Monomials as sums of powers: the Real binary case
我们推广一个例子，由于西尔维斯特，并证明了任何单项的程度$d$在$\mathbb R[x_0, x_1]$，这不是一个权力的一个变量，不能被写入一个线性组合少于$d$权力的线性型。
2010-05-17 math.AC math.AG
The zeta-function of monomial deformations of Fermat hypersurfaces
本文试图对最近在镜像对称的背景下得到的关于簇族的ζ函数的结果给出一个数学解释。在这样做的时候，我们获得了具体和明确的例子，最近使用的算法中的一些结果，光滑超曲面P^n上的点计数。特别是，我们扩展了Kadir和Yui的单名动机对应，并给出了与Fermat超曲面的单名变形相关的p-adic Picard-Fuchs方程的显式解。作为一个副产品，我们得到了Poincare对偶的刚性上同调的某些奇异仿射簇。
2008-08-01 hep-th math.AG math.NT
On blow-ups of the quintic del Pezzo 3-fold and varieties of power sums of quartic hypersurfaces
我们在某些四次超曲面的幂和簇中构造了新的子簇。这提供了Mukai对亏格为12的光滑素Fano三重的描述作为平面四次线的幂和的变种的推广。事实上，在我们的第二篇论文中，我们证明了这些四次数正是与一般三角曲线对和无效theta特征相关的Scorza四次数，这使我们能够在那里证明Dolgachev和Kanev的主要猜想。
2009-04-23 math.AG
Sums of squares on hypersurfaces
本文证明了在特定条件下，形如$\mathbb{R}[x,y, \sqrt{f(x,y)}]$的环的毕达哥拉斯数为无限，揭示了超曲面环中平方和表示的新性质。
2024-02-07 math.AG
The Hodge structure of semiample hypersurfaces and a generalization of the monomial-divisor mirror map
我们解决了在完全单纯复曲面簇中描述半样本超曲面的上同调环这一长期存在的问题。此外，单名因子镜像映射被推广到整个Picard群和无限小变形空间之间的映射的镜像对的Calabi-Yau超曲面。这个映射与手征环的子环的某些零极限积相容，在手征环上，环的结构与$A$型李代数的根的乘积有关。
2000-12-20 hep-th math-ph math.AG
Hypersurface singularities with monomial Jacobian ideal
证明了每个具有单名扩张雅可比理想的收敛幂级数都右等价于一个多项式.这解决了Hauser和Schicho提出的问题。在组合方面，我们引入了涉及横截拟阵的Jacobian半群理想的概念。对于任何这样的理想，我们构造了一个定义的Escherich-Schiani多项式。在分析方面，我们证明了具有拟齐次扩展雅可比理想的幂级数是强欧拉齐次的。由于Mather-Yau型定理，这样的幂级数由它们的雅可比理想直到右等价确定。
2022-03-23 math.AG math.CO math.CV
Maximum Waring ranks of monomials
我们发现，单项式和两两互质单项式的总和在四个或更多的变量华林秩小于的通用秩，有一个简短的例外。我们渐近比较他们的秩与一般秩。
2014-05-30 math.AG
New bounds for the number of connected components of fewnomial hypersurfaces
本文针对正象限中由少项实多项式定义的光滑超曲面，给出了连通分量数的新上界，并在二维情形构造达到上界的显式例子，证明结果精确。
2024-05-07 math.AG
Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic
正特征奇点的分解问题可以重新表述如下：固定一个超曲面$X$，嵌入光滑概形，重点至多为$n$。设$X$的$n$ -变换序列是中心包含在$X$的$n$ -折叠点中的么半群变换及其连续严格变换的有限合成.开放问题（正特征）是证明存在$n$ -序列，使得$X$的最终严格变换没有重数点$n$（没有$n$ -折叠点）。在特征零中，这样的$n$ -序列分两步定义：第一步是将$X$变换为具有$n$ -折叠点的超曲面（在所谓的单项式情况下）。第二步是消除这些$n$ -折叠点（在单项式的情况下），这是通过一个简单的组合程序选择的中心。在这项工作中处理的不变量，使我们能够定义一个概念的强单项的情况下，平行的单项的情况下，在特征零：如果一个超曲面内的强单项的情况下，我们证明了一个决议可以实现组合的方式。
2011-03-17 math.AG
Fourier transform over finite field and identities between Gauss sums
这是数学的续集AG/0003009本文研究了含有单项有理函数的“指数”的有限域上的“初等函数“的傅里叶变换的恒等式。事实证明，这些身份是由高斯和单项式的身份。我们表明，类似的情况下，复数等身份对应于线性关系某些因子的空间上的乘法字符。
2000-03-02 math.AG math.NT
Complexity of Villamayor's algorithm in the non exceptional monomial case
我们研究单项式理想，总是当地的单项式，像一个合理的第一步，估计一般的数量monoidal变换的Villamayor的算法的决议的奇异性。一个单项理想$<X_1^{a_1}\cdot ... \cdot X_n^{a_n}>$的决议是有趣的，由于其识别与特定的复曲面问题$<Z^c- X_1^{a_1}\cdot ... \cdot X_n^{a_n}>$。在特殊情况下，当所有的指数$a_i$都大于或等于临界值$c$，我们构造的最大分支的决议树提供了一个上限涉及Catalan数的部分和。这种情况称为“最小余维情况”。卡塔兰数的部分和（从$1,2,5,...$开始）是$1,3,8,22,...$这些部分和在组合学中是众所周知的，并且计算所有具有$n+1$边的有序树中从根开始的路径的数量。卡塔兰数出现在许多组合问题中，计算在$n+1$字母的单词中插入$n$括号对的方法的数量，具有$n+1$顶点的平面树，$... $等。非最小情况下，当存在一些指数$a_{i_0}$小于$c$时，将被称为“更高余维的情况”。在这种情况下，仍然没有解决，我们举一个例子来说明最重要的麻烦。计算的例子已经在这两种情况下，研究的分辨率不变量的行为有所帮助。计算已在奇异（见\cite{sing}）使用\emph{desing}包由G。Bodnár and J. Schicho，see \cite{lib} .
2009-01-22 math.AG
Power mean inequalities and sums of squares
对于固定的次数和增加的变量的数量的$n$ -变量的实对称齐次多项式（形式）的次数$d$的向量空间的维数稳定。本文研究了对称非负多项式及对称平方和的锥在幂平均基或单平均基下的极限。这些极限对应于全局非负（分别）的幂平均（或单项平均）多项式中具有稳定表达的形式。平方和），而不管变量的数量。本文引入部分对称约化来描述对称平方和的极限锥，并重新证明了arXiv：1205.3102v4的一个结果：对称非负多项式的极限与对称平方和的极限在次数上一致$4$ .我们使用对偶锥的热带化，这是第一次在arXiv：2203.06291中比较非负多项式和平方和的上下文中，以显示对称多项式的锥和从6次开始的平方和之间的差异，这反驳了arXiv：1205.3102v4的猜想。对于对称的非负形式和平方和，我们证明了锥的度数至多为8，并且从10度开始不同。我们还发现，通过tropicalization，明确的例子对称形式是非负的，但不是平方和的限制。
2023-03-21 math.AG
Almost-toric Hypersurfaces
准复曲面的参数化是由单项式乘以多项式的一个额外的变量。我们确定了这样一个超曲面的牛顿多面体，并应用它给出了计算隐式方程的算法。
2014-10-03 math.AG math.CO
Quasi-ordinary hypersurfaces, multiplier ideals and local tropicalizations
本文利用环面嵌入消解，将拟常序超曲面的乘子理想表示为牛顿多面体序列和广义单项式理想，并证明其局部热带化由嵌入拓扑类型决定的扇支撑。
2025-10-23 math.AG
The Monomial-Divisor Mirror Map
对于复曲面簇中的每一族卡-丘超曲面，Batyrev提出了一个可能的镜像伙伴（也是卡-丘超曲面族）。我们解释了一个自然的结构之间的同构的某些霍奇群的这些超曲面，预测的镜像对称，我们称之为单名因子镜像映射。我们指出如何这个映射可以解释为预期的镜像同构之间的两个卡-丘流形的模空间的微分。我们对镜像同构的形式提出了一个非常精确的猜想，当与第三作者的一些早期理论相结合时，它将完全指定镜像同构的形式。然后我们得出结论：以Calabi-Yau空间的不同双有理模型为目标的非线性西格玛模型的模空间应通过解析延拓连接，进一步的解析延拓将导出其它类型的共形场论的模空间。(This最后一个结论是威滕首先得出的。）
1993-09-30 alg-geom hep-th math.AG
MAPLE subroutines for computing Milnor and Tyurina numbers of hypersurface singularities with application to Arnol'd adjacencies
本文详细介绍了计算孤立代数超曲面奇异性的Milnor数和Tyurina数的MAPLE子程序。它们代表了局部单项排序的MAPLE实现的例子，也许是第一个例子。作为应用，最后一节给出了单Arnol奇异Kuranishi空间的代数分层方程：它们通过代数子集的包含几何地表示了由邻接关系引起的单奇异类上的偏序。
2012-01-25 math.AG
Complex conjugation and simplicial algebraic hypersurfaces
我们称$(\mathbb{C}^*)^n$中的实代数超曲面为单纯的，如果它由$n$ -变量中的实洛朗多项式给出，该多项式恰好具有非零系数的$n+1$单项式，并且使得$\mathbb{Z} ^n$的$n+1$点对应于指数的$\mathbb{R}^n$中的凸包是非退化的$n$ -维单纯形。这样的超曲面是自然的构建块，可以构建更复杂的对象，例如使用O。Viro的Patchworking方法。借鉴G.克尔和我。Zharkov，我们描述了行动的复共轭的同源性的coamoebas的单纯实代数超曲面，希望它可能会证明有用的各种问题的拓扑结构的实代数簇。特别是，假设一个合理的猜想，我们确定的条件下，这样的超曲面是伽罗瓦极大。
2021-05-25 math.AG
On the Sharpness of fewnomial bound and the number of components of a fewnomial hypersurface
本文证明了n个变量的n个多项式方程组的存在性，其中有n+k+1个不同的单项项，具有[n/k+1]^k个非退化正解. (Here，[x]是正数x的整数部分。）这表明，当k固定，n较大时，非退化正解个数的最近上界（e^2+3）/4 2^{ \binom{k}{2} } n^k是渐近尖锐的.我们还采用Perrucci的方法证明了在由n+k+1个单项式的多项式定义的R^n的正正交点上的光滑超曲面中，有少于（e^2+3）/4 2^{ \binom{k}{2} } 2 ^nn ^k个连通分支。我们的结果保持多项式与实指数。
2007-05-22 math.AC math.AG
Twisted forms of classical hypersurfaces
Universidad de Talca（塔尔卡大学）
该研究在实数域和有限域上计数费马、德尔萨特、克莱因超曲面的扭曲形式，推广微分方法到正特征域，计算其正特征自同构群，重现了费马超曲面实形式的相关定理。
2026-08-17 math.AG
Sums of Squares and Sparse Semidefinite Programming
我们考虑两个看似无关的问题：非负多项式和平方和之间的关系，真正的品种，和稀疏半定规划。当实簇$X$由二次无平方单项式理想定义时，这种联系是自然的。在这种情况下，$X$上的非负多项式和平方和也是正半定矩阵完备化的自然对象。$X$上的非负二次型自然对应于部分指定的矩阵，其中所有完全指定的正方形块都是PSD，并且平方和二次型自然对应于部分指定的矩阵，其可以被完成为PSD矩阵。我们展示了定量的结果近似的非负多项式的平方和，从而导致应用稀疏半定规划。
2021-06-14 math.AG
Automorphisms of rigid hypersurfaces with separable variables
本研究针对具有可分变量的刚性超曲面，刻画其自同构群的结构，证明该自同构群是其唯一极大环面的有限扩张，丰富了刚性代数簇自同构群的相关理论。
2024-07-12 math.AG math.RA
Optimal Bounds for the Number of Pieces of Near-Circuit Hypersurfaces
本文研究少项式正零点集的连通分支数，证明 $k=3$ 时上界为 $3$，并推广到实指数指数和，关键在于深入分析 $\mathcal{A}$-判别式曲线。
2025-02-14 math.AG
Hypergeometric Motives from Toric Hypersurfaces
本文研究由 d 维环面中 d+2 个单项式线性组合定义的一般超曲面的两种紧化，证明其 F_q-点数量可由有限超几何和表示，并通过引入 gamma 三元组将有限超几何和推广到素数幂情形，推广了 Beukers、Cohen 和 Mellit 的工作。
2026-10-28 math.AG math.NT
Dwork families and $\mathcal{D}$-modules
Dwork族是费马超曲面的单参数单项式变形。本文用代数方法计算了它的Gauss-Manin上同调在自同构子群作用下的不变部分。为了实现这一目标，我们使用的代数理论的$\mathcal{D}$ -模，特别是一维超几何的。
2019-06-03 math.AG
The density of integral points on hypersurfaces of degree at least four
令$f$是具有整数值系数的至少四次多项式。利用Heath-Browns $q$的一个迭代版本，建立了方程$f=0$的整数解密度的新的界，该迭代版本类似于van der Corput的指数和方法.
2009-07-07 math.AG math.NT
Igusa's conjecture for exponential sums: optimal estimates for non-rational singularities
我们证明了一个上界的对数正则阈值的超曲面，满足一定的权力条件，并用它来证明几个推广的Igusa猜想的指数和，与对数正则阈值的指数的估计。我们表明，这涵盖了最佳的所有情况下的非理性奇点的结构，通过比较日志典型的阈值与局部概念的motivic振荡指数。
2019-03-19 math.AG math.NT
Subvarieties of generic hypersurfaces in any variety
设W是n+1维的射影簇，L是W上的自由线丛，$H^0(L^d)$中的X是$L$中的单项式和所给出的d次超曲面中的一般超曲面，$f : Y \to X$是光滑m重Y上的一般有限映射.我们假设f是r-填充的，即在$H^0(L^d)$中变形X时，f在族中变形，使得$Y^r$的相应变形支配$W^r$。在这些假设下，我们给出了在对角轨迹和二重点轨迹上具有一定消失级的笛卡儿积$Y^r$上的线性系维数的下界.作为一个应用，这产生了关于线性系的维数的下限|K_{Y} -（d - n + m）f^*L - f^* K_{W}|这推广了Ein和Xu的结果（以及较弱形式的Voisin）。作为另一个可能更令人惊讶的应用，我们得出了包含Y的某些射影像的二次曲面的数目的下界。
2001-02-09 math.AG
New fewnomial upper bounds from Gale dual polynomial systems
本文通过Gale对偶多项式系统的方法，推导出稀少多项式系统的解数上界，并研究了超曲面的连通分支数。
2006-11-27 math.AG
On exponential sums
设f是有限域F中系数多项式。设$Ψ: F \to C^{\ast}$是一个非平凡的加法特征标。在本文中，我们给出了指数和$\sum_{x\in F^n} Ψ(Tr_{F/F_p} (f(x)))$在某些情况下的界，其中f的最高次形式定义了一个奇异的射影超曲面X（例如，当X是P^2中的直线排列时）。该界涉及X的奇点的Milnor数。证明通过经典的上同调解释这个指数和通过Grothendieck的迹公式。
1997-02-06 alg-geom math.AG
Randomization, Sums of Squares, and Faster Real Root Counting for Tetranomials and Beyond
设f是一个D次实一元多项式，它正好有4个单项式项。本文提出了一个计算f的实根个数的算法，其复杂性多项式平均为log D（相对于稳定的对数一致测度）。以前最好的算法在D上具有超线性复杂度。我们还讨论了连接到平方和A-判别式，包括明确的障碍表示正定稀疏多项式的平方和几个稀疏多项式。我们的关键工具是引入有效的可计算腔锥，边界区域的系数空间中的实根的数量可以很容易地计算。我们的大部分理论扩展到n-变量（n+3）-Nomials。
2011-01-13 cs.CC math.AG
Spaces of Sums of Powers and Real Rank Boundaries
研究了实齐次形式的Waring分解的性质。我们研究实分解的模，即所谓的幂和空间，自然包含在幂和的多样性中。四元二次曲面，有关的代数边界的${\rm SSP}$在$\mathbb{P}^3$中的四个点的希尔伯特计划中的各种轨迹。进一步，我们研究了实秩与复秩一致的一般实型的轨迹。在四元二次曲面的情况下，该轨迹的边界是四十次超曲面$J(σ_3(v_3(\mathbb{P}^3)),τ(v_3(\mathbb{P}^3)))$。
2016-12-23 math.AC math.AG
Isoparametric polynomials and sums of squares
希尔伯特第17问题问的是，是否每个非负多项式都可以是有理函数的平方和。阿廷对此作出了肯定的回答。然而，一个给定的非负多项式是否是多项式的平方和的问题仍然是实代数几何中的一个中心问题。本文完全解决了由E。Cartan，它定义了相应的等参超曲面的焦点子流形。
2022-10-12 math.AG math.DG
Algebraic boundaries of Hilbert's SOS cones
我们研究了非负多项式和平方和之间的差异的几何基础。区分这两个锥的三元六次曲线和四次四次曲线的超曲面被证明是K3曲面的Noether-Lefschetz轨迹。这些超曲面的射影矩阵由Hankel矩阵的秩约束定义。我们使用数值代数几何计算他们的程度，从而验证由于Maulik和Pandharipande的结果。非负形式的两个锥的非SOS极值射线分别由平面有理六次线的Severi簇和四次对称面簇参数化。
2011-07-10 math.AG
Convex hulls of monomial curves, and a sparse positivstellensatz
考虑参数给定为$(t^{m_1},\ldots,t^{m_n})$的单项曲线的闭凸包$K$，其中参数$t$在$I$的区间内变化。我们表明，使用建设性的参数，$K$承认解除半定描述$\mathcal{O}(d)$线性矩阵不等式（LMI），每个大小$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor +1$，其中$d= \max \{m_1,\ldots,m_n\}$是曲线的程度。在对偶方面，我们表明，如果一个单变量多项式$p(t)$的程度$d$与最多$2k+1$单项是非负的$\mathbb{R}_+$，那么$p$承认一个表示$p = t^0 σ_0 + \cdots + t^{d-k} σ_{d-k}$，其中多项式$σ_0,\ldots,σ_{d-k}$的平方和$\operatorname{deg} (σ_i) \le 2k$。后者是一个单变量的正stellenomics稀疏多项式，与非负的$p$被证明的SOS多项式的程度只取决于$p$的稀疏性。我们的结果适合一般的尝试制定多项式优化问题的半定问题的小尺寸的LMI。从计算的角度来看，这种小尺寸的描述更容易处理。
2023-03-07 math.AG math.OA math.OC
Counting Real Connected Components of Trinomial Curve Intersections and m-nomial Hypersurfaces
证明了任意一对二元三项多项式在正象限中至多有5个孤立根。与多项式次数无关的最佳先前上界要大得多，例如，248832（仅对非退化根）通过Khovanski的一个著名的一般结果。我们的界限是尖锐的，允许真正的指数，允许退化，并扩展到某些系统的n-变量fewnomials，给予改进，在早期的界限由一个因子指数的单项式的数量。我们还推导出类似的锐化边界上的一个单一的n-变量m-范数的实零集的连通分量的数量。
2002-12-12 math.AG math.CO
Lefschetz Properties for Higher Order Nagata Idealizations
研究了水平代数的Nagata理想化的一个推广。这些代数是标准分次Artin代数，其Macaulay对偶生成元被显式地给出为二次双分次多项式$(1,d)$ .我们考虑与同类型的二次多项式$(d_1,d_2)$相关的代数。证明了$e$阶Nagata超曲面的几何与原超曲面的几何非常相似。研究了$e$阶Nagata理想化的Lefschetz性质，证明了当$d_1\geq d_2$ .在无单项式平方的情形下，给出了伴随代数的完整描述。
2019-02-12 math.AC math.AG
Asymptotic variation of L-functions of exponential sums
设Delta是n维实空间中包含n维原点的整凸多胞体，且它在所有无原点的小平面上是单纯的.设A（Delta）是所有Laurent多项式f的空间，其参数由Delta的内部支撑的具有指定顶点的Laurent多项式f的系数所决定。本文证明了：如果Delta的内点及其顶点生成Delta锥中的几乎所有整数点，则A（Delta）中存在一个定义在有理数上的Zebraki稠密开子集U，使得对U（bar{Q}）中的任意f，且对p足够大，f的指数和的L函数的牛顿多边形等于A（Delta）的一般牛顿多边形（bar{F_p}），并且当p接近无穷大时，它们都接近仅取决于Delta的绝对下界。本文还证明了关于仿射环面超曲面的下列结果：设T_Delta是所有由f=0给出的正则仿射环面超曲面的空间，对于所有Laurent多项式f，给定Newton多胞形Delta。如果Delta中所有整数点的集合有一个幺模三角剖分，则对于足够大的p，T_Delta在杆{F_p}上的一般牛顿多边形与根据仅由Delta确定的复曲面族T_Delta的Hodge数定义的Hodge多边形重合。
2012-11-27 math.AG math.NT
Discriminant of system of equations
在一个代数方程的系数中，什么多项式应该被称为它的判别式？我们证明了一系列事实，这些事实提供了一个可能的答案。让我们称一个系统为典型的，如果同胚类型的解决方案集不改变，因为我们扰动其（非零）系数。所有非典型方程组的集合是所有k个n元方程组的空间中的超曲面，其单项式包含在k个给定的有限集合中。这个超曲面B包含所有具有奇异解的系统，这个层通常被称为判别式，并且它的分量的余维还没有被完全理解（例如，双缺陷环面品种没有分类），所以B的维数的纯度看起来有点令人惊讶。我们从一个类似的热带纯度的事实推断出来。超曲面B的分量B_i中的一般方程组与典型方程组的区别在于其解集的欧拉示性数。把这些欧拉示性数的差看作B_i的重数，把B化为一个有效因子，其方程我们称之为欧拉判别式，理由如下。首先，它恰好在具有奇异解的系统处（可能在无穷远处）消失。其次，尽管它的拓扑定义，有一个简单的线性代数公式，它的牛顿多面体的正公式。第三，它插值了许多经典对象（稀疏结式、A-行列式、变形判别式），并继承了它们的许多优良性质。这使得我们的结果专门为一般多项式映射：支配多项式映射的分支集，其组件是一般的线性组合的100多个单项式，总是一个超曲面，和一般的非典型纤维，这样的地图不同于一个典型的欧拉示性数。
2012-05-19 math.AG math.CO
Sumsets and Veronese varieties
在本文中，任何子集$\mathcal{A} \subset \mathbb{Z}^{n}$，我们明确地关联一个唯一的单项投影$Y_{n,d_{\mathcal{A}}}$的Veronese品种，其Hilbert函数符合的基数的$t$折叠和集$t\mathcal{A}$。该链接使我们能够解决确定多项式$p_{\mathcal{A}} \in \mathbb{Q}[t]$的经典问题，使得所有$t \geq t_0$的$|t\mathcal{A}| = p_{\mathcal{A}}(t)$和满足该条件的最小整数$n_0(\mathcal{A}) \leq t_0$，即所谓的$|t\mathcal{A}|$的{ \em相变}。我们使用Castelnuovo-Mumford正则性和$Y_{n,d_{\mathcal{A}}}$的几何来描述多项式$p_{\mathcal{A}}(t)$，并在对$\mathcal{A}$凸包的一些技术假设下推导出$n_0(\mathcal{A})$的新的界;反之，我们应用和集理论来获得簇$Y_{n,d_{\mathcal{A}}}$的几何信息.
2022-02-02 math.AC math.AG math.CO
Mirror Symmetry for $G_2$-Manifolds: Twisted Connected Sums and Dual Tops
最近，至少有5000万个紧致$G_2$完整流形的新例子被构造为渐近圆柱Calabi-Yau三重的扭曲连通和。本文的目的是在这种背景下研究II型超弦紧化的镜像对称性。我们专注于$G_2$流形从构建块从对偶对的顶部，这是最接近的环面CY超曲面，并制定了类似的Batyrev镜像映射这类$G_2$ holonomy流形，从而获得数百万个新的对偶超弦背景。特别是，这导致我们推测过多的新的确切对偶之间的相应的2D N=1西格玛模型。
2017-01-18 hep-th math.AG math.DG
Multiplier ideals of sums via cellular resolutions
固定非零理想层a_1，...，a_r在正规Q-Gorenstein复簇X上.固定任意正实数c，并考虑和a_1+.+的乘子理想J具有权系数c的a_r。我们构造了一个精确序列，通过X上的层分解J，这些层是乘积a_1^{v_1}.的乘子理想的直和。a_r^{v_r}对于各种实向量v，使得v_1+.+ v_r = c.解析是细胞的，在这个意义上，它的边界映射是由一个正则CW-复形的代数链复形编码的。CW-复形自然地表示为求和为c的非负实向量的单形的三角剖分T。我们的决议的无环性减少到一个细胞自由分解，支持T，一个相关的单项理想。这种无环性依赖于某些边界同调流形的同调性与通过从它们中删除边界面集合而得到的单纯复形的同调性之间的比较。我们的解决方案意味着乘子理想和公式J（（a_1+.+ a_r）^c）= \sum_{|v|=c} J（a_1^{v_1}. a_r^{v_r}），其隐含地遵循Takagi对两个被加数公式的证明（math.AG/0410612）。作为特例，我们恢复了Howald关于单项式理想的乘子理想公式（Math.AG/0003232）.我们的解决方案也产生了一个新的斯柯达复杂的精确性证明。
2007-04-12 math.AC math.AG math.AT
Real Rank Geometry of Ternary Forms
我们研究真正的三进制形式，其真正的秩等于一般复杂的秩，我们的特点是半代数集的权力表示的秩和。完整的结果获得二次和三次。对于五次曲面，我们确定实秩边界：它是一个度为168的超曲面。对于四分线、六分线和六分线，我们确定了实秩边界的一些分量。幂和的实簇通过由超行列式导出的判别式分层。
2016-08-06 math.AC math.AG
Projective geometry of Wachspress coordinates
我们证明了存在唯一的极小次超曲面通过由简单超平面排列定义的多面体的非面。这推广了Wachspress在1975年提出的多边形伴随曲线的构造。我们的伴随超曲面的定义多项式是Warren在1996年引入的伴随多项式。这是定义Wachspress坐标的关键要素，Wachspress坐标是任意凸多胞体上的重心坐标。伴随多项式也出现在代数统计中，当研究多面体上均匀概率分布的矩时，以及在相交理论中，当计算单项方案的Segre类时。我们描述了Wachspress地图，理性地图定义的Wachspress坐标，和Wachspress品种，这个地图的形象。Wachspress映射的逆映射是从伴随超曲面的像的线性跨度的投影。为了将多面体的伴随与代数几何中因子的经典伴随联系起来，我们研究了沿着多面体的非面具有与其定义的超平面排列相同的次数和重数的不可约超曲面。我们列出了二维和三维中存在这种不可约超曲面的所有许多组合类型的多面体。在多边形的情况下，一般这样的曲线是椭圆的。在三维的情况下，一般这样的表面是K3或椭圆。
2019-10-15 math.AG math.CO
Metric Estimates and Membership Complexity for Archimedean Amoebae and Tropical Hypersurfaces
给定任何复洛朗多项式$f$，$\mathrm{Amoeba}(f)$是其复零点集在坐标式对数绝对值映射下的图像。我们给出了一个有效的可构造的多面体近似，$\mathrm{ArchtTrop}(f)$，$\mathrm{Amoeba}(f)$，并推导出明确的上限和下界，仅作为一个函数的单项式项的数目$f$，这两个集之间的Hausdorff距离。我们还表明，决定一个给定的点是否位于$\mathrm{ArchTrop}(f)$是可行的多项式时间，对于任何固定的尺寸，不像相应的问题$\mathrm{Amoeba}(f)$，这是$\mathbf{NP}$ -硬已经在一个变量。因此，$\mathrm{ArchTrop}(f)$可以用作规范低阶近似，以启动任何高阶迭代多项式系统求解算法，例如同伦延拓。$\mathrm{ArchTrop}(f)$还提供了一个阿基米德类似Kapranov的非阿基米德变形虫定理和一个高维扩展的早期估计Mikhalkin和Ostrowski。
2017-03-16 cs.CC math.AG
Hyperbolic polynomials, interlacers, and sums of squares
双曲多项式是实多项式，其实超曲面是嵌套的卵形体，其最内部是凸的。这些多项式出现在数学的许多领域，包括优化，组合数学和微分方程。在这里，我们研究了双曲多项式和交错它的多项式集合之间的特殊联系，这个交错多项式集合是一个凸锥，我们把它写成非负多项式锥的线性切片。特别是，这使我们能够实现任何双曲锥作为一个切片的锥的非负多项式。利用平方和松弛，我们然后近似的双曲锥的投影的光谱面体。一个来自Vamos拟阵的多仿射例子表明，这种松弛并不总是精确的。利用这一理论，我们刻画了具有确定行列式表示的实稳定多重仿射多项式，并在行列式表示存在时构造了行列式表示。
2013-11-03 math.AG math.CO math.OC
Euler Characteristic of real nondegenerate tropical complete intersections
我们模仿复代数几何中的相应定义，定义了非退化热带完全交。在复杂的情况下，所有非零的交重数之间的热带超曲面定义一个非退化的热带完全相交等于1。我们使用的交重数是与热带超曲面胞腔对偶的多面体的混合体积之和。证明了实非退化热带完全交的欧拉示性数仅依赖于定义该交的热带多项式的牛顿多面体。基本上，它等于一个复杂的完全相交相同的牛顿多面体的通常签名，当这个签名被定义。证明减少到环面超曲面的情况下，并使用的概念$E$ -多项式的复杂品种。
2007-11-06 math.AG math.CO
On irreducible components of real exponential hypersurfaces
修复有理数的域$\mathbb Q$的任何代数扩展$\mathbb K$。在这篇文章中，我们研究指数集$V\subset \mathbb R^n$。这样的集合通过所谓的指数多项式的消失来描述，即，具有来自$\mathbb K$、$n$变量和$n$指数函数的系数的多项式。$\mathbb R^n$中所有指数集的补集在$\mathbb R^n$上形成了一个Noethrian拓扑，我们称之为Zebraki拓扑。设$P \in {\mathbb K}[X_1, \ldots ,X_n,U_1, \ldots ,U_n]$是一个多项式，使得$$V=\{ \mathbf{x}=(x_1, \ldots , x_n) \in \mathbb R^n| P(\mathbf{x}, e^{x_1}, \ldots ,e^{x_n})=0 \}.$$本文的主要结果指出，根据Schanuel的猜想在实数，指数集$V$余维1，其中真正的代数集$\rm Zer(P)$是不可约的$\mathbb K$，要么是不可约的（相对于Zerenki拓扑）或其每一个不可约的组成部分余维1是一个合理的超平面通过原点。所有可能的超平面的族由$P$的单项式确定。在单个指数的情况下（即，当$P$独立于$U_2, \ldots , U_n$时），给出了独立于Schanuel猜想的更强的陈述。
2017-07-29 math.AG math.LO
