发表机构
Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明特征零域上单项式 $x_1\cdots x_n$ 的边界 Waring 秩为 $2^{n-1}$，表明极化恒等式为最优分解，下界证明借助非对称的行列式张量的高阶 Koszul 展平。
AI 中文摘要
本文证明，在特征为零的域上，$x_1x_2\cdots x_n$ 的边界 Waring 秩恰好为 $2^{n-1}$。因此，经典的极化恒等式即使允许取极限，也是最优的 Waring 分解。作为对称张量，该单项式与 $n\times n$ 的永久张量等同。然而，下界是通过 $n\times n$ 行列式张量的高阶 Koszul 展平证明的，该张量并非对称的。
英文摘要
In this paper, we show that the border Waring rank of $x_1x_2\cdots x_n$ over fields of characteristic zero is exactly $2^{n-1}$. As a consequence, the classical polarization identity is an optimal Waring decomposition even if we allow limits. As a symmetric tensor, this monomial is identified with the $n\times n$ permanent tensor. However, the lower bound is proved via the higher-order Koszul flattening of the $n\times n$ determinant tensor, which is not symmetric.
Comments17 pages
