Maximum Likelihood for Matrices with Rank Constraints
极大似然估计是统计学中的一个基本最优化问题。我们在秩有界的矩阵流形上研究这个问题。这些表示两个独立的离散随机变量的分布的混合。我们确定的最大似然度的范围内的行列式品种，我们应用数值代数几何计算其似然函数的所有临界点。这导致了发现最大似然对偶矩阵之间的互补行列，结果证明随后由Draisma和罗德里格斯。
2013-03-18 math.AG math.OC stat.CO
On the typical rank of real polynomials (or symmetric tensors) with a fixed border rank
令$σ_b(X_{m,d}(\mathbb {C}))(\mathbb {R})$，$b(m+1) < \binom{m+d}{m}$，表示$m+1$变量中所有次数$d$实齐次多项式的集合（即格式为$(m+1)\times ... \times (m+1)$，$d$倍的实对称张量），其具有在$\mathbb {C}$上的边界秩$b$。它有一个分区到流形的实维$\le b(m+1)-1$，其中的实秩是常数。$σ_b(X_{m,d}(\mathbb {C}))(\mathbb {R})$的典型秩是与维度$b(m+1)-1$的开放部分相关联的秩。在这里，我们分类所有典型的等级时，$b\le 7$和$d, m$不是太小。对于更大的$(m,d,b)$集，我们证明了$b$和$b+d-2$是两个第一典型秩.在$m=1$（真正的二元多项式）的情况下，我们证明了$d$（最大可能的先验值的真正的秩）是一个典型的秩为每个$b$。
2013-07-09 math.AG
Multiple typical ranks in matrix completion
本文研究实数域上矩阵补全的典型秩问题，证明多类指定元素集合只有一个典型秩，并刻画了具有两个典型秩的循环图族，完整确定了部分情形下的典型秩。
2025-03-12 math.AG math.CO
Algebraic boundaries among typical ranks for real binary forms of arbitrary degree
我们证明了具有固定典型秩的实二元形式的区域的代数边界总是对偶簇到合适的重合根轨迹的并集。
2020-09-09 math.AC math.AG
On the algebraic boundaries among typical ranks for real binary forms
我们描述的代数边界的区域的真正的二元形式与固定的典型秩和度最多8，表明它们是对偶品种的合适的重合根轨迹。
2018-08-01 math.AC math.AG
Generic Power Sum Decompositions and Bounds for the Waring Rank
开秩的概念，与形式的一般幂和分解有关，最近被引入文献中。这里的主要结果是平面四次线的最大开秩是8。特别地，这给出了$n,d$的第一示例，使得本质上取决于$n$变量的度$d$形式的最大开放秩严格地大于最大秩。一方面，该结果允许改进先前已知的开秩上的界限，但另一方面表明这样的界限可能相当宽松。尽管如此，一些预备结果是独立的利益，仍然可以提供有用的信息，在与问题的最大秩为所有形式的给定程度和数量的变量。例如，我们得到了$d\ge 3$的每一个三次形式都可以被$d-1$的两两独立线性型的乘积零化.
2018-04-09 math.AG
Typical ranks of random order-three tensors
该研究通过几何方法证明特定维度下实三阶张量的典型秩范围，将秩概率与Segre簇交点概率关联，还结合三次曲面实直线概率得到3×3×5张量相关的实直线期望数界。
2024-07-11 math.AG
On the typical rank of real binary forms
我们确定了一般实二进制形式的度d=4和d=5的秩。在d=5的情况下，这种一般形式的秩的可能值是3，4，5。三个典型的等级的存在是出乎意料的。证明了具有d个实根的d次实二元形式的秩为d。
2009-09-26 math.AG math.ST stat.TH
Typical ranks in symmetric matrix completion
研究了对称矩阵的低秩矩阵完备化问题。一般部分指定对称矩阵的完备化的最小秩仅取决于指定元素的位置，而不是它们的值，如果允许复杂的元素。当要求条目是真实的时，情况就不再是这样了，可能的最低等级称为典型等级。本文给出了以$n$为典型秩的$n\times n$对称矩阵的指定整的模式的组合描述。此外，我们准确地描述了当这样一个通用的部分矩阵是最低限度地完成排名$n$。我们还描述了具有低的最大典型秩的条目的模式的典型秩。
2020-10-14 math.AG math.CO math.ST
The asymptotic leading term for maximum rank of ternary forms of a given degree
令$\operatorname{r_{max}}(n,d)$是$n$中所有$d>0$次齐次多项式的集合的最大Waring秩，其中系数在特征为零的代数闭域中。据我们所知，当$n,d\ge 3$时，$\operatorname{r_{max}}(n,d)$的值仅对于$(n,d)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3)$是已知的。我们证明了$\operatorname{r_{max}}(3,d)=d^2/4+O(d)$作为上界$\operatorname{r_{max}}(3,d)\le\left\lfloor\left(d^2+6d+1\right)/4\right\rfloor$的结果。
2015-11-12 math.AC math.AG
On the generic and typical ranks of 3-tensors
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
利用矩阵和代数几何的结果，研究l×m×n维3-张量的通用秩和典型秩，提出了复数域上通用秩精确值的猜想（通过数值验证至l,m,n≤14），并给出实数域上具有至少两个典型秩的无穷族例子。
2011-01-21 cs.NA math.AG math.NA
High-rank ternary forms of even degree
我们展示，对于每个偶数度，严格大于的单项式的最大秩的三进制形式的秩。连同先前在奇数情况下的结果，这给出了$d\ge 2$的下界\[\operatorname{r_{max}}(3,d)\ge\left\lfloor\frac{d^2+2d+5}4\right\rfloor\]，其中$\operatorname{r_{max}}(n,d)$表示在特征为零的代数闭域中系数为$n$的变量中度$d$形式的最大秩。
2017-06-14 math.AC math.AG
Typical and Generic Ranks in Matrix Completion
我们从几何的角度考虑低秩矩阵的精确完备化问题：给定一个部分填充矩阵M，我们保持指定和未指定元素的位置固定，并研究最小完备秩如何依赖于已知元素的值.如果矩阵的元素是复数，则对于指定和未指定元素的位置的固定模式，存在以正概率出现的唯一完成秩。我们称这个等级为通用完成等级。在实数上，可以有多个以正概率出现的秩;我们称之为典型的完成秩。我们正式介绍这些概念，并提供了一些不等式和确切的结果，典型的和通用的不同家庭的模式的已知和未知的条目的排名。
2019-09-22 cs.NA math.AG math.NA
Maximal and typical nonnegative ranks of nonnegative tensors
令$N_1, \ldots, N_d$是正整数，其中$N_1\leq\cdots\leq N_d$。设置$N=N_1\cdots N_{d-1}$。本文证明了整数$r$是$N_1\times\cdots\times N_d$格式的非负张量的典型非负秩当且仅当$r\leq N$和$r$大于或等于$N_1\times\cdots\times N_d$格式的$\mathbb{C}$上的张量的通有秩.我们还证明了格式为$N_1\times\cdots\times N_d$的非负张量的最大非负秩为$N$。
2018-01-12 math.AC math.AG math.RA
Typical Real Ranks of Binary Forms
我们证明了Comon和Ottaviani的一个猜想，即二元形式的度$d$的典型实Waring秩取$\lfloor \frac{d+2}{2}\rfloor$和$d$之间的所有整数值。也就是说，我们证明了对于所有的$d$和所有的$\lfloor \frac{d+2}{2}\rfloor \leq m \leq d$，存在一个二元形式$f$，使得$f$可以写成$m$个实线性型的$d$次幂的线性组合，并且不少于这个线性组合，另外，在$f$的开邻域中的所有形式也具有这个性质.等价地，我们证明了对于所有的$d$和任何的$\lfloor \frac{d+2}{2}\rfloor \leq m \leq d$，存在一个对称的实二元张量$t$，其阶为$d$，使得$t$可以写成秩为1或更小的$m$对称实张量的线性组合，并且在$t$的开邻域中的所有张量也具有这个性质.
2012-05-15 math.AG
Maximum Likelihood Duality for Determinantal Varieties
在最近的一篇论文中，Hauenstein，Sturmfels，和第二作者发现了一个critical双射之间的临界点的似然函数对复杂的各种矩阵的秩r和临界点对复杂的各种矩阵的共同秩r-1。本文对矩形矩阵和对称矩阵以及斜对称矩阵的一个变体证明了这个猜想。出现在国际数学研究通知。
2013-05-29 math.AG
On the maximum rank of a real binary form
本文证明了次数d≥3且根互异的实齐次多项式f(x,y)有d个实根当且仅当对任意非零(a,b)，多项式af_x+bf_y有d-1个实根，从而回答了P. Comon和G. Ottaviani提出的问题，并表明秩为d的d次实二元形式轨迹的内部恰好由具有d个实根的形式组成。
2010-06-26 cs.NA math.AG math.NA
Typical and Admissible ranks over fields
设$X(\RR)$是定义在$\RR$上的一个几何连通簇，使得它的所有（也是复）点$X(\CC)$的集合是非退化的。我们引入点$P$关于$X$的\emph{admissible rank}的概念，它是$X(\CC)$的一组点的最小基数，使得$P\in \langle S \rangle$在共轭下是稳定的.任何表示容许秩的集合都可以配备一个\emph{label}来跟踪它的复数点和实数点的数量。我们表明，在通用的可识别性的情况下，有一个开放的稠密的欧氏子集的点与一定的容许秩的任何可能的标签。此外，我们表明，如果$X$是一个合理的正态曲线比总存在一个标签的通用元素。我们提出了两个例子，其中要么标签不存在或容许秩严格大于通常的复杂秩。
2016-04-08 math.AC math.AG
Real rank boundaries and loci of forms
本文研究了$\mathbb P^1\times \mathbb P^1$由线丛$(2,2d)$给出的嵌入的禁止轨迹和典型秩。我们引入Ranestad-Schreyer轨迹对应的非约化非极性计划的支持。我们表明，在这些情况下，这是包含在禁止轨迹。此外，对于这些嵌入，我们给出了实秩边界的一个分支，即划分最小典型秩和高秩的超曲面。这些结果推广到$\mathbb P^n\times \mathbb P^1$的一类嵌入.最后，结合实秩边界，我们给出了$2\times n \times n$超行列式的一个新的解释。
2018-03-15 math.AG
Typical ranks of semi-tall real 3-tensors
令$m$、$n$和$p$为整数，其中$3\leq m\leq n$和$(m-1)(n-1)+1\leq p\leq (m-1)m$。我们在以前的论文中表明，如果$p\geq (m-1)(n-1)+2$，则实数域上的$p\times n\times m$ -张量的典型秩是$p$和$p+1$当且仅当存在非奇异双线性映射$\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$。我们还证明了“如果”部分在$p=(m-1)(n-1)+1$ .本文研究了$p=(m-1)(n-1)+1$的情形，证明了实数域上$p\times n\times m$ -张量的典型秩是$p$和$p+1$，其中包括不存在非奇异双线性映射$\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$的情形.特别是，我们表明，“只有当”上述事实的一部分不适用于情况$p=(m-1)(n-1)+1$。
2017-05-08 math.AC math.AG math.RA
Labels of real projective varieties
设$X$是定义在$\mathbb R$上的复射影簇.最近，Bernardi和第一作者引入了关于$X$的可容许秩的概念。该秩仅考虑在复共轭下稳定的分解。这种分解带有标签，即，一对整数，记录其全实部的基数。我们研究的基本性质的容许秩的品种，随着特殊的例子曲线，例如，合理的正态曲线容许和复杂的行列一致。在此过程中，我们介绍了可容许秩的方案论版本。最后，类似于真实秩的情况，我们分析了典型的标签，即，那些作为全维欧几里德开集的标签而出现的。我们强调与典型等级的相似性和差异。
2019-09-24 math.AG
