Topology and Factorization of Polynomials
对于任意多项式$P \in \mathbb{C}[X_1,X_2,...,X_n]$，我们描述了由某些代数偏微分方程得到的线性方程组的解的$\mathbb{C}$ -向量空间$F(P)$，使得$F(P)$的维数是$P$的不可约因子的个数.此外，$F(P)$的知识给出了多项式$P$的完全因式分解。这推广了Ruppert和Gao以前在$n=2$情形下的结果。
2008-04-02 math.AG math.AT
Low degree polynomial equations: arithmetic, geometry and topology
这些是我在1996年欧洲数学家大会上的演讲笔记。多项式在数学中经常出现，我们都从经验中知道，低次多项式比高次多项式更容易处理。然而，并不清楚是否存在一个定义明确的“低次”多项式类。对于许多问题，多项式的表现很好，如果他们的次数足够低，但精确的限制的程度取决于具体的问题。{}事实证明，有一个收集的基本问题，算术，代数几何和拓扑所有这些都给出了同一类的“低次”多项式。本讲座的目的是解释这些性质，并提供一个调查的已知结果。
1996-10-21 alg-geom math.AG
Bounds for polynomials on algebraic numbers and application to curve topology
令$P \in \mathbb{Z} [X, Y]$是具有小于$τ$的整数系数的全次数$d$的给定无平方多项式，并且令$V_{\mathbb{R}} (P) := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, P (x,y) = 0 \}$是隐式地定义为$P$的消失集的实平面代数曲线。我们给出了一个确定性的和认证的算法来计算$V_{\mathbb{R}} (P)$的拓扑结构的直线平面图$\mathcal{G}$是同位素的$V_{\mathbb{R}} (P)$。我们的分析产生上界$\tilde O (d^5 τ+ d^6)$的位复杂度，我们的算法，这符合当前记录的平面代数曲线的拓扑计算问题的界限。然而，与现有的算法相比，具有相当的复杂度，我们的方法不考虑任何坐标的变化，和返回的图$\mathcal{G}$产生的圆柱代数分解信息的曲线。我们的结果是基于两个主要成分：首先，我们推导出摊销的定量界限的根多项式的代数系数以及自适应方法计算的根，实际上利用这种摊销的多项式。我们的第二个成分是一种新的方法，用于计算所有临界点附近的曲线的局部拓扑。
2021-12-15 math.AG
Invariance of Milnor numbers and topology of complex polynomials
本文给出了多项式的Le-Ramanujam μ常数定理的一个整体形式。设f_t（t in [0，1]）是一族具有孤立奇点的n个复变数，其系数是t中的多项式。我们考虑的情况下，一些数值不变量是常数（仿射Milnor数，Milnor数在无穷远，临界值的数量，仿射临界值的数量，临界值在无穷远）。设n=2，f_t的次数为常数，则多项式f_0与f_1拓扑等价。当n>3时，假设无穷远处的临界值连续依赖于t，则证明了f_t的几何单值表示都是等价的。
2002-01-15 math.AG math.GT
Bounds for multivariate residues and for the polynomials in the elimination theorem
给出了仿射簇上有理形式整体剩余高度的几个上界。作为结果，我们推出的Bergman-Weil迹公式中的系数的高度的上界。我们还提出了仿射簇上消去定理中多项式的次数和高度的上界。这是一个算术模拟Jelonek的有效消除定理，发挥了至关重要的作用，在证明我们的边界的高度全球残留物。
2021-03-23 math.AG math.CV
On the topology of fibers of complex polynomial maps
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院数学研究所）
该研究综述复多项式映射纤维上同调的已知结果，建立分岔值处消失上同调新结果，推导贝蒂数上界，将相关定理推广至含任意奇点的多项式映射。
2026-09-15 math.AG math.AT
Maximal and Typical Topology of Real Polynomial Singularities
给定一个多项式映射$ψ:S^m\to \mathbb{R}^k$，其分支的次数为$d$，我们研究了由$ψ$及其导数满足给定的多项式等式和不等式列表的点组成的半代数集合$Z\subseteq S^m$的结构（我们称这样的集合为“奇点”）。关于多项式奇异性拓扑复杂性的上界估计，我们用对一般多项式映射成立的\begin{equation}\label{eq:abstract} b(Z)\leq O(d^{m}),\end{equation}来加强Milnor证明的经典界$b(Z)\leq O(d^{m+1})$.对于$Z$拓扑的“下界“，我们证明了光滑映射的$\mathcal{C}^0$扰动的零集的Betti数的一般连续性结果--$\mathcal{C}^1$扰动的情形是Thom的同位素引理（本质上是隐函数定理）的内容.这个结果是独立的兴趣，它是一般的地图（不只是多项式），这一结果意味着小连续扰动的$\mathcal{C}^1$流形有一个丰富的拓扑比原来的流形之一。然后，我们比较极端的情况下，随机的，并证明，平均的拓扑$Z$的行为作为“平方根“的上限：对于一个随机Kostlan地图$ψ:S^m\to \mathbb{R}^k$与组件的程度$d$，我们有：\begin{equation} \mathbb{E}b(Z)=Θ(d^{\frac{m}{2}}).\end{equation}这推广…
2021-10-29 math.AG math.AT math.DG
Topology of character varieties and representations of quivers
在arXiv：0810.2076中，我们提出了一个猜想，推广了Macdonald多项式的Cauchy公式。该猜想将黎曼曲面的表示簇的混合Hodge多项式在其穿孔处用半单共轭类进行编码。我们证明了支持这一猜想的几个结果。在这里，我们宣布了新的结果，这些结果是arXiv：0810.2076的结果。
2009-05-21 math.AG math.RT
Lectures on topology of complements and fundamental groups
这是对射影空间中平面曲线和超曲面的补拓扑的介绍，基于2005年2月在Lumini和8月在ICTP（的里雅斯特）的讲座。讨论了具有孤立奇点的超曲面的补的同伦群上的奇异曲线族、单变量Alexander多项式和Laurent多项式结构的环上模等关键问题。我们还讨论了这些不变量的多变量推广和霍奇理论的无限阿贝尔覆盖在多变量不变量的计算。一个历史的概述包括作为开幕部分
2005-10-03 math.AG
Weil-Poincaré series and topology of collections of valuations on rational double points
早些时候它被描述到何种程度的亚历山大多项式在几个变量的代数链接在庞加莱领域确定的拓扑结构的链接。结果表明，除了一些明确描述的情况下，亚历山大多项式的代数链接确定的组合类型的曲线的最小分辨率，因此相应的链接的拓扑结构。庞加莱球面中代数链的亚历山大多项式与相应曲线赋值集的庞加莱级数一致。后者可以定义为在$E_8$ -奇点上的因子空间上的积分。在这里，我们考虑一个类似的积分有理二重点曲面奇点在空间上的Weil因子称为Weil-Poincaré系列。我们表明，除了少数明确描述的情况下，魏尔庞加莱系列的一个集合的曲线估值的理性二重点表面奇点决定了相应的链接的拓扑结构。我们给类似的声明的集合的divisorial估值。
2021-12-01 math.AG
On the topology of germs of meromorphic functions and applications
在以前的论文中，作者阐述了概念和技术，可应用于计算这样的不变量的多项式的欧拉示性数的纤维和zeta函数的monodromy变换与多项式。与亚纯芽拓扑有关的概念的一些重要的基本性质在那里没有讨论。这造成了对一般结构的一些缺乏了解。本说明的目的是部分填补这一空白。同时，我们描述了与以前的一些结果和推广他们的连接。
1999-05-20 math.AG
Effective Whitney theorem for complex polynomial mappings of the plane
我们描述了一般多项式映射$f:\Bbb C^2\to\Bbb C^2.$的拓扑
2016-02-08 math.AG
Cayley decompositions of lattice polytopes and upper bounds for h^*-polynomials
利用格多面体的次数和首项系数给出了格多面体的h^*-多项式的一个有效上界，证实了Batyrev的一个猜想.我们推导出这一界限的后果，一个强大的凯莱分解定理说，粗略地说，任何格多面体与一个大的倍数，没有内部格点有一个非平凡的分解为凯莱和多面体的较小的尺寸。在附录中，我们解释这个结果的附加理论复曲面品种。
2008-04-23 math.AG math.CO
Whitney theorem for complex polynomial mappings
本文描述了一般多项式映射$F=(f, g):X\to\Bbb C^2$的拓扑，其中$X$是一个复平面或复球面.
2018-09-21 math.AG
Asymptotic equisingularity and topology of complex hypersurfaces
考虑了多项式族的仿射超曲面$X_τ\subset \mathbb C^n$的等奇异性问题，其中（在最坏的情况下）具有孤立奇点。我们证明了全局极不变量$γ^* (X_τ)$的恒定性等价于我们引入的$t$ -无穷远的等奇异性，即渐近型等奇异性。我们证明了$γ^*$ -恒常性在无穷邻域内蕴含C $^\infty$ -平凡性.我们展示了如何不变量$γ^*$进入的CW复杂模型的超曲面$X_τ$的描述，因此特别是在无穷大的多项式函数$f: \mathbb C^n \to \mathbb C$提供新的不变量。
2017-11-27 math.AG
Closed formulae for multiple roots of univariate polynomials through subresultants
实代数平面曲线拓扑的计算，如果在每条垂直线上不超过一个临界点：一般位置条件，则大为简化。当这个条件不满足时，则坐标的有限次改变将使初始曲线移动到一般位置。我们将展示许多情况下，所考虑的曲线的拓扑结构周围的临界点是非常容易计算，即使曲线不是在一般的位置。这将是通过引入一个新的家庭的公式描述，在许多情况下，通过subresult，重根的一元多项式作为有理函数的考虑多项式涉及最多一个平方根。这种新的方法将被用来表明，三次，四次和五次的拓扑结构可以很容易地计算，即使曲线是不是在一般的位置和那些高次曲线，这种方法可以使用。我们也将应用这种技术来确定两个二次曲面的相交曲线，并研究如何确定两个椭球相交时所产生的曲线的类型。
2023-03-05 math.AG
Low degree approximation of random polynomials
我们证明了“高概率”的随机Kostlan多项式在$n+1$许多变量和程度$d$可以近似为一个多项式的“低次”，而不改变拓扑的零集上的球$S^n$。近似的“低次”和“高概率”之间的依赖性是定量的：例如，以压倒性的概率，Kostlan次数为$d$的多项式的零集与次数为$O(\sqrt{d \log d})$的多项式的零集是同位素的。证明的基础上的概率研究的大小$C^1$稳定的Kostlan多项式的邻域。作为推论，我们证明了某些拓扑型（如椭圆深巢曲线或富拓扑超曲面）有指数小概率出现为随机Kostlan多项式的零集。
2018-12-25 math.AG math.PR
Thom series of contact singularities
托姆多项式测量了全局拓扑如何强制奇点。托姆多项式的力量注定了它们不仅在微分拓扑中，而且在代数几何（枚举几何，模空间）和代数组合学中是一个有用的工具。他们的广泛应用的主要障碍是，只有少数，零星的托姆多项式已被明确。本文给出了计算接触奇点Thom多项式的一般方法。一路上，与等变几何的（准时的，本地）希尔伯特计划，并与迭代剩余身份的关系。
2010-03-19 math.AG math.AT
Uppers to zero in polynomial rings and Prüfer-like domains
设$D$是整环，$X$是$D$上的不定环.众所周知，（a）$D$是拟Prüfer（即它的整闭包是Prüfer整环）当且仅当$D[X] $中的每个上到零的$Q$包含一个多项式$g \in D[X]$，其内容为$\co_D(g) = D$ ;（b）$D[X]$中的上到零的$Q$是极大$t$ -理想当且仅当$Q$包含一个非零多项式$g \in D[X]$，其内容为$\co_D(g)^v = D$。使用这些事实，UM PDMATHAMT域的概念（即，一个整环，使得每一个上到零的整环都是一个极大的$t$ -理想）和拟Prüfer整环可以很自然地推广到半星运算的情形，并在一个统一的框架下进行研究.给出了Okabe-Matsuda意义下的半星运算$\star$，引入了$\star$ -拟Prüfer域.我们给出了这些域的几个特征，并研究了它们与UM $t$ -域和Prüfer $v$ -乘法域的关系.
2008-01-10 math.AC math.AG
Upper bounds on Betti numbers of tropical prevarieties
我们证明上界的贝蒂数的热带前品种在密集和稀疏设置的总和。在稠密的设置中的界限是在定义热带多项式的牛顿多面体的闵可夫斯基和的体积方面，或者，通过这些多项式的最大程度。在稀疏设置中，界限涉及单项式的数量。
2018-03-09 math.AG
Uppers to zero and semistar operations in polynomial rings
给定整环$D$上的有限型$\star$的稳定半星运算，证明了可以在多项式环$D[X]$上以规范的方式定义有限型$[\star]$的稳定半星运算，使得$D$是$\star$ -拟Prüfer整环当且仅当$D[X]$中的每一个上至零都是拟$[\star]$ -极大理想.此结果完成了Houston-Malik-Mott \cite [第2节]{hmm}在星形操作设置中启动的调查。此外，我们证明了$D$是一个Prüfer $\star$ -乘法（分别为，$\star$ -Noether; $\star$ -Dedekind）域当且仅当$D[X]$是Prüfer $[\star]$ -乘法（分别，$[\star]$ -诺特; $[\star]$ -戴德金）结构域。作为这里介绍的技术的应用，我们得到了一个新的解释加布里埃尔-Popescu局部化系统的有限型整环$D$（问题45的\cite{cg}），在乘法闭集的多项式环$D[X]$。
2007-06-26 math.AC math.AG
Real deformations and complex topology of plane curve singularities
这是发表的论文。从任意具有三角形交点的实变形出发，导出了具有实分支的复平面曲线奇点的拓扑。最后给出了一个多项式映射的全局几何单值性的计算实例。
2000-04-03 alg-geom math.AG
Toward Topologically Based Upper Bounds on the Number of Power Flow Solutions
电力系统潮流方程是电力系统计算的核心，它与功率注入和电压相量有关。虽然基于牛顿的方法通常会找到潮流方程的“高压”解，这是主要的兴趣，但可能有许多“低压”解对某些分析有用。本文讨论了潮流方程的解的个数问题。存在上界的功率流解决方案的数量，但是，只有有限的工作，关于边界的网络拓扑结构的功能。本文实证探讨了网络拓扑结构之间的关系，其特点是最大集团，和潮流解的数量。为了方便这种分析，我们使用一个数值多项式同伦连续的方法，保证找到所有复杂的解决方案的潮流方程。用这种方法得到的解的个数是实数解个数的上界.通过对许多小型网络进行测试，可以了解作为网络拓扑函数的上界的发展情况。初步结果包括经验推导的表达式为某些类别的网络拓扑结构的解决方案的最大数量。
2015-09-30 cs.CE math.AG math.OC
Asymptotic topology of random subcomplexes in a finite simplicial complex
考虑有限单纯复形$K$及其连续重心重分$Sd^d(K), d\geq0,$，研究了$Sd^d(K), d\gg0$中随机子复形的期望拓扑.我们得到了这些子复形的期望贝蒂数的渐近上、下界，以及平均Morse不等式和期望欧拉示性数.
2017-06-07 math.AG math.CO math.GT
