Divisor classes and the virtual canonical bundle for genus 0 maps
A. J. de Jong, Jason Michael Starr
证明了亏格为0的映射到光滑目标的虚标准丛的若干因子类关系，并利用它们计算了亏格为0的映射到光滑目标的虚标准丛的Cartier因子类。
Some divisor class relations are proved and used to compute the Cartier divisor class of the virtual canonical bundle for genus 0 maps to a smooth target.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Extremal effective divisors on the moduli space of n-pointed genus one curves
对于每一个$n\geq 3$，我们在亏格为1的曲线的模空间上展示了无穷多个带有$n$标记点的极值有效因子。
Slope Stability and Exceptional Divisors of High Genus
本文研究了光滑表面的边坡稳定性及其与例外因子的关系。我们表明，表面包含一个特殊的因子与算术亏格至少有两个是斜率不稳定的一些极化。在相反的方向，我们表明，斜坡稳定性的表面可以测试与因子，并证明，表面与非负Kodaira尺寸的任何不稳定因子必须有负自交和算术亏格至少有两个。我们还证明了一个不稳定的因子永远不能nef，并作为一个应用程序给出一个例子的表面是斜坡稳定，但不K稳定。
Rank four vector bundles without theta divisor over a curve of genus two
证明了亏格为2的光滑射影曲线上无θ因子的稳定秩四向量丛的轨迹与θ-特征标集成典范双射。我们给出了这些丛的几种描述，并计算了有理theta映射的度。
The symmetric Square of the Theta Divisor in Genus 4
我们讨论了由θ因子的相交平移引起的阿贝尔簇上的Hodge结构的变化，特别关注4维阿贝尔簇的情况
Heegner divisors in the moduli space of genus three curves
S.近藤用$K3$曲面的周期证明了亏格为3的曲线的模空间对于一个复6-球的算术商是双有理的。本文研究了球商中的Heegner因子，它由球的算术定义的超平面截面给出。证明了亏格为三的曲线的对应轨迹为：超椭圆曲线，奇异平面四次曲线和允许某些有理“分裂曲线”的平面四次曲线。
The class of a Hurwitz divisor on the moduli of curves of even genus
在亏格为$g=2k$的稳定曲线的模空间上，计算了具有两个单分歧点的射影线的度$k+1$覆盖所给出的Hurwitz因子$D_2$的循环类.我们还研究了$k+1$和$2k$度容许覆盖的Hurwitz空间到亏格$2k$稳定曲线的模空间的自然映射的几何性质.
Irregular varieites with geometric genus one, theta divisors, and fake tori
本文研究了紧致Kähler流形的Albanese象，它的几何亏格为1.证明了如果Albanese映射不是满射的，则流形满射映射到某个阿贝尔簇中的一个充分因子上，并且在许多情况下该充分因子是一个θ因子.通过对流形拓扑的进一步自然假设，证明了流形是亏格为2的曲线上的代数纤维空间。最后，我们应用这些结果研究了与同维数的阿贝尔簇具有相同Hodge数的紧致Kähler流形的几何.
The Gieseker-Petri divisor in M_g for genus g<=13
Gieseker-Petri轨迹GP_g定义为M_g内由违反Gieseker-Petri定理的曲线组成的轨迹。已知GP_g总是有一些整除分支，并证明了它在M_g内是纯余维数1的。我们证明，这适用于属13。
Explicit constructions of K3 surfaces and unirational Noether-Lefschetz divisors
我们提供的方法来构建明确的例子$K3$表面。这将导致unirational结构的Noether-Lefschetz因子的模空间内的$K3$表面的属$g$。实现了Mukai关于亏格$g\in\{6,\dots, 10, 12\}$的$K3$曲面的模空间的单合理性构造，并给出了亏格$11$的$K3$曲面的模空间的单合理性的一个新的构造性证明.进一步证明了亏格为$g$的$K3$曲面的模空间中存在三个单有理超曲面.
Genus 2 curves and generalized theta divisors
本文研究亏格为$2$的曲线$C$上半稳定向量丛的模空间$\mathcal{U}_C(r,r)$中的广义θ因子$Θ_r$.我们给出了$Θ_r$的一个去奇异化$Φ$，它是用一个投射丛$π:\mathbb{P}(\mathcal{V})\to\mathcal{U}_C(r-1,r)$来表示的，这个投射丛用$\mathcal{O}_C$来表示稳定向量丛在基底上的扩张.然后，我们研究了$Φ$与众所周知的θ映射$θ$的组成。我们证明了，当它被限制到一般纤维的$π$，我们得到一个线性嵌入。
Rank four symplectic bundles without theta divisors over a curve of genus two
亏格为2的曲线X上的秩为4的半稳定辛向量丛的模空间M_2是一个10维不可约射影簇。它的Picard群由行列式线丛生成。线性系的基轨迹|Ξ|恰好由那些没有θ因子的丛组成，也就是说，允许来自X上每一个度为-1 = 1-g的线丛的非零映射。我们表明，这个基轨迹由六个不同的点，这是在典型的双射与Weierstrass点的曲线。我们与我们的建设，这些捆绑到另一个雷诺和Beauville使用傅立叶-Mukai变换。作为应用，我们证明了将辛向量丛发送到其θ因子的映射是从M_2到曲线的雅可比簇上的偶4Θ因子空间的满射.
Theta divisors of stable vector bundles may be nonreduced
曲线X上的零度泛严格半稳定丛有一个可约θ因子，由相关分次丛的稳定和项的θ因子之和给出。反之则不然：Beauville和Raynaud各自构造了具有可约θ因子的稳定丛。对于亏格至少为5的X，我们构造了X上秩为$r$的稳定向量丛，对所有$r \geq 5$，可约和不可约θ因子.我们也适应辛束的建设。在附录中，将Raynaud关于亏格为3的双椭圆曲线上具有可约θ因子的稳定秩2向量丛的原始例子推广到亏格为$g \geq 3$的双椭圆曲线上.
Vector bundles with Theta divisors I: Bundles on Castelnuovo curves
本文证明亏格g >= 2的Castelnuovo曲线上的半稳定向量丛有θ因子.作为推论，我们证明了亏格g >= 2的光滑一般曲线上的半稳定向量丛，如果扩张到一般曲线的任何Castelnuovo退化上的半稳定向量丛，则允许有一个θ因子.
Positive divisors on quotients of $\bar{M}_{0,n}$ and the Mori cone of $\bar{M}_{g,n}$
证明了如果$m \ge n-3$，则亏格为零的稳定$n$ -点曲线的模空间上的每个$S_m$ -不变F-nef因子线性等价于边界因子的有效组合.作为应用，我们确定了具有少量标记点的小亏格稳定曲线的模空间的Mori锥。
Effective cones of quotients of moduli spaces of stable n-pointed curves of genus zero
设X_n：= \bar M_{0,n}，n点稳定亏格零曲线的模空间，X_{n,m}是X_n在对称群S_{n-m}作用于最后n-m个标记点上的商.计算了X_{n,m}（m = 0，1，2）的有效因子锥.利用这一方法，计算了m = 0，1时，由移动线性系的因子生成的锥Mov（X_{n,m}）的上界，以及\bar M_g和\bar M_{g,1}的充分因子的锥上的诱导界.作为应用，详细分析了\bar M_{2,1}的有效因子锥.
Effective divisors on $M_g$ and a counterexample to the Slope Conjecture
证明了亏格为g的稳定曲线的模空间上的有效因子的斜率的两个命题：第一，Harris-Morrison斜率猜想在g=10时不成立;第二，为了计算g为\leq 23的曲线的模空间的斜率，只需要考虑Hodge类的系数和边界因子δ_0的系数.我们猜想，同样的陈述在任意亏格中成立。
Stable rank three vector bundles without theta divisors over bielliptic curves
Raynaud证明了在亏格为$g \ge 2$的一般曲线上，每一个秩为3且斜率为整的半稳定丛都有一个θ因子。我们表明，这可能会失败的特殊曲线：在任何双椭圆曲线的属$g \ge 5$，我们构建了一个稳定的秩三丛平凡行列式没有θ因子。这就部分回答了博维尔的一个问题。
Vector bundles and theta functions on curves of genus 2 and 3
设C是亏格g的曲线，SU（r）是C上秩为r的向量丛的模空间，其行列式为平凡的. SU（r）中的一般E定义了线性系中的θ因子|r θ|其中θ是Pic^{g-1}（C）中的标准θ因子。这定义了有理映射SU（r）- - >| r θ|这是与SU（r）（Pic（SU（r））的正生成元）上的行列式丛相关联的映射。本文证明了在亏格2中，这类映射是一般有限的且是占优的。同样的方法，加上一些经典的工作Morin，表明在秩3和亏格3的theta映射是一个有限态射-换句话说，每个E在SU（3）承认一个theta因子。
The rationality of ineffective spin genus-4 thetanull loci
本文证明了由亏格4且thetanull消失的曲线C与无效thetacharacteristic θ构成的对[C,θ]所给出的除子是有理簇，并得出Prym模空间中的类似除子也是有理的。
The final log canonical model of the moduli space of stable curves of genus four
我们描述了亏格为4的稳定曲线的模空间的最终对数正则模型。我们证明了从$\bar{M}_4$到这个模型的有理映射收缩了Petri和边界因子，翻转了超椭圆轨迹。作为应用，我们得到了$\bar{M}_4$上移动因子斜率的一个精确界。
On higher genus Welschinger invariants of Del Pezzo surfaces
实有理代数曲面的Welschinger不变量计数表示给定除数类并通过点的一般共轭不变配置的实有理曲线。没有不变量计数真正的曲线的积极的一般是已知的。我们指出特定的情况下，当Welschinger型不变量计数真正的曲线的正属可以定义。我们还证明了积极性，并给出渐近估计的Weischinger型不变量的几个del Pezzo表面的程度$\ge2$和适当的真正的nef和大因子类。特别是，这产生的存在性，真正的曲线给定的亏格和给定的除数类通过任何适当的配置的真正的点在给定的表面。
Virtual Cartier divisors and blow-ups
本文基于“虚拟有效Cartier除子”概念证明正则浸入子概形胀开的泛性质，并在导出代数几何中构造拟光滑闭浸入的胀开，推进了胀开相关理论研究。
The Siegel modular forms of genus 2 with the simplest divisor
证明了亏格为2的仿模群的Hecke型同余子群沿Siegel上半平面的对角线精确为零的Siegel模形式存在8个.这是在“黑洞、黑环和模形式“会议（ENS，巴黎，2007年8月）期间提出的一个问题的解决方案。这些模形式推广了经典的Igusa形式和Gritsenko和Nikulin在1998年构造的形式。
The Geometry of Stable Quotients in Genus One
稳定商空间为紧化映射空间提供了稳定映射的替代。当目标是射影空间且域曲线亏格为1时，它们是光滑的真Deligne-Mumford叠加。在本文中，我们研究相关的粗模计划。我们证明了这些方案是射影的，有理连通的，并且Picard数为2。然后给出了Picard群的生成元，计算了其典范除子，以及充分除子和有效除子的锥.在某些情况下，我们还给出了Poincaré多项式的一个闭公式.
Descendent bounds for effective divisors on the moduli space of curves
亏格g曲线的模空间的斜率通过下降计算由60/（g+4）从下限定。
Riemann-Roch theorems and elliptic genus for virtually smooth Schemes
对于一个具有固定1-完全阻塞理论的适当方案X，我们定义了全纯欧拉示性数、χ y-亏格和椭圆亏格的虚形式，它们是变形不变的，并且推广了光滑情形下的通常定义.我们证明虚拟版本的Grothendieck-Riemann-Roch和Hirzebruch-Riemann-Roch定理。我们证明了虚chi y-亏格是一个多项式，并利用它定义了一个虚拓扑欧拉示性数.我们证明了虚拟椭圆亏格满足Jacobi模块化属性，我们的状态和证明的局部化定理的复曲面等变的情况下。我们展示了我们的一些结果如何适用于稳定层的模空间。
Construction of Two Parametric Deformation of KdV-Hierarchy and Solution in Terms of Meromorphic Functions on the Sigma Divisor of a Hyperelliptic Curve of Genus 3
Buchstaber和Mikhailov在超椭圆曲线的对称平方上交换向量场的基础上，引入了具有两个多项式积分的$\mathbb{C}^4$中的多项式动力系统.在前一篇文章中，我们构造了亏格为3的超椭圆曲线的σ因子上的亚纯函数的域，并利用这些函数构造了$g=3$方程组的解。在本文中，作为我们以前的结果的应用，我们构造了两个参数变形的KdV-族。这个新系统被集成在亏格3的超椭圆曲线的sigma因子上的亚纯函数中。在我们以前的论文第8节[函数。anal. 51（2017），162 - 176]，存在错误计算。在本文的附录中，我们纠正了错误。
Explicit endomorphism of the Jacobian of a hyperelliptic function field of genus 2 using base field operations
我们提出了一个有效的自同态的雅可比曲线$C$的亏格2（超椭圆）的因子有一个不相交的支持。这扩展了Costello和Lauter在[12]中的工作，他们在$\mathbb{J}(C)$中仅使用基本字段操作计算了具有不相交支持的除数加倍和除数相加的显式公式。对于第三种情况，给出了明确的公式，对于除数加倍，给出了稍微不同的方法。
The field of meromorphic functions on a sigma divisor of a hyperelliptic curve of genus 3 and applications
用σ函数的梯度描述亏格为$3$的超椭圆曲线的σ因子上的亚纯函数的域.作为一个应用，构造了相应的多项式动力系统族的解在$\mathbb{C}^4$与两个多项式积分。这些系统是在V.M. Buchstaber和A. V.Mikhailov在代数曲线的对称平方上交换向量场的基础上。
Splitting of the virtual class for genus one stable quasimaps
分析亏格为1的稳定拟映射的模空间的局部结构。结合\cite{L}中的p-场理论，我们证明了稳定拟映射的虚圈在$\PP^n$中完全相交的分裂公式.
A splitting of the virtual class for genus one stable maps
光滑射影簇的稳定映射的模空间通常有几个分量。将亏格为1的稳定映射到光滑射影簇的模空间的虚类表示为分支的虚类之和。关键的成分是一个广义的函数性结果的虚拟类。证明了亏格为1的模空间的“幽灵”分支到亏格为0的稳定映射的模空间的自然映射满足强推进性质。作为结果，我们给出了一个圈级公式，它涉及光滑投射Calabi-Yau折叠的标准和约化亏格Gromov-Witten不变量。
Relative and orbifold Gromov-Witten invariants
证明了相对于光滑因子的光滑概形的亏格零Gromov-Witten不变量与沿该因子的适当根栈构造的亏格零轨道Gromov-Witten不变量一致。
Cohomology of Moduli Space of Multiscale Differentials in Genus 0
本文证明了亏格0多重尺度微分模空间的有理上同调环由边界除子生成，利用Chow-Künneth性质与边界除子交集的不可约性，并在光滑情形下将结论推广至整上同调环。
Numerical criteria for divisors on $\M_{g}$ to be ample
亏格$g$的$n-$点稳定曲线的模空间$\M_{g,n}$由被参数化的曲线的拓扑类型分层：具有$k$节点的曲线的轨迹的闭包具有余维$k$。这种分层的一维分量是光滑的有理曲线（其数值等价类是），称为F-曲线。F猜想断言$\M_{g,n}$上的除数是充分的当且仅当它与$F-$曲线正相交。本文将$\M_{g,n}$上的F-猜想归结为证明对于$N \leq g+n$，$\M_{0,N}$中的某些因子等价于标准因子加上边界上支持的有效因子之和.作为约化的一个应用，给出了$\M_g$上的除数$D$满足的数值判据，证明了$D$是充分的.此外，一个算法来检查一个给定的除数是充足的。利用Daniel Krashen编写的Nef Wizard程序（http：//www.yale.edu/users/dkrashen/nefwiz），可以利用该准则和算法验证低亏格猜想.这是在$\M_g$上为$g \le 24$做的，比已知的猜想的情况增加了一倍多，并表明它对第一个亏格是正确的，这样$\M_g$就被认为是一般类型。
Nef divisors in codimension one on the moduli space of stable curves
设M_g是亏格g >= 3的平滑曲线的模空间，\bar{M}_g是关于稳定曲线的Deligne-Mumford紧化.设\bar{M}_g^{[1]}是\bar{M}_g的一个开集，它由亏格g的稳定曲线组成，最多只有一个结点.本文给出了\bar{M}_g上的Q因子D是nef over \bar{M}_g^{[1]}的充要条件，即（D . C）对于\bar{M}_g上的所有不可约曲线C>= 0，其中C \cap \bar{M}_g^{[1]} \not = \emptyset。
Effective divisor classes on metric graphs
本文在度量图（热带曲线）上引入了半断因子的概念，证明了每一个有效因子类（度至多为亏格）都有一个半断因子代表。这适当地推广了断裂因子的概念（在度上等于亏格）。我们的证明方法是新的，即使是特殊情况下的休息因子。我们提供了一个算法来有效地计算这样的semibreak代表。半折因子提供了工具，建立一些基本性质的有效轨迹内皮卡德群的度量图。我们证明了有效轨迹是纯维多面体集。我们还证明了一个“通用”的除数类（在度最多属）的秩为零，阿贝尔-雅可比映射是“双有理”到它的图像。这些是黎曼曲面的经典结果的类似物。
Generalized De Jonquieres divisors on generic curves
经典的De Jonquieres和MacDonald公式描述了代数曲线上线性系中具有规定重数的因子的虚数。在亏格为g的一般曲线的情况下，我们建立了关于这些公式的计数有效性的本质上最优的结果。
Dispersionless Hirota equations and the genus 3 hyperelliptic divisor
无色散Hirota型方程在数学物理和微分几何文献中得到了深入的研究。已知三维可积Hirota型方程的参数空间是21维的，自然等价群Sp（6，R）在参数空间上的作用有一个开轨.然而，与这一轨道相对应的“主方程”的结构仍然难以捉摸。在这里，我们证明了主方程是指定的任何亏格3 θ常数的消失，甚至特征。可积Hirota型方程丰富的几何性质为亏格为3的超椭圆因子的局部微分几何提供了新的线索，特别是，可积性条件可以看作是局部微分几何约束，使得超椭圆因子唯一模Sp（6，C）-等价.
Effective divisors on Hurwitz spaces
证明了亏格为13<g<20的曲线上的射影直线的k次覆盖的几个Hurwitz空间的典范丛的有效性.
About the equivalence of divisor classes on hyperelliptic curves and a quotient of linear forms by an algebraic group action
对于亏格为$g$的超椭圆曲线，给出了一个在$g+1$次一般位置上的因子的多项式方程.有一个行动，从代数群的代表性的因子多项式固定的因子类。这种结构将因子类的合理性问题简化为多项式的合理性问题，更容易控制。
Ampleness of intersections of translates of theta divisors in an abelian fourfold
证明了亏格为4的一般曲线的雅可比行列式的θ因子的两个一般平移的完全交的余切丛是充分的。从这一点出发，对于一般的四维主极化阿贝尔簇，也可以得出同样的结果。
Divisors on Hurwitz spaces: an appendix to 'The cycle classes of divisorial Maroni loci'
在$g$亏格的度$d$覆盖的Hurwitz空间上的Maroni分层只有当$d-1$整除$g$时才有一个层是除数。在这里，我们构建了一个分层的赫尔维茨空间，类似于马罗尼分层，但有一个除数的所有对$(d,g)$与$d \leq g$有几个例外，我们计算的除数类的扩张，这些除数的紧化赫尔维茨空间。
Counting curves of any genus on P^2_6
得到了在6个泛点上爆破的射影平面P^2_6上的任意除子类和亏格的复代数曲线簇的次数公式。此外，该公式还计算了P^2_6上的参数化曲线簇的次数，这些参数化曲线簇还满足P^2_6上的固定例外因子的切线条件。我们的公式包含了P^2_q上参数化曲线的类似簇的次数作为特殊情况，其中q=1，.，5，在二次曲面（P^1）^2上。它是计算射影平面上任意次数和亏格曲线的卡波拉索-哈里斯公式的推广，可以看作是Vakil公式的替代，Vakil公式给出了计算P^2_6上任意亏格曲线的一种间接方法。
Log minimal model program for the moduli space of stable curves of genus three
本文完整地编制了亏格为3的稳定曲线的模空间的对数极小模型程序。我们采用奇异曲线的除数$δ$的有理倍数$αδ$作为边界除数，当$α$从1变化到0时，利用几何不变理论构造了对数正则模型对$(\bar{\mathcal M}_3, αδ)$，并给出了每个对数正则模型的模解释和它们之间的双有理映射.通过使用模块化的描述，我们能够识别所有，但一个日志规范模型与现有的紧化$M_3$，一些新的和其他经典的，而例外给出了一个新的模块紧化的$M_3$。
The non-abelian Brill-Noether divisor on $\overline{\mathcal{M}}_{13}$ and the Kodaira dimension of $\overline{\mathcal{R}}_{13}$
本文计算 $M_{13}$ 上非交换 Brill-Noether 除子的类，首次得到斜率低于 $6+10/g$ 的有效除子，并据此证明亏格13的Prym模空间为一般型及两个相关猜想。
New recursions for genus-zero Gromov-Witten invariants
给出了复射影流形$X$的亏格为零的Gromov-Witten不变量之间的新关系.当$X$的上同调由除数类和“具有消失的一点不变量”的类生成时，这些关系根据一点不变量确定多点不变量。
The cycle classes of divisorial Maroni loci
确定了亏格g的曲线的紧致化Hurwitz空间中有效因子的循环类，其中d次线性系是开Hurwitz空间上Maroni因子的推广.我们的方法使用陈类关联到一个全局到局部的评价地图的向量丛在一个通用的$P^1$束在赫尔维茨空间。
Complex hyperbolic volume and intersection of boundary divisors in moduli spaces of genus zero curves
证明了当${\mathcal{M}}_{0,n}$嵌入Deligne-Mumford-Knudsen紧化$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$中时，Deligne-Mostow和Thurston定义的复双曲度量是奇异的Kähler-Einstein度量.因此，我们得到了一个公式计算的体积${\mathcal{M}}_{0,n}$相对于这些度量使用相交的边界因子的$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$。在有理权重的情况下，遵循Y. Kawamata，我们表明，这些指标实际上代表了$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$上的一些线丛的第一类陈式，从其他公式计算相同的体积。
Uniruled symplectic divisors
这是一份文件，致力于辛双有理几何程序，其中许多基本概念是定义在属0 GW不变量。我们证明了正的uniruled辛因子的存在往往意味着周围流形有一个非零的uniruled亏格0 GW不变，因此也是uniruled的。这证实了一部分二分法的uniruled辛因子。此外，还给出了单圆辛流形的一个相当一般的构造，推广了McDuff的一些漂亮的结果。
Monodromy of the Prym map and semicanonical pencils in genus 6
本文证明了亏格6中限制于奇半典范铅笔除子的Prym映射是双有理的，其单值群为Weyl群$WD_5$，并揭示了模空间中其他除子的次数及几何性质。
Some stable vector bundles with reducible theta divisors
设C是亏格g的曲线，L是C上的2g次线丛.设M是从具有纤维的平凡丛H^0（C，L）到L的赋值映射的核.我们证明了当L足够一般时，秩g丛M及其外幂是稳定的，并且允许一个可约的θ因子.
The modulo eight behavior of common factors of two hypergeometric polynomials arising from a genus three heperelliptic family
研究奇特征代数闭域上单参数亏格为三超椭圆曲线族，将超特殊性质转化为超几何多项式消失，证明其首一最大公因式无平方因子且不可约因子次数至多为二，确定其模八特征下的行为。
Algebraic rank on hyperelliptic graphs and graphs of genus $3$
设$\bar{G} = (G, ω)$是一个顶点赋权图，$δ$是$G$上的一个因子类.令$r_{\bar{G}}(δ)$表示$δ$的组合秩。Caporaso通过使用具有对偶图$\bar{G}$的节点曲线，引入了$δ$的代数秩$r_{\bar{G}}^{\operatorname{alg}}(δ)$。本文证明了当$\bar{G}$是超椭圆或属$3$时，$r_{\bar{G}}^{\operatorname{alg}}(δ) \geq r_{\bar{G}}(δ)$成立，推广了我们以前的结果.我们还证明了，对于亏格$3$的非超椭圆曲线到其约简图的特化映射，图上的任何因子提升为同秩曲线上的因子.
Intersection-theoretical computations on \Mgbar
我们确定的必要条件充分因子在任意亏格以及非常充分因子亏格2和3。我们还计算了亏格4中的交集数$λ^9$和$λ_{g-1}^3$。后一个数字是相关的计数曲线的更高的亏格流形上，比照。Bershadsky et al.
A note on Brill--Noether existence for graphs of low genus
在2008年的一篇有影响力的论文中，贝克提出了一些将代数曲线的除数理论与有限图的类似组合理论联系起来的理论。本文研究了特殊因子的Baker's Brill-Noether存在性猜想.对于$g\leq 5$和$ρ(g,r,d)$非负的，每个亏格$g$的图被证明允许秩$r$和度至多为$d$的因子。此外，该猜想被证明持有的秩$1$的一些家庭的高度连通的组合类型的图的任意高的属。在相关的属，我们的论点给出了第一个组合证明的Brill-Noether存在定理的度量图，给出了一个相关的问题Baker的部分答案。
The wobbly divisors of the moduli space of rank-$2$ vector bundles
设$X$是亏格为$g \geq 2$的光滑射影复曲线，$\M_X(2,Λ)$是$X$上半稳定秩- $2$向量丛的模空间，行列式$Λ$是固定的.我们证明了不稳定的轨迹，即，允许非零幂零Higgs场的半稳定向量丛的轨迹是因子$\Ww_k \subset \M_X(2,Λ)$的并.我们证明了在一个摆动因子上极大子丛的集合是退化的。我们还计算了$\M_X(2,Λ)$的Picard群中因子$\Ww_k$的类。
Picard group of moduli of curves of low genus in positive characteristic
利用等变相交理论的方法，计算了$3\leq g\leq 5$的亏格$g$平滑曲线的模叠加的Picard群.我们的证明基础上计算的一些关系的积分周环的某些模堆叠光滑完全相交。作为副产品，我们计算了$\mathcal{M}_g$上某些因子的循环类。
The Brill-Noether Curve of a Stable Vector Bundle on a Genus Two Curve
设U（r）是亏格为2的平滑曲线上秩为r的具有平凡行列式的向量丛的模空间。映射theta_r：U（r）->| r θ|将其θ因子与一般丛相关联的是一般有限的。本文给出了theta_r的类属纤维的几何解释。
Subadjunction of log canonical divisors for a subvariety of codimension 2
利用亏格为0的点稳定曲线的Knudsen模空间，得到了一个将其周围空间的对数标准因子与余维为2的子簇的对数标准因子联系起来的公式。
Theta divisors and permutohedra
本研究建立光滑θ除子与排列多面体及其环面簇的关联，证明二者广义Todd亏格的符号差关系，借欧拉数得到θ除子霍奇数，还发现其与Tomei流形的数值联系。
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