riemann Zeta Function
本文研究光滑加权素数定理的误差界，利用Pintz方法探讨其对黎曼Zeta函数无零点区域的影响，并推广至光滑加权平均k-Goldbach表示的应用。
On the mean value of a kind of Zeta functions
设$d_{α, β}(n)=\sum\limits_{\substack{n=kl αl<k\leqβl}}1$是将n分解为两个几乎相等的整数的方法的数目。对于有理数$0<α<β$，我们考虑$\Re s>1.$的Zeta函数$ζ_{α,β}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{d_{α, β}(n)}{n^{s}}$，它是$\Re s>1/3.$的解析延拓，我们得到了$ζ_{α,β}(s)$在带状$1/2<\Re s<1$中的均方渐近公式.作为应用，改进了关于本原勾股三角形分布的一个结果。
Full asymptotics and log-periodicity for coefficients in representations of the Riemann zeta function
本文给出在复平面上几何级数快速收敛到Riemann zeta函数的级数，通过满足线性递推的序列表达，并得到索引整数逆幂的全阶渐近展开。
Multiple Zeta Values and Ideles
本文给出了多重zeta值的两种代数表示--有限代数上的迭代积分表示和代数群上的迭代积分表示。每一个表示都导致一个洗牌关系。这样，我们就统一地恢复了多重zeta值的两类洗牌关系，即通过有限个idele上的迭代积分和通过idele类群上的迭代积分。
The mean square of the product of the Riemann zeta-function and a Dirichlet polynomial in the critical strip
本文改进了Matsumoto和Ishikawa的工作，通过获得Atkinson型误差项显式公式，给出了临界带内黎曼zeta函数与Dirichlet多项式乘积均方值的渐近公式，与广义Dirichlet除数问题紧密相关。
On mean values of some zeta-functions in the critical strip
对于固定整数$k\ge 3$和固定$1/2 < σ> 1$，我们考虑$$ \int_1^T |ζ(σ+ it)|^{2k}dt = \sum_{n=1}^\infty d_k^2(n)n^{-2σ}T + R(k,σ;T), $$，其中$R(k,σ;T) = o(T) (T\to\infty)$是上述渐近公式中的误差项。然后给出了$σ$在一定范围内的$R(k,σ;T)$的最清晰边界。对于全纯尖点形式的ζ函数和Rankin-Selberg级数，我们也得到了新的均值结果.
Zeta2(s1,s2),Zeta3(s1,s2,s3):Integral Expressions and Approximates
对于二元重zeta函数zeta 2（s1，s2），我们得到了它的整表示（涉及Hurwitz zeta函数的乘积）在区间[1，无穷大）上，关于Hurwitz zeta函数的第二变量，并且还获得了它作为s1和s2的函数的一个很好的近似，其中s1>=1且s2> 1。s2相差一个偶数，当s2很大时是好的。我们同样处理zeta 3（s1，s2，s3）。
The Riemann zeta in terms of the dilogarithm
给出了半平面$\Re s>0$中经典Riemann $ζ$ -函数在单位圆上的一个梅林变换的表示，该梅林变换涉及双对数函数的实部（与克劳森$Gl_2$ -函数相关）.我们还推导出相应的表示涉及的衍生物的$Gl_2$ -功能。还导出了一个广义对称化的Müntz型公式。对于一个特殊的检验函数的选择，它连接到我们的整表示的$ζ$ -功能，还提供了一个具体的梅林变换的计算。还导出了涉及zeta函数和Γ函数级数的某些公式。
Power mean of the Hurwitz zeta function
本文给出了大区间上Hurwitzzeta函数的幂均值的渐近公式。
Finite-part integral representation of the Riemann zeta function at odd positive integers and consequent representations
的值的黎曼ζ函数在奇数正整数，$ζ(2n+1)$，示出承认的表示成比例的有限部分的发散积分$\int_0^{\infty} t^{-2n-1} \operatorname{csch}t\,\mathrm{d}t$。然后从有限部分的整表示推导出$ζ(2n+1)$的积分表示。同样导出了$ζ(2n+1)$与$ζ'(2n+1)$之间的某些关系，由此得到了$ζ'(2n+1)$的整表示.
Mean values of the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function near the critical line
假设黎曼假设和zeta零点之间的小间隙的假设，我们证明了一个猜想贝利，Bettin，Blower，Conrey，Prokhorov，Rubinstein和Snaith，其中指出，对于任何正整数$K$和实数$a>0$，\begin{align*} \lim_{a \to 0^+}\lim_{T \to \infty} \frac{(2a)^{2K-1}}{T (\log T)^{2K}} \int_{T}^{2T} \left|\frac{ζ'}ζ\left(\frac{1}{2}+\frac{a}{\log T}+it\right)\right|^{2K} dt = \binom{2K-2}{K-1}. \end{align*}当$K=1$，这基本上是一个结果Goldston，Gonek和蒙哥马利。
Hypergeometric Zeta Functions
本文研究一类新的特殊函数，称为超几何zeta函数。从经典黎曼ζ函数的整表示导出，超几何zeta函数表现出许多类似于它们的经典对应物的性质，包括与伯努利数的密切联系。这些新的性质进行了详细的处理，并用于证明一个功能的二阶超几何zeta函数满足不等式。
The Selberg Trace Formula and Selberg Zeta-Function for Cofinite Kleinian Groups with Finite Dimensional Unitary Representations: Stony Brook University PhD Thesis
对于余有限的Kleinian群，利用有限维的酉表示，我们导出了Selberg迹公式.作为一个应用，我们定义了相应的Selberg zeta函数，并计算其除数，从而推广的结果Elstrodt，Grunewald和Mennicke非平凡的酉表示。我们表明，尖点椭圆元素的存在有时会增加Zeta函数的分歧点。事实上，如果D是爱森斯坦整数环，则PSL（2，D）的Selberg zeta函数包含分歧点。
A Variant of the Fractional Gamma-regularized Zeta Kernel
本文引入分数伽马正则化泽塔核的变体，研究其解析性质与收敛性，证明其作为黎曼泽塔函数的形变，并在特定极限下插值到交替泽塔函数，同时提供狄利克雷级数表示。
The Selberg trace formula and Selberg zeta-function for cofinite Kleinian groups with finite-dimensional unitary representations
对于余有限的Kleinian群，利用有限维的酉表示，我们导出了Selberg迹公式.作为一个应用，我们定义了相应的Selberg zeta函数，并计算其除数，从而推广的结果Elstrodt，Grunewald和Mennicke非平凡的酉表示。我们表明，尖点椭圆元素的存在有时会增加Zeta函数的分歧点。事实上，如果D是Eisenstein整数环，则PSL（2，D）的Selbergzeta函数包含分歧点，并且是亚纯函数的六次根.
Zeta morphisms for rank two universal deformations
在这篇文章中，我们构造了满足一些温和假设的奇数绝对不可约模p伽罗瓦表示的泛变形的zeta态射，并证明了我们的zeta态射内插了与Hecke特征尖点新形式相关的伽罗瓦表示的Kato zeta态射. Kato的广义岩泽主猜想预言了这种态射的存在。基于Kato的原始构造，我们利用GL_{2/Q}的p-adic（局部和全局）Langlands对应理论中的许多深入结果构造了我们的zeta态射。作为我们的zeta态射和最近的文章{KLP 19}的应用，我们证明了一个定理，该定理大致说明：在某些mu=0的假设下，不含p-adic L-函数的关于f的Iwasawa主猜想成立，如果这个猜想对一个g成立，g是f的同余。
Generalisations of the Landau--Gonek Theorem and applications to mean values of zeta
本文推广了Landau-Gonek定理，研究了zeta函数零点处的和，并通过近似函数方程计算离散矩，进而证明了Shanks猜想。
Representation growth and representation zeta functions of groups
我们给出了一个简短的介绍的主题的代表性增长和代表性zeta函数的群体，省略所有的证明。我们的重点是结果是相关的研究算术群在半单代数群，如特殊线性群的次数n的整数环。在最后两节中，我们陈述了最近与N。阿夫尼湖Onn和C.卷。
A note on the mean square of the Riemann zeta-function
本文针对黎曼ζ函数均方值的已知结果，提出了一种新的证明方法。
New series representations for zeta numbers using polylogarithmic identities in combination with a polynomial description of Bernoulli numbers
本文在奇数zeta值的Clausen表示的基础上，提出了一种新的$ζ(3)$的级数表示.虽然，相对较快的收敛级数的基础上的克劳森表示存在$ζ(3)$，他们的收敛行为是非常缓慢的相比，BBP型公式，因此，他们不用于显式数值计算。其原因在于，相应的克劳森函数只能对少数有理自变量进行解析计算，其中$x=\frac{1}{6}$是最小的一个。使用多对数恒等式与偶伯努利数的多项式描述相结合，克劳森型表示的收敛行为已被改善到一个水平，使我们能够最终挑战所有可用于$ζ(3)$的BBP型公式。我们提出了一个明确的数值比较最好的BBP公式和我们的形式主义。此外，我们证明了一个明确的计算使用的前四项，在我们的系列表示，$ζ(3)$结果的准确性$2*10^{-26}$，其中我们的计算保证每个近似水平的解析表达式$ζ(3)$。
A heuristic for discrete mean values of the derivative of the Riemann zeta function
本文介绍了 Shanks 关于黎曼 zeta 函数导数均值猜想的推广历史，并提出一个简单的启发式方法，用于确定其高阶导数在非平凡零点上平均值渐近公式的主项及符号。
Higher moments of distribution of zeta zeros
本文给出了长狄利克雷多项式均值估计的一种方法。作为一个应用，我们使用我们的方法来研究黎曼ζ函数的对数导数的性质。
A note on the fourth power moment of the Riemann zeta-function
给出了黎曼ζ函数在临界线上的平均四次幂的渐近展开式中各项的显式表达式。
Integral Representations of Three Novel Multiple Zeta Functions for Barnes Type: A Probabilistic Approach
本文通过超几何概率分布研究三种新型Barnes型多重ζ函数的积分表示，发现其中两个函数可解析延拓为整个复平面上的整函数，拓展了传统Barnes多重ζ函数的应用范围。
Rational approximations to the zeta function II
本文介绍作者最近发现的zeta函数的有理逼近的连分数表示。人们很容易想到，这些连分数可以用一个加强版的沃皮茨基论证来分析，以便为近似值产生无零区域。
Isotypic Decomposition of the Cohomology and Factorization of the Zeta Functions of Dwork Hypersurfaces
本文的目的是说明，在Dwork超曲面的例子，如何研究的表示的有限群的自同构的超曲面在其etale上同调允许因子其zeta函数。
Identities for the multiple zeta (star) values
本文利用对数函数的积分计算和级数的迭代整表示的方法，证明了任意深度的多重zeta值和多重zeta星值的一些新的恒等式。应用这些公式，我们可以证明，其指数为序列$(\bar 1,\{1\}_m,\bar 1)$和$(2,\{1\}_m,\bar 1)$的多重zeta星值可以用zeta值、多项式和$\ln2$多项式表示。最后，我们还评估了几个限制和公式涉及多个zeta值。
Some sums over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function
我们证明了一些恒等式，其中涉及到黎曼ζ函数的非平凡零点。由此我们得到了与Cramér的工作有关的一些收敛的渐近展开，以及一些数论函数关于非平凡零点的新表示.
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