Maximum Waring ranks of monomials
Erik Holmes, Paul Plummer, Jeremy Siegert, Zach Teitler
我们发现，单项式和两两互质单项式的总和在四个或更多的变量华林秩小于的通用秩，有一个简短的例外。我们渐近比较他们的秩与一般秩。
We show that monomials and sums of pairwise coprime monomials in four or more variables have Waring rank less than the generic rank, with a short list of exceptions. We asymptotically compare their ranks with the generic rank.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Waring decompositions of monomials
多项式的华林分解是多项式作为线性型的幂和的表达式，其中被加数的数目是最小可能的。我们证明了一个单式的任何Waring分解都是从一个完备交理想得到的，确定了Waring分解集合的维数，并给出了Waring分解唯一的条件.
The Solution to Waring's Problem for Monomials
在多项式环$T=k[y_1,...,y_n]$中，利用$n>1$，我们限定了齐次根理想$I\subset (y_1^{a_1},...,y_n^{a_n})$的重数，使得$T/I$是一个分次$k$ -代数，其克鲁尔维数为1.因此，我们解决了所有单项式的华林问题，即我们计算将单项式写成这些线性型的幂和所需的最小数量的线性型。此外，我们给出了单项式的幂分解和的一个明确的描述。我们还产生了新的界限的华林秩多项式是一个两两互质单项式的总和。
A note on the simultaneous Waring rank of monomials
本文研究单项式集合的复同时Waring秩。对于一般的集合，我们提供了一个下界，而对于特殊的集合，我们提供了一个公式的同时华林秩。我们的方法是代数和组合。我们给出了一个应用程序的二项式和最大同时秩的秩。此外，我们还包括一个附录的脚本写在代数软件Macaulay 2实验同时职级。
A new bound for the Real Waring rank of monomials
本文针对单项式在实数与有理数上的Waring秩，通过构造结构化反极化集合给出新上界，该上界在已知情形下达到精确值且优于现有一般上界，并适用于有理数情形。
On the Waring rank of binary forms: The binomial formula and a dihedral cover of rank two forms
形式的Waring问题是数学中的一个重要而经典的问题。由于其在多个领域的广泛应用，它已被广泛研究。本文考虑复系数二元形式的Waring问题。首先给出二元二项式的Waring秩的一个显式公式和几个例子，然后证明了直到标量乘法为止，确实存在Waring秩为2的$\binom{d-1}{2}$二次形式$d$和3个固定的不同线性型的倍数.
Border Waring Rank via Asymptotic Rank
我们调查的一个下界的Waring（仙人掌）秩齐次形式由于Ranestad和Schreyer的扩展。我们表明，对于特定类的齐次形式，这种方法的推广适用，下界扩展到边界（仙人掌）秩的水平。该方法是基于最近的结果张量渐近秩。
An improved upper bound for the Waring rank of the determinant
一般$d \times d$行列式的Waring秩由$d \cdot d!$上界。这改进了以前的上界，其形式是指数乘以阶乘。我们的上界来自一个显式的幂和分解。我们描述了一些对称性的分解和集理论定义方程的条款的分解。
Waring rank of symmetric tensors, and singularities of some projective hypersurfaces
我们证明了，如果一个齐次多项式$f$在$n$变量有华林秩$n+1$，那么相应的射影超曲面$f=0$最多有孤立奇点，这些奇点的类型是完全由一个超平面安排的组合学自然与华林分解$f$。我们还讨论了当平面曲线由二元形式的悬挂定义时，或者当Waring秩为5时，Waring秩与平面曲线上奇点类型之间的关系。
Waring decompositions of special binomials
本文研究了特殊二项式的Waring秩，并证明了相关单项式不存在特定长度的不可约分解。
Waring rank of binary forms, harmonic cross-ratio and golden ratio
我们讨论了没有多重因子的4次和5次二元形式的Waring秩，并指出了与调和交比、j-不变量和黄金分割比的意想不到的关系。这些计算的行列的二进制形式是用来表明，组合的线安排在复杂的射影平面不确定华林秩的定义方程，即使在非常简单的情况下。
The border Waring rank of $x_1\cdots x_n$ is $2^{n-1}$
本文证明特征零域上单项式 $x_1\cdots x_n$ 的边界 Waring 秩为 $2^{n-1}$，表明极化恒等式为最优分解，下界证明借助非对称的行列式张量的高阶 Koszul 展平。
On the Waring Rank of Binary Forms
在$K[x,y],~K\subseteq \mathbb{C},$中的二进制形式$f$的$K$秩是在$K$上的线性型的$d$次幂的最小数目，其中$f$是$K$ -线性组合。我们提供了下界的$\mathbb{C}$秩（华林秩）和$\mathbb{R}$秩（真正的华林秩）的二进制形式取决于其分解。我们完全分类二进制形式的华林秩3。
Waring-like decompositions of polynomials - 1
设$F$是度$d$在$n$变量中的齐次形式。$F$的Waring分解是将$F$表示为线性型的$d^{th}$幂的和的方式。本文把形式的分解看成是表达式的和，每个表达式是在线性型上求值的固定单项式。
Some examples of forms of high rank
我们描述了一些形式更大的华林秩比以前的例子。在$3$变量中，我们给出了奇度的形式，其秩严格大于单项式的秩，即先前已知的最高秩。这缩小了$3$变量中形式的最大Waring秩的可能值域。在$4$变量中，我们给出了严格大于类属秩的奇度的形式。在度大于或等于$5$这些是第一个例子表明，存在形式与华林排名严格大于的通用价值。
A note on the Waring ranks of reducible cubic forms
设$W_3(n)$是$n+1$变量中可约三次型的Waring秩的集合.我们证明了$W_3(n)\subseteq \lbrace 1,..., 2n+1\rbrace$ .
An upper bound for the Waring rank of a form
本文引入了n元d次形式的开Waring秩，并证明了当n，d >= 3时，该秩由\binom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3}上有界.这证明了相同的上界的经典华林秩的形式，改善结果[BBS]和给予，据我们所知，最好的上界已知。
Waring rank of certain complete intersection forms
本文计算某些完全交形式的Waring秩，作为应用得到零化子为完全交理想的二项式及不同变量集上二元形式乘积的Waring秩，丰富了相关代数不变量的研究。
Sufficient conditions for Strassen's additivity conjecture
本文给出Strassen可加性猜想强对称性成立的一个充分条件：自变量形式之和的Waring秩是其秩之和，且该和的每一Waring分解都是其和项的分解之和.我们给出了Waring秩可加性的充分判据和Cactus秩和分解可加性的充分判据。
Waring ranks of sextic binary forms via geometric invariant theory
我们确定的华林秩的所有六次二元形式的复系数使用几何不变理论的方法。利用六次二元形式的五个基本不变式，我们的结果给出了一种快速确定任意给定六次二元形式的Waring秩的方法。特别是，我们揭示了新的光的索赔E。B.艾略特在19世纪末关于二元六分仪与华林秩3。我们表明，对于任意程度的二进制形式的仙人掌秩，又名。方案等级由相应的Waring等级确定。最后，我们确定所有二元六分线的边界秩。
Waring problems and the Lefschetz properties
我们研究了三种变化的华林问题的多项式，关于华林秩，边界秩和仙人掌秩的形式，我们展示了如何莱夫谢茨性质的相关代数影响他们。主要工具是混合黑塞矩阵理论。我们构建新的家庭的野生形式，也就是说，形式的仙人掌排名，示意性的性质，大于边界排名，几何定义。
Waring and cactus ranks and Strong Lefschetz Property for annihilators of symmetric forms
本文证明了完全对称多项式是压缩Artin Gorenstein代数的对偶生成元，满足强Lefschetz性质。这是具有这些性质的显式对偶形式的第一个例子。对于任意变量的任意次数的完全对称形式，我们通过建立一个显式的幂和分解，给出了Waring秩的上界。此外，我们还确定了由对称三次型定义的Gorenstein代数的Waring秩、仙人掌秩、分解和强Lefschetz性质.特别是，我们证明了一个对称的三次型的Waring秩和仙人掌秩之间的差异可以通过增加变量的数量来任意大。我们提供了上界的一般对称形式的度四和五的华林秩。
Lower bound for ranks of invariant forms
给出了连通代数群作用下不变形式的Waring秩和Cactus秩的一个下界。我们用它来改善Ranestad-Schreyer-Shafiei下界的Waring秩和仙人掌秩的一般矩阵，Pfirans的一般反对称矩阵，和一般对称矩阵的行列式。
Waring decompositions and identifiability via Bertini and Macaulay2 software
本文从文献[AGMO]和[ABC]出发，证明了一个非空的欧氏开子集的存在性，它的元素是具有4个分量的多项式向量，分别为3个变量，2，3，3，3和秩6，它们在$ \mathbb{C} $上不可识别，但在$ \mathbb{R} $上可识别.这一结果已通过计算机辅助程序，适当地适应调查的数量一般多项式向量的复和实数领域的华林分解。此外，借助于Hessian准则（[COV]），我们证明了多项式向量在$ \mathbb{C} $上的可识别性.
A bound for the Waring rank of the determinant via syzygies
我们表明，华林秩的$3 \times 3$行列式，以前已知的$14$和$18$之间，至少是$15$。我们使用非极性理想的合朔，以前没有这样使用过。此外，我们表明，仙人掌等级的$3 \times 3$永久至少是$14$。
A family of explicit Waring decompositions of a polynomial
本文证明了一个多项式恒等式，为任意单项式提供显式 Waring 分解并给出 Waring 秩上界，进而通过（去）齐次化导出任意多项式的显式分解，同时讨论了计算方法并提供了计算机实现。
Generic Power Sum Decompositions and Bounds for the Waring Rank
开秩的概念，与形式的一般幂和分解有关，最近被引入文献中。这里的主要结果是平面四次线的最大开秩是8。特别地，这给出了$n,d$的第一示例，使得本质上取决于$n$变量的度$d$形式的最大开放秩严格地大于最大秩。一方面，该结果允许改进先前已知的开秩上的界限，但另一方面表明这样的界限可能相当宽松。尽管如此，一些预备结果是独立的利益，仍然可以提供有用的信息，在与问题的最大秩为所有形式的给定程度和数量的变量。例如，我们得到了$d\ge 3$的每一个三次形式都可以被$d-1$的两两独立线性型的乘积零化.
Fixed-parameter debordering of Waring rank
本研究首次获得多项式Waring秩的上界，该上界关于边界Waring秩指数增长、关于次数线性增长，解决了去边界化问题，并改进了常数边界Waring秩情形下的结果。
Improved Debordering of Waring Rank
本文证明d次齐次多项式的Waring秩可由其边界Waring秩r以$d \cdot r^{O(\sqrt{r})}$为上界，显著改进了此前$d \cdot 4^r$的结果。
Monomials as sum of k-th powers of forms
受最近关于多项式环的Waring问题的结果和单单项式表示为线性型的幂和的启发，我们考虑了将kd次单项式表示为d次形式的k次幂和的问题.我们产生一个一般的界限上的数量的被加数为任何数量的变量，我们细化在两个变量的情况下。我们完全解决了k=3的情况下，单项式在两个和三个变量。
Waring decompositions of the product of two quadrics: the small rank cases
该研究利用投影方法分析两个二次型乘积的Waring分解问题，刻画低维参数下的极小无极性集合性质与相关不变量，给出高维情形下Waring秩的新上下界。
On the number of Waring decompositions for a generic polynomial vector
我们证明了一个一般的多项式向量$(f_1, f_2, f_3)$在三个齐次变量的程度$(3,3,4)$有一个唯一的Waring分解秩7。这是我们知道的第一个新病例，也可能是最后一个，自19世纪以来已知的五个病例和二元病例。我们证明了在$(a, a+1)$的三个齐次变量中，除了$a=2$之外，对$(f_1, f_2)$之间没有可识别的情况，并且我们给出了分解次数的下界。新的例子是用数值代数几何发现的，而它的证明需要非交换无极性。
Finite generation of higher rank quasi-monomial valuations via the extended Rees algebra
本文通过更具代数化的方法研究扩展 Rees 代数，证明了高秩拟单项赋值相关分次代数的有限生成性，将K-稳定性理论中的已有结果推广至奇点更差的Fano型纤维化及任意除子多重截面环情形。
Structures of the Length Seven Power Sum Decompositions of Ternary Quartics
本文探讨确定给定次数和维度下最大对称秩的路径，通过研究三次四次型的长度七Waring分解结构，为归纳过程奠定基础，并考察了可能具有根本重要性的技术工具。
On the real rank of monomials
本文研究了单项式的实秩，给出了所有单项式的实秩的一个上界。我们证明了单项式的实秩和复秩一致当且仅当最小指数等于1。
Border Ranks of Monomials
本文研究Young展平方法对单项式边界秩的下界极限，给出最优形状，覆盖次数≤6、3变量及变量乘积幂，并指出高次时无法匹配猜想紧上界。
On Maximum, Typical and Generic Ranks
我们表明，对于几个概念的秩，包括张量秩，华林秩，广义秩相对于一个射影簇，秩的最大值是最多两倍的一般秩。我们证明了在实数上，实秩的最大值至多是最小典型秩的两倍，这等于（复）一般秩。
Decompositions and Terracini loci of cubic forms of low rank
本文研究$n+1$变量中秩$n+2$的三次型的Waring分解，证明多分解时共享至少$n-3$个元素，并刻画第三Veronese嵌入的Terracini轨迹。
On ideals generated by monomials and one binomial
在域上的多项式环中，我们确定了由一组单项式和一个二项式生成的某些理想的算术秩。
Geometric complexity theory for product-plus-power
本文证明了Kumar结果的逆命题，建立了border Waring rank与product-plus-power计算模型的紧密联系，并通过研究轨道闭包获得了新的重数障碍。
Some cases on Strassen additive conjecture
本文证明了互质单式与二元多项式之和的秩的可加性，推广了（\cite{CCG}）中的结果。我们还显示了类似的结果举行仙人掌排名。
Sums of squares, Hankel index, and almost real rank
实簇$X$的汉克尔指数是一个不变量，它量化了$X$上非负二次曲面与平方和之间的差异。在[5]中，作者证明了一个有趣的界限的汉克尔指数的Green-Lazarsfeld指数，衡量的“线性”的最小自由分解的理想$X$。在所有以前已知的情况下，这个界限是紧的。我们提供了第一类的例子，其中的界限是不紧的，事实上，汉克尔指数和绿色Lazarsfeld指数之间的差异可以是任意大的。我们的例子是有理正态曲线的外投影，其中我们用二元形式$F$确定投射中心。投影曲线的Green-Lazarsfeld指数由$F$ [15]的复Waring边界秩给出。我们表明，Hankel指数给出的“几乎真实”的秩的$F$，这是一个新的概念，来自分解$F$作为一个总和的权力几乎真实的形式。我们确定的范围内可能的和典型的几乎真实的行列的二进制形式。
Spaces of Sums of Powers and Real Rank Boundaries
研究了实齐次形式的Waring分解的性质。我们研究实分解的模，即所谓的幂和空间，自然包含在幂和的多样性中。四元二次曲面，有关的代数边界的${\rm SSP}$在$\mathbb{P}^3$中的四个点的希尔伯特计划中的各种轨迹。进一步，我们研究了实秩与复秩一致的一般实型的轨迹。在四元二次曲面的情况下，该轨迹的边界是四十次超曲面$J(σ_3(v_3(\mathbb{P}^3)),τ(v_3(\mathbb{P}^3)))$。
Monomial discrete valuations in k[[X]]
设v是k[[X 1，.]的秩m离散赋值，Xn]]，具有维度n-m。证明了存在K的一个直接扩张L，其中赋值是单项式的。因此，我们明确地计算赋值的剩余域。
The asymptotic leading term for maximum rank of ternary forms of a given degree
令$\operatorname{r_{max}}(n,d)$是$n$中所有$d>0$次齐次多项式的集合的最大Waring秩，其中系数在特征为零的代数闭域中。据我们所知，当$n,d\ge 3$时，$\operatorname{r_{max}}(n,d)$的值仅对于$(n,d)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3)$是已知的。我们证明了$\operatorname{r_{max}}(3,d)=d^2/4+O(d)$作为上界$\operatorname{r_{max}}(3,d)\le\left\lfloor\left(d^2+6d+1\right)/4\right\rfloor$的结果。
Progress on the symmetric Strassen conjecture
本文证明当F或G为幂或变量数少时，Waring秩是可加的，从而解决了对称Strassen猜想。
Power sum decompositions of defining equations of reflection arrangements
我们确定的华林秩的基本斜不变量的任何复杂的反射群的最高程度是一个正常的数字。这包括所有不可约的实反射群。
Stability of Valuations: Higher Rational Rank
给出了一个klt奇异$x\in (X, D)$，证明了一个拟单项式赋值$v$与一个非线性生成的关联分次环是归一化体积函数$\widehat{\rm vol}_{(X,D),x}$的极小元，当且仅当$v$诱导退化为一个K-半稳定的log Fano锥奇异.此外，这样的极小值是唯一的所有准单项式估值到重新标度。因此，我们证明了对于Kähler-Einstein Fano流形的Gromov-Hausdorff极限上的klt奇点$x\in X$，与其度量切锥相关联的中间K-半稳定锥由$x\in X$的代数结构唯一确定，从而证实了Donaldson-Sun的一个猜想.
High-rank ternary forms of even degree
我们展示，对于每个偶数度，严格大于的单项式的最大秩的三进制形式的秩。连同先前在奇数情况下的结果，这给出了$d\ge 2$的下界\[\operatorname{r_{max}}(3,d)\ge\left\lfloor\frac{d^2+2d+5}4\right\rfloor\]，其中$\operatorname{r_{max}}(n,d)$表示在特征为零的代数闭域中系数为$n$的变量中度$d$形式的最大秩。
Every Ternary Quintic is a Sum of Ten Fifth Powers
据我们所知，在写作时，最大华林秩的所有三进制形式的程度$d$（系数在代数闭域的特征零）是已知的，只有$d\le 4$。已知$d=5$的最佳上界是12，在本工作中，我们将其降低到10。
Unique powers-of-forms decompositions from simple Gram spectrahedra
本文提出利用半定规划将幂次型分解约化为张量分解，给出三阶幂次型分解的当前最优秩阈值，并通过数值实验证明在典型情形下成功概率趋于1。
Nets in $\mathbb P^2$ and Alexander Duality
$\mathbb{P}^2$中的网是满足某些关联性质的线$\mathcal A$和点$X$的配置。网出现在各种各样的设置，从拟群到组合设计，到卡茨-穆迪代数的分类，再到超平面安排的上同调跳跃轨迹。对于拟阵$M$和秩$r$，我们将一个单项理想（Orlik-Solomon理想的单项变体）与秩为$\le r$的$M$的平坦集相关联。在$\mathbb{P}^2$中的线排列的上下文中，将亚历山大对偶应用于由此产生的理想产生对网的组合结构的洞察。
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